文档内容
导数与恒成立能成立
学习目标
1.恒成立与能成立：熟练掌握恒成立能成立条件的分析，将不等式证明、求解、求参问题转化为求函数
最值.
2.分离参数：掌握分离参数在导数求解中的应用.
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
导数与恒成立 25（71.4%）
导数与恒成立能成立 导数与能成立 山东&海南2020-21 5（14.3%）
导数与恒能成立 1（2.9%）
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质
试卷.
高频考点
1. 与恒成立有关的不等式证明、求解、求参数问题．
2. 与能成立有关的不等式证明、求解、求参数问题．
3. 恒成立与能成立的综合问题.
难点
1. 恒成立能成立条件的转化问题．
2. 分类讨论和分离参数的方法选择．
易错点
1. 处理恒成立与能成立综合问题时条件的转化容易混淆．
2. 分离参数时不等式变号问题．
一、 恒成立问题
1恒成立条件转化：
（1） ， 恒成立
（2） ， 恒成立
（3） ， 恒成立
（4） ， 恒成立
（5） ， 恒成立
（6） ， 恒成立
1. 直接求值域
条件转化后，将参数当成已知数，在计算过程中常需要二次求导，分类讨论等方法.
经典例题
1. 已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．设 ，
恒成立，求 的最大值．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：加深对恒成立条件转化的理解，题目较易，建议学生独
立完成．
（2）本题关键的解题步骤：利用恒成立进行条件转化，求出函数最值．
【答案】 ．
【解析】设函数 ，
所以 ，令 得 ，（ ）
且当 时， 时，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为要使得 恒成立，只要 恒成立，
即 ①，
设 ， 且 ，
∴ ，∴ 在 上单调递减，
又 ， ，
且 图象连续不断，所以满足①的 的最大值为 ．
【标注】【方法】放缩法
【方法】作差法
【方法】换元法
2【知识点】同角三角函数的基本关系式的化简和求值
【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）
【知识点】求函数最值（含参指对型导函数）
【知识点】隐零点问题
【知识点】幂函数类型
【知识点】三角函数类型
【素养】逻辑推理
【素养】数学抽象
【素养】数学运算
【思想】转化化归思想
【特色题型】解答压轴
2. 已知函数 ， （ 且 ， 是自然对数
的底数）．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固学生对恒成立条件转化的记忆，有一定难度，建议
和学生一起完成．
（2）本题关键的解题步骤：恒成立条件转化．
（3）本题难点：形式较为复杂，涉及三角函数，需总结导数出现三角函数时更注重三角函
数值域问题.
【答案】（ 1 ） 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）易知 ，
①若 ，则当 ， 时， ，当 ， 时， ，
②若 ，则当 ， 时， ，当 ， 时，
，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ）当 时， ，
即 ，
即 ，
3所以 ，
令
，
则 ，
．
（ ）若 ，则当 时， ，
所以 在 上单调递增；
当 时，
所以当 时， 单调递增，
所以 ．
（ ）若 ，则 ，
．
由 得 ，
所以 ，
所以 ，使得 ，
且当 时， ，
所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，不合题意．
综上， 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；利用导数证明不等式恒成立问题
巩固练习
3. 若 对一切正实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
4【答案】B
【解析】设 ，则 对一切正实数 恒成立，则
，
由 ，令 ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得最小值为 ，
因为 ，即 ，
所以 恒成立，即 ，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，所以 ．
故选： ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题
4. 已知函数 ．
（ 1 ）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值．
（ 2 ）求函数 的极值点．
（ 3 ）设 ，若当 时，不等式 恒成立，求
的最小值．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ）当 时，函数 无极值点，
当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）由 得： ，
∴ ，
由已知可得： 即 ，
∴ ， ．
（ 2 ） ，
5∴ ，
所以：当 ，即 时， ， 在 上为增函数，无极值点，
当 ，即 时，
则有：当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 是 的极小值点，无极大值点；
综上可知：当 时，函数 无极值点，
当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点．
（ 3 ）
，
由题意知：当 时， 恒成立，
又不等式 等价于： ，即 ，
即 ①，
由 知： ， ，
知：①式等价于 ，
即： ，
设 ，则原不等式即为： ，
又 在 上为增函数，
所以原不等式等价于： ②，
又②式等价于 ，亦即： ，
设 ，则 ，
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
又 ，
∴当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，
∴ ，
要使原不等式恒成立，需使 ，
当 时，则 在 上为减函数， ，
要使原不等式恒成立，需使 ，
∴当 时，原不等式恒成立，
综上可知： 的取值范围是 ，
所以， 的最小值为 ．
6【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数极值（含参二次型导函数）
2. 分离参数
经典例题
5. 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 的图象在 处的切线为 ，求 的极值．
（ 2 ）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ）极大值为 ，不存在极小值．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ， ，
此时函数 ，
函数 的图象在 处的切线为 ，成立，
所以 ，此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，不存在极小值．
（ 2 ）由 ，
化简可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ， ，
存在唯一的 ，使得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 ，得 ， ，
，
所以 ，
即实数 的取值范围是 ．
【标注】【知识点】直接求函数的极值（不含参）；利用导数解决不等式恒成立问题
7（1）选本题的目的和作用：当参数比较好分离的时候，通常首先考虑把参数分离出来，转化为恒成立
问题；
（2）本题需注意的点：求函数的最值时，若导数无法判别正负时，还需要二次求导．
巩固练习
6. 已知函数 ，若 在 处取得极值，且 ，
恒成立，则实数 的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
，
∵ 在 处取得极值，
∴ ，
即 ， ，
，
对 ， 恒成立，
对 ， 恒成立，
，
，
令 ，
，
令 ， ，
在 上单调递减，
在 上单调递增，
，
要使 ， 恒成立，
则 ，
则 ，故 的最大值为 ．
8【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题
7. 设函数 ， （ 为自然对数的底数）．
（ 1 ）当 时，求 的最小值．
（ 2 ）若对任意的 有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ， ，
容易看出 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ；
当 时， ，
所以 的最小值为 ．
（ 2 ）令 ，
由题意得 对任意的 恒成立，
因为 ，令 ，则 ，
容易看出 在 上单调递增，又 ， ，
①当 ，即 时，
当 时， ，故 为增函数，
又 ， ，所以在 上存在唯一 使得
，
当 时， ，所以 ，不符合题意；
②当 ，即 时， 时， ，故 为减函数，
又 ， ，所以在 上存在唯一 使得
，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数，
又 ，故当 时，有 ，符合题意；
③当 ，即 时，
则在 上存在唯一 使得 ，
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数，
因为 ，所以 在 上不单调，
9故 在 上必有正有负，所以 ，
若 时，则当 时， ，
故 ，不符合题意；
若 时，又 ，则必有 使得 ，
当 时， ，故 ，不符合题意；
综上必有 ，结合 ，得 ，
综上： ．
【标注】【知识点】二阶导问题；利用导数解决不等式恒成立问题
二、 能成立问题
能成立条件转化：
（1） ， 成立 ；
（2） ， 成立 ；
（3） ， 成立 ；
（4） ， 成立 ；
（5） ， 成立 ；
（6） ， 成立 。
易错点：
．注意区分任意与存在的区别，如 ， 恒成立 ；而 ，
成立 .
．对于两个函数的变量为同一个 时，注意构造新的函数.
经典例题
8. 已知函数 ．若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取
值范围．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固学生对能成立条件转化的记忆，有一定难度，建议
和学生一起完成．
（2）本题关键的解题步骤：能成立条件转化．
（3）本题难点：形式较为复杂，涉及三角函数，需总结导数出现三角函数时更注重三角函
数值域问题.
10【答案】 ．
【解析】∵存在 使不等式 成立，即 ，
设 ，则 ， ，
当 时， ，则 ，
当 即 时， 恒成立，即 ，
即 ，不符合，
∴ ，即 ，此时 ，
∵ 在 上单调递增，
∴存在区间 使得当 时， ，
∴ 在 上单调递减，
则当 时， ，即 ，
综上 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题
巩固练习
9. 已知函数 ．
（ 1 ）当 时，求 在 上的单调性．
（ 2 ）若 ， ，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ） 在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）当 时， ， ，
因为 ，
所以 ， ，
从而 ，
所以 在 上单调递增．
（ 2 ） 等价于 ，
令 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 恒成立．
11当 时，令 ，得 ，
当 时， ， ， ；
， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
从而 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，
即 ，满足题意，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
则 ，不合题意，
综上， ，即 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围；利用导数求函数的单调性、单调区间
10. 已知函数 ， ．
（ 1 ）讨论函数 的单调性．
（ 2 ）若对任意给定的 ，在区间 上总存在两个不同的 ，使得
成立，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）当 时，函数 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ， ，则 ，
①当 时， ，函数 在 上单调递减，
②当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
综上所述，当 时，函数 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
12（ 2 ）因为 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
又 ， ， ，
所以当 时， 的值域为 ，
由（ ）知，①当 时，函数 在 上为减函数，不满足题意．
②当 ，即 时，函数 在 上为减函数，不满足题意．
③当 ，即 时，函数 在区间 上为减函数，
在 为增函数，且当 时， ，
故对任意给定的 ，在区间 上总存在两个不同的 ，使得 ，
当且仅当 满足 ，即 ，
令 ， ，
则 ，故当 时， 为增函数，
当 时， 为减函数，
故有 ，故 ，
故 的取值范围为 ．
【标注】【知识点】利用导数解决等式能成立或恒成立问题；求函数单调区间（含参一次型导函
数）
三、 恒成立与能成立综合
恒成立与能成立综合条件转化：
（1） ， 恒成立 ；
（2） ， ， 成立 ；
（3） ， ， 成立 ；
（4） ， ， 成立
13经典例题
11. 已知函数 （ ， ）．
（ 1 ）求 的单调区间．
（ 2 ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得
，求 的取值范围．
【备注】（1）选本题的目的：实操能成立与恒成立条件转化全过程，让学生切身感受数学学习中条
件转化可以让复杂问题不断简化的神奇之处。建议先示范思路分析及整个操作流程．
（2）本题关键的解题步骤：恒成立能成立条件转化求最值．
（3）本题的易错点：恒成立与能成立条件搞混，转化失败．
（4）本题需要注意的地方：当两个函数的变量分别为 , 时，不能构造函数，需要对两
个函数分别求最大值或者最小值，在求解的过程中，常用到二次求导或者分类讨论的数学
方法．．
【答案】（ 1 ）单调递减区间为 ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ，
当 时， ，所以 的单调递增区间为 ，
当 时， ， ，
在区间 上 ，在区间 上 ，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，
当 时， 的递增区间为 ，
单调递减区间为 ．
（ 2 ）由已知，转化为 ，
由（ ）知，
当 时， 的单调递增区间为 ，值域为 ，
故不符合题意．
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间 ，
故 的极大值即为最大值．
，
且 ，
14当且仅当 时，等号成立，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立与能成立综合问题；利用导数求函数的最值；利
用导数求函数的单调性、单调区间
巩固练习
12. 已知函数 ，函数 的导函数 ，且 ，其中 为自然对数的
底数．
（ 1 ）求 的解析式．
（ 2 ）若 ，使得不等式 成立，试求实数 的取值范围．
（ 3 ）当 时，对于 ，求证： ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ）
（ 3 ）证明见解析．
【解析】（ 1 ）∵函数 的导函数 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（ 2 ） ，使得不等式 成立，
∴ ，使得 成立，
令 ，则问题可转化为： ，
对于 ， ，
由于 ，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，从而 在 上为减函数，
15∴ ，∴
（ 3 ）当 时， ，令 ，
则 ，
∴ ，且 在 上为增函数，
设 的根为 ，则 ，即 ，
∵当 时， ， 在 上为减函数；
当 时， ， 在 上为增函数，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由于 在 上为增函数，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；利用导数解决不等式能成立问题
13. 已知函数 ．
（ 1 ）若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值与函数 的单调区间．
（ 2 ）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求
的取值范围．
【答案】（ 1 ） ， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）∵函数 ，
∴ ，
∵曲线 在 和 处的切线互相平行，
∴ ，
即 ，
解得 ，
把 代入可得， ，
16∴当 时， ，当 时， ，
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
（ 2 ）若命题成立，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，此为增函数，
令 ，则 ，此为减函数，
又 ，
∴ ，
∴只须 ，
对 来说， ，
①当 时， ，
当 时，显然 ，满足题意，
当 时，令 ，
，
∴ 递减，则 ，满足题意，
∴ ，满足题意；
②当 时， 在 上单调递增，
∴ ，得 ．
综上所述， ．
【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间；通过构造函数证明不等式；利用导数
证明不等式恒成立问题
14. 已知函数 ， ． 为自然对数的底数，对于任意 ，
恒成立．
（ 1 ）求实数 的最大值．
（ 2 ）当取实数 的最大值时，若存在 ，使得不等式 成立，
求正整数 的最小值．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
17【解析】（ 1 ）由已知可得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，且当 时， ，不合题意．
当 时， ，而 ，不合题意．
当 时，由 解得 ，
由 解得 ．
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ．
要使 恒成立，
则须使 恒成立，
令 ，则 ，
显然当 时， ，当 时， ，
于是函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
因为 ， ，
所以实数 的最大值为 ．
（ 2 ）由（ ）知 ， ，
故 ，
令 ，
存在 ，使得 成立，即 ．
又 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
而 ，不合题意，
当 时，由 ，解得 ．
由 ，解得 ，
即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ．
令 ，
则 ，
所以 在区间 上单调递减，
因为 ，
所以正整数 的最小值为 ．
【标注】
18【知识点】利用导数证明不等式能成立问题；通过构造函数证明不等式；利用导数证明不等式恒成
立问题；二阶导问题
15.
已知函数 ，且 在 处的切线斜率为 ．
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）讨论 在 上的单调性．
（ 3 ）设函数 ，其中 ，若对任意的 总存在
，使得 成立，求 的取值范围．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ） 或者 ，此时函数单调递增， 或者
，此时函数单调递减．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）函数的导数为 ，
在 处的切线斜率
，
即 ，则 ，解得 ．
（ 2 ）由（ ）可知， ，则 ，
，
由 得 即 或 ，
解得 或者 ，此时函数单调递增，
由 得 即 或 ，
解得 或者 ，此时函数单调递减．
（ 3 ）当 时，由（ ）可知函数 单调递增，则 ，
即 ，
若对任意的 总存在 ，使得 成立，
则 成立，即 即可．
，则 ，
若 时， 恒成立， 在 上递增，
19∴ 的最小值为 ，
若 ，则 ， 恒成立，
在 上递增， 上递减，
∴ 在 处取得最小值．
，不合题．
∴ ， 最小值为 ．
∴ 的取值范围 ．
【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；双变量问题
四、 课堂总结
1. 导图总结
2. 知识总结
导数的恒能成立条件转化：
（1） ， 成立 ；
（2） ， 成立 ；
（3） ， 成立 ；
（4） ， 成立 ．
（5） ， 成立 ；
（6） ， 成立 ；
20（7） ， 成立 ；
（8） ， 成立 ．
（9） ， 成立 ；
（10） ， 恒成立 ；
（11） ， ， 成立 ；
（12） ， ， 成立 ；
．
3. 出门检测
16. 设函数 ， （ 是自然对数的底数），若 ，使得
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
当 时， ，
， ， ，
当 时， ， 递减，
时， ， 递增，
∴ ，
若 ，使得 ，
不等式 恒成立，
若 ， ，
若 ，则 ，
，不符合，
∴ ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题
17. 若 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 ．
【答案】
21【解析】设 ，则 ， 因为 ，
所以当 时， ，则函数 单调递减；
当 时 ， 则函数 单调递增，
所以 ，
则 ，令 ，则 ；
由 可得， ；
所以当 时， ， 则函数 单调递增；
当 时， ，则函数 单调递减；
所以 ，即 的最大值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用导数证明不等式恒成立问题
22
