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专题 9.11 不等式与不等式组（全章分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．用三个不等式 ， ， 中的一个不等式与 作为条件，余下的其中一个不等式作为
结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若关于x的方程 有三个整数解，则 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知关于x、y的方程组 ，给出下列说法：
①当a =1时，方程组的解也是方程x+y=2的一个解；②当x-2y＞8时， ；③不论a取什么实数，
2x+y的值始终不变；④若 ，则 ． 以上说法正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．③④ D．②③
5．在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，且 在 的右侧，连接 ， ，
若在 ， ， 所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为 ，那么 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的不等式组 恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．非负数x，y满足 ，记 ，W的最大值为m，最小值n，则 （ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
8．不等式组 的解集是 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知不等式组 的解集如图所示（原点没标出，数轴单位长度为1），则 的取值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．从－2，－1,0,1,2，3，5这七个数中，随机抽取一个数记为m，若数m使关于x的不等式组
无解，且使关于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整数解，那么这六个数所有满足条件
的m的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．不等式 的解集是
12．不等式组 有解，则 的取值范围是 ．
13．在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用 表示不超过x的最大整数， ，
，则对于任意的实数x， 的值为 ．
14．若关于 的不等式组 有解且最多有三个整数解，且关于 的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数 的和为 ．
15．对于点 和点 ，给出如下定义：若 ，则称点B为点A的纵变点．例
如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题：
（1）点（4，3）的纵变点是 ；
（2）若点 满足 ， 的纵变点为 ，且 ，则 的取值范围是 ．
16．已知关于 ， 的方程组 ，以下结论：
①当 时，方程组的解也是方程 的解；
②存在实数 ，使得 ；
③不论 取什么实数， 的值始终不变；
④若将方程组的每一组解都写成有序数对 ，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象
限．
其中正确的序号是 ．
17．重庆某饰品店所售饰品款式新颖、价格实惠，深受消费者喜爱．今年5月，该饰品店购进甲、乙、
丙、丁四种饰品，甲与乙的销量之和等于丁的销量，丙的销量占丁销量的 ，四种饰品的销量之和不少
于600件，不多于650件，甲、乙饰品的进价相同，均为丙与丁的进价之和，四种饰品的进价均为正整数，
店家购进这四种饰品的总成本一共5200元，则店家购进这四种饰品各一件的进价之和为 元
18．如图，小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他
每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大
于1km．若小明共跑了14km且恰好回到起点，则他共跑了 圈．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23，
前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，已知C是偶数，D是多少？
20．（8分）如果关于x的不等式组 的整数解仅有2和3，那么满足这个不等式组的整数a，b
组成的有序数对（a，b）共有几对？
21．（10分）一个两位数，十位上的数字为 ，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，
得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小
旭的年龄．
22．（10分）对于二元一次方程 的任意一个解 给出如下定义：若 ，则称 为方
程 的“关联值”；若 ，则称 为方程 的“关联值”．
(1)写出方程 的一个解，并指明此时方程的“关联值”；
(2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解；
(3)直接写出方程 的最小“关联值”为______；当关联值为 时，直接写出x的取值范围是
______．
23．（10分）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是 ，1，点P是线段 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足 ，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q
表示的数是整数时我们称为连动整数．
(1)在 ，0，2，3.5四个数中，连动数有______；
(2)若k使得方程组 中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
(3)若关于x的不等式组 的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值
范围．
24．（12分）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390
元，采购A商品20件与B商品30件共280元．
(1)求A，B商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折
售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售
A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部
售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值．参考答案：
1．B
【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向
不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可．
【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合，
①若 ， ，则 ，取 ， ，满足 ， ，但 ，故该命题是假
命题；
②若 ， ，则 ，∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，故该命题是真命题；
③若 ， ，则 ，取 ， ，满足 ， ，但 ，故该命题是假
命题；
④若 ， ，则 ，∵ ，∴ ，即 ，∵ ，∴ ，∴ ，
故该命题是真命题；
⑤若 ， ，则 ，取 ， ，满足 ， ，但 ，故该命题是假命
题；
⑥若 ， ，则 ，取 ， ，满足 ， ，但 ，故该命题是假命题，
故真命题一共有2个，
故选：B．
2．B
【分析】根据绝对值的性质可得 然后讨论 及 的情况下解的情况，再根据方程有三
个整数解可得出 的值．
【详解】解：①若
当 时， 解得： ， ；
当 时， 解得： ； ；
②若
当 时， 解得： ， ；
当 时， 解得： ， ；又 方程有三个整数解，
可得： 或 ，根据绝对值的非负性可得： ．
即 只能取 ．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
3．C
【分析】先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得
到答案．
【详解】
① ②得：
∴
将 代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、
一元一次不等式的性质，从而完成求解．
4．A
【详解】试题分析：当a=1时，方程x+y=1-a=0，因此方程组的解不是x+y=2的解，故①不正确；通过加减
消元法可解方程组为x=3+a，y=-2a-2，代入x-2y＞8可解得a＞ ，故②正确；2x+y=6+2a+（-2a-2）=4，故
③正确；代入x、y的值可得-2a-2=（3+a）2+5，化简整理可得a=-4，故④正确.
故选：A
5．B
【分析】根据“点 ，点 ，点 ，且 在 的右侧，连接 ， ，若在 ，
， 所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为 ”，得出除了点 外，其它个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段 上，从而求出 的取值范围．
【详解】解：∵点 在点 的右侧，
∴ ，
解得： ，
记边 ， ， 所围成的区域（含边界）为区域 ，则落在区域 的横纵坐标都为整数的点个数为
个，
∵点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ，
∴区域 的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的 个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点 的横纵坐标都为整数且在区域 的边界上，
∴其他的 个都在线段 上，如图，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的 个点
存在于线段AB上是解题的关键．
6．B
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3
个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式①得 ，解不等式②得 ，
由于不等式组有解，则 ，必定有整数解0，
∵ ，
∴三个整数解不可能是 ．
若三个整数解为 ，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则 ；
解得 ．
故选：B
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数
解0，再分类讨论是解题关键．
7．D
【分析】设 ，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代
数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设 ，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
8．C
【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据
不等式的解集，可得答案．
【详解】解： 不等式组 的解集是 ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
不等式组的解集是 ，
不等式，①解集是不等式组的解集，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组中的两个不等式的解集都是大于，不等式组的解集大于大
的，不等式②的解集是不等式组的解集．
9．C
【分析】首先解不等式组，求得其解集，又由图可求得不等式组的解集，则可得到关于a的方程，解方程
即可求得a的值．
【详解】∵ 的解集为：a+1≤x＜8．
又∵ ，∴5≤x＜8，∴a+1=5，∴a=4．
故选C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．明确在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；
“＜”，“＞”要用空心圆点表示是解题的关键．
10．D
【分析】不等式组整理后，根据无解确定出 的范围，进而得到 的值，将 的值代入检验，使一元一次
方程的解为整数即可．【详解】解：解：不等式组整理得： ，
由不等式组无解，得到 ，
解得： ，
即 ，0，1，2，3，5；
当m=-1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1，符合题意；
当m=0时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-1.5，不合题意；
当m=1时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=-3，符合题意；
当m=2时，一元一次方程（m－2）x＝3无解，不合题意；
当m=3时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=3，符合题意；
当m=5时，一元一次方程（m－2）x＝3解为x=1，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查根据不等式组的解集确定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式组的解集的口
诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题关键．
11．
【分析】运用移项，合并同类项，系数化为1解不等式求得解集．
【详解】 ，
，
．
【点睛】本题考查不等式的解法，注意不等号的改变是解题的关键．
12．
【分析】首先解不等式，利用m表示出两个不等式的解集，根据不等式组有解即可得到关于m的不等式，
从而求解．
【详解】解：∵不等式组 有解，
∴ ，
解得
故答案为：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．2或3/3或2
【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设
，分①当 时，②当 时两种情形计算即可．
【详解】解：依题意得：设 ，
①当 时，x为整数， 都是整数，
∴ ， ，
∴ ，
②当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
综上所述： 或3．
故答案为：2或3．
14．4
【分析】
本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式
组的一般步骤是解题的关键．
先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相
加即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∴ ，
∵不等式有解，且最多有三个整数解，即最多为：3，2，1三个整数解，
∴
解得： ．
即：a可取
解分式方程 得： ．
∵分式方程的解为整数，且 （ 时原分式方程无意义）
∴符合条件的所有整数a的值为0、1、3，
∴符合条件的所有整数a的和为 ，
故答案为：4．
15． （4，2）
【分析】（1）根据纵变点的定义解答即可；
（2）根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可．
【详解】解：（1）∵a=4>3，
∴ =b-1=3-1=2，
∴点（4，3）的纵变点是（4，2）
故答案为：（4，2）．
（2）∵
①当a≤3时， ，
∴
解得： ；
②当 时， ，
∴ ，∴无解
综上所述， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解不等式组，解答本题的关键是熟练掌握新定义“纵变点”，
解不等式时注意不等号两边乘以同一个负数时不等号方向要改变．
16．②③④
【分析】当 时，方程为 ，再把两个方程相加可判断①，由 两个方程相减，
再建立方程可判断②；解方程组 求解 可判断③；解方程组 可得
，再建立不等式组 可判断④．
【详解】解：当 时，
方程组为 ，
（1）+（2）得： ；故①不符合题意；
∵ ，
（4） （3）得： ；
∵ ，
∴ ，解得 ，故②符合题意；
∵
∴（3）+（4）得： ；而 可得 ；
∴ ，
∴ ，故③符合题意；
∵ ，
解方程组可得： ，
当 时，
解 可得： ；
解 可得： ，
∴不等式组无解，
∴将方程组的每一组解都写成有序数对 ，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；
故④符合题意；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查的是含参数的二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，坐标系内点的坐标特
点，掌握以上基础知识是解本题的关键．
17．36
【分析】根据题意可设丁的销量为m件，丙的进价为s元，丁的进价为t元，利用四种饰品的销量之和不
少于600件，不多于650件，列出不等式即可求出m可能的取值，然后利用店家购进这四种饰品的成本一
共5200元，列出方程，根据s和t均为正整数，可求出s和t可能的取值，再算出题目所求即可．
【详解】解：由题意：设丁的销量为m件，丙的进价为s元，丁的进价为t元，
则甲、乙销量之和为m件，丙的销量为 件，甲和乙的进价均为 元，
∵ 四种饰品的销量之和不少于600件，不多于650件，
∴ ，即 ，
∵m和 均为正整数，即m为6的正整数倍，∴m的取值可以为：282、288、294、300，
∵店家购进这四种饰品的成本一共5200元，
∴ ，
∴ ①，
∵s和t均为正整数，
∴将m的取值分别代入①，符合条件的是 ，
∴此时 ，
∵s和t均为正整数，
∴符合题意的是 ， ，
∴ （元），
∴这四种饰品各一件的进价之和为36元，
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，正确理解题目意思并列出不等式组是解答本题的关键．
18．10
【分析】本题考查了不等式的应用，由题意可知，小明恰好跑3圈时，路程比 多，但小于 ，再
根据一圈的路程比 多，据此可得答案．
【详解】小明恰好跑3圈时，路程超过了 ，但小于 ，
所以小明跑9圈时，路程超过 但小于 ，
又因为一圈的路程比 多，
所以小明共跑了 且恰好回到起点，那么他共跑了10圈．
故答案为：10．
19．23
【分析】平均数问题与不定方程，先求出A和E，从而得到 ，再根据这些自然数的大小关系
推出 ，再根据C是偶数，得到 ，从而对D分类讨论得解．
【详解】依题意得：
．因为 >21，所以D应大于21．
而 ， ，故 ．
所以
又由于 ，故
因此 ，
又已知C是偶数，
因此 ，此时D至少为23．
若 ，此时则 ．
若 ，则 ，不符合题意．
故 ．
【点睛】本题考查平均数问题与不定方程，根据题意推出 是解题的关键．
20．满足这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有6对
【详解】解：解不等式2x－a≥0，得 ，
解不等式3x－b≤0，得 ．
∵不等式组的整数解仅有2和3，
∴ ， ，解得2＜a≤4， ．
∵a，b均为整数，∴当a＝3时，b＝9，10，11；
当a＝4时，b＝9，10，11．
故满足这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有6对．
21．18
【分析】根据题意可以写出原两位数与新两位数，根据原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，
分析求得 ，根据小旭年龄超过12岁，判断 符合题意，从而可以计算求解．
【详解】解：根据题意可得原两位数为 ，
将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数为 ，
故小旭年龄为 ，
∵年龄为整数，
故 为4的倍数，即 或 或 或 ，
即 或 或 或 ，
又∵十位上的数字为 ，
∴ ，
∴ ，
∵小旭年龄超过12岁，
即 ，
解得： ，
与 不矛盾，
当 时，小旭年龄为 （岁），
故小旭年龄为 岁．
【点睛】本题考查了列代数式，解一元一次不等式等，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的代数
式．
22．(1)方程的解为 ，方程的“关联值”为1（答案不唯一）
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可；
（2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可；
（3）根据题意得到 ，进而得到当 增大时， 先减小到0，然后再增大，然后联立
求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可．
【详解】（1）当 时，即 ，
解得 ，∵
∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为 （答案不唯一）；
（2）∵“关联值”为4，
∴①当 时，即 ，解得 ，
∴方程的解为 ；
②当 时，即 ，解得 ，
∴方程的解为 ；
③当 时，即 ，解得 ，
∵ ，
∴不符合题意，应舍去；
④当 时，即 ，解得 ，
∵ ，
∴不符合题意，应舍去；
综上所述，所有满足条件的方程的解有 ， ；
（3）∵
∴ ，
∵当 时， ，
当 增大时， 先减小到0，然后再增大，
∴当 时，方程 取得最小“关联值”，∴联立 ，解得
∴方程 的最小“关联值”为 ；
当关联值为 时，即 ，
∴ ，
∴
∴①当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
③当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
④当 ， 时，即 ， 时，
∴ ，解得 ，
∴ ；
综上所述，当 或 时，关联值为 ．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系．
23．(1) ，2
(2) 或 或 ；
(3)a的取值范围是 ．
【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】（1）解：∵点P是线段 上一动点，点A、点B对应的数分别是 ，1，
又∵ ，
∴连动数Q的范围为： 或 ，
∴连动数有 ，2；
故答案为： ，2；
（2）解： ，
得： ，
得： ，
要使x，y均为连动数，
或 ，解得 或 ，
或 ，解得 或 ，
∴ 或 或 ；
（3）解： 解得：
，
∵解集中恰好有3个解是连动整数，
∴四个连动整数解为 ，1，2，
∴ ，∴
∴a的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题
的关键，
24．(1)A，B商品每件进价分别是5元，6元
(2)有31种进货方案
(3)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一元一次方程的实
际应用：
（1）设A，B商品每件进价分别是x元，y元，根据采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品
20件与B商品30件共280元列出方程组求解即可；
（2）设购进A商品m件，则购买B商品 件，以10元售出的商品件数为 件，用卖出的钱
数减去购买的钱数得到利润，再由获利不少于360元不多于480元列出不等式组求解即可；
（3）设购进A商品t件，则购进B商品 件，捐款总额为W，则 ，当 时，
则 ，不符合题意，当 ，随着t的增大， 的值也在增大，即W的值也在增大，则
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：A，B商品每件进价分别是5元，6元；
（2）解：设购进A商品m件，则购买B商品 件，以10元售出的商品件数为 件，
由题意得， ，整理得： ，
解得 ，
∵m为正整数，
∴ 的值可以有 种，
∴有31种进货方案；
（3）解：设购进A商品t件，则购进B商品 件，捐款总额为W，
∴ ，
∵最大捐款为200元，
∴当 时， ，则 ，不符合题意，
∴ ，
∵随着t的增大， 的值也在增大，即W的值也在增大，
∴当t最大时，W最大，
∴ ，
解得 ．
