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第二章 一元二次函数、方程和不等式
复习与小结
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练）集合 ， ，则 （ ）
A． B． 或 }
C． D． 或 }
【答案】C
【解析】由题意可得 ， ，所以 .故选C.
2．（2019·全国高一课时练）已知 ，且 ，下列不等式中，不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 且 ，所以 ， ， ．
对于A，因为 ， ，所以 ，即 一定成立．
对于B，因为 ，所以 ，所以 一定成立．
对于C，因为 ，所以当 时， 不成，故 不一定成立．
对于D，因为 ， ， ，所以 ， 一定成立．故选C．
3．（2019·全国高一课时练）不等式 的解集为 则函数
的图像大致为（ ）A. B.
D.
【答案】C
【解析】由题知-2和1是ax2-x+c=0的两根，由根与系数的关系知-2+1= ，，−2×1＝ ，
∴a=-1，c=2，∴ =-x2+x+2=-（x- ）2+ ，故选C
4．（2019·河南高一期末）设 ， ，若 ，则 的最小值为
A． B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由题意知， ， ，且 ，则
当且仅当 时，等号成立， 的最小值为9，故答案选C。
5.（2019·全国高一课时练）若 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】不等式 ，对应抛物线开口向下，解集为“两根之间”，又 ，
所以 ，得不等式的解集为 ，所以正确选项为D.
6.（2019·全国高一课时练）函数 ，记 的解集为 ，若 ，
则 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数 ，抛物线开口向上，又 ，所以
,则 的解集为 ，得 ，解得 ，所以正确选项为A。
7．（2019·辽河油田高级中学高一课时练）若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,则
实数m的取值范围是( )
A．m≤－3 B．m≥－3 C．－3≤m≤0 D．m≤－3或m≥0
【答案】A
【解析】∵不等式x2-4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，令f (x)=x2-4x，x∈[0，1]，
要使关于 的不等式 对任意 恒成立，只要 即可
x x2-4x≥m x∈[0，1] f (x) ≥m
min
的对称轴为 在 上单调递减， 当 时取得最小值为 则实数 的取值
∵f (x) x=2∴f (x) [0，1] ∴ x=1 -3 m
范围是m≤-3 故选A
8．（2019江西高一联考）某市原来居民用电价为0.52元 ，换装分时电表后，峰时段(早上
八点到晚上九点)的电价0.55元 ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元 ．对于一个平均每月用电量为 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费
的 ，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设每月峰时段的平均用电量为 ，则谷时段的用电量为 ；
根据题意，得： ，
解得 ．所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为 ，故选C．
9．（2019广东揭阳三中高一课时练）在R上定义运算: =ad-bc,若不等式 ≥1
对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为( )
A．- B．- C． D．
【答案】D
【解析】由定义知,不等式 ≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒
成立.因为x2-x+1= + ≥ ,所以a2-a≤ ,解得- ≤a≤ ,则实数a的最大值为 . 选D.
10．（2019·新疆乌鲁木齐市第70中高一期末）正数 满足 ，若不等式
对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，
当且仅当 ，即 时，“=”成立，若不等式 对任意实数
恒成立，则 ，即 对任意实数 恒成立，
， ，实数 的取值范围是 .故选D.
二、填空题
11．不等式 的解集为________________．（用区间表示）
【答案】
【解析】不等式 等价于 ，解该不等式得 或 ，
因此，不等式 的解集为 ，故答案为： .
12．（2019·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买 吨，已知
每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为 万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量
为 _____________ ；
【答案】20吨
【解析】由题意，总的费用 ，当 时取“=”，所以答
案为20吨。
13.（2019·全国高一课时练）已知集合A={t | t2 – 4 ≤ 0}，对于满足集合A的所有实数t, 则使不等
式x2 +tx- t＞2x-1恒成立的x的取值范围是
【答案】(3,+∞)∪(-∞,-1)
【解析】由t2 – 4 ≤ 0解得 ，即 时， 恒成立，
-2≤t≤2 -2≤t≤2 x2+(t-2)x-t+1>0
即(x+t-1)(x-1)>0恒成立，故只需¿
即 ¿ 恒成立，因为-1≤1-t≤3，所以x>3或x<-1.14.（2019·河北高一期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则
的最小值是______．
【答案】
【解析】由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道 的解为 ，
由韦达定理知 ， ，所以 当且仅当 取
等号。
三、解答题
15．（2019·黑龙江双鸭山一中高一期末）若不等式 的解集是 .
（1）求 的值；
（2）当 为何值时， 的解集为 ．
【答案】（1） ；(2)
【解析】（1）由题意知，1﹣ ＜0，且﹣3和1是方程 的两根，
∴ ，解得 ＝3．
（2） ，即为 ，若此不等式的解集为 ，
则 2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤ ≤6，所以 的范围是
16．（2019·山西省永济中学高一期末）如果用 糖制出 糖溶液,则糖的质量分数为 .若在上述溶液中再添加 糖.
(Ⅰ)此时糖的质量分数增加到多少？（请用分式表示）
(Ⅱ)请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.
【解析】 (Ⅰ) 糖再添加 糖，则糖的总量为a+m， 糖溶液又加入 糖，则溶液的
总量为b+m，所以糖的质量分数为 .
(Ⅱ)本例反映的事实质上是数学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知:
若 ，则 .
证明： ,由 ，
得 ， ,即 .
17．（2019·安徽高一期末）已知关于 的函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求实数 的最大值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由题意，当 时，函数 ，
由 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .（Ⅱ）因为 对任意的 恒成立，即 ，
又由 ，当且仅当 时，即 时，取得最小值，
所以 ，即实数 的最大值为 .
18．（2019·黑龙江高一期末）设函数 ．
（1）若不等式 的解集 ，求 的值；
（2）若 ，
① ，求 的最小值；
②若 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）①9，②
【解析】由已知可知， 的两根是
所以 ，解得 .
（2）①
，当 时等号成立，
因为 ， 解得 时等号成立，此时 的最小值是9.② 在 上恒成立，
，
又因为 代入上式可得
解得： .
