文档内容
导数与恒成立能成立
一、 恒成立问题
恒成立条件转化：
（1） ， 恒成立
（2） ， 恒成立
（3） ， 恒成立
（4） ， 恒成立
（5） ， 恒成立
（6） ， 恒成立
1. 直接求值域
条件转化后，将参数当成已知数，在计算过程中常需要二次求导，分类讨论等方法.
经典例题
1. 已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．设 ，
恒成立，求 的最大值．
2. 已知函数 ， （ 且 ， 是自然对数
的底数）．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
巩固练习
3. 若 对一切正实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
4. 已知函数 ．
（ 1 ）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值．
（ 2 ）求函数 的极值点．
（ 3 ）设 ，若当 时，不等式 恒成立，求
的最小值．
12. 分离参数
经典例题
5. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 的图象在 处的切线为 ，求 的极值．
（ 2 ）若 恒成立，求实数 的取值范围．
（1）选本题的目的和作用：当参数比较好分离的时候，通常首先考虑把参数分离出来，转化为恒成立
问题；
（2）本题需注意的点：求函数的最值时，若导数无法判别正负时，还需要二次求导．
巩固练习
6. 已知函数 ，若 在 处取得极值，且 ，
恒成立，则实数 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
7. 设函数 ， （ 为自然对数的底数）．
（ 1 ）当 时，求 的最小值．
（ 2 ）若对任意的 有 恒成立，求实数 的取值范围．
二、 能成立问题
能成立条件转化：
（1） ， 成立 ；
（2） ， 成立 ；
（3） ， 成立 ；
（4） ， 成立 ；
（5） ， 成立 ；
（6） ， 成立 。
易错点：
．注意区分任意与存在的区别，如 ， 恒成立 ；而 ，
成立 .
．对于两个函数的变量为同一个 时，注意构造新的函数.
2经典例题
8. 已知函数 ．若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取
值范围．
巩固练习
9. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求 在 上的单调性．
（ 2 ）若 ， ，求 的取值范围．
10. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若对任意给定的 ，在区间 上总存在两个不同的 ，使得
成立，求 的取值范围．
三、 恒成立与能成立综合
恒成立与能成立综合条件转化：
（1） ， 恒成立 ；
（2） ， ， 成立 ；
（3） ， ， 成立 ；
（4） ， ， 成立
经典例题
11. 已知函数 （ ， ）．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得
，求 的取值范围．
巩固练习
12. 已知函数 ，函数 的导函数 ，且 ，其中 为自然对数的
底数．
（ 1 ）求 的解析式．
3（ 2 ）若 ，使得不等式 成立，试求实数 的取值范围．
（ 3 ）当 时，对于 ，求证： ．
13. 已知函数 ．
（ 1 ）若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值与函数 的单调区间．
（ 2 ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求
的取值范围．
14. 已知函数 ， ． 为自然对数的底数，对于任意 ，
恒成立．
（ 1 ）求实数 的最大值．
（ 2 ）当取实数 的最大值时，若存在 ，使得不等式 成立，
求正整数 的最小值．
15.
已知函数 ，且 在 处的切线斜率为 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）讨论 在 上的单调性．
（ 3 ）设函数 ，其中 ，若对任意的 总存在
，使得 成立，求 的取值范围．
四、 课堂总结
1. 导图总结
2. 知识总结
4导数的恒能成立条件转化：
（1） ， 成立 ；
（2） ， 成立 ；
（3） ， 成立 ；
（4） ， 成立 ．
（5） ， 成立 ；
（6） ， 成立 ；
（7） ， 成立 ；
（8） ， 成立 ．
（9） ， 成立 ；
（10） ， 恒成立 ；
（11） ， ， 成立 ；
（12） ， ， 成立 ；
．
3. 出门检测
16. 设函数 ， （ 是自然对数的底数），若 ，使得
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
17. 若 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 ．
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