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导数与单调性和极最值
一、 选择题
1. 已知函数 对任意的 满足 （其中 是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
令 ，则 ．
∵对任意的 ， ，∴ ，
∴函数 在 上为增函数．
∴ ，即 ，即 ．
【标注】【知识点】导数与单调性
2. 若函数 满足 ，且 ，则 的解集是（
）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：由 ，整理得 ，即
．
两边积分整理得： ． ，代入求得 ．
∴ ．
，令 ， ．
∴ ．
∴ 单调递增．
1由 ， ， ．
由 ，整理得， ．
由函数单调性递增，即 ，由 ，单调递增，则 ．
∴不等式的解集 ．
故选 ．
方法二： ，
令 ，
则 ，
即 ，
∴ ．
，
，
，
，
，
令 ，则 ， ．
．
由 得 ， ，
则 ，
．
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，
，
∴ 对 成立，
∴ 在 上递增，
，
即 ，
即 ，
即 ，
2即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】通过构造函数证明不等式
【特色题型】选择压轴
【素养】数学运算
二、 解答题
3. 已知函数 ，讨论 的单调性．
【答案】①当 时，单增区间 ，单减区间 ；
②当 时，单增区间 ， ，单减区间 ；
③当 时，单增区间 ；
④当 时，单增区间 ， ，单减区间 ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间
4. 已知函数 ， ．
（ 1 ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（ 2 ）当 时，求证： 在 上为增函数；
（ 3 ）若 在区间 上有且只有一个极值点，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）见解析
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）当 时， ， .
所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
（ 2 ）当 时， .
设 ，则 .
3令 得， 或 ，注意到 ，所以 .
令 得，注意到 ，得 .
所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数.
所以函数 在 时取得最小值，且 .
所以 在 上恒大于零.
于是，当 ， 恒成立.
所以当 时，函数 在 上为增函数.
（Ⅱ）问另一方法提示：当 时， .
由于 在 上成立，即可证明函数 在 上为增函数.
（ 3 ） .
设 ， .
①当 时， 在 上恒成立，
即函数 在 上为增函数.
而 ， ，则函数 在区间 上有且只有一个零点 ，使
,且在 上， ，在 上， ，故 为函数 在区间
上唯一的极小值点;
②当 时，当 时， 成立，函数 在区间 上为增
函数，又此时 ，所以函数 在区间 恒成立，即 ，
故函数 在区间 为单调递增函数，所以 在区间 上无极值；
③当 时， .
当 时，总有 成立，即 成立，故函数 在区间 上为单调
递增函数，所以 在区间 上无极值.
综上所述 .
【标注】【知识点】已知极值情况求参数范围；直接求函数的单调性（不含参）
5. 已知函数 ．
（ 1 ）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值．
（ 2 ）求函数 的极值点．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）当 时，函数 无极值点，
当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点．
4【解析】（ 1 ）由 得： ，
∴ ，
由已知可得： 即 ，
∴ ， ．
（ 2 ） ，
∴ ，
所以：当 ，即 时， ， 在 上为增函数，无极值点，
当 ，即 时，
则有：当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以， 是 极小值点，无极大值点；
综上可知：当 时，函数 无极值点，
当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点．
【标注】【知识点】导数的几何意义；已知切线方程求参数；导数与最值；求解函数极值
6. 已知函数 ，
（ 1 ）若 在 处取得极大值，求实数 的值；
（ 2 ）若 ，直线 都不是曲线 的切线，求 的取值范围；
（ 3 ）若 ，求 在区间 上的最大值．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
当 或 时， 在取得最大值 ； 当
时， 取得最大值 ，
当 时， 在 ， 处取得最大值 ，
当 时， 在 处取得最大值 ．
【解析】（ 1 ） ，
令 ，得 ， 所以 ， 随 的变化情况如下表：
（ ） （ ） （ ）
5极大值 极小值
因为 在 处取得极大值，所以 ．
（ 2 ）
求导可得 ，
因为 ，直线 都不是曲线 的切线，
所以 对 恒成立，
所以只要 的最小值大于 ，所以 ．
（ 3 ）因为 ，所以 ， 当 时， ，对 成立，
所以当 时， 取得最大值 当 时，在 时，
， 单调递增，
在 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
当 时，在 时， ， 单调递减，
所以所以当 时， 取得最大值 ， 当 时，在
时， ， 单调递减，
在 时， ， 单调递增，又 ， ，
当 时， 在 处取得最大值 ，
当 时， 在 处取得最大值 ，
当 时， 在 ， 处取得最大值 ，
综上所述，当 或 时， 在取得最大值 ； 当
时， 取得最大值 ，
当 时， 在 ， 处取得最大值 ，
当 时， 在 处取得最大值 ．
【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）
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