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专题01 空间向量与立体几何
考点01 空间直角坐标系
考点02 空间向量及其计算
考点03 空间角的向量求解
考点04 空间距离的向量求解
考点01 空间直角坐标系
1．在空间直角坐标系
中，给出以下结论：
①点
关于原点的对称点的坐标为
；
②点
关于
平面对称的点的坐标是
；
③已知点
与点
，则
的中点坐标是
；
④两点
间的距离为5.其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】C
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性即可判断①②；根据中点坐标即可判断③；根据空间中两点间
的距离公式即可判断④.
【详解】对于①，点
关于原点的对称点的坐标为
，故①错误；
对于②，点
关于
平面对称的点的坐标是
，故②正确；
对于③，点
与点
中点坐标是
，即
，
故③正确；
对于④，
间的距离为
，故④错误.
故选：C.
2．在空间直角坐标系
中，已知点
，若点P 与点A 关于
平面对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先得到
，从而得到
，利用模长公式得到答案.
【详解】若点
与点
关于
平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等．
又
，则
，又
，所以
，
.
故选：A
3．在空间直角坐标系
中，点
关于平面
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据关于谁对称谁不变这一结论直接写结论即可.
【详解】点
关于平面
的对称点为
，
故选：C
4．下列说法错误的是（ ）
A．若
为空间的一个基底，则
可构成空间的另一个基底
B．在空间直角坐标系
中，点
与点
关于平面
对称
C．若直线的一个方向向量与平面
的一个法向量的夹角等于
，则直线与平面
所成的角等于
D．在空间直角坐标系
中，平面
的一个法向量
，若点
在平面
外，
，则点
到平面
的距离为
【答案】C
【分析】A 假设其共面，根据平面向量基本定理即可求出；B 根据点关于面的对称点定义即可；C 根据方向
向量、法向量夹角和线面角之间的关系即可；D 利用点到面的距离公式求解.
【详解】对于A，假定向量
共面，则存在实数
使得
，
即
，
而
不共面，则
，此方程组无解，即
不共面，
故
可构成空间的另一个基底，故A 正确；
对于B，点
关于平面
对称点为
，故B 正确；
对于C，直线与平面
所成的角等于
，故C 错误；
对于D，点
到平面
的距离为
，故D 正确．
故选：C．
5．如图所示，在空间四边形
中，
，
，
，点
是
的中点，且平面
平面
．若以
为原点建立空间直角坐标系，点
的坐标是
，则向量
的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】借助面面垂直建立坐标系，过点
作
交
于点
，求出
后可确定点
的坐标，
即可求解向量
的坐标．
【详解】如图，易知点
在平面
上，
已知点
是坐标原点，由平面
平面
知平面
为坐标平面
，
平面
为坐标平面
，则点
的横坐标为0．
在平面
内，过点
作
的垂线即为
轴，过点
作
交
于点
，
在
中，因为
，
，
，所以
，
．
在
中，
，
所以
．所以点
的坐标为
，
所以
．
故选：B
6．若点
关于平面
和x 轴对称的点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．9
【答案】C
【分析】确定点
关于平面
以及关于x 轴对称的点的坐标，即可求得答案.
【详解】由题意得点
关于平面
对称的点为
，关于x 轴对称的点为
，
则
，
，所以
．
故选：C
7．在空间直角坐标系
中，点
在
，
，
平面上的投影分别为点
，则三
棱锥
的表面积为（ ）
A．4
B．
C．6
D．
【答案】A
【分析】由题可得点
的坐标，进而得到
，
，
，求出
，
，
，再利用
，
，
求出
，相加得到三棱锥
的表面积
【详解】由题意知
，
，
，
，
，
，
，
，
两两垂直，
，
，
，
又
，
，
，
，
所以，三棱锥的表面积为
．
故选：A.
8．从点
沿向量
的方向取线段
，若
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由模长关系可知
，再根据坐标运算求解即可.
【详解】设点
，又
，
则
，
所以
，
所以点
的坐标为
，
故选：B.
9．（多选）在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列叙述正确的是（ ）
A．点A 关于x 轴的对称点坐标是
B．点A 关于
平面的对称点坐标是
C．点A 关于原点O 的对称点坐标是
D．点A 到
平面的距离是3
【答案】CD
【分析】根据已知点坐标，及其对应的对称点判断各项的正误.
【详解】由
，关于
轴的对称点为
，A 错，
关于
平面的对称点为
，且
到该平面的距离为3，B 错，D 对，
关于原点的对称点为
，C 对.
故选：CD
10．点
到
平面的距离 .
【答案】5
【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.
【详解】由点
在平面
上的射影是
，
则点
到平面
距离为
.
故答案为：5
11．在空间直角坐标系中，已知
，
，点
关于
轴对称的点为
，则
，
两点间的距
离为 ．
【答案】
【分析】先根据对称关系得到点
的坐标，再应用两点距离公式即可求出
，
两点间的距离．
【详解】又
，则 点
关于y 轴对称的点为
，
又
，则
，
所以
，
两点间的距离为
．
故答案为：
．
12．（1）一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题.
设点
关于点
的对称点为
，则有
所以
即点
的坐标为
.
（2）特别地，点
关于坐标原点
的对称点为 .
【答案】
【分析】由中点坐标公式易得结果.
【详解】设点
关于点
的对称点为
，则有
所以
即点
的坐标
为
，
特别地，点
关于坐标原点
的对称点为
.
故答案为：
；
.
13．已知点
与点
关于
轴对称，点
与点
关于
轴对称，点
与点
关于直线
对称，
则点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据点关于轴对称分别得出
的坐标即可求解.
【详解】点
与点
关于
轴对称，则
；
点
与点
关于
轴对称，则
；
点
与点
关于直线
对称，则
．
故答案为：
.
14．如图，在棱长为2 的正方体
中，O 为坐标原点，
分别为x 轴、y 轴、z 轴
正方向.
(1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O 的坐标.
(2)求向量
的坐标.
(3)求向量
与
的夹角.
【答案】(1)
，
，
(2)
(3)
【分析】根据题意，由空间直角坐标系的定义以及向量的坐标运算，夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
因为正方体的棱长为
，
为坐标原点，
则
的坐标为
，
点
在
轴上，则
，
点
的坐标为
.
（2）由（1）可知，
，
，则
.
（3）因为
，
，则
，
且
，则
，
，
，
则
，
且
，所以
，
即向量
与
的夹角为
.
考点02 空间向量及其计算
1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，
已知四棱锥
是阳马，
平面
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算，利用空间向量基本定理即可求解.
【详解】由
有
，
所以
，
故选：A.
2．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，
则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以向量
为基底向量，表示出
，由向量模的公式求解即可.
【详解】
，
，
，
.
故选：A.
3．已知向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量的模为（ ）
A．18
B．
C．12
D．
【答案】D
【分析】利用投影向量公式先求出投影向量，再求模即可.
【详解】因为向量
，
，所以
，
，
则向量
在向量
上的投影向量为
，
得到
，由模长公式得到
，故D 正确.
故选：D
4．已知空间两点
，向量
满足
，则实数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．不存在
【答案】A
【分析】根据空间向量平行的坐标关系即可求解．
【详解】已知
，
，则
，
因为
，所以
，
解得
．
故选：A．
5．已知空间向量
，
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】若
，则
．因为
，
，
所以
，解得
．
故选：C．
6．在正方体
中，与向量
相等的向量有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解．
【详解】如图，
在正方体
中，由正方体性质可知与
相等的向量有
.
故选：A
7．在棱长为
的正四面体
中，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求
的值.
【详解】设正四面体的棱长为
.
由正四面体结构性质可知
，
而
故
，
故选：B.
8．在三棱柱
中，
是侧面
的中心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取
的中点
，连接
，由平行四边形及三角形法则即可求解.
【详解】
如图，由题意
与
相交于点
，
取
的中点
，连接
，则
，
则
，
故选：C
9．（多选）下列说法中，正确的有（ ）
A．若平面
的法向量
，则
四点共面
B．若平面
的法向量
，则
与平面
所成的角为
C．若平面
的法向量
，则点
到平面
的距离是2
D．若
，且
是钝角，则实数的取值范围是
【答案】AB
【分析】对于A，根据空间向量共面性质判断即可；对于B，利用向量数量积为零判断垂直即可；对于C，
利用点到平面距离公式求解即可；对于D，利用向量数量积小于零判断后，再排除掉反向共线的情况即可．
【详解】对于A，
，故
，
、
、
、
四点共面，故A 正确；
对于B，
，故
，
平面ABC，PA 与平面ABC 所成角为
，故B 正确；
对于C，点
到平面ABC 的距离
，故C 错误；
对于D，因为
是钝角，所以
，解得
，但
时
与
反向共线，
为平角，不满足钝角，故D 错误．
故选：AB．
10．（多选）已知直线l 的一个方向向量为
，平面α 的一个法向量为
，则下列说法
正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AD
【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表
示，最后求出参数关系.
【详解】若
，则
，故
，即
，化简得
.
故选项
正确，选项
错误.
若
，则
，故存在实数
使得
，即
，化简得
.
故选项
错误，选项
正确.
故选：
11．（多选）已知向量
，则下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的单位向量是
【答案】ABC
【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
，故AB 正确，
，故C 正确，
的单位向量是
，故D 错误；
故选：ABC
12．已知空间向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量是 .
【答案】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】空间向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量为：
.
故答案为：
13．如图，在三棱柱
中，
，且
平面
，又
平面
，
为垂足，若
（其中
），则
的值为 .
【答案】
【分析】以
为原点建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，再结合体积法求出
，两者结合，
可求
的值.
【详解】因为
平面
，
平面
，所以
，
.
又
，所以
两两垂直.
故可以
为原点，建立如图空间直角坐标系：
因为
，
，
所以
，
，
，
.
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，令
，可得
.
又
，
，所以
.
，
所以点
到平面
的距离为：
.
所以
.
即
，
即
，
，所以
.
故答案为：
14．已知
，则
.
【答案】
【分析】由空间向量模长公式计算可得.
【详解】由空间向量模长计算公式得：
.
故答案为：
15．已知向量
，
，若
，则
.
【答案】
【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
解得：
，
故答案为：
16．如图，在平行六面体
中，设
分别是
，
的中点.
(1)用向量
表示
；
(2)化简：
.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理即可得解；
（2）根据空间向量的线性运算化简即可.
【详解】（1）
，
因为
分别是
，
的中点，
所以
；
（2）
.
17．已知
，
，计算：
(1)
，
，
，
；
(2)
.
【答案】(1)
，
，
，
；
(2)
【分析】（1）利用空间向量模长公式，及空间向量的坐标运算法则进行计算；
（2）利用空间向量的坐标夹角公式进行求解.
【详解】（1）
，
，
，
，所以
（2）
考点03 空间角的向量求解
1．（多选）如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
为
的中点，点
满足
.则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则四面体
的体积为定值
B．若点
在以
为球心，2 为半径的球面上，则点
的轨迹长度是
C．若
且
为
的中点，则异面直线
与
所成的角为
D．若
且
，则存在点
在线段
上，使得
的最小值为
【答案】ABD
【分析】对A：借助向量线性运算及四面体体积公式计算即可得；对B：结合球面性质可得点
轨迹，即
可得解；对C：借助等角定理找到分别与
、
平行的直线后计算即可得；对D：将平面沿
展开后，
结合向量线性运算、勾股定理与余弦定理计算即可得解.
【详解】对于A，如图，取
靠近
的三等分点为
靠近
的三等分点为
，
连接
，因为
，所以
，
令
，而
，
则
，得到
，
因为
靠近
的三等分点为
靠近
的三等分点为
，所以
，
而由直四棱柱性质得
，
而
，由勾股定理得
，
在直四棱柱
中，
，
得到四边形
是平行四边形，故
，
则
，由题意得
为
的中点，则
的面积是定值，
而
面
面
，所以
面
，
结合
，由线面平行性质得
到面
的距离为定值，
即四面体
的体积为定值，故A 正确，
对于B，点
在以
为球心，半径
的球面上，
且满足
，
则点
的轨迹是圆（的一部分），圆心为
在面
上的射影，
即为
的中点
，半径
，
因此点
的轨迹是以
为圆心，半径
的半圆，因此轨迹长度为
，故B 正确；
对于C，若
且
，则
与
重合，
为
的中点，
异面直线
与
所成的角即为异面直线
和
所成的角，即为
，
在三角形
中，易知
，因此
不等于
，故C 错误；
对于D，若
且
，此时
，
因为P 为
的中点，所以
，
由向量加法法则得
，故
，
则点
与点
重合，此时把
沿着
翻折，
如图，使得
四点共面，此时
有最小值
，
此时的点均为翻折过的点，因为P 为
的中点，所以
，
由勾股定理得
，如图，连接
，
由已知得
，则
，
由余弦定理得
，解得
，
由直四棱柱性质得
面A1B1C1D1，则
，
则由勾股定理得
，
则
，故
，
而
，则
，得到
，
由余弦定理得
，解得
，故D 正确.
故选：ABD.
2．（多选）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为侧面
的中心，
是棱
的中
点，若点
为线段
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．若
，则平面
截正方体所得截面的面积为
C．
与底面
所成的角的取值范围为
D．若正方体绕
旋转
角度后与其自身重合，则
的最小值是
【答案】ABD
【分析】以
为原点，建立空间直角坐标系，设
，求得
的坐标，利用向量的数量积公式，结
合二次函数的性质，可判定A 正确；由
，得到点
是
上的三等分点，取
上的三等分点
，
证得
平面
，过
作
，证得
,得到截面
为等腰梯形，可判定B 正确；
过点
作
的垂线，设
，求得
的长，得到
，可判定C 不正确；求得
和
，得到
是平面
的一个法向量，得到
是正方体的外接球的直径，进而可判定D 正确.
【详解】以
为原点，以
所在直线分别为
轴，
轴和
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为正方体
的棱长为，
且
为侧面
的中心，
是棱
的中点，若点
为线段
上的动点，
可得
，
对于A，因为
，设
，
所以
，可得
，
则
，
所以当
时，
取得最小值为
，所以A 正确；
对于B，由
，可得点
是
上靠近点
的三等分点，所以
，
取
上靠近
的三等分点
，则
，所以
，
又由平面
的法向量为
，则
，所以
，
因为
平面
，所以
平面
，
过
作
交
于点
，
设
，可得
，由
，可得
，解得
，
则
于
重合，所以取
的中点
，可得
,
因为
，所以
，所以 截面为
，且为等腰梯形，
又因为
，
可得梯形的高为
，
所以截面
的面积为
，所以B 正确；
对于C，过点
作
的垂线，垂足为
，连接
，则
即为所求角，
设
，则
，
由余弦定理可得
，
则
，
因为点
是
上的动点，所以
，可得
，
所以
，故
，所以C 不正确；
对于D，由
，
可得
，则
，所以
，
同理可得
，所以
是平面
的一个法向量，即
平面
，
设垂足为
，则
，
所以
是正方体的外接球的直径，
所以正方体绕
旋转
角度后与其自身重合，至少旋转
，所以D 正确.
故选：ABD.
3．（多选）在棱长为2 的正方体
中，
为线段
上的动点，则下列结论错误的是
（ ）
A．直线
与
所成角可能是
B．当
时，点
到平面
的距离
C．三棱锥
的体积不变
D．若
，则二面角
的正弦值为
【答案】AD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解A，利用空间中的距离公式计算
后可判断B，利用等体积法可判断C，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系
计算后可判断D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
对于A：
，
，设
，
故
，
．
若直线
与
所成的角是
，则
，
整理得
，即
，解得
，
故直线
与
所成的角不可能是
．故A 错误；
对于B：当
时，结合A 中分析可得
，
故
，故
，而
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
取
，得
为平面
的一个法向量，
又
，故
到平面
的距离为
．故B 正确；
对于C：因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，所以
为定值．故C 正确；
对于D：当
时，结合A 的分析可得
，此时
，
故
，而
，
设平面
的法向量为
，
则
即
取
，得
为平面
的一个法向量，
又
，
，
设平面
的法向量为
，
则
即
取
，得
为平面
的一个法向量，
故
，
故二面角
的平面角的正弦值为
．故D 错误.
故选：AD
4．已知正方体
的棱长为2．
(1)证明：
平面
；
(2)动点
满足
，且点
，
，
，
在同一球面上．设该球面的球心为
，半
径为．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②0
【分析】（1）解法一：在正方体
中，连结
，由
平面
，得到
，
同理
，再利用线面垂直的判定定理证明；解法二：以
为原点，
的正方向为
轴正方向，建
立空间直角坐标系
，由
证明；
（2）解法一：①取
中点
，取
中点
，球心
在直线
上，根据
，
得到
，延长
至
，使得
，连结
，易得
，
，从而
，设
，由
求解；②当最大时，
，得
到点
与点
重合，由
为二面角
的平面角求解；解法二：①以
为原点，
的正方向
为
轴正方向，建立空间直角坐标系
，取
中点
，
中点
，球心
在直线
上，设
，由
，
求解；②当最大时，点
坐标
为
．
，易得平面
的一个法向量是
，求得平面
的一个法向量
，再由
求解.
【详解】（1）解法一：如图所示：
在正方体
中，连结
，则
，
因为
平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1，所以
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
同理可得
，
又因为
，
，
平面
，所以
平面
．
解法二：以
为原点，
的正方向为
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系
：
则
，
，
，
，
，
，
，
．
因为
，所以
．
又因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）解法一：①如图所示：
，
取
中点
，取
中点
，依题意得：球心
在直线
上．
因为
，所以
，
即
，
延长
至
，使得
，连结
．
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，所以
，
．
同理得：
，
，所以
，
，故
，
所以点
在线段
上．
设
，则
，
则
．
易得
，则有
，所以
，故有
．
所以
，整理得：
，
由
，得：
．
所以
，所以的取值范围是
．
②当最大时，
，
，此时点
与点
重合．
因为
，
，
，
，
平面
，
所以
平面
．
因为
，
平面
，所以
，
，
所以
即为二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
，
所以
，所以二面角
的余弦值为0．
解法二：①以
为原点，
的正方向为
轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系
：
取
中点
，
中点
，依题意得：球心
在直线
上．
设
，
因为
，
，
则
，即
，
化简得：
．
因为
，所以
．
所以
，
故该球半径的取值范围是
．
②当最大时，点
坐标为
．
．
由（1）得平面
的一个法向量是
．
设平面
的一个法向量是
，
，
，
，取
得：
，
因为
，
所以二面角
的余弦值为0．
5．如图，在圆锥
中，
为底面的圆心，
，
，点
是底面圆周上一点，
是
的中点，
，
.
(1)证明：
平面
.
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）
取的中点
，取
靠近点
的四等分点
，连接
，
，
，易证四边形
为平行四边形，所以
，再利用线面平行的判断求解即可.
（2）以点
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，再利用空间
向量法求解即可.
【详解】（1）如图1，
取的中点
，取
靠近点
的四等分点
，连接
，
，
.
因为
是
的中点，所以
是
的中位线，所以
，
.
因为
，所以
，所以根据相似的性质可得
，
，
所以
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）根据圆锥的性质可得
平面
，因为
平面
，
平面
，所以
，
.
因为
，所以以点
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，如图2 所示，
则
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
，取
.
易得平面
的一个法向量为
.
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
因为平面
与平面
的夹角为
为锐角，
故平面
与平面
夹角的余弦值为
.
6．已知三棱柱
的棱长均为
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助余弦定理与勾股定理的逆定理可得
，再利用等边三角形性质及线面垂直判定
定理可得
平面
，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系后求出直线
方向向量与平面
的法向量，再借助空间向量夹角余
弦公式计算即可得.
【详解】（1）取
的中点
，连接
，由
，
所以
，
所以
，所以
，
由题设可知，
为边长为2 的等边三角形，所以
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以平面
平面
；
（2）由（1）可知
两两垂直，
以
所在直线为
轴，以
所在直线为
轴，
以
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
即
,
取
，则
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
.
7．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
底面
，
，M 为
的中点，N 为
的中点，解答以下问题：
(1)证明：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
的距离；
(3)求直线
与平面
所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以
为原点，建立空间直角坐标系，求得平面
的法向量
，结合
，
即可证得直线
平面
；
（2）由（1）知：
平面
，得到直线
与平面
的距离即为点N 到平面
的距离，结合
向量的距离公式，即可求解；
（3）设直线
与平面
所成角为
，利用向量的夹角公式，求得
的值，进而得到直线
与平
面
所成角的余弦值.
【详解】（1）证明：如图所示，以
为原点，分别以
，
，
所在直线为x，y，z 轴建立坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
可得
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
因为
，且
平面
，所以直线
平面
.
（2）解：由（1）知：
平面
，且平面
的法向量为
，
所以直线
与平面
的距离即为点N 到平面
的距离，
设点
到平面
的距离为
，
又由
，可得
，
所以直线
与平面
的距离为
.
（3）解：设直线
与平面
所成角为
，且
，
因为
，则
，
所以
，
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
.
8．如图，在平行六面体
中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
60°，M 为
与
的交点，若
，
，
.
(1)用
，
，表示
和
.
(2)求直线
与
夹角的余弦值.
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）利用平行六面体的性质及空间向量基本定理求解.
（2）利用空间向量数量积及空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）在平行六面体
中，
，
由M 为
与
的交点，得
是
的中点，
则
，
.
（2）依题意，
，
，则
，
于是
，
，
因此
，
所以直线AB 与
的夹角的余弦值为
.
9．如图，已知四棱锥
是正四棱锥，
为底面
的中心，
为
的中点．用空间向量法求
解下列问题．
(1)若
，求直线
与平面
所成角的大小；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】分析条件中的垂直关系，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别根据（1）（2）的条件，
写出各问中点的坐标，根据线面角的向量求法可得直线
与平面
所成角的大小，根据面面角的向量
求法可得平面
与平面
夹角的余弦值.
【详解】（1）由题可知四边形
是正方形，且
底面
.
因为
平面
，所以
.
分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系.
设底面边长为
，则
，
，
所以
则
.
所以
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，所以
.
令
，则
.
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以
，即直线
与平面
所成角为
.
（2）由（1）分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
则
.
所以
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，所以
.
令
，则
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，所以
.
令
，则
，
，
故
.
故平面
与平面
夹角的余弦值为
.
10．如图，在棱长为3 的正方体
中，
为棱
的中点，
为棱
所在直线上一点，且
.
(1)若
，求直线
与
所成角的正弦值；
(2)若直线
与平面
所成角正弦值为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量
与
的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹
角的余弦值，进而得到异面直线
与
所成角的正弦值；
（2）求出相关向量坐标，再求出平面
的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，
求解得到
的值.
【详解】（1）如图，以
为正交基底，建立空间直角坐标系
.
已知正方体棱长为，则
，
，
，
.
因为
为棱
的中点，所以
点坐标为
；
当
时，
，因为
所以
，
所以
，
.
，
，
，
设
与
所成角为
，则
所以
.
（2）由（1）得
，
，所以
，
设平面
的法向量为
，有
，即
，
令
得
，所以
设直线
与平面
所成角为
，因为
即
解得
或
.
11．如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
，
，
.
，
分别为
，
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取
中点
，连接
，
，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得
，再利用线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得.
【详解】（1）取
中点
，连接
，
，
由
是
的中点，故
，且
，
由
是
的中点，故
，且
，
则
,
，
故四边形
是平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，
故
平面
；
（2）依题意，因
两两垂直，故可以
为原点建立如图的空间直角坐标系，
由
、
、
、
、
、
，
则
、
、
，
设平面
与平面
的法向量分别为
、
，
则
，
，
分别取
，则
、
、
，
，
即得
，
，
则
，
故平面
与平面
的夹角余弦值为
.
考点04 空间距离的向量求解
1．在正三棱柱
中，所有棱长都为2，P 是侧棱
上一动点，则
，C 到平面
的距离之
和的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．7
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，再利用点到平面的距离公式表示距离，最后结合
换元法和基本不等式求解最大值即可.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
以
，
的方向分别为x，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
.
因为
，
，
所以
，令
，
解得
，得到
.
设
，C 到平面
的距离分别为
，
.
因为
，
，
所以
，
令
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故B 正确.
故选：B
2．已知平面
的一个法向量
，点
在平面
内，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】C
【分析】求出
在
方向上的投影的长度即得．
【详解】由已知
，
点
到平面
的距离为
，
故选：C．
3．（多选）如图，已知正方体
的棱长为
分别为
的中点，以下说法正
确的是（ ）
A．
平面
B．
平面
C．点C 到平面
的距离为
D．三棱锥
外接球体积为
【答案】BD
【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及空间中点线面位置关系的向量表示方法，空间中点到面的距
离的向量方法，三棱锥的外接球半径的计算方法，依据半径求出球的体积，逐一判断各选项正误，求出结
果.
【详解】如图所示，连接
，
是
中点，
是
的中位线，
，
平面
，
平面
，
与平面
相交，
，
与平面
相交，所以A 错误；
如图所示，以正方体顶点
为坐标原点，
为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
可得
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
当
时，解得
，则平面
的一个法向量
，
此时
，即
，可得
平面
，所以B 正确；
如图所示，
可知
，平面
的一个法向量
，
可得点C 到平面
的距离
，所以C 错误；
如图所示：作
中点
，作上下底面中心
，作四棱柱
，
可知三棱锥
的外接球，也是四棱柱
的外接球，
可知
，
则外接球半径
，外接球体积为
，所以D 正确.
故选：BD.
4．已知平面
经过点
，且向量
是平面
的法向量，则点
到平面
的距离为
.
【答案】
/
【分析】由题设
，结合平面的法向量，应用点到平面距离的向量求法即得.
【详解】由题设
，又向量
是平面
的法向量，
所以点
到平面
的距离为
.
故答案为：
5．如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别是棱
的中
点，
．用空间向量法求解下列问题．
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)求点
到平面
的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线
的方向向量及面
的法向量，利用向量的夹
角公式，即可求出直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）利用向量法可求出点
到平面
的距离．
【详解】（1）依题意：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标
系，
又
分别是棱
，
，
的中点，
，
．
所以
，
所以有：
，
设平面
的法向量为
，则有
所以
，令
，有
，
设直线
与平面
所成角为
，则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（2）因为
，由（1）有平面
的一个法向量为
，
所以点
到平面
的距离为：
.
6．如图，在四棱锥
中，侧面
平面
，
是边长为2 的等边三角形，底面
为直角梯形，其中
．用空间向量法求解下列问题．
(1)求证：
．
(2)求线段
的中点
到平面
的距离．
(3)线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取
的中点
，连接
，
，建立空间直角坐标系，再计算出
，
后相乘即可得；
（2）求出平面
的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解；
（3）令
，
，由面面夹角的向量公式求得
，即可求解
．
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
，由
为等边三角形，得
，
而平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
则
平面
，由
，
，得四边形
是平行四边形，
于是
，而
，则
，直线
，
，
两两垂直，
以
为坐标原点，直线
，
，
分别为
，
，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
,
，
，
，
，
则
，
，
有
，故
；
（2）由
，
，则
，又
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，得
，
所以
到平面
的距离
．
（3）令
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，得
，
易知平面
的一个法向量为
，
则
，
化简得
，又
，解得
，即
，
所以线段
上存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
，
此时
．
7．如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，底面四边形
为菱形，
，平面
平面
，
为棱
的中点，记平面
和平面
的交线为．
(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)在线段
（不含端点）上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，
求
的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
或
【分析】（1）利用菱形性质和线面平行判定定理证明
平面
，然后结合线面平行的性质定理可证；
（2）取
的中点
，以
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，根据点到平面的距离的向量公式计算即可；
（3）利用线面角的向量公式列方程求解可得.
【详解】（1）∵四边形
为菱形，∴
，
∵
平面
，
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，平面
和平面
的交线为，∴
（2）取
的中点
，连接
，
∵
是边长为4 的等边三角形，∴
，
∵四边形
为菱形，
，∴
为等边三角形，
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
如图，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
，
所以平面
的一个法向量为
，
∴点
到平面
的距离
.
（3）假设在线段
（不含端点）上存在一点
，
使得直线
与平面
所成角的正弦值为
．
设
，由（2）知
，
则
，
由（2）知平面
的一个法向量
，
因为直线
与平面
所成角的正弦值为
，
∴
.
整理得
，解得
或
，
所以在线段
（不含端点）上存在点
，
当
或
时，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
8．如图，在
中，
为
的中点，过点
作
交
于点
，将
沿
翻折至
，得到四棱锥
为棱
上一动点（不包含端点）．
(1)若
为棱
的中点，证明：
平面
；
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求点
到平面
的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
.
【分析】（1）根据已知得
是等边三角形，取
的中点
，连接
，进而得
，再由线面、面面平行的判定定理证明平面
平面
，再由线面平行的性质证
明结论；
（2）（i）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设
，
进而得
，求直线
与平面
的方向向量和法向量，应用向量法求线面角及已知列方程
求出参数值；（ii）应用点面距离的向量求法求点面距离.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
为
的中点，则
，所以
是等边三角形，
取
的中点
，连接
，则
，
又
为棱
的中点，且
，即
，则
．
因为
平面
平面
平面
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
（2）（ⅰ）因为
，所以
．
所以
，因为
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以
，
则
，
设
，则
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，得
，则
．
设直线
与平面
所成的角为
，所以
，
整理得
，解得
（
舍），所以
．
（ⅱ）由（ⅰ）知
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，得
，则
，
所以点
到平面
的距离为
．
9．已知正方体
的棱长为4，E，F 分别为
的中点，G 在线段
上，且
(1)求证∶
面
;
(2)求平面EBF 与平面EBG 夹角的余弦值；
(3)求点D 到平面EBF 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明
，再结合正方体的性质得出
平面
，
利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算点面距离即可.
【详解】（1）（1）法一、在正方形
中，
由条件易知
，所以
，
则
，
故
，即
，
在正方体中，易知
平面
，且
，
所以
平面
，
又
平面
，∴
，
∵
，
平面
，∴
平面
；
法二、如图以D 为原点建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设
是平面
的法向量，
则
，令
，则
，
所以
是平面
的一个法向量，
易知
，则
也是平面
的一个法向量，∴
平面
；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以
，
由（1）知
是平面
的一个法向量，
设平面
的一个法向量为
，所以
，
令
，则
，
所以
平面
的一个法向量，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
所以平面EBF 与平面EBG 的夹角的余弦值为
；
（3）因为
，所以
，
又
是平面
的一个法向量，
则D 到平面
的距离为
.
所以点D 到平面EBF 的距离为
.
10．在空间直角坐标系中，点
，已知直线l 经过点
，且l 的方向向量
．
(1)求
；
(2)求点M 到直线l 的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间中两点间的距离公式求解即可.
（2）根据向量
和直线的方向向量
的关系可求出点M 到直线l 的距离．
【详解】（1）因为点
，点
，
所以
.
（2）因为点
，点
，所以
，
过点M 作直线l 的垂线，垂足为Q，
，
点M 到直线l 的距离
．
11．如图，在长方体
中，
，
，
为
的中点．
(1)求点
到面
的距离；
(2)求点
到面
的距离．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用长方体性质得到
平面
，再结合题意求出
即可.
（2）法一先计算关键三角形的面积，再利用等体积法建立方程，求解点面距离即可，法二建立空间直角
坐标系，求平面
的法向量，再利用点到平面距离公式计算即可.
【详解】（1）由长方体性质得
平面
，
因为
，
为
的中点，所以
，
则点
到面
的距离为.
（2）法一：设点
到面
的距离为，
在
中，由勾股定理得
，
，
如图，连接
，因为
是
的中点，所以
，
，
由勾股定理得
，
故
，而
．
，
，
．
法二：如图，以
为原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
令
，则
，
，可得
，
则点
到平面
的距离
.
