高二年级 6 月练习
数学 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B A C C D C C A AB BC ABC
1．B
【知识点】并集的概念及运算
【详解】
由上图可得， { x −1≤x<2 } ．
2．A 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 =
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用不等式性质，逐项分析判断得解.
1 1
【详解】由a>b>0，得a2 >b2 >0，则 < ；反之不成立，例如取a＝－1，b＝2，则p是q的充分不必要条件。
a2 b2
故选：A
3．C
【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率
【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果.
【详解】因为P ( B|A ) =0.8，由对立事件概率计算公式可得：P(B|A)=1−0.8=0.2，
又P ( A ) =0.6，则P(AB)=P(A)⋅P ( B A )=(1−0.6)×0.2=0.08.
故选：C
4．C
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
1 1
【分析】由题意可得a≤ +x对 恒成立，利用基本不等式求得y= +x的最小值即可.
x x
1𝑥𝑥 ∈(0,+∞)
【详解】因为函数 f (x)=lnx+ x2−ax在 上单调递增，
2
所以 f′(x)= 1 +x−a≥0对 恒成 (0 立 ,+ ， ∞ 所 ) 以a≤ 1 +x对 恒成立，
x x
1 1 𝑥𝑥 ∈(0,+1∞) 1 𝑥𝑥 ∈(0,+∞)
即a≤ +x ，又y= +x≥2 ⋅x =2，当且仅当 =x，即x=1时取等号，
x x x x
min
所以 ，得到实数a的取值范围是(−∞,2] .
答案第1页，共11页
学科网（北京）股份有限公司 𝑎𝑎 ≤2故选：C.
5．D
【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差、正态曲线的性质、特殊区间的概率
【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得µ=360,σ2 =144，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求
解CD.
【详解】依题意，µ=600×0.6=360,σ2 =600×0.6×0.4=144，σ=12，
对于A，变量 服从正态分布N(360,144)，A错误；
𝑋𝑋
对于B, E(2X +1)=2E(X)+1=721,故B错误，
对于C，P(X 384)=P(X µ+2σ)=P(X µ−2σ)=P(X 336)>P(X >348)，C错误；
1 1 1 1
对于D，P(X <384)=P(X <µ+2σ)= + P(µ−2σ< X <µ+2σ)≈ + ×0.9545≈0.9773，D正确.
2 2 2 2
故选：D
6．C
【知识点】函数与导函数图象之间的关系
【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可.
【详解】当 时，xf′(x)<0，
∴ 0，<故𝑥𝑥 <1在区间 上为减函数，排除AB；
′
当𝑓𝑓 (𝑥𝑥)<0 时，𝑓𝑓(𝑥𝑥 xf )′(x)>0 ( ，0,1∴) ，
′
−1<𝑥𝑥 <0 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)<0
故y= f (x)在区间 上为减函数，排除D.
故选：C.
(−1,0)
7．C
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的应用
【分析】根据等差数列的通项公式计算即可.
P P +2d
【详解】显然P =P +(n−1)d，E = 3 = 1 =1，解得P =d，于是P =nd，
n 1 3 3d 3d 1 n
P 6d
故E = 6 = =1．
6 6d 6d
8．A
【知识点】数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项
1 1 1
【分析】由题，当n=1时，a =− ，当 时a =(−1)na +(−1)na + ，进而分奇偶性讨论得a = ，n为正
1 4 n n n−1 2n n 2n
𝑛𝑛 ≥2
答案第2页，共11页1
偶数，a =− ，n为正奇数，再求和即可.
n 2n+1
【详解】解：因为S =(−1)na −2−n，
n n
1
所以，当n=1时，S =a =−a −2−1，解得a =− ，
1 1 1 1 4
1
当 时，a =S −S =(−1)na −2−n−(−1)n−1a +2−n+1 =(−1)na +(−1)na + ，
n n n−1 n n−1 n n−1 2n
𝑛𝑛 ≥2 1 1
所以，当n为偶数时，a =− ,n≥2，故a =− ，n为正奇数；
n−1 2n n 2n+1
1 1 1 1
当n为奇数时，2a =−a + =− ，即a = ，故a = ，n为正偶数；
n n−1 2n 2n n−1 2n−1 n 2n
1 1 1 1 1 1 1 1
所以S +S =2S +a =2− + − + − + =− =− ，
5 6 5 6 22 22 24 24 26 26 26 64
故选：A
9．AB
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估
计
【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可.
【详解】因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，
3+3
所以中位数为 =3，A正确；
2
4+4
由于10×80%=8，所以第80百分位数是 =4，B正确；
2
1+2+2+3+3+3+4+4+4+4
平均数为 =3，所以C错误；
10
1
样本数据的方差为 (1−3)2+(2−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(4−3)2+(4−3)2+(4−3)2=1，
10
所以D错误.
10．BC
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值
d
【分析】利用等差数列前n项和公式代入条件计算可得数列 是公差为 的等差数列，结合等差数列的通项公式
2
𝑆𝑆𝑛𝑛
以及前n项和公式依次判断选项即可. �𝑛𝑛�
n(a +a ) S a +a
【详解】因为 是等差数列 的前n项和， 的公差为d，则S = 1 n ，故 n = 1 n ，
n 2 n 2
S S 𝑆𝑆𝑛𝑛 a +a a{+𝑎𝑎𝑛𝑛 a} a −a d{𝑎𝑎𝑛𝑛} d
所以 n+1 − n = 1 n+1 − 1 n = n+1 n = ，故数列 是公差为 的等差数列．
n+1 n 2 2 2 2 2
𝑆𝑆𝑛𝑛
�𝑛𝑛�
答案第3页，共11页
学科网（北京）股份有限公司S S
5 − 3 =2
5 3 S S
对于A选项，由题意可得 ，故 5 =−1, 3 =−3，所以S =−5，A错；
S
5 +
S
3 =−4
5 3 5
5 3
S S d
对于B选项， 5 − 3 =2× =2，解得d =2，B对；
5 3 2
5×4
对于C选项，由题意可得S =5a + d =5a +10d =5a +20=−5，解得a =−5，
5 1 2 1 1 1
n(n−1)d
所以S =na + =−5n+n(n−1)=n2−6n=(n−3)2−9，
n 1 2
故当 时， 取最小值，即S 最小，C对；
3
对于𝑛𝑛 D =选3项，S 𝑆𝑆𝑛𝑛 =7a + 7×6 d =7×(−5)+21×2=7,a =a +6d =−5+6×2=7，
7 1 2 7 1
所以S =a ，D错．
7 7
11．ABC
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究函数的零点
【分析】A，通过导数求单调性即可；B，利用偶函数的定义判断，并通过 f (x)的单调性求出 范围；C，通过 单
调性判断其等于1的解的个数；D，代入特殊值0即可判断.
𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
x
【详解】选项A， f (x)=ln(1+x)− ，
1+x
1 1 x
所以 f′(x)= − = ，
1+x (1+x)2 (1+x)2
所以当x∈(−1,0)时， , f (x)单调递减，
′
𝑓𝑓 (𝑥𝑥)<0
当 时， ， f (x)单调递增.
′
𝑥𝑥 ∈(0,+∞) 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)>0
所以当 时， f (x)取得最小值.
故A正𝑥𝑥确=
.
0
选项B，g(x)= f (x)+ f (−x)，
且g(−x)= f (−x)+ f (x)=g(x)，又 定义域关于原点对称，
所以 是偶函数.
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
因为𝑔𝑔(𝑥𝑥) ，所以 f (x)≥0在(−1,1)恒成立，
𝑓𝑓(0)=0
所以g(x)≥0.
故B正确.
选项C，因为g′(x)= f′(x)− f′(−x)，
答案第4页，共11页当 时， ， f′(−x)<0，故 ，
′ ′
所以𝑥𝑥 ∈函 ( 数0,1) 在𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 单>调0递增， 𝑔𝑔 (𝑥𝑥)>0
g(x)= f 𝑔𝑔(x ()𝑥𝑥 + ) f (( − 0, x 1)) =ln ( 1−x2) +
2x2
，
1−x2
因为g(0)=0， 时g(x)→+∞，
𝑥𝑥 →1
所以 内存在x 使得g(x )=1，
1 1
𝑥𝑥 ∈(0,1)
又因为 是偶函数，所以x∈(−1,0)存在x 使得g(x )=1.
2 2
故C正𝑔𝑔确 (𝑥𝑥
.
)
选项D，取 ，因为g(0)=0，而2x2 =0，故此时g(x)<2x2不成立.
故D错误. 𝑥𝑥 =0
12．[ 0,20)
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【详解】当 时，不等式化为5>0，对任意x∈R恒成立，符合题意；
当m≠0时，𝑚𝑚m=x20+mx+5>0对任意x∈R恒成立，需满足：
m>0
，解得0<m<20，
Δ=m2−20m<0
综上可得m∈[0,20)．
13．
1
3−
2n−2
【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通
项
【分析】根据给定条件，利用a ,S 的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可.
n n
【详解】数列{a }的前n项和为 ，a =S −S ，
n n+1 n+1 n
1 𝑆𝑆3 𝑛𝑛 1
由S +2a =3，得S = S + ，则S −3= (S −3)，
n n+1 n+1 2 n 2 n+1 2 n
而S −3=a −3=−2≠0，因此数列{S −3}是首项为 ，公比为 的等比数列，
1 1 n
1
−2 2
1
n−1
1
则S n −3=−2⋅ 2 ，所以S n =3− 2n−2 .
答案第5页，共11页
学科网（北京）股份有限公司14．3−2 2
【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得b−a=1，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值.
2
【详解】由y=ln(2x+b)，求导得y′= ，
2x+b
2
=2
设直线y=2x+a与曲线y=ln(2x+b)相切于点(m,n)，则有2m+b ，
2m+a=ln(2m+b)
b=1−2m
解得 ，则b−a=1，而 为正实数，
a=−2m
𝑎𝑎,𝑏𝑏
2 1 2 1 b 2a b 2a b=2+ 2
因此 − =( − )(b−a)=3−( + )≤3−2 2，当且仅当 = ，即 时取等号，
b a b a a b a b a=1+ 2
2 1
所以 − 的最大值为3−2 2.
b a
15．(1) a =2n
n
(2)n2+n+ 4( 4n−1 )
3
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到关于d和a 的方程组，求出d和a 即可求解；
1 1
（2）根据等差数列和等比数列的求和公式进行分组求和即可求解.
【详解】（1）设等差数列{a }的公差为d，且d ≠0，
n
因为a =6，且 、a 、a 成等比数列，
3 4 8
𝑎𝑎2
所以 a 1 +2d =6 ，解得： a 1 =2 ，
(a
1
+3d)2 =(a
1
+d)(a
1
+7d) d =2
则a =a +d =2+2(n−1)=2n，
n 1
故数列{a }的通项公式为a =2n；
n n
（2）因为b =a +2an =2n+22n =2n+4n，
n n
所以S =
( 2×1+41)
+
( 2×2+42)
++
( 2×n+4n)
n
=2(1+2++n)+ ( 41+42++4n)
n(1+n) 4 ( 1−4n)
=2× +
2 1−4
答案第6页，共11页=n2+n+ 4( 4n−1 ) .
3
16．(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)1 (0,1) (1,+∞)
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值求参数
【分析】（1）求出导函数 ，根据 求函数的单调递增区间，根据 求函数的单调递增区间，；
′ ′ ′
（2）求出导函数，当 𝑓𝑓时 ( ，𝑥𝑥函 ) 数 𝑓𝑓在 (𝑥𝑥)>0 上单调递增，无极值，当 𝑓𝑓时 ( ，𝑥𝑥利 )<用0导数求出x= a是函数 f (x)
的极小值点，进而有 𝑎𝑎 f ≤( 0 a ) =a−a 𝑓𝑓 l ( n 𝑥𝑥 a ) =1 ( ， 0, 记 +∞ g ) (x)=x−xlnx−1，利用函 𝑎𝑎 数 > 单 0 调性求出 最大值，即可求出a的
值.
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
【详解】（1）当 时， f (x)=x2−2lnx，则 f′(x)=2x− 2 =
2(x−1)(x+1)
,x>0，
x x
由 ，得𝑎𝑎 =1 ；由 ，得x>1，
′ ′
则𝑓𝑓函(数𝑥𝑥)<0的单调0递<减𝑥𝑥 <区1间为 𝑓𝑓 (𝑥𝑥，)>单0调递增区间为 ；
（2） f 𝑓𝑓 ′ ( ( 𝑥𝑥 x ) )=2x− 2a = 2 ( x2− ( a 0), , 1 x ) >0 ， (1,+∞)
x x
当 时， ，函数 在 上单调递增，此时函数 无极值；
′
当𝑎𝑎 ≤0时，由𝑓𝑓 (𝑥𝑥)>0 ，得𝑓𝑓 0 ( < 𝑥𝑥) x< (0 a ,+；∞由) ，得 x> a ，𝑓𝑓 (𝑥𝑥)
′ ′
𝑎𝑎 >0 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)<0 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)>0
由 得x= a，
′
𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=0
则函数 在(0, a)上单调递减，在( a,+∞)上单调递增，
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
所以x= a是函数 f (x)的极小值点，
( ) ( )2
由题意 f a = a −2aln a =a−alna=1，
记g(x)=x−xlnx−1(x>0)，即g(a)=a−alna−1=0，
则g′(x)=1−1−lnx=−lnx，
由 ，得x>1；由 ，得 ，由 得x=1，
′ ′ ′
则函𝑔𝑔 (数𝑥𝑥)<0在 上单调递𝑔𝑔增(𝑥𝑥，)>在0 0<上𝑥𝑥单<调1递减，𝑔𝑔 (𝑥𝑥)=0
所以函数𝑔𝑔(𝑥𝑥 g )(x)(≤0,1 g )(1)=0，当且仅当(1 x ,+ = ∞ 1时) 等号成立，
所以 .
17．𝑎𝑎(1)=r1≈−0.99；变量x与y之间具有很强的线性相关关系
(2)分布列见解析；期望：1.8
答案第7页，共11页
学科网（北京）股份有限公司【知识点】相关系数的计算、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数r，根据求解结果判断线性相关关系的强弱；
（2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望.
1+2+3+4+5 120+100+80+70+55
【详解】（1）x= =3，y= =85，
5 5
i=1
∑(x −x)(y −y)=(−2)×35+(−1)×15+0×(−5)+1×(−15)+2×(−30)=−160，
i i
5
5
∑(x −x)2 =(−2)2+(−1)2+02+12+22 =10，
i
i=1
5
∑(y −y)2 =352+152+(−5)2+(−15)2+(−30)2 =2600，
i
i=1
样本相关系数：
5
∑(x −x)(y −y)
i i −160 −160 −160
r= i=1 = = ≈ ≈−0.99，
∑ 5 (x −x)2 ∑ 5 (y −y)2 10 2600 10 260 161.2
i i
i=1 i=1
因为 非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系.
（2）|𝑟𝑟5|天中取件人数小于100的天数有3天，
从这5天中随机选取3天， 的可能取值为1，2，3.
C1C2 3×1 3 𝑋𝑋
P(X =1)= 3 2 = = ，
C3 10 10
5
C2C1 3×2 3
P(X =2)= 3 2 = = ，
C3 10 5
5
C3C0 1×1 1
P(X =3)= 3 2 = = ，
C3 10 10
5
所以 的分布列为：
𝑋𝑋
1 2 3
𝑋𝑋
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 18
的数学期望E(X)=1× +2× +3× = =1.8
10 5 10 10
𝑋𝑋
18．(1)
16
27
(2)
2 3 4 5
𝑋𝑋
答案第8页，共11页4 4 7
P
27 27 27
4
29 9
9
9
(3)
50
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题
【分析】（1）设事件A (i=1,2,3)为第i次投中，则前3次投篮中就通过测试可表示AA AA A ，再由概率的加法
i 1 2 1 2 3
公式及相互独立事件概率可得；
（2）先确定 的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得；
（3）先计算𝑋𝑋通过测试概率P(A)= 200 ，再计算前三次通过测试的概率P(AB)= 4 ，进而由条件概率公式可得.
243 27
【详解】（1）设事件A (i=1,2,3)为第i次投中，
i
2 2
则小溪同学在前3次投篮中就通过测试的概率为：P=P(AA )+P ( AA A ) = 2 + 1 2 = 16 ．
1 2 1 2 3 3 33 27
（2） 的所有可能取值为：2,3,4,5．
𝑋𝑋 2 2
2 4 1 2 4
P(X =2)= = ，P(X =3)= × = ，
3 9 3 3 27
1 2 2 2 2 1 2 2 4 4 4 4 7
P(X =4)= × + × × = ，P(X =5)=1− + + = ．
3 3 3 3 3 27 9 27 27 27
则 的分布列为：
𝑋𝑋
2 3 4 5
𝑋𝑋
4 4 7
P
27 27 27
4
94 4 4 7 29
E(X)=2× +3× +4× +5× = ．
9 27 27 27 9
（3）设事件A：小溪同学通过测试，事件B：小溪同学恰好投篮了三次，
2
4 1 2 20
因为投篮五次通过概率为P=1− × × = ，
9 3 3 243
4 4 4 20 200 1 2 2 4
则P(A)= + + + = ，P(AB)=P(X =3)= × = ，
9 27 27 243 243 3 3 27
答案第9页，共11页
学科网（北京）股份有限公司4
则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：P(B∣A)= 27 = 9 ．
200 50
243
19．(1)证明见解析
(2)
(2e,+∞)．
(3)证明见解析
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研
究函数的零点
【分析】（1）直接将所要证明的不等式转化为ex −x−1≥0，构造函数g(x)=ex−x−1，再用导数求函数的最小值可
得；
x 2 x x
（2）将函数 f (x)有两个零点转化为方程 = 有两个根，再构造函数m(x)= ，用导数判断函数m(x)= 单调
ex a ex ex
2
性及极值，再数形结合判断y=m(x)与y= 的图象有两个交点可得；
a
（3）根据函数有两个极值点可得ex2 −ex1 =2(x −x )，再令t =x −x >0，进而可得ex1 +ex2 =
2t+2t⋅et
，从而将所
2 1 2 1 et −1
证明不等式转化为(t−2)et +(t+2)>0，再令h(t)=(t−2)et +(t+2)(t>0)，用导数判断函数在 单调性，进而
可得所证不等式.
(0,+∞)
【详解】（1）由a=0，得 f (x)=2ex．要证 f (x)≥2x+2，只需证ex −x−1≥0．
令g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1．
当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增.
′ ′
所以𝑥𝑥 ∈函 ( 数−∞,0) 在 𝑔𝑔 ( 取𝑥𝑥) 得<极0小值𝑔𝑔也 (𝑥𝑥是 ) 最小值，因此𝑥𝑥 g ∈(x ()0≥,+ g ∞(0 ))=0，𝑔𝑔 (𝑥𝑥)>0 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 =0
所以ex −x−1≥0，即 ，因此 f (x)≥2x+2．
𝑥𝑥
≥𝑥𝑥+1
（2）若a=0， f (x)e=2ex在R上单调递增，因为 f (x)在R上有两个零点，所以a≠0.
x 2 x 1−x
由 得 = ，令m(x)= ，则m′(x)= ，
ex a ex ex
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=0
所以m′(1)=0，x>1，时，m′(x)<0； 时， ，
′
所以 在 上单调递增，在 𝑥𝑥 <上1单调𝑚𝑚递 ( 减𝑥𝑥) ，> 0
𝑚𝑚有 ( 极𝑥𝑥) 大值 (−，∞也,1) 就是最大值为m(1 (1)=,+1∞， )
e
𝑚𝑚(𝑥𝑥)
又m(0)=0，x无限趋近+∞时， 无限趋近于0，
𝑚𝑚(𝑥𝑥)
答案第10页，共11页2 1
所以 f (x)在 上有两个零点时，0< < ，解得a>2e，
a e
𝑅𝑅
故a的取值范围是(2e,+∞)．
1 a
（3）因为g(x)= f (x)−x2 =ex−x2− x有两个极值点 ，
2 2
a
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2
所以g′(x)=ex−2x− =0，有两个实数根 ，
2
a a
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2
所以ex1 −2x = ，ex2 −2x = ，可得ex2 −ex1 =2(x −x )，
1 2 2 2 2 1
2t
ex1 =
et −1
设t =x −x >0，将x =x +t代入，得 ，
2 1 2 1
ex2 =
2t⋅et
et −1
2t 2t⋅et 2t+2t⋅et
所以ex1 +ex2 = + = ，
et −1 et −1 et −1
所以要证ex1 +ex2 >4，只需证
2t+2t⋅et
>4，
t+t⋅et
>2，即(t−2)et +(t+2)>0．
et −1 et −1
设h(t)=(t−2)et +(t+2)(t>0)，则h′(t)=(t−1)et +1．
令ϕ(t)=(t−1)et +1，则ϕ′(t)=tet >0，
所以h′(t)=(t−1)et +1在 上为增函数．
(0,+∞)
又h′(0)=0，所以t>0时， ，h(t)=(t−2)et +(t+2)在 上为增函数．
′
ℎ (𝑡𝑡)>0 (0,+∞)
所以h(t)>h(0)=0，即(t−2)et +(t+2)>0成立，
所以ex1 +ex2 >4成立．
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