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第二章 一元二次函数、方程和不等式
总分：120分时间：120分钟
一、单选题（总分48分，每题4分)
1．不等式 的解集为
A． B．
1
−
C． 2 或 D． 或
【答案】A
【解析】根据二次函数 的图象可知，不等式的解是 ，故选A.
2．已知正数 满足 ，则 的最小值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号
成立，所以 的最小值为 .
故答案为：C.
3．若 且 ，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】选项A: ，符合 ，但不等式 不成立，故本选项是错误的；
选项B:当 符合已知条件，但零没有倒数，故 不成立 ，故本选项是错误的；
选项C:当 时， 不成立，故本选项是错误的；选项D:因为 ，所以根据不等式的性质，由 能推出 ，故本选项是正确的，因
此本题选D.
4．不等式x(x+2)<3的解集是（ ）．
A．{x|-1<x<3} B．{x|-3<x<1}
C．¿，或x>3} D．¿，或x>1}
【答案】B
【解析】由题意x(x+2)<3，∴x2+2x-3<0即(x+3)(x-1)<0，解得：-3<x<1，
∴该不等式的解集是{x|-3<x<1}，故选B．
5．设 ,且 ,则 的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【解析】因为 ，
等号成立当且仅当 ，所以 的最小值为 .选D.
6．下列结论正确的是
x2 y2
C: + =1(a>b>0)
A．当 时， 的最小值为 B．当 时， a2 b2
x2 y2
C: + =1(a>b>0)
C．当 无最大值 D．当 且 时， a2 b2
【答案】B
【解析】对于A，x+ 在[2，+∞）上单调增，所以x=2时， 的最小值为 ，故A错误；
对于B，当x＞0时， ，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；对于C， 在（0，2]上单调增，所以x=2时， 取得最大值，故C不成立；
对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0， ＜0，结论不成立；
故选B
7．已知实数 ，则（ )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ， ， ，
由于 ，在不等式上同时乘以 得 ，因此， ，故选：A.
8．已知 ，则 的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题意，因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
所以 的最小值为5，故选C．
9．某市原来居民用电价为0.52元 ，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价0.55元，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元 ．对于一个平均每月用电量为
的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的 ，则这个家庭每月在峰时段
的平均用电量至多为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设每月峰时段的平均用电量为 ，则谷时段的用电量为 ；
根据题意，得： ，
解得 ．
所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为 ，
故选C．
10．已知正数 满足
x+y=1
，则 的最小值为（ ）
14
A．5 B． 3 C． D．2
【答案】C
【解析∵正数 满足 ，∴ ，
∴
当且仅当 即 ， 时，等号成立，即 的最小值为 ，故选C.
11．已知命题 ，命题 ， ，则 成立是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式 可得 ，
对于命题 ，当 时，命题明显成立；
当 时，有： ，解得： ，
即命题 为真时 ，
故 成立是 成立的充分不必要条件.
故选：A.
12．已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为 ，若方程
，有两个相等的根，则实数 （ ）
A．－ B． C． 或－ D． 或－
【答案】A
【解析】由于不等式 的解集为 ，
即关于 的二次不等式 的解集为 ，则 .
由题意可知， 、 为关于 的二次方程 的两根，
由韦达定理得 ， ， ， ，
，
由题意知，关于 的二次方程 有两相等的根，即关于 的二次方程 有两相等的根，
则 ， ，解得 ，故选：A.
二、填空题（总分16分，每题4分)
13．已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是________．
【答案】a＋b≥6
【解析】∵a、b是正实数且ab＝a＋b＋3，故a、b可视为一元二次方程x2－mx＋m＋3＝0的两个根，其
中a＋b＝m，ab＝m＋3，要使方程有两个正根，应有
,得m≥6，
即a＋b≥6，故a＋b的取值范围是a＋b≥6．
14．已知实数 、 ，满足 ，则 的取值范围是_____________.
【答案】-2<a-b<0
【解析】由题意得出 ， ，且 ， .
由不等式的可加性可得出 ， ， ，
因此， 的取值范围是-2<a-b<0.
15．不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】当a=0时，不等式等价于 ，恒成立，所以a=0符合条件.
当 时，不等式等价于 ，即 ，解得： ，
所以a的范围为 .
故答案为： .16．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不
变，则所得长方体高的最大值为________；
【答案】 ；
【解析】依题意 ，设新长方体高为 ，
则 ，
∴ ，当且仅当 时等
号成立．
∴ 的最大值为 ．
故答案为 ．
三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)
17．（1）已知 ， ， ，比较 与 的大小；
（2）已知 ， ， ，，求 的取值范围．
1 1
【答案】（1） （2） + ≥3+2√2
x y
【解析】（1） ．
∵ ， ，，∴ ， ， ， ．
又 ，∴ ．∴ ．（2）∵ ， ， ，∴ ，
当且仅当 即当 时等号成立．
1 1
故 的取值范围是 + ≥3+2√2．
x y
ax2 −x+1−a<0
18．已知关于 的不等式 .
（1）当 时，解关于 的不等式；
（2）当 时，解关于 的不等式.
【答案】（1） ；（2）详见解析
【解析】（1）当 时，不等式 可化为：
不等式的解集为
（2）不等式
ax2 −x+1−a<0
可化为： ，
（i）当 时， ，解得： 不等式解集为
（ii）当 时， ，
的根为： ，
①当 时， 不等式解集为②当 时， ，不等式解集为
③当 时， 不等式解集为
（iii）当 时：
此时 不等式解集为 或
19．已知关于 的不等式 ．
{ 3 }
（1）若不等式的解集为 x|- <x<1 ，求实数 的值；
2
（2）若不等式的解集为 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）-3<k≤0
{ 3 }
【解析】（1）若关于 的不等式 的解集为 x|- <x<1 ，
2
则 和1是 的两个实数根，由韦达定理可得 ，
求得 ．
（2）若关于 的不等式 解集为 ，则 ，或 ，
求得 或 ，
故实数 的取值范围为-3<k≤0．20．设 ．
（1）若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 （ R）．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由题意，不等式 对于一切实数 恒成立，等价于 对于一切实
数 恒成立．
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
当 时，满足 ，即 ，解得 ．
（2）不等式 等价于 ．
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，此时 ，
所以不等式的解集为 ；
当 时，不等式可化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；
③当 时， ，不等式的解集为 ．21．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2) -2≤a≤6
【解析】（1）不等式 可化为： ，
①当 时，不等 无解；
②当 时，不等式 的解集为 ；
③当 时，不等式 的解集为 .
（2）由 可化为： ，
必有： ，化为 ，
解得-2≤a≤6：.
22．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项
将重塑全球汽车行业的计划． 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入
固定成本 万元，每生产 （百辆），需另投入成本 万元，且
由市场调研知，每辆车售价 万元，且全年内生产的车辆当年能全
部销售完．
（1）求出 年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；（ ）
（2） 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1） ；（2）当 时，即 年生产 百辆
时，该企业获得利润最大，且最大利润为 万元.
【解析】 当 时， ，
当 时，
．
当 时， ，
当 时， 取得最大值1500；
当 时， ，
当且仅当 即 时取等号．
当 时， 取得最大值1800．
即2019年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1800万元．
