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专题01 空间向量与立体几何
考点01 空间直角坐标系
考点02 空间向量及其计算
考点03 空间角的向量求解
考点04 空间距离的向量求解
考点01 空间直角坐标系
1．在空间直角坐标系
中，给出以下结论：
①点
关于原点的对称点的坐标为
；
②点
关于
平面对称的点的坐标是
；
③已知点
与点
，则
的中点坐标是
；
④两点
间的距离为5.其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
2．在空间直角坐标系
中，已知点
，若点P 与点A 关于
平面对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在空间直角坐标系
中，点
关于平面
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若
为空间的一个基底，则
可构成空间的另一个基底
B．在空间直角坐标系
中，点
与点
关于平面
对称
C．若直线的一个方向向量与平面
的一个法向量的夹角等于
，则直线与平面
所成的角等于
D．在空间直角坐标系
中，平面
的一个法向量
，若点
在平面
外，
，则点
到平面
的距离为
5．如图所示，在空间四边形
中，
，
，
，点
是
的中点，且平面
平面
．若以
为原点建立空间直角坐标系，点
的坐标是
，则向量
的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若点
关于平面
和x 轴对称的点分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．9
7．在空间直角坐标系
中，点
在
，
，
平面上的投影分别为点
，则三
棱锥
的表面积为（ ）
A．4
B．
C．6
D．
8．从点
沿向量
的方向取线段
，若
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列叙述正确的是（ ）
A．点A 关于x 轴的对称点坐标是
B．点A 关于
平面的对称点坐标是
C．点A 关于原点O 的对称点坐标是
D．点A 到
平面的距离是3
10．点
到
平面的距离 .
11．在空间直角坐标系中，已知
，
，点
关于
轴对称的点为
，则
，
两点间的距
离为 ．
12．（1）一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题.
设点
关于点
的对称点为
，则有
所以
即点
的坐标为
.
（2）特别地，点
关于坐标原点
的对称点为 .
13．已知点
与点
关于
轴对称，点
与点
关于
轴对称，点
与点
关于直线
对称，
则点
的坐标为 ．
14．如图，在棱长为2 的正方体
中，O 为坐标原点，
分别为x 轴、y 轴、z 轴
正方向.
(1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O 的坐标.
(2)求向量
的坐标.
(3)求向量
与
的夹角.
考点02 空间向量及其计算
1．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，
已知四棱锥
是阳马，
平面
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，
则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量的模为（ ）
A．18
B．
C．12
D．
4．已知空间两点
，向量
满足
，则实数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．不存在
5．已知空间向量
，
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
6．在正方体
中，与向量
相等的向量有（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在棱长为
的正四面体
中，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
8．在三棱柱
中，
是侧面
的中心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）下列说法中，正确的有（ ）
A．若平面
的法向量
，则
四点共面
B．若平面
的法向量
，则
与平面
所成的角为
C．若平面
的法向量
，则点
到平面
的距离是2
D．若
，且
是钝角，则实数的取值范围是
10．（多选）已知直线l 的一个方向向量为
，平面α 的一个法向量为
，则下列说法
正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（多选）已知向量
，则下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的单位向量是
12．已知空间向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量是 .
13．如图，在三棱柱
中，
，且
平面
，又
平面
，
为垂足，若
（其中
），则
的值为 .
14．已知
，则
.
15．已知向量
，
，若
，则
.
16．如图，在平行六面体
中，设
分别是
，
的中点.
(1)用向量
表示
；
(2)化简：
.
17．已知
，
，计算：
(1)
，
，
，
；
(2)
.
考点03 空间角的向量求解
1．（多选）如图，在直四棱柱
中，底面
为菱形，
为
的中点，点
满足
.则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则四面体
的体积为定值
B．若点
在以
为球心，2 为半径的球面上，则点
的轨迹长度是
C．若
且
为
的中点，则异面直线
与
所成的角为
D．若
且
，则存在点
在线段
上，使得
的最小值为
2．（多选）如图，在棱长为1 的正方体
中，
为侧面
的中心，
是棱
的中
点，若点
为线段
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．若
，则平面
截正方体所得截面的面积为
C．
与底面
所成的角的取值范围为
D．若正方体绕
旋转
角度后与其自身重合，则
的最小值是
3．（多选）在棱长为2 的正方体
中，
为线段
上的动点，则下列结论错误的是
（ ）
A．直线
与
所成角可能是
B．当
时，点
到平面
的距离
C．三棱锥
的体积不变
D．若
，则二面角
的正弦值为
4．已知正方体
的棱长为2．
(1)证明：
平面
；
(2)动点
满足
，且点
，
，
，
在同一球面上．设该球面的球心为
，半
径为．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角
的余弦值．
5．如图，在圆锥
中，
为底面的圆心，
，
，点
是底面圆周上一点，
是
的中点，
，
.
(1)证明：
平面
.
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
6．已知三棱柱
的棱长均为
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
7．如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
底面
，
，M 为
的中点，N 为
的中点，解答以下问题：
(1)证明：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
的距离；
(3)求直线
与平面
所成角的余弦值.
8．如图，在平行六面体
中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
60°，M 为
与
的交点，若
，
，
.
(1)用
，
，表示
和
.
(2)求直线
与
夹角的余弦值.
9．如图，已知四棱锥
是正四棱锥，
为底面
的中心，
为
的中点．用空间向量法求
解下列问题．
(1)若
，求直线
与平面
所成角的大小；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
10．如图，在棱长为3 的正方体
中，
为棱
的中点，
为棱
所在直线上一点，且
.
(1)若
，求直线
与
所成角的正弦值；
(2)若直线
与平面
所成角正弦值为
，求实数
的值.
11．如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
，
，
.
，
分别为
，
的中点，
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角余弦值.
考点04 空间距离的向量求解
1．在正三棱柱
中，所有棱长都为2，P 是侧棱
上一动点，则
，C 到平面
的距离之
和的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．7
2．已知平面
的一个法向量
，点
在平面
内，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
3．（多选）如图，已知正方体
的棱长为
分别为
的中点，以下说法正
确的是（ ）
A．
平面
B．
平面
C．点C 到平面
的距离为
D．三棱锥
外接球体积为
4．已知平面
经过点
，且向量
是平面
的法向量，则点
到平面
的距离为
.
5．如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别是棱
的中
点，
．用空间向量法求解下列问题．
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)求点
到平面
的距离．
6．如图，在四棱锥
中，侧面
平面
，
是边长为2 的等边三角形，底面
为直角梯形，其中
．用空间向量法求解下列问题．
(1)求证：
．
(2)求线段
的中点
到平面
的距离．
(3)线段
上是否存在一点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出
的值；
若不存在，请说明理由．
7．如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，底面四边形
为菱形，
，平面
平面
，
为棱
的中点，记平面
和平面
的交线为．
(1)求证：
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)在线段
（不含端点）上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，
求
的位置；若不存在，请说明理由．
8．如图，在
中，
为
的中点，过点
作
交
于点
，将
沿
翻折至
，得到四棱锥
为棱
上一动点（不包含端点）．
(1)若
为棱
的中点，证明：
平面
；
(2)若
，直线
与平面
所成角的正弦值为
．
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求点
到平面
的距离．
9．已知正方体
的棱长为4，E，F 分别为
的中点，G 在线段
上，且
(1)求证∶
面
;
(2)求平面EBF 与平面EBG 夹角的余弦值；
(3)求点D 到平面EBF 的距离．
10．在空间直角坐标系中，点
，已知直线l 经过点
，且l 的方向向量
．
(1)求
；
(2)求点M 到直线l 的距离．
11．如图，在长方体
中，
，
，
为
的中点．
(1)求点
到面
的距离；
(2)求点
到面
的距离．
