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专题01 等式的性质与方程的解集
题型一：等式的性质与应用
题型二：恒等式的化简
题型三：因式分解
题型四：一元一次方程的解集
题型五：因式分解法解一元二次方程的解集
题型一：等式的性质与应用
1．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据代数式运算一一计算即可.
【详解】对A，
，故A 错误；
对B，
，故B 错误；
对C，
，故C 正确；
对D，
，故D 错误.
故选：C.
2．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据代数式运算求解.
【详解】对于选项A：
，故A 错误；
对于选项B：
，故B 错误；
对于选项C：
，故C 错误；
对于选项D：
，故D 正确；
故选：D.
3．约分：
．
【答案】
【分析】根据给定条件，约去公因式即得.
【详解】依题意，
.
故答案为：
4．若
，则
= ．
【答案】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，由等积式化为比例式即可.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
.
5．
.( )
【答案】错误
【分析】利用等式的性质即可判断.
【详解】若
，则
；
若
，当
时
，当
时
不一定相等，
故答案为：错误.
题型二：恒等式的化简
6．（多选）下列选项中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】运用平方差公式和十字相乘法、完全平方公式即可逐一判断.
【详解】对于A，利用平方差公式易得，故A 正确；
对于B，运用十字相乘法可得
，故B 错误；
对于C，因
，故C 错误；
对于D，运用十字相乘法可得
，故D 正确.
故选：BC.
7．计算
时用到的乘法公式为： .（用
表示）
【答案】
【分析】根据完全平方公式分析判断.
【详解】计算
时用到的乘法公式为
.
故答案为：
.
8．阅读理解题：
拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有
时需要多次实验才能成功，例如把
分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系
数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成
1 和3，原式就变成
，再利用立方和与平方差先分解，解法如下：
原式
公式：
，
根据上述论法和解法，
(1)因式分解：
；
(2)因式分解：
；
(3)因式分解：
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据题意，结合题设中的公式，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，得到
.
（2）解：由题意，可得
.
（3）解：由题意，可得
.
9．已知
，求
的值．
【答案】36
【分析】根据已知条件化简得出
，再化简求解.
【详解】由
知
，
故两边同除以
得
．
原式
．
10．已知实数
和
满足
，且
，求
的值．
【答案】
【分析】根据题给条件可得
的值，再结合题给条件，即可求立方差的值.
【详解】由
，平方得：
，所以
.
结合
，则
，
.
则
．
题型三：因式分解
11．下列分解因式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义来逐一进行判断.
【详解】对于A：
，故A 错误；
对于B：
，分解不彻底，故B 错误；
对于C：
，故C 正确；
对于D：
，故D 错误.
故选：C.
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】各选项因式分解得到结果，即可判断.
【详解】对于A：原式
，故A 错误；
对于B：原式
，故B 错误；
对于C：原式
，故C 错误；
对于D：原式
，故D 正确.
故选：D
13．将下列多项式分解后，有相同因式
的多项式有（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】令多项式中
，则多项式的值为0，逐项检验可得.
【详解】若含有因式
，则令多项式中
，则多项式的值为0，检验得①③⑤⑥成立.
故选：C.
14．把
分解因式所得结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由十字相乘法求解可得.
【详解】
原式
.
故选：C.
15．若多项式
有一个因式是
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【答案】A
【分析】根据多项式乘法以及多项式相等的条件，建立方程组，可得答案.
【详解】由题意可得
，
则
，解得
.
故选：A.
16．将
因式分解的结果是 ．
【答案】
【分析】根据因式分解结合立方差及平方差公式计算求解.
【详解】
．
故答案为：
.
17．分解因式.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据十字相乘法，对一元二次式进行因式分解.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
18．把下列各式因式分解.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用十字相乘法分解因式.
（3）利用十字相乘法及公式法分解因式即得.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
（3）原式
.
19．分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用十字相乘法或者提取公因式法进行因式分解即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
20．已知
有因式
，把它分解因式.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用分组分解法及十字相乘法分解因式即得.
【详解】由
有因式
，
得
.
题型四：一元一次方程的解集
21．若直线
的图象经过点
，则关于
的方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将点
代入函数解析式，即可得出答案.
【详解】由直线
的图象经过点
，得
，
所以，方程
的解为
.
故选：C
22．如图，已知一次函数
和正比例函数
的图象交于点
，则关于x 的一元一次方程
的解是 .
【答案】2
【分析】根据函数图象的交点与方程的解之间的关系即可得结果.
【详解】因为一次函数
和正比例函数
的图象交于点
，
所以关于
的一元一次方程
的解是
.
故答案为：2．
23．若关于
的方程
无解，则实数
的值为 .
【答案】
【分析】根据一次方程的根的特征列式求解即可.
【详解】关于
的方程
无解，即方程
无解，
所以
，所以
.
故答案为：
24．已知一元一次方程
的解是
，则
【答案】
【分析】根据方程解的定义及一元一次方程的定义求解即可.
【详解】将
代入方程
中，解得
，
因为根据定义
，即
，
所以
.
故答案为：
.
25．当
时，
与
的值相等
【答案】
【分析】根据题意解方程即可.
【详解】由题知，
，解得
.
故答案为：
.
26．求关于
的方程
的解集，其中
是常数．
【答案】答案见解析
【分析】根据题意分
和
两种情况求解即可.
【详解】解：∵
，即
．
①当
时，
无解；
②当
时，
．
综上，当
时，解集为
；当
时，解集为
．
27．解下列方程．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）（2）直接求解即可.
【详解】（1）由
，得
，
所以方程的解为
.
（2）由
，得
，
解得
或
，
所以方程的解为
或
.
题型五：因式分解法解一元二次方程的解集
28．方程
的根是 .
【答案】
，3
【分析】根据因式分解可求得结果.
【详解】对方程
变形可得
，
解得
，
故答案为：
，3.
29．关于
的方程
的一个根为
，则另一个根是 .
【答案】
【分析】由一元二次方程
的根与系数的关系即韦达定理即可求解.
【详解】设方程的另一个根为n，则有
，
解得
.
故答案为：
.
30．已知
，则
.
【答案】
【分析】对目标式子整理化简，结合已知条件整体化简求值即可.
【详解】原式可化为
，
又
，即
，所以
.
故答案为：
31．解方程:
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）运用因式分解法求解即可；
（2）运用公式法求解即可.
【详解】（1）因为
，则
，解得
，
.
（2）因为
，则
，可得
，
所以原方程的解为
，
.
32．用配方法解方程：
【答案】
，
【分析】移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方再根据完全平方公式整理，然后求解即可.
【详解】解：移项得，
，
配方得，
，
即
，
，
，
．
∴方程的解为
，
．
