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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（共2课时）
（第1课时）
一、选择题
1．（2019北京高一期中）不等式x(x+2)<3的解集是（ ）．
A．{x|-13} D．¿，或x>1}
【答案】B
【解析】由题意x(x+2)<3，∴x2+2x-3<0即(x+3)(x-1)<0，解得：-30} B={x|x2-2x≤0} A∪B=
A．[0,+∞) B．(-∞,2] C．[0,2)∪(2,+∞) D．R
【答案】A
【解析】∵集合A={y|y-2>0}，集合B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}，
，故选A.
∴A∪B={x|x≥0}= [0,+∞)
3．（2019全国课时练习）不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ．故选
B．
4．（2019·安徽高一期中）若关于 的不等式 的解集为 ，其中 为常数，
则不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 解集为 可得：
解得： 所求不等式为： ，解得：
本题正确选项：
5．（2019天津高一课时练习）在R上定义运算⊗:a⊗b=ab+2a+b，则满足x⊗(x-2)<0的实
数x的取值范围为（ ）
A．(0,2) B．(-2,1)
C．(-∞,-2)∪(1,+∞) D．(-1,2)
【答案】B
【解析】由定义运算⊙可知不等式x⊙（x－2）＜0为x(x-2)+2x+x-2<0，解不等式得解集为
（－2,1）
6．（2019全国高一课时练习）一元二次不等式2kx2+kx﹣ ＜0对一切实数x都成立，则k的取值
范围是（ ）
A.（﹣3，0） B.（﹣3，0] C.[﹣3，0] D.（﹣∞，﹣3）∪[0，+∞）
【答案】A
【解析】由一元二次不等式2kx2+kx﹣ ＜0对一切实数x都成立，
则 ，解得﹣3＜k＜0．
综上，满足一元二次不等式2kx2+kx﹣ ＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣3，0）．
故选A．
二、填空题
7．（2019全国高三课时练习）不等式 的解集为___________．【答案】
【解析】不等式 的解集为 .
1
8.（2019广州市培正中学高二课时练习）若关于x的不等式 - x2+2x>mx 的解集是{x|0mx的解集为{x|00,由5x2-a≤0,得- ≤x≤ ,不等式的正整数解是1,2,3,4,则4≤
5 5 5
<5,∴80≤a<125.
即实数a的取值范围是[80,125).
10．（2019·全国高一课时练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是_____________．
【答案】
【解析】 ，且 ，所以原不等式等价于 ，不等式恒成立，则
，由 ，当且仅当 时, ，所
以正确答案为 。
三、解答题
11．（2019·全国课时练习）若不等式 的解集是{ 1 }，
ax2+5x-2>0 x| 0的解集.
1
【答案】（1）a=-2（2）-30，可化为-2x2-5x+3>0. 解得 {x|-32，均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|－22时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．
x2-4x+7
∴对一切x>2，均有不等式m≤ 成立．
x-1
而 ＝(x－1)＋ －2≥2 －2＝2(当x＝3时等号成立)．
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）
二、选择题
1．（2019·吉林长春市实验中学高一期末）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，集合 ，
所以 ，故选C．
2．（2019·汪清县汪清第六中学高一月考）不等式 的解集为 则函数
ax2-x+c>0 {x|-20的解集为(-1,3)，
那么不等式f(-2x)<0的解集为（ ）
3 1 3 1
A．(-∞,- )∪( ,+∞) B．(- , )
2 2 2 2
1 3 1 3
C．(-∞,- )∪( ,+∞) D．(- , )
2 2 2 2【答案】A
【解析】由f(x)=(ax-1)(x+b)>0的解集是(-1,3)，则a<0
1
故有 =-1,-b=3，即a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3∴f(-2x)=-4x2-4x+3
a
1 3
由-4x2-4x+3<0,解得x> 或x<-
2 2
3 1
故不等式f(-2x)<0的解集是(-∞,- )∪( ,+∞),故选A.
2 2
5．（2019·全国高一课时练习）关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式 ，即 ，若 ，不等式解集为 ；若
，不等式解集为 ，要保证恰含有两个整数，则 或 ，所以正确选项
为C。
6．（2019·阜阳市第三中学高一期末）若一元二次不等式 对一切实数 都成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式为一元二次不等式，故 ，根据一元二次函数的图象与性质可得，
的图象是开口向下且与x轴没有交点，则 ，解不等式组，得 .
故本题正确答案为A.
二、填空题
7．已知集合 ， ，则 =________.（写成区间形式）
【答案】
【解析】因为 或 ， ，所以
．故填 .
8．（2019·北京高一期末）已知集合A={ 5， 1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得
该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______．
【答案】（x+4）（x 6）＞0；（答案不唯一）
【解析】因为不等式（x+4）（x 6）＞0解集为{x|x＞6或x＜ 4}，解集中只有 5在集合A中．
故答案可为：（x+4）（x 6）＞0．（答案不唯一）
9．某小型雨衣厂生产某种雨衣,售价P(元/件)与月销售量x(件)之间的关系为P＝160－2x,生产x件
的成本R＝500＋30x.若每月获得的利润y不少于1300元,则该厂的月销售量x的取值范围为______.
【答案】20≤x≤45
【解析】由题意,得:y=Px-R=x(160-2x)-(500+30x)
,令 ,得 ,
∴y=-2x2+130x-500 y≥1300 -2x2+130x-500≥1300
∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,∴20≤x≤45.
10．（2019·重庆高一期末）若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围为
________.
【答案】
【解析】不等式 有解等价于 有解，
所以 ，故 或 ，填 .
三、解答题11．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加
税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每
年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？
【答案】 .
【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并
且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
即R2－10R＋16≤0，解得2≤R≤8，
∴税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元．
12.（2019·全国高一课时练习）已知关于 的不等式 ．
(1)求不等式的解集 ；
(2)若 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，当 时， ；当 时， ；当 时，
；(2) .
【解析】 (1) ，
当 （ ）时，不等式解集为 ；
当 （ ）时，不等式解集为 ；
当 （ ）时，不等式解集为 .
所以，当 时，不等式解集为 ；当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 .
(2)由上(1)， 时， ，所以 ，得 ，
所以，实数 的取值范围 .
