[A4版]25余炳森数一概率论辅导讲义强化做题本_考研_数学_09.余丙森_25余炳森《概率论辅导讲义强化》做题本_数一

余炳森 · 概率强化讲义 · 目录 目录 第1 章随机事件及其概率 ...................................................................................................................... 3 类型1 与概率有关的概念 ............................................................................................................ 3 类型2 概率的五大公式 ................................................................................................................. 3 类型3 概率不等式 ........................................................................................................................... 5 类型4 事件的独立性 ...................................................................................................................... 6 类型5 贝努利概型 ........................................................................................................................... 6 第2 章一维随机变量及其分布 ............................................................................................................ 8 类型1 分布函数和概率密度的基本概念 ............................................................................... 8 类型2 求分布中的待定参数 ....................................................................................................... 9 类型3 一维连续型随机变量 .................................................................................................... 10 类型4 常见分布 ............................................................................................................................ 11 类型5 函数的分布 ........................................................................................................................ 13 第3 章二维随机变量及其分布 ......................................................................................................... 16 类型1 联合分布和边缘分布函数 .......................................................................................... 16 类型2 二维离散型随机变量的问题 ..................................................................................... 18 类型3 二维连续型随机变量的问题 ..................................................................................... 20 类型4 判断随机变量的独立性 ............................................................................................... 22 类型5 第 1 页，共49页 ( X ,Y ) 中一个为离散型随机变量,一个为连续型随机变量 ............................. 22 类型6(X,Y)的函数Z = g(X,Y)的分布 ................................................................................ 23 类型7连续型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x , y ) .......................................................... 26 第4 章数字特征 ...................................................................................................................................... 27 类型1 求随机变量函数的数学期望 ..................................................................................... 27 类型2max ,min 的数学期望 ........................................................................................ 29 类型3 求方差 ................................................................................................................................. 30余炳森 · 概率强化讲义 · 目录 类型4 求协方差和相关系数 .................................................................................................... 32 类型5 关于独立和不相关的概念 .......................................................................................... 33 类型6 与正态分布有关的问题 ............................................................................................... 34 第5 章大数定律和中心极限定理 .................................................................................................... 37 第6 章数理统计的基本概念 .............................................................................................................. 38 类型1 样本的概念 ........................................................................................................................ 38 类型2样本均值X 和样本方差 第 2 页，共49页 S 2 的数字特征 ................................................................. 39 类型3统计中几个常见分布χ2,t,F 的构造及性质 ......................................................... 41 类型4 上侧分位点 ........................................................................................................................ 42 类型5 正态总体下样本均值与样本方差的分布 ............................................................. 43 第7 章参数估计 ...................................................................................................................................... 45 类型1 连续型随机变量未知参数的矩估计和最大似然估计 ..................................... 45 类型2 离散型随机变量未知参数的矩估计和最大似然估计 ..................................... 46 第8 章假设检验(仅数学一) ............................................................................................................... 49 类型1 假设检验的基本概念 .................................................................................................... 49 类型2 假设检验的步骤 .............................................................................................................. 49余炳森 · 概率强化讲义 · 1.随机事件及其概率 第 1 章随机事件及其概率 类型1 与概率有关的概念 P81例1.1假设随机事件 第 3 页，共49页 A ( 0  P ( A )  1 ) 与 B ( 0  P ( B )  1 ) 满足 P ( ∣B A ) = 1 ,则( ). (A) A = B (B) A  B (C) P ( ∣A B ) = 1 (D) P ( ∣B A ) = 0 类型2 概率的五大公式 P82例1.2设A,B为两个随机事件, P ( A ) = 0 .2 , P ( A B ) = 0 .6 ,求 P ( B − A ) .余炳森 · 概率强化讲义 · 1.随机事件及其概率 P82例1.3设 第 4 页，共49页 A , B , C 是三个随机事件, A 与 B  C 互不相容,如果 P ( B C ) = 1 8 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 4 , ,求A,B,C都不发生的概率. P82例1.4设 A , B , C 是三个随机事件,且 P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1 3 , A , B , C 至少有一个发生的概 率为1,则下列说法错误的是( ). (A)P(AB)=P(BC) (B)P(A−B)=0 ( ) (C)P ABC =1 (D) P ( A B C ) = 0 P82例1.5设袋中有5只白球和1只黑球,每次从中任取一个球,并换入一只白球,这样继续下 去,求交换2次后,第3次取到白球的概率.余炳森 · 概率强化讲义 · 1.随机事件及其概率 P83例1.6现有两袋球,第一袋中有2个白球4个黑球,第二袋中有6个白球2个黑球,现从这 两袋中各任取一球,再从取出的两球中任取一球. （1）求这球是白球的概率; （2）若这球是白球,求原先从两个袋子中取出的是相同颜色球的概率. 类型3 概率不等式 P83例1.7设 第 5 页，共49页 A , B 为两个随机事件, P ( A B )  0 ,且有 P ( C ∣ A B ) = 1 ,则下列结论成立的是( ). (A) P ( C )  P ( A ) + P ( B ) − 1 (B) P ( C )  P ( A ) + P ( B ) − 1 (C) P ( C ) = P ( A B ) (D) P ( C ) = P ( A  B )公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取余炳森 · 概率强化讲义 · 1.随机事件及其概率 类型4 事件的独立性 P84例1.8设随机事件 第 6 页，共49页 A , B 相互独立, P ( A ) = P ( B ) = 1 2 ,则 P  ( A  B ) ( A  B ) ( A  B )  = _________ . P84例1.9设随机事件 A , B 相互独立,其概率均为 p ,已知 A , B 至少有一个发生的前提下, A , B 恰好发生一个的概率为 2 3 ,则 p = ________ . 类型5 贝努利概型 3 P84例1.10独立重复地进行某试验,已知第四次试验恰好是第二次成功的概率为 ,求第六次 16 试验恰好是第二次成功的概率.余炳森 · 概率强化讲义 · 1.随机事件及其概率 P85例1.11设甲、乙两人各抛三次硬币,求: （1）甲、乙所抛正面数相等的概率; （2）甲所抛正面数多于乙所抛正面数的概率. 第 7 页，共49页余炳森 · 概率强化讲义 · 2. 第 2 章一维随机变量及其分布 类型1 分布函数和概率密度的基本概念 P87例2.1设随机变量X 的分布函数 第 8 页，共49页 F ( x ) =  0 a 1 , x , + b , x 0 x    0 x 1 ,  , 1 , 1 且PX =0= ,则常数a= 4 _______. P87例2.2设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) =  0 x c , 2 , − b , x a x    a x ,  2 . 2 , 求 (1)常数 a , b , c 的值; (2)PX =a; (3) P { 1  X  3 } .余炳森 · 概率强化讲义 · 2. P88例2.3(2002,数学一)设 第 9 页，共49页 X 1 和X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度 2 分别为 f (x)和 f (x),分布函数分别为F (x)和F (x),则( ). 1 2 1 2 (A) f1 ( x ) + f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 (B) f1 ( x ) f 2 ( x ) 必为某一随机变量的概率密度 (C) F 1 ( x ) + F 2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 (D) F 1 ( x ) F 2 ( x ) 必为某一随机变量的分布函数 P88例2.4设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 为偶函数, F ( x ) 为 X 的分布函数,下列不正确的选 项是( ). (A) F ( x ) + F ( − x ) = 1 (B) F ( − x ) = F ( x ) 1 x (C)F(−x)= − f (t)dt (D) 2 0 0 f ( x ) d x 0 f ( x ) d x 1 2    − =  + = 类型2 求分布中的待定参数 A P89例2.5设随机变量X 的分布律为PX =k= ,k =0,1,2, ,则常数A=_______. 2k k!余炳森 · 概率强化讲义 · 2. P89 例2.6 设 第 10 页，共49页 f ( x ) = C e − x 2 + 2 x , −   x  +  为X的概率密度，则常数C等于( ) A 2 e B  1 2 e C  1 e D  1 2  类型3 一维连续型随机变量 P90例2.7(2000,数学三)设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =  1 3 2 9 0 , , , 0 3 其   他 x x   . 1 6 , , 若 k 使得 P  X  k  = 2 3 ,则 k 的取值范围是_________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取余炳森 · 概率强化讲义 · 2. P90例2.8设连续型随机变量 第 11 页，共49页 X 的概率密度为 ( ) e x ,   = − −   + . (1)求常数 A 和 P  X  1 4  ; (2)若 P { X  k } = 1 4 ,求k; (3)求 X 的分布函数 F ( x ) . 类型4 常见分布 P90例2.9设随机变量 X P ( ) , Y E ( )     ,且 P  X  1  = 0 .5 ,则 P { Y  2 } = ________ .余炳森 · 概率强化讲义 · 2. P91例2.10设随机变量 第 12 页，共49页 X 服从  a , b  上的均匀分布(a0),且 P { 0  X  3 } = 1 4 , P { X  4 } = 1 2 , 则 P { − 1  X  5 } 的值为( ). 3 (A) (B) 4 1 2 (C) 1 4 (D) 1 6 P91例2.11(2013,数学一,数学三)设 X 1 , X 2 , X 3 是随机变量,且 N ( 0 , 2 2 ) , X 3  N ( 5 , 3 2 ) , p j = P  − 2  X j  2  ( j = 1 , 2 , 3 ) X 1  N ( 0 ,1 ) , X 2  ,则( ). (A) p 1  p 2  p 3 (B) p 2  p 1  p 3 (C) p 3  p 1  p 2 (D) p 1  p 3  p 2余炳森 · 概率强化讲义 · 2. P92例2.12在电源电压不超过200伏,在 第 13 页，共49页 2 0 0  2 4 0 伏和超过240伏三种情况下,某种电子元件 损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2.假设电源电压 X 服从正态分布 N ( 2 2 0 , 2 5 2 ) ,试求: (1)该电子元件损坏的概率; (2)该电子元件损坏时,电源电压在 2 0 0  2 4 0 伏的概率. 类型5 函数的分布 P93例2.13设随机变量 X  E ( 1 ) ,求 Y =  X  的概率分布,其中   表示取整函数.余炳森 · 概率强化讲义 · 2. P93例2.14(2003,数学三)设随机变量X 的概率密度为 第 14 页，共49页 f ( x ) =  3 0 3 , 1 x 2 , 1 其  他 x  . 8 , F ( x ) 是X 的 分布函数,求: (1)F(x); (2) Y = F ( X ) 的分布函数 F Y ( y ) . P94例2.15设随机变量 X  U ( 0 , 2 ) ,则 Y =  0 X , , X X   1 1 , 的分布函数F (y)的间断点的个数为 Y ( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3余炳森 · 概率强化讲义 · 2. 1  x2, 0x3, P94例2.16(2013,数学一)设随机变量X 的概率密度为 f (x)=9 令随机变量  0, 其他. 第 15 页，共49页 Y =  2 , X 1 , , X 1 X    X 1 ,  2 . 2 , (1)求 Y 的分布函数; (2)求概率 P  X  Y  .余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 第 3 章二维随机变量及其分布 类型1 联合分布和边缘分布函数 P97例3.1设二维随机变量 第 16 页，共49页 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ,且当 x  0 , y  0 时, F ( x , y ) ( a e x ) ( b e y ) ,   = − − − − 其中 a 0 , b 0 , 0 , 0       ,则 (1) F ( 0 , 0 ) 的值为___; (2) F ( − 1 ,1 ) 的值为___. P97例3.2设 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x , y ) =  0 , 2 x 2 y 2 x 1 , y , − − x x 2 2 , , x 0 0 0 x      或 0 x  y  x  且 1 y  y  且 x 且 1 y  0 , 1 , y  y  1 . 1 , 1 , 分别求 X 和 Y 的边缘分 布函数 F X ( x ) , F Y ( y ) .余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 P98例3.3设二维随机变量 第 17 页，共49页 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ,关于 X 和Y的边缘分布函数分别为 F X ( x ) 和 F Y ( y ) ,则 Z = m a x  X , Y  的分布函数为( ). (A) F X ( x ) F Y ( y ) (B) F X ( x ) F Y ( x ) (C) F ( x , x ) (D) F ( x , y ) P98例3.4设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) ,边缘分布函数分别为F (x), X F Y ( y ) , 则 P { X  x , Y  y } = ( ) . (A)1−F (x)F (y) (B)1−F (x)1−F (y) X Y  X  Y  (C) 2 − F X ( x ) − F Y ( y ) + F ( x , y ) (D) 1 − F X ( x ) − F Y ( y ) + F ( x , y )余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 类型2 二维离散型随机变量的问题 P99例3.5设随机变量 第 18 页，共49页 X 和 Y 各只有 − 1 , 0 ,1 三个可能值,且同分布,并满足 1 PX =−1=PX =1= , 4 P  X Y  0  = 0 , 试求X 和Y 的联合分布律. 0 1 −1 0 1     P99例3.6(2011,数学一,数学三)设X  1 2 ,Y  1 1 1 ,且         3 3  3 3 3 P  X 2 = Y 2  = 1 ,求(X,Y) 的概率分布并求 P  X + Y = 0  .余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 P100例3.7将两封信投入三个编号为1,2,3的信箱,用 第 19 页，共49页 X , Y 分别表示投入第一信箱、第二信箱 信的数目. (1)求 ( X , Y ) 的分布律; (2)求 X 和 Y 的边缘分布律; (3)求 P  X = Y  ; (4)在 X = 0 的条件下,求 Y 的条件分布律; (5)问 X 与 Y 是否相互独立. P101例3.8一射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为 p ( 0  p  1 ) ,射击进行到击中目 标两次为止.设 X 表示第一次击中目标所进行的射击次数, Y 表示总共进行的射击次数,试求: (1) X 的分布律; (2)Y 的分布律; (3)(X,Y)的分布律.余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 类型3 二维连续型随机变量的问题 P102例3.9设二维随机变量 第 20 页，共49页 ( X , Y ) 1, 0x1,0 y2x, 的概率密度为 f (x,y)= 求: 0, 其他. (1) P { X  1 , Y  1 } ; (2)Y 的边缘概率密度 fY ( y ) ; (3)条件概率密度 f ∣X Y ( ∣x y ) . P102例3.10设随机变量 X 在(0,1)内服从均匀分布,在 X = x  ( 0 ,1 ) 条件下, Y 在(0,x)内服从 均匀分布.求: (1)(X,Y)的概率密度; (2)Y 的概率密度 fY ( y ) ; (3) P  X  1 2 Y = 1 4  , P  X  1 2 Y  1 4  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 P104例3.11设二维随机变量 第 21 页，共49页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 2 1 3 e x 2 xy 3 y 2 , x , y  = − − + 为一切实数,则 X 的边缘概率密度 f X ( x ) = ___________ . P104例3.12设随机变量 X 与 Y 相互独立,均服从  0 , 3  上的均匀分布,则 P { 1  m in { X , Y }  2 } = ( ). 1 (A) (B) 3 4 9 (C) 2 3 (D) 8 9余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 类型4 判断随机变量的独立性 P105例3.13设二维随机变量 第 22 页，共49页 ( X , Y ) 在区域 D : x + y  1 上服从均匀分布. (1)讨论随机变量 X 与 Y 是否相互独立; 1, X +Y 0, 1, X −Y 0, (2)令U = V = 讨论随机变量  0, X +Y 0, 0, X −Y 0. U 与V 是否相互独立. 类型5 ( X ,Y ) 中一个为离散型随机变量,一个为连续型随机变量 P106例3.14设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x , y ) =  0 1 2 1 , ( − 1 e − − − e x , x ) , x x x    0 0 0 或 , , 0 y y    y 1 0  . , 1 , (1)求 X 与 Y 的边缘分布函数; (2)问 X , Y 是否相互独立? (3)求PX +Y 2.余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 类型6 第 23 页，共49页 ( X ,Y ) 的函数 Z = g ( X ,Y ) 的分布 P107例3.15设(X,Y)的概率分布为 求:(1) U = X + Y 的分布律; (2) V = m in  X , Y  的分布律; (3) W = X Y 的分布律; (4) Z = X Y 的分布律. P107例3.16设二维随机变量 ( X , Y ) 1, 0x1,0 y2x, 的概率密度为 f (x,y)= 求 0, 其他. Z = 2 X − Y 的概率密度 f Z ( z ) .余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 P108例3.17设连续型随机变量 第 24 页，共49页 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  x 0 + , y , 0 其  他 x  . 1 , 0  y  1 , 求:(1) U = m a x  X , Y  的分布函数和概率密度; (2) V = m in  X , Y  的分布函数和概率密度. P109例3.18设二维随机变量 ( X , Y ) ex, 0x1,1−x y1, 的概率密度为 f (x,y)= 0 其他.余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 求:(1) 第 25 页，共49页 Z = X + Y 的概率密度 f Z ( z ) ;(2) Z = m a x  X , Y  的概率密度 f Z ( z ) . P110例3.19设X ,X , ,X 独立同分布, 1 2 n X i ( i = 1 , 2 , , n ) 的概率密度为 f ( x ) 2 0 e , 2 ( x ) , x x , .    =  − −   求 ˆ m in  X 1 , X 2 , , X n   = 的概率密度 f ˆ ( x ) . 余炳森 · 概率强化讲义 · 3.二维随机变量及其分布 P110例3.20设随机变量 第 26 页，共49页 X 与 Y 相互独立,且 X   0 0 .2 5 0 1 .7 5  , Y  U  0 ,1  . (1)求 Z = X Y 的分布函数 F Z ( z ) ,并问 Z 是否为连续型随机变量? (2)求 Z = X + Y 的分布函数 F Z ( x ) . 类型7连续型随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y) P111例3.21设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) =  k 0 e , − x , 0 其  他 y .  x , (1)求常数 k ; (2)计算概率 P { X + Y  2 } ; (3)求 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x , y ) .余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 第 4 章数字特征 类型1 求随机变量函数的数学期望 P114例4.1设随机变量 第 27 页，共49页 X  E ( 2 ) ,则 E ( e − 3 X − 2 X 2 + 1 ) = ________. P114例4.2设随机变量 X  U ( 0 , 2 ) , Y = m in  X ,1  =  X 1 , , X X   1 1 , . 求 E ( Y ) . P115例4.3(2009,数学三)设随机变量X 的分布函数为 F ( x ) = 0 .3  ( x ) + 0 .7   x − 2 1  ,余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 其中 第 28 页，共49页  ( x ) 为标准正态分布的分布函数,则 E ( X ) = ( ). (A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1 P116例4.4设随机变量 X   0 0 .6 1 0 0 .4  , Y 的概率密度 f ( y ) 1 2 e y , y   = − −   + ,且X 和Y 相 互独立,求 E ( X Y 2 − 2 X 2 Y + 1 ) .余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 类型2 第 29 页，共49页 m a x   , m in   的数学期望 P116例4.5设随机变量 X 和 Y 相互独立,且都服从参数为1的指数分布.记U =max{X , Y } ,V = m in  X , Y  .求:(1) E ( U ) ;(2) E ( V ) ;(3) E ( U V ) ;(4) E ( U + V ) . P117例4.6设 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布, X i 的概率密度为 f ( x ) 2 0 e , 2 ( x ) , x x , .    =  − −   设 ˆ m in  X 1 , X 2 , , X n   = ,求 E ( ˆ )  .余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 P117例4.7设连续型随机变量 第 30 页，共49页 ( X , Y ) x+ y, 0x1,0 y1, 的概率密度为 f (x,y)= 设 0, 其他. U = m a x  X , Y  ,V = m in  X , Y  ,求: (1)期望 E ( U ) ; (2)期望E(UV). 类型3 求方差 P118例4.8(2001,数学四)设二维随机变量 ( X , Y ) 在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域 上服从均匀分布,试求随机变量 U = X + Y 的方差.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 P120例4.9设有 第 31 页，共49页 n ( n  1 ) 张卡片(编号为 1  n 号),现从中有放回地任取k张,求所取号码之和 X 的数学期望 E ( X ) 和方差 D ( X ) . P120例4.10将 n 只球(1n号)随机地放进 n 个盒子(1n号)中去,一个盒子装一只球.若一只 球装入与球同号的盒子中,称为一个配对.记 X 为总的配对数,求 E ( X ) 及 D ( X ) .余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 类型4 求协方差和相关系数 P121例4.11(2004,数学一,数学四)设随机变量 第 32 页，共49页 X 1 , X 2 , , X n ( n  1 ) 独立同分布,且其方差为 2 0   ,令 X = 1 n n i= 1 X i ,则( ). (A) C o v ( X 1 , X ) n 2  = (B) C o v ( X 1 , X ) 2  = (C)D ( X +X ) = n+2 2 (D)D ( X −X ) = n+1 2 1 1 n n P122例4.12设随机变量 X U  1 , 2  , Y 0 1 1 , , , X X X 0 0 0 , , . X Y .   − =  −  =  求余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 类型5 关于独立和不相关的概念 P122例4.13设随机变量 第 33 页，共49页 U  0 , 2  , X c o s , Y s in    =  =  ,则( ). (A)X 与Y 相互独立 (B) X 2 与 Y 2 相互独立 (C) X 与 Y 不相关 (D) X 2 与 Y 2 不相关 P123例4.14设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) =  1 0 − , x , x x   1 1 , 问,. X 和X2是否不相关?X 和 X 2 是否相互独立?为什么? P123例4.15设 A , B 为两个随机事件,P(A)= p,P(B)=q,P(AB)=r,且 p,q(0,1),余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 记 第 34 页，共49页 X =  0 1 , , A A 不 发 发 生 生 , , Y =  0 1 , , B B 不 发 发 生 生 . , (1)求相关系数 X Y  ; (2)证明 r − p q  1 4 ; (3)证明随机事件 A 与 B 相互独立的充要条件为随机变量 X 与 Y 相互独立; (4)证明随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件为 X 与 Y 不相关. 类型6 与正态分布有关的问题 P125例4.16设 X , Y 均服从正态分布,则下列服从正态分布的是( ). (A)X +Y (B) X − Y (C) ( X , Y ) (D) 2 X + 1余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 P126例4.17(1994,数学一)已知二维随机变量 第 35 页，共49页 ( X , Y )  N ( 1 , 0 ; 9 ,1 6 ; − 0 .5 ) X Y ,设Z = + 3 2 (1)求 Z 的数学期望和方差; (2)求 X 和 Z 的协方差; (3)问 X 与Z是否相互独立?为什么? P126例4.18设随机变量 X 与 Y 相互独立, X  N  1 , 1 4  , Y  N ( 3 ,1 ) , Z = 2 X − Y + 1,求: (1)Z的概率密度 f (z); Z (2)D ( Z ).余炳森 · 概率强化讲义 · 4.数字特征 P127例4.19设 第 36 页，共49页 ( X , Y )  N ( 0 ,1 ; 4 , 9 ; 0 ) ,则 P { X  Y − 1 } = _________ . P127例4.20设随机变量 X , Y 同分布, X  N ( 0 ,1 ) ,且 X , Y 不相关,则下列说法正确的是( ). (A) P  X = Y  = 1 (B) X + Y 与 X − Y 不相关 (C)X,Y相互独立 (D) ( X , Y ) 服从二维正态分布 P128例4.21设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) 2 1 3 e x 2 xy 3 y 2 , x , y  = − − + 为一切实数,则 X , Y 的相关系数 X Y  = __________余炳森 · 概率强化讲义 · 5.大数定律和中心极限定理 第 5 章大数定律和中心极限定理 P129例5.1(2001,III)设 第 37 页，共49页 E ( X ) 2 , E ( Y ) 2 , D ( X ) 1 , D ( Y ) 4 , X Y 0 .5  = − = = = = − ,用切比雪夫不等 式估计 P  X + Y  6   _______. P129例5.2设随机变量序列  X n  ( n = 1 , 2 , ) 相互独立,且都服从参数为2的指数分布,则当 2 1 n 1 n  n→时, X2 − X  依概率收敛于________ n i n i i=1  i=1  P129例5.3(2020,I)设 X 1 , X 2 , , X 1 0 0 为来自总体 X 的简单随机样本,其中 P  X = 0  = P  X = 1  = 1 2   ( x ) 表示标准正态分布的分布函数,则利用中心极限定理可得 P  1 0 i= 0 1 X i  5 5  的近似值为( ). (A) 1 −  ( 1 ) (B)  ( 1 ) (C)1−(2) (D)  ( 2 )余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 第 6 章数理统计的基本概念 类型1 样本的概念 P131例6.1设总体 第 38 页，共49页 X 在区间12,20上服从均匀分布. ( X 1 , X 2 , X 3 ) 为来自总体X 的一 个简单随机样本,则 P  m a x  X 1 , X 2 , X 3   1 8  = __________ .余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 P132例6.2设总体 第 39 页，共49页 X 的数学期望 E ( X )  = ,方差 D ( X ) 2 , ( X 1 , X 2 , , X n ) ( n 1 )  =  为来自总体 X 的一个简单随机样本, X 为样本均值,求: ( ) (1)E X X ; 1 (2) C o v ( X 1 + X 2 , X ) ; ( ) (3)D X −X . 1 类型2样本均值X 和样本方差 S 2 的数字特征 P133例6.3(2009,数学三)设X ,X , ,X 为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本, 1 2 m X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差.记统计量 T = X − S 2 ,则 E ( T ) = _________.余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 P133例6.4(2004,数学三)设总体X 服从正态分布N ( ,2) ,总体 1 第 40 页，共49页 Y 服从正态分布 N ( 2 , 2 ) , X 1 , X 2 , , X n1   和 Y 1 , Y 2 , , Y n 2 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本,则 E  n1 i= 1 ( X i − X n 1 ) + 2 + n 2 n 2 j= 1 − 2 ( Y j − Y ) 2  = _________ . P133例6.5(2001,数学一)设总体X 服从正态分布 N ( , 2 ) ( 0 )    ,从该总体中抽取简单随机 样本 X 1 , X 2 , , X 2 n ( n  2 ) ,其样本均值为 X = 1 2 n 2 n i= 1 X i n ,求统计量Y =( X + X −2X )2 的数 i n+i i=1 学期望 E ( Y ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 类型3统计中几个常见分布 第 41 页，共49页 χ 2 , t , F 的构造及性质 P134例6.6(2001,数学三)设总体X 服从正态分布N ( 0,22) ,而 X 1 , X 2 , , X 1 5 是来自总体 X 的 简单随机样本,则随机变量 Y = 2 X( X 2 + 1 21 1 + + + X 21 02 X 1 5 ) 服从为________. P134例6.7设(X ,X ,X ,X )为来自总体X N ( 0,2) 的一个简单随机样本. 1 2 3 4 (1) U = 2 ( X 21 + X 22 ) + X 23 + X 24 ,求E(U)和D(U); (2)问 V = X X − 1 23 + X X 2 24 服从何分布? (3)问 T = X X 1 3 − + X X 2 4 服从何分布? (4)问 W = X X 1 1 − + X X 2 2 服从何分布?余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 类型4 上侧分位点 P135例6.8(2004,数学一,数学三,数学四)设随机变量X 服从正态分布 第 42 页，共49页 N ( 0 ,1 ) ,对给定的 ( 0 1 )     ,数 u 满足  P  X u     = .若 P { X x }   = ,则 x 等于( ). (A)u (B) a 2 u 1 2  − (C) u 1 −2 a (D) u 1  − P136例6.9设随机变量 X 服从正态分布N(0,1),Y 服从正态分布 2 ( 1 )  ,对给定的(01), 数u 满足  P  X u     = ,数 2 ( 1 )  满足P  Y 2(1) =,则   20 .0 5 ( 1 )  = ( ). (A)u (B) 0.025 u 20 .0 2 5 (C) u 0 .0 5 (D) u 20 .0 5 (注) 2 ( 1 ) u 2 2 ; F ( 1 , n ) t 2 2 ( n )      = = (请读者自行推导).余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 类型5 正态总体下样本均值与样本方差的分布 P136例6.10设 第 43 页，共49页 X 1 , X 2 , , X 9 为来自正态总体 N ( , 2 )  的简单随机样本,X 是样本均值, S 2 是 样本方差,则以下正确的是( ). (A) 9 X N ( 9 , 2 )   (B) 9 S 2 2 2 ( 8 )    ( ) 3 X − (C) t(9) (D) S 9 ( X S 2 ) 2 F ( 1 , 8 )  −  P136例6.11设总体 X  N ( 1 , 0 .0 4 ) , ( X 1 , X 2 , , X n ) 为来自总体 X 的一个简单随机样本,X 是样 本均值,欲使 P  0 .9  X  1 .1   0 .9 5 , 问样本容量 n 至少应取多少?余炳森 · 概率强化讲义 · 6.数理统计的基本概念 P137例6.12设总体 第 44 页，共49页 ( X , Y ) N ( 1 , 2 ; 2 , 2 ; 0 ) ( 0 ) , ( X 1 , Y 1 ) , ( X 2 , Y 2 ) , , ( X n        , Y n ) ( n  1 ) 是 来自总体 ( X , Y ) 的简单随机样本,记 S 22 = n 1 − 1 n i= 1 ( Y i − Y ) 2 , X = 1 n n i= 1 X i , Y = 1 n n i= 1 Y i , S 21 = n 1 − 1 n i= 1 ( X i − X ) 2 , 则下列结论不正确的是( ). (A) n X N ( n 1 , n 2 )    (B) X Y S 21 ( n 1 S 22 2 ) t ( 2 n 2 )   − − + −  − S2 (C) 1 F(n−1,n−1) (D) S2 2 ( n 1 ) ( S 21 2 S 22 ) 2 ( 2 n )   − + 余炳森 · 概率强化讲义 · 7.参数估计 第 7 章参数估计 类型1 连续型随机变量未知参数的矩估计和最大似然估计 P139例7.1设总体 第 45 页，共49页 X U ( 1 , )   ,其中未知参数 1 , X 1 , X 2 , , X n   为来自总体X 的简单随机样 本,求的矩估计量 ˆM  和最大似然估计量 ˆL  .    P140例7.2(2004,数学三)设随机变量X 的分布函数为F(x;,)=   1−  x   , x, 其中参  0, x, 数 0 , 1     .设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. (1)当 1  = 时,求未知参数的矩估计量; (2)当 1  = 时,求未知参数的最大似然估计量; (3)当 2  = 时,求未知参数的最大似然估计量.余炳森 · 概率强化讲义 · 7.参数估计 P141例7.3设总体X 的概率密度为 第 46 页，共49页 f ( x ) =  b a 0 x , − , x , 0 1 其   他 x x   , 1 2 , , 样本观察值为0.5, 0 .8 ,1 .5 ,1 .5 . (1)求 a 与 b 的最大似然估计值; (2)设Y =eX,求 P { Y  2 } 的最大似然估计值. 类型2 离散型随机变量未知参数的矩估计和最大似然估计 P142 例 7.4 设箱中有 100 个球,其中只有红球和白球.现从箱中有放回地取 6 个球,如出现红球, 记 X 为1;出现白球,记 X 为0,得观察值 1 ,1 , 0 ,1 ,1 ,1 .试分别用矩估计法和最大似然估计法估计 红球的个数 r .余炳森 · 概率强化讲义 · 7.参数估计 P142例7.5(2002,数学一)设总体X 的概率分布为 其中 第 47 页，共49页 0 1 2       是未知参数.利用总体 X 的如下样本值 3 ,1 , 3 , 0 , 3 ,1 , 2 , 3 , 求的矩估计值和最大 似然估计值. [因PDF破损原因，此处例7.6(仅数学一)省略] P143例7.7(仅数学一)从总体 X ~ N ( , 2 )  中随机抽取容量为16的样本，整理得x=10， s = 2 ，求 (1)的置信度为0.95的置信区间； (2)2的置信度为0.95的置信区间.余炳森 · 概率强化讲义 · 7.参数估计 P144例7.8(仅数学一)假设 第 48 页，共49页 0 .5 0 ,1 .2 5 , 0 .8 0 , 2 .0 0 是来自总体X 的简单随机样本值.已知Y =lnX 服从正态分布 N ( ,1 )  . (1)求 X 的数学期望 E ( X ) (记 E ( X ) 为 b ); (2)求的置信度为0.95的置信区间; (3)利用上述结果求 b 的置信度为0.95的置信区间.余炳森 · 概率强化讲义 · 7.参数估计 第 8 章假设检验(仅数学一) 类型1 假设检验的基本概念 P148例8.1在假设检验中,原假设为 第 49 页，共49页 H 0 ,备择假设为 H 1 ,则( ). (A)检验结果为接受H 时,只可能犯第一类错误 0 (B)检验结果为接受H 时,既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误 0 (C)检验结果为拒绝H 时,只可能犯第一类错误 0 (D)检验结果为拒绝H 时,既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误 0 类型2 假设检验的步骤 P148例8.2某洗衣粉厂用自动包装机进行包装,正常情况下包装量X N ( ,2) (单位:g),现 随机抽取25袋洗衣粉,测得平均重量 x = 5 0 1 .5 g ,样本标准差s=2.5g,问: (1)可否认为 5 0 0 ( 0 .0 5 )   = = ? (2)可否认为 2 6 ( 0 .1 )    = ? 附: t0 ,0 2 5 ( 2 4 ) 2 .0 6 3 9 , t0 .0 2 5 ( 2 5 ) 2 .0 5 9 5 ; 20 .1 ( 2 4 ) 3 3 .1 9 6 , 20 .1 ( 2 5 ) 3 4 .3 8 2   = = = =