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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【本节明细表】
知识点、方法 题号
解不等式 1,2,4,8
根据解集求参 3,6,7
不等式恒成立问题 5,9,10,11
实际应用 12,13
基础巩固
1．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】不等式x2>1，移项得：x2﹣1>0，因式分解得：（x+1）（x﹣1）>0，
则原不等式的解集为{x|x＜-1或x>1}．故选：D．
2．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将不等式 化为 ，解得 ，
所以解集为 故选B.
3．若关于 的不等式 的解集是 ，则实数 等于（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题意不等式 的解集是 ，
所以方程 的解是 ，则 ，解得 ，故选C.
4．已知集合 ， ，则 （ ）A． B． 或 }
C． D． 或 }
【答案】C
【解析】由题意可得 ， ，所以 .故选C.
5．若对任意 ，不等式 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意 ，不等式 恒成立
即 恒成立
故答案为D
6．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 等于________
【答案】-1
【解析】由题得 、2为方程 的根，
将 代入 ，得 ，即 .
7．若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】不等式 有解等价于 有解，
所以 ，故 或 ，填 .
8．已知关于 的不等式 的解集为 .（1）当 时，求 ；
（2）当 时，求 .
【答案】(1) (2)见解析
【解析】（1）由题得 ，所以不等式的解集为 ，故M= .
（2）①当 时，此时关于 的不等式为 ， ；
②当 时，此时 ；
③当 时，此时 .
能力提升
9．若关于x的一元二次方程 有实数根 ，且 ，则下列结论中错误的是
A．当 时，
B．
C．当 时，
D．二次函数 的图象与 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
【答案】C
【解析】画出二次函数 的图像如下图所示，当 时， 成立，故A选项
结论正确.根据二次函数图像的对称性可知，当 时， 取得最小值为 .要使
有两个不相等的实数根，则需 ，故B选项结论正确.当 时，根据图像可知 ，故C选项结论错误.由 展开得 ，根据韦达定理
得 .所以
，故 与 轴的交点坐标为 .
10．若 ，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
由题意可得 ，即 ，解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 ，故选：B.
11．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) -2≤a≤6
【解析】（1）不等式 可化为： ，
①当 时，不等 无解；
②当 时，不等式 的解集为 ；
③当 时，不等式 的解集为 .
（2）由 可化为： ，
必有： ，化为 ，
解得：-2≤a≤6.
12．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如
下表所示：
x/元 130 150 165
y/件 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少
元？此时每天的销售利润是多少？
【答案】每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
【解析】设 ，则 ∴
∴
当每件的销售价为x元时，每件的销售利润为 元，每天的销售利润为S.则
.
∴当 时， 元．答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
素养达成
13．某小型机械厂有工人共 名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产 台机器，除工人工资外，还
需投入成本为 (万元)， 且每台机器售价为 万元.通过
市场分析，该厂生产的机器能全部售完．
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 的函数解析式；
（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？
【答案】（1） ；（2）100台时，850万元
【解析】（1）依题意有 .
（2）当 时，
此时 时， 取得最大值 万元；
当 时，
当且仅当 时，即 时， 取得最大值 万元．
综上可知当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．
