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用负责任态度，做更好的教育 目录 第一章 高中数学教案模板......................................................1 第二章 真题精选..............................................................2 真题1 《并集》.......................................................... 2 《并集》教案.............................................................3 《并集》逐字稿...........................................................4 真题2 《古典概型》...................................................... 7 《古典概型》教案.........................................................8 《古典概型》逐字稿.......................................................9 真题3 《函数的奇偶性》................................................. 13 《函数的奇偶性》教案....................................................15 《函数的奇偶性》逐字稿..................................................17 真题4 《基本不等式》................................................... 20 《基本不等式》教案......................................................21 《基本不等式》逐字稿....................................................23 真题5 《圆的标准方程》................................................. 26 《圆的标准方程》教案....................................................27 《圆的标准方程》逐字稿..................................................29 真题6 《等差数列的前n项和公式》....................................... 32 《等差数列的前n项和公式》教案..........................................35 《等差数列的前n项和公式》逐字稿........................................36 真题7 《对数的运算性质》............................................... 40 《对数的运算性质》教案..................................................41 《对数的运算性质》逐字稿................................................42 真题8 《直线与平面垂直的判定》......................................... 46 《直线与平面垂直的判定》教案............................................47 《直线与平面垂直的判定》逐字稿..........................................48 真题9 《指数函数的图象和性质》......................................... 52 《指数函数的图象和性质》教案............................................54 《指数函数的图象和性质》逐字稿..........................................55 第三章 真题精选.............................................................59 第四章 答辩.................................................................81 1用负责任态度，做更好的教育 第一章 高中数学教案模板 《 》 ×××××× 一、教学目标 1. 2. 3. 二、教学重难点 1.重点 2.难点 三、教学过程（体现教学方法） 1.导入新课 2.新课讲授 新知课（概念课/原理课） （1）感知新知——提问法/演示法 （2）探究新知——讨论法/合作探究法 （3）深化新知——提问法/讲授法 习题课 （1）提出问题，分析问题 （2）复习知识，引导解决 （3）同质习题，独立解决 （4）小组讨论，总结做题方法 3.巩固提升 4.小结作业 四、板书设计 1用负责任态度，做更好的教育 第二章 真题精选 真题 1 《并集》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《并集》 内容： 2用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节。 3.讲清并集的概念以及表示方法。 4.十分钟内完成试讲。 《并集》教案 一、教学目标 1.掌握并集的概念；会利用并集的概念进行简单的计算。 2.通过自主探究、小组合作等活动形式，学生提高独立思考团结协作的能力，经历对并 集的探索过程，培养学生逻辑推理、数学运算的能力。 3.学生通过本节课的学习，体会数学知识间的密切联系，提高了学习数学的兴趣，养成 了科学严谨的态度。 二、教学重难点 1.重点：掌握并集的概念，会简单计算并集的运算。 2.难点：掌握并集的特点，理解Venn图的含义。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：回顾集合相关的知识，提出问题：实数有加减乘除运算，集合是否也有类 似的运算呢？以此导入本节课。 环节二：新课讲授 1.初步感知 展示课本观察，给出三个集合A、B、C，让学生观察这三个集合之间有什么关系？ 2.合作探究 学生以小组为单位讨论集合C是由所有属于集合A或者集合B的元素组成。 3.新知生成 3用负责任态度，做更好的教育 一般的，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A集合B的 并集，记作AB，读作（A并B）。 环节三：巩固提升——习题练习 给出A=4 ，5，6 ，8，B=3，5，7 ，8求AB。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：复述集合的概念，并说明集合并集的特点，两个集合的并集，他们的 公共元素只能在并集中出现一次。 环节五：作业布置——知识梳理 思考1AA A，2A A，并完成课后练习题第一题第二题。 四、板书设计 《并集》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们，在上课之前请大家来回顾一下我们之前学习了集合 相关的知识，哪位同学来给大家说一下。 第一排这位男同学你来说一下，这位同学之前的知识掌握的非常扎实，请坐，这位同 学我们学习了集合的概念，以及集合之间的关系有子集、真子集等。 那同学们来想一想，对于实数有加减乘除运算，那么集合与集合之间是否也可以进行 4用负责任态度，做更好的教育 这种运算呢？这节课我们就一起来探究一下集合与集合之间的运算。 环节二：新课讲授 那 什 么 是 并 集 呢 ？ 请 同 学 们 看 多 媒 体 上 有 这 样 几 个 集 合 A=1，3，5，B2，4 ，6，C1，2，3，4，5，6。类比实数的运算，你们能说说集合C与 集合A，B之间的关系吗？ 给大家五分钟的时间以前后四人为一个小组进行探究，探究结束以后老师找同学给大 家分享一下。 老师听到同学们的讨论的声音渐渐弱了下来，请刚才讨论最激烈的第三小组派一个代 表起来说一下你们组的讨论结果。 第三小组同学告诉我们，通过观察，在上述问题中，集合A，B与集合C之间有这样一 种关系：集合C是由所有属于A或者属于集合B的元素组成，相当于A与B相加等于C。 这个小组的同学观察的非常细致，请坐。同样地，我们再来看第二组集合，集合A是有理 数，B是无理数，C是实数，他们之间满足什么关系呢？没错，还是集合C是由所有属于A 或者属于集合B的元素组成。 像这样的，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合 B的并集，记作AB，读作（A并B）。我们可以这样表示，AB x|xA，或xB 。 刚才两个问题中集合A与集合B的并集是C，即ABC。同样还可以用Venn图来表示。 接下来请同学们看黑板上的这个题目，设A=4 ，5 ，6 ，8，B3，5 ，7 ，8，请同 学们根据本节课的知识求AB，计算结束以后老师找同学来上黑板展示。 老师看同学们都放下了手中的笔，想必大家已经得到了结果，靠窗户这位同学你来上 黑板展示一下。这位同学计算的结果非常正确，其他同学也是这样的吗？看来大家已经完 全理解了并集的概念。 老师这里还有一个问题，再求两个并集的时候需要注意什么？老师听同学们都说，他 们的公共元素只能在并集中出现一次，如元素5和8。 环节三：巩固提高 现在大家已经掌握了并集的基本运算规律，请同学们根据今天所学知识来计算一下集 合Ax|1＜x＜2,B1＜x＜3求AB。最后一排举手最高的同学你来上黑板做一下， 其他同学在练习本上完成，计算结果非常正确，请回。请同学们再来思考一个问题，这个 5用负责任态度，做更好的教育 集合还可以怎么样表示呢？班长同学你来说一下，知识迁移能力很强，请坐。他说还可以 利用数轴直观的表示AB的过程。 环节四：小结作业 我们的课堂也已经接近尾声了，请一位同学起来分享一下本节课的收获。第五排中间 的男生你来说，总结的很全面并且条理清晰，希望接下来的课堂中能看到你踊跃发言的身 影。这位同学说通过本节课知道了集合与集合之间可以进行运算，在求两个集合的并集时 他们的公共元素在并集中只能出现一次。 课下请同学们思考以下问题：1A A？2A ？并完成课后练习第一题和第二 题，下节课老师找同学们来给大家说说你的结果，本节课我们就学到这里，同学们，下课！ 【板书设计】 6用负责任态度，做更好的教育 真题 2 《古典概型》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《古典概型》 内容： 我们再来分析事件的构成。考察两个试验： （1）掷一枚质地均匀的硬币的试验； （2）掷一枚质地均匀的骰子的试验。 在试验（1）中，结果只有两个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件；在 试验（2）中，所有可能的试验结果只有6个，即出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5 点”和“6点”，它们也都是随机事件。我们把这类随机事件称为基本事件（elementary event）。 基本事件有如下特点： （1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 在掷硬币试验中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在掷骰子 试验中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成。 例1 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果都列出来。 解：所求的基本事件共有6个： A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}， D={b，c}，E={b，d}， F={c，d}。 上述试验和例1的共同特点是： 7用负责任态度，做更好的教育 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability） 简称古典概型。 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节。 3.讲清基本事件以及古典概型的相关概念。 4.十分钟内完成试讲。 《古典概型》教案 一、教学目标 1.学生理解基本事件以及古典概型的概念，能判定事件是否属于古典概型。 2.通过指古典概型相关知识的探究，培养学生有关于数学抽象、数据分析等核心素养。 3.进一步体会数学来源于生活又应用于生活，激发探究数学的欲望。 二、教学重难点 1.重点：学生理解基本事件以及古典概型的概念，能判定事件是否属于古典概型。 2.难点：学生理解基本事件以及古典概型的概念。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：复习事件概率的有关知识，通过“有没有计算事件概率既简单又通用的方 法”，引导学生思考并引出本节课课题——古典概型。 环节二：新课讲授 1.引导探究——基本事件 通过课本生活实例，引导学生思考并讲解基本事件的有关知识，设置同桌交流环节， 师生共同得出基本事件的特点以及注意事项。 8用负责任态度，做更好的教育 2.合作探究——古典概型 设置简单练习题练习基本事件，通过练习引出古典概型的探究。 设置小组讨论环节，以为单位探究例题中实验的特点，总结得出古典概型的相关概念。 3.形成新知——师生合作 小组汇报，教师总结得出古典概型的相关特点。 环节三：巩固提升——习题练习 通过习题巩固本节课所学内容。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：基本事件自己古典概型有关知识。 环节五：作业布置——知识梳理 梳理本节知识内容，完成导学案的填表任务。 四、板书设计 《古典概型》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们，之前我们通过实验和观察的方法，可以得到一些事 件的概率估计，但这种方法既耗时又耗力，而且得到的仅仅是概率的近似值，那么有没有 计算事件概率既简单又通用的方法呢？今天我们先来学习一种特殊情况，后续课程我们会 9用负责任态度，做更好的教育 通过这种特殊的情况探究一下概率的计算，让我们一起走进今天的课程——《古典概型》。 环节二：新课讲授 同学们，我们先来看两个视频。第一个：抛掷一枚质地均匀的硬币试验；第二个：抛 掷一枚质地均匀的骰子实验。请大家记录实验的所有结果。看完视频，我来找同学说一下 他的记录结果，第二排最左边的同学你来说。他说他的记录的结果是，抛硬币实验的结果 有“正面朝上”和“反面朝上”，掷骰子的实验结果有“1”，“2”，“3”，“4”，“5” 和“6”，回答的非常完整，请坐。这两个事件都是随机事件，而像这样的随机事件，我们 把它们叫做基本事件。那么基本事件都有哪些特点呢？给大家3分钟的时间，同桌之间相 互交流讨论一下。 时间到，我们找同学回答一下，第三排戴帽子的同学，他说实验中的结果都是出现其 中一个，就不能同时出现其他结果，观察的可真仔细，后面同学还有补充吗？靠窗的那位 同学，他说任意基本事件的和组成了一个其他的事件。那不可能事件是什么？可以用基本 事件的和表示吗？最后排最中间的同学你来说一下，他说在一定条件下不可能发生的事件 是不可能事件，不能用基本事件的和来表示。你的知识掌握得非常扎实，请坐。 现在老师用更加规范的语言来表达，请看黑板，基本事件的特点是：任何两个基本事 件是互斥的，任何事件（除不可能事件以外），都可以表示成基本事件的和的形式。 下面我们进入快问快答环节。 掷硬币实验中基本事件，“正面朝上”和“反面朝上”构成了什么？对，这位同学说 是必然事件，回答的真不错。 掷骰子实验中，随机事件“出现偶数点”可由什么构成？后排这位扎马尾的学生你说。 嗯，她说由基本事件“2”，“4”和“6”共同组成，看来大家掌握的很不错。 接下来我们来做个练习热热身，看多媒体上的例题1，从字母a、b、c、d中任取两个 不同的字母。 2分钟时间思考有哪些基本事件？我请两位同学上黑板进行板演，其余同学在练习本上 完成，时间到，大家解题的速度非常快，大部分同学已经做完了。 我们来看第一位同学用的是一一列举的方法，基本事件有6个，分别是ab、ac、ad、 bc、bd、cd。再来看这位同学，他用的是树状图法，这样思路更加清晰了，不会丢解漏解， 最后结果同样正确，看来大家对之前的知识掌握得很扎实。 那同学们，你能试着找到例题1和前面两个实验的共同特征吗？下面进入小组4人讨 10用负责任态度，做更好的教育 论，讨论时间为五分钟。 时间到，哪个小组起来说一下你们小组讨论的结果？2组你们认为有什么特征？2组同 学说：实验中的基本事件都是可数的，这是一个共同点，还有没有小组要补充？4组同学说： 其中每一个事件出现的可能性一样，完全正确。4组同学发现了这一条隐含的特点，非常棒。 经过刚刚的探究，老师结合大家的思路总结一下：实验中所有可能出现的基本事件只有有 限个，每个基本事件出现的可能性是相等的，我们将具有这两个特点的概率模型称为古典 概率概型。 大家用一分钟时间将导学案上的内容用荧光笔标注出来。这就是我们这节课探究的重 点内容了。 环节三：巩固提高 好，为了检验大家的学习成果，我们做个练习，请判断PPT上的例子是不是古典概型。 下面请看PPT上的问题， 第一个问题：“掷飞镖落在圆盘上的事件属于古典概型吗？”大家回答的非常正确， 这不是古典概型，基本事件不是有限个。 第二个问题：“在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否会发芽。”最后一排靠窗 的同学你来回答一下，你说“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的， 所以不是古典概型。解释的很清晰。 第三个问题：“从规格直径为300±0.6毫米的一批合格产品中，任意抽取一个测量其直 径D。”最前排的同学你来说，他说测量值可能是299.4到300.6中的任何一个值，所有可 能的结果有无数个，也不是古典概型。 大家回答的非常正确，理由也非常充分，看来大家对本节课内容已经掌握了。 环节四：小结作业 既然大家的收获这么丰富，哪个小组来帮大家总结一下本节课的重点是什么？嗯，一 组代表你说，我们学习了古典概型，所有可能出现的基本事件是有限的，每个基本事件出 现的可能性是相等的，这样两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型，三组 代表还有补充，你说吧，他说用列举法求概率时，应做到不重不漏，三组代表还能从注意 事项方面给大家做总结，很用心。 好，今天的作业，完成导学案上的填表任务，并思考实际问题中有哪些事件属于古典 11用负责任态度，做更好的教育 概型。下课！ 【板书设计】 12用负责任态度，做更好的教育 真题 3 《函数的奇偶性》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《函数的奇偶性》 内容： 13用负责任态度，做更好的教育 14用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.讲清奇函数与偶函数的相关概念。 4.十分钟内完成试讲。 《函数的奇偶性》教案 一、教学目标 1.认识函数的奇偶性的概念及性质，会对函数奇偶性进行判断。 2.启发学生发现问题和提出问题，培养独立思考以及分析问题解决问题的能力。 3.体会数学中运用数形结合的思想，从图象中感受函数的性质激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重难点 1.重点：奇偶性的概念及函数奇偶性的判断。 2.难点：对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用。 三、教学过程 环节一：新课导入 15用负责任态度，做更好的教育 情境导入：给出中国结、蝴蝶标本、天安门广场等图片让学生直观感受生活中的对称 美。引入数学中函数的对称性，进而进入关于函数奇偶性的学习。 环节二：新课讲授 1.初步感知——观察总结 画出 f(x)x2和g(x)2 x 的图象，并且观察这两个函数的图象有什么共同特征。 2.合作探究——小组讨论 学生以小组为单位，通过上述的两组图象。尝试归纳：说对于xR，都有 f(x)(x)2 x2  f(x)。了解到函数 f(x)x2为偶函数、g(x)2 x 也是偶函数。 3.新知生成——师生合作 得到偶函数的概念，同时通过类似的探究方法得出奇函数的概念。 环节三：巩固提升——习题练习 1 （1） f(x)x4;（2） f(x) x 判断函数的奇偶性。 x 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：学到了什么是奇函数和偶函数，还知道了如何判断一个函数奇偶性。 环节五：作业布置——知识梳理 完成课后练习题相关习题。 四、板书设计 16用负责任态度，做更好的教育 《函数的奇偶性》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们，在上课前老师给大家展示几组图片：中国结、蝴蝶 标本、天安门广场。请同学们仔细观察这几幅图有哪些共同特点？举手最高的这位同学你 来说，这位同学说他发现这几幅图都是对称的。这位同学的观察能力很强，那其实我们知 道数学与生活是密切相关的，这节课我们就一起来学习一下关于数学中函数的对称的关系， 我们一起走进函数的奇偶性。 环节二：新课讲授 同学们接下来老师给大家五分钟时间，请画出 f(x)x2和g(x)2 x 的图象，并且观 察这两个函数的图象有什么共同特征？ 老师看同学们都已经落笔了，哪位同学来说说你的发现。第二排的女生你来说，这位 同学说，她通过图象观察发现这两个函数的图象都是关于y轴对称的。这位同学的观察能 力真的很强，很快就发现了这样的特点。 那同学们，你们能类比函数的单调性，用符号语言描述“函数图象关于y轴对称”这 一特征吗？老师给大家5分钟时间，同桌两人为一组可以试着描述一下，这里老师提醒大 家，我们可以取一些自变量的特殊值来观察相应函数值的情况。讨论时间到，请第二小组 的代表你来说下你们的成果，这个小组的同学说经过他们的探讨发现：当自变量取一对相 反数时，相应的两个函数值相等。比如 f(x)x2中 f(3)9 f(3)；f(2) 4 f(2)等。这 组同学的发现非常有价值，我们一起总结一下也就是说对于 xR，都有 f(x)(x)2 x2  f(x)。其实这个时候我们称函数 f(x)x2为偶函数。同学们可以仿照 这个过程，说说g(x)2 x 也是偶函数。看来大家对于什么是偶函数有了一定的认识。 我们通过上面的实例一起说一说偶函数的概念：一般地，设函数 f(x)定义域为I ，如 果xI ，都有xI，且 f(x) f(x)。那么函数 f(x)就叫做偶函数。 接下来同学们思考一个问题：定义中“任意一个x，都有 f(x) f(x)成立”说明了什 么？ 最后一排的同学说，这个说明 f(x)与 f(x)都有意义，即x、x必须同时属于定义域， 因此偶函数的定义域关于原点对称。这对于我们判断函数的奇偶性有很大的帮助。那同学 17用负责任态度，做更好的教育 们看过你们刚才的图象，发现了偶函数的图象是关于y轴对称，大家异口同声的得出了这 样的结果。 看来同学们都已经对偶函数有了深刻的理解，接下来我们类比上面的探究过程，老师 1 给出大家这样的两个函数 f(x)x和g(x) ，给大家5分钟时间，同学们通过画图以及用 x 符号语言精确地描述它们的特征来研究一下奇函数。 同学们都已经做完了我们请靠窗的这位同学说说你的发现。这位同学说当自变量取一 对 相 反 数 时 ， 相 应 的 函 数 值 也 是 一 对 相 反 数 。 比 如 f(x) x 中 f(3)3f(3)；f(2)2f (2) 等，我们通过她的描述一起总结一下也就是说对于 xR，都有 f(x)xf(x) 。此时称函数 f(x) x为奇函数。 那么奇函数就是：一般地，设函数 f(x)定义域为I ，如果xI ，都有xI ，且 f(x)f(x)。那么函数 f(x)就叫做奇函数。 这里同学们要注意一下，与偶函数相比较奇函数的图象是关于原点中心对称的。 环节三：巩固提高 现在大家已经掌握了什么是奇函数什么是偶函数。一起判断下面几组函数的奇偶性。 1 （1） f(x)x4；（2） f(x) x 。 x 同学们都已经很快的抢答出来了，真的是又快又准确，根据函数在定义域的整体性质， 得到第一个是偶函数，第二个是奇函数。 环节四：小结作业 不知不觉我们的课堂也已经接近尾声了，哪位同学起来分享一下本节课的收获。第二 排中间同学你来说，这位同学说通过本节课的学习，知道了什么是奇函数和偶函数，还知 道了如何判断一个函数奇偶性。看来这位同学本节课非常认真，有了很大的收获。 课后老师希望同学们完成课后相应的练习题。同学们，这节课我们上到这里，下课！ 18用负责任态度，做更好的教育 【板书设计】 19用负责任态度，做更好的教育 真题 4 《基本不等式》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《基本不等式》 内容： 20用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.讲清基本不等式的推导过程与几何解释。 4.十分钟内完成试讲。 《基本不等式》教案 一、教学目标 1.掌握基本不等式，会证明基本不等式。 2.通过基本不等式的探索培养学生观察、归纳的能力，遵循从特殊到一般的认知规律。 3.激发学生学习和使用数学知识的兴趣，体会数形结合的思想。 二、教学重难点 1.重点：探索基本不等式的内容。 2.难点：用数形结合的思想理解基本不等式的证明。 21用负责任态度，做更好的教育 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：回顾重要不等式a，b∈R，有a2 b2≥2ab。在所学的基础上引出新的课 题基本不等式。 环节二：新课讲授 1.初步感知——整体替换 学生得出a2 b2≥2ab。如果a>0，b>0，用 a， b 分别代替上式中的a，b。 ab 学生不难得出 ab ≤ 。 2 2.合作探究——小组讨论 学生以小组为单位讨论两个问题（1）什么情况上述不等式等号成立？（2）你能用语 言来表示上述不等式吗？以此来得出基本不等式。 3.新知生成——师生合作 ab 师生共同总结出不等式 ab≤ 是基本不等式，并且尝试证明基本不等式。 2 环节三：巩固提升——习题练习 通过数形结合的方式，让学生用几何来解释关于基本不等式。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：学习了什么是基本不等式，并且通过几何意义更加理解了基本不等式。 同时也体会到了数形结合的思想。 环节五：作业布置——习题延伸 通过关于基本不等式的习题应用加深学生对于本课的理解，做到课堂知识的延伸。 四、板书设计 22用负责任态度，做更好的教育 《基本不等式》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们，在前面的学习中我们利用完全平方公式得出了一类 重要的不等式，哪位同学来说一下？举手最高的这位同学说：a，b∈R，有a2 b2≥2ab。 有没有同学补充一下什么情况下等号成立。最后的这位同学说当且仅当ab时，等号成立。 看来两位同学对于之前的知识掌握得都很清晰，接下来咱们在这个重要不等式的基础上来 学习一下今天的内容：基本不等式。 环节二：新课讲授 刚才我们得出a，b∈R，a2 b2≥2ab 。如果a >0，b>0，我们用 a ， b 分别替 换上式中的a，b，可以得到什么呢，给同学们一分钟的时间，自己可以在练习本上尝试 ab 一下。老师把前排同学的结果也展示在黑板上： ab ≤ 。 2 接下来老师给大家5分钟的时间，前后四人为一个小组讨论两个问题：（1）什么情况 上述不等式等号成立？（2）你能用语言来表示上述不等式吗？ 老师听到同学们讨论的声音渐渐弱了下来，请刚才讨论最激烈的第五小组派一个代表 23用负责任态度，做更好的教育 起来说一下你们组的讨论结果。 通过探讨他们发现当且仅当ab时，等号成立。那你们用语言如何描述不等式？他们 说道：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。这组的同学思路很清晰并且语言 表达能力也很清楚。 ab 同学们，那其实刚才大家得出的这个不等式 ab≤ 就是我们所要学习的基本不等式。 2 我们通过对a2 b2≥2ab重要不等式的特殊情形得到了基本不等式，你能否利用不等式的性 质推导出基本不等式呢？老师给大家5分钟时间，请同学们思考一下。时间到，第二排的 女生你来说下你的想法： ab 这位同学说：要证 ab≤ 只需要证 2 ab≤ab ，进一步证明出 2 abab≤0 ，也 2 就是说( a b)2≤0，即( a  b)2≥0，这样的话不等式成立，并且当且仅当ab时， 等号成立。这位同学分析的非常到位，证明的过程也非常清晰。老师把她刚才所说的过程 放在投影中，同学们看看规范的书写过程。 环节三：巩固提高 现在大家已经掌握了基本不等式的内容，我们可以尝试着利用下面的图形得出基本不 等式的几何解释。 ab 大家一起来看一下：因为AC a，CBb。则 CD ab 半径为 。CD小于或等于圆 2 ab 的半径也就是说 ab≤ 。上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立。 2 那它的几何意义是什么呢，老师听见大家异口同声的说道，也就是半径不小于半弦。同学 们通过几何意义更加深刻的理解了基本不等式的内容。 环节四：小结作业 我们的课堂也已经接近尾声了，请一位同学起来分享一下本节课的收获。第五排中间 的男生你来说，这位同学说通过本节课的学习知道了什么是基本不等式，并且通过几何意 义更加理解了基本不等式。哪位同学有补充，同桌你来说，他说他通过本课的学习更加体 会到数形结合的思想在数学中的应用。看来这两位同学都有了满满的收获。 课后老师希望同学们把习题中关于基本不等式的应用进行练习，并且能和同桌说一说 你的思路。这节课我们就上到这里，下课！ 24用负责任态度，做更好的教育 【板书设计】 25用负责任态度，做更好的教育 真题 5 《圆的标准方程》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《圆的标准方程》 内容： 26用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.讲明圆的标准方程探究过程。 4.十分钟内完成试讲。 《圆的标准方程》教案 一、教学目标 1.掌握圆的标准方程，会根据圆的标准方程判断圆心坐标和半径以及会利用圆心坐标和 半径写出方程。 2.通过自主探究、小组合作等活动形式，学生提高独立思考团结协作的能力，经历圆的 标准方程的探索过程，培养学生逻辑推理、空间想象的能力。 3.学生通过本节课的学习，体会数学知识间的密切联系，提高了学习数学的兴趣，养成 了科学严谨的态度，培养了学生的空间观念。 二、教学重难点 27用负责任态度，做更好的教育 1.重点：掌握圆的标准方程，会根据圆的标准方程判断圆心坐标和半径以及会利用圆心 坐标和半径写出方程。 2.难点：理解圆的标准方程的推导过程，会根据圆的标准方程判断圆心坐标和半径以及 会利用圆心坐标和半径写出方程。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：复习直线方程的确定要素及其表示形式，以此导入本节课。 环节二：新课讲授 1.初步感知——联系经验 思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？由此得出，圆是平面上到定点的距离等 于定长的点的集合，圆心坐标确定了，半径确定了，圆就唯一确定了，因此可以建立坐标 系建立满足圆上点的坐标满足的关系式，由此得到圆的方程。 2.合作探究、新知生成——小组讨论、师生总结 给出平面直角坐标系中圆心坐标a，b，半径r ，取Mx，y为圆上一点，让学生根 据图示以及相关知识写出相应的关系式。由此得出圆的标准方程xa2 yb2 r2。 环节三：巩固提升——难点辨析 给出课本例题1，学生根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，并判断相关点是否在圆 上。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：学生根据本节课的学习分享圆的标准方程表达形式及其特殊形式。 环节五：作业布置——思考延伸 思考探究点M x ，y 在圆x2  y2 r2内的条件是什么？在圆x2  y2 r2外的条件 0 0 0 又是什么？ 四、板书设计 28用负责任态度，做更好的教育 《圆的标准方程》逐字稿 环节一：导入新课 同学们，在上课之前请大家来回顾一下我们之前学习了直线在平面直角坐标系中是如 何确定的，对于一条直线又是如何用方程表示的？哪位同学来给大家说一下。 第一排这位男同学你来说一下，这位同学对之前的知识掌握得非常扎实，请坐，这位 同学说之前我们学习了直线的方程，知道直线的斜率及直线上一点就可以确定一条直线并 且可以用AxByC 0来表示直线的方程。 那同学们来想一想，对于直线可以用方程来表示，那么在直角坐标系中圆是否也可以 用方程来表示呢？这节课我们就一起来探究一下圆的标准方程。 环节二：新课讲授 类似于直线方程的建立过程，为了建立圆的方程，我们首先需要考虑圆的几何要素， 首先请同学们思考一下在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？给大家2分钟的时间，同 桌两人为一小组探究一下，思考结束后，老师找同学来给大家说一说你们的想法。时间到 了，哪位同学来说一下？课代表同学你来说一下，课代表同学的思维非常严谨，请坐。课 代表同学说，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，在平面直角坐标系中，如果 一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了，因此我们可以建立圆上的点的坐标应 满足的关系式，进而可以得到圆的方程。 根据刚才这位同学的想法，如果在平面直角坐标系中，给出A的圆心 A 的坐标为 29用负责任态度，做更好的教育 a，b，半径为r ，Mx，y为圆上任意一点，那么我们是否可以根据圆的定义以及相关 的知识得到A集合以及等量关系呢？给大家五分钟的时间以前后4人为一小组展开探究， 探究结束以后老师找同学代表给大家分享一下。 老师听到同学们的讨论声渐渐弱了下来，请刚才讨论最激烈的第三小组派一个小代表 起来说一下你们组的讨论结果。 第三小组同学告诉我们，根据圆的定义我们可以得到A上点的集合 p M | MA r  ， 这个小组的同学得出的结论非常正确，请坐。还有哪个小组来分享一下你们的结果？第二 小组代表你们来说一下，第二小组代表说他们通过探究根据点到直线的距离公式，点 Mx，y的坐标满足的条件可以表示为 xa2 yb2 r，将等式变形两边平方可以 得到xa2 yb2 r2，这个小组讨论的结果非常有价值，请坐。接下来请同学们来思 考一下，若点Mx，y在A上，点M 的坐标满足方程吗？反过来若点M 的坐标x,y满 足方程，那么点M 与圆又有怎么样的关系呢？老师听同学们都说若点Mx,y在A上，点 M 的坐标满足方程，若点M 的坐标x,y满足方程，那么点M 就在A上。 因此我们把xa2 yb2 r2称为圆心为A a，b半径为r 的圆的标准方程。当圆 心为坐标原点时圆的标准方程为x2  y2 r2。 环节三：巩固提高 接下来请同学们根据我们今天学习的知识求圆心A2，3半径为5的圆的标准方程， 并判断点M 5，7，M 2，1是否在圆上。最后一排举手最高的同学你来上黑板做一 1 2 下，其他同学在练习本上完成，这位同学计算结果非常正确，请回。其他同学和他计算的 结果一样吗？老师看同学们都在点头，看来大家都掌握了本节课所学的知识。 环节四：小结作业 我们的课堂也已经接近尾声了，请一位同学起来分享一下本节课的收获。第五排中间 的男生你来说，总结的很全面并且条理清晰，希望接下来的课堂中能看到你踊跃发言的身 影。这位同学说通过本节课的学习解了圆的标准方程以及圆心在原点的方程，并能根据圆 心坐标和半径写出方程。 课下请同学们思考以下问题：点M x ，y 在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是 0 0 0 什么？下节课老师找同学们来给大家说说你的结果，本节课我们就上到这里，同学们下课。 30用负责任态度，做更好的教育 【板书设计】 31用负责任态度，做更好的教育 真题 6 《等差数列的前 n 项和公式》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《等差数列的前n项和公式》 内容： 32用负责任态度，做更好的教育 33用负责任态度，做更好的教育 34用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.讲清等差数列前n项和公式的推导过程。 4.十分钟内完成试讲。 《等差数列的前 n 项和公式》教案 一、教学目标 1.掌握等差数列前n项和公式，能运用前n项和公式求解相关的数学问题。 2.通过自主探究、小组合作等活动形式，学生提高独立思考团结协作的能力，经历前n 项和探索过程，培养学生逻辑推理、数学抽象的能力。 3.学生通过本节课的学习，体会数学知识间的密切联系，提高了学习数学的兴趣，养成 了科学严谨的态度，培养了学生的知识迁移。 二、教学重难点 1.重点：掌握等差数列前n项和公式并会运用。 2.难点：理解等差数列前n项和公式的推导过程。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：引导学生复习等差数列的知识，提出等差数列的通项公式是什么。通过复 习相关知识引入新课。 环节二：新课讲授 1.初步感知 通过高斯的计算过程让学生思考利用了数列的什么性质，初步感知n个正整数和的求解 方法。 2.合作探究、新知生成 35用负责任态度，做更好的教育 从特殊到一般方法的探究，让学生从n是偶数和n是奇数的情况分类探讨，得出n个正 整数和的求解方法。通过这样的倒序相加的方法启发学生，最终得出等差数列的前n项和的 一般方法。 环节三：巩固提升 通过对于公式的变形，采用尝试再用其他方法来求解等差数列的前项和，把它能转化 为首项和公差的关系。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：学生根据本节课的学习多种方法求解等差数列的前n项和。 环节五：作业布置 通过习题等让学生感受到用公式求等差数列求前n项和的便利之处。 四、板书设计 《等差数列的前 n 项和公式》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们，之前我们学习了等差数列，哪位同学来说一下它的 通项公式是什么？举手最快的这位同学你来说，这位同学说a a (n1)d 。这位同学对 n 1 于之前学习的知识掌握的很扎实。那对于等差数列又该如何计算它的前n项的和呢？这节 36用负责任态度，做更好的教育 课我们就一起来探究一下“等差数列的前n项和”。 环节二：新课讲授 同学们，我们先来看这样一则资料：200 多年前，高斯的数学老师提出问题 1+2+3+…+100=？高斯给出了这样的答案（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050。 高斯这样的算法实际上解决了求等差数列1，2，3…，n…的前100项和的问题。 同学们来想一想高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？你们能从中得到求数列 的前n项和的方法吗？ 给大家5分钟时间同桌两人可以探讨一下这个问题。时间到，我们请第一排这位同学 你来说一下，这位同学观察能力非常强，请坐。他说对于高斯在计算中利用了 a a a a L a a 这一特殊关系，也就是它使不同数的求和问题转化成了相 1 100 2 99 50 51 同数（即101）的求和，从而简化了运算。 那同学们我们将上述方法推广到一般，可以得到； a a a a L a a 当n是偶数时，1 n 2 n1 n n 。同学们可以尝试去计算它的前n项和： 1 2 2 S 123L n。给大家2分钟时间在练习本上完成，时间到，老师把前排同学计算的 n n 过程展示在大屏幕上，计算过程也非常准确，她在计算中发现有 个(1n)所以同学得出 2 n(1n) S  。 n 2 当n是奇数时，S 123L n的计算结果又是什么呢？我们请一位同学来板演其 n n1 n1 他同学在练习本上快速完成。在计算中发现有 个(1n)再加上一个 ，通过化简得 2 2 n(1n) 出S  。 n 2 大家都计算的很准确，而且通过探究我们发现对于任意的正整数n，它的前n项和都有， n(1n) S 123L n 。 n 2 同学们我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦。 37用负责任态度，做更好的教育 能否设法避免分类讨论？我们可以尝试对公式进行变形给大家5分钟时间可以思考计算一 下 。 在 巡 视 的 过 程 中 ， 看 到 同 学 们 发 现 通 过 对 上 述 的 公 式 变 形 得 到 2S 2(123L n)n(1n) 相当于两个 S 相加。老师提示同学们可以通过 n n 123L n“倒序”为n(n1)(n2)L 1再将两式相加。从而把不同数的求和转 化为n个相同的数求和，得出n个正整数和。 那对于等差数列{a }，因为a a a a L a a 根据上面方法的启示，我们 n 1 n 2 n1 n 1 n(a a ) 可以采用倒序相加的方式尝试得到等差数列{a }的前n项和公式为S  1 n 。这样的 n n 2 方法称为倒序相加的方法。 环节三：巩固提高 同学们通过上述的探究得到了等差数列的前n项和公式。给大家2分钟时间，把通项公 式代入公式，得到等差数列的前n项和公式看有什么变化。时间到，第一排的同学把你的结 n(n1) 果板演一下：S na  d。很好请回，这位同学算的又快又准。我们发现这样知道 n 1 2 首项和公差也可以表示等差数列的前n项和。 环节四：小结作业 我们的课堂也已经接近尾声了，请一位同学起来分享一下本节课的收获。第五排中间 的男生你来说，总结的很全面并且条理清晰，希望接下来的课堂中能看到你踊跃发言的身 影。这位同学说本节课采用了多种方式学习了等差数列的前n项和。 课下请同学们完成习题，来感受到公式对于求等差数列前n项和的便利之处。本节课 我们就上到这里，同学们下课！ 38用负责任态度，做更好的教育 【板书设计】 39用负责任态度，做更好的教育 真题 7 《对数的运算性质》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《对数的运算性质》 内容： 40用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.借助指数的运算性质推导对数的运算性质。 4.十分钟内完成试讲。 《对数的运算性质》教案 一、教学目标 1.学生掌握对数的运算性质，能利用对数的运算性质解决相关问题。 2.通过指对互化探究对数的运算性质，培养学生有关于数学运算、数学抽象等核心素养。 3.进一步理解转化与化归的数学思想，参与知识的形成过程，感受成功的喜悦。 二、教学重难点 1.重点：掌握对数的运算性质，能利用对数的运算性质解决相关问题。 2.难点：通过指对互化探究对数的运算性质。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：复习指数以及指对互化的有关知识，引导学生思考“对数有没有相关的运 算性质”，以此引出本节课的课题。 环节二：新课讲授 1.初步感知——引导探究 根据指数的运算性质以及指对互化的知识，引导学生逐步探究对数的第一条运算性质： log MN log M log N ，并出示相关习题进行练习。 a a a 2.合作探究——类比推导 类比对数的第一条运算性质，结合指数运算的其他两条运算性质，学生以小组为单位 进行讨论，探究对数的其他两条运算性质。 3.形成新知——师生合作 41用负责任态度，做更好的教育 小组汇报，教师总结得出对数的三条运算性质：①log MN log M log N ；② a a a M log log M log N ；③log Mn nlog M 。 a N a a a a 环节三：巩固提升——习题练习 通过习题巩固本节课所学内容。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：对数的运算性质。 环节五：作业布置——预习新知 预习探究换底公式。 四、板书设计 《对数的运算性质》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们上课之前呢，我们先一起回顾一下之前学习的主要的 内容，上一节课呢，我们学习了对数的有关知识。对于对数而言，我们可以根据对数的定 义，完成一些比较简单的计算。比如计算这个以2为底4的对数就等于2，因为22 4，所 以说log 42。同样的，我们也可以根据对数的定义完成对数和指数的互化。比如说am M 2 的话，我们可以把它写成对数的形式，应该是——对！大家说，应该等于log M m。那 a 42用负责任态度，做更好的教育 同样的，指数有它对应的性质，那对数有没有他们的一个运算性质呢？我们这节课就一起 来探究一下对数的运算性质。 环节二：新课讲授 这节课的性质的探究，我们是根据指数的运算性质来进行相应的推导。我们先来回想 一下指数的第一条运算性质：aman amn。对于这样一个性质，我们可以得到对数什么样 子的运算性质呢？我们往下去看：对于am，我们令他等于M，那么转化成对数的形式就得 到了log M m。同样的，如果我们令an N ，amn MN，把这两个式子我们再转化成对 a 数的形式又能得到什么样的公式呢？老师找一位同学上黑板上来写一下，大家拿出练习本 快速计算，自己来推导一下。 第一排这位男生你来写一下吧。好，我们这位同学已经写完了，我们来比对一下， log N n，log MN mn，这是他的一个答案，和大家的是不是一样的？看到大家都在 a a 点头，那我们把这三个式子进行一个相应的整合，用对数代替我们的m和n，得到了这样 一个性质：也就是同底数的对数相加，底数不变，先把我们后面的真数相乘，这是我们第 一个运算性质。log MN log M log N 。 a a a 4 根据这一个性质，我们可以解决比较难的对数的运算问题：log log 5? 2 5 2 这一个问题应该怎么解决呢？大家快速的计算一下。好，计算完毕了，来说一说它应 4 4 该怎么做？对，根据我们第一个运算性质，log log 5log 5log 42，这是我们 2 5 2 2 5 2 的第一个运算性质。 那同样的，指数还有其他的运算性质，比如：am an amn， amn amn。根据这两 条运算性质，经过推导又能够得到对数什么样子的运算性质呢？给大家五分钟的时间，为 小组为单位进行相互交流讨论，看一看你能不能得到详细的一个推导过程？等一下老师找 同学来分享一下你们的一个答案，大家开始讨论吧。 听到大家讨论的声音啊，已经渐渐小了下来，咱们先请第一小组的代表来说一下你们 43用负责任态度，做更好的教育 得到的一个答案。你的描述很准确，推导的方法很正确，请坐！第一小组代表是用到了这 M 一条，他说要根据我们的对数和指数的互化，同样的log M m，log N n，log mn， a a a N M 所以说得到最终的答案，也就是log log M log N 。这就是我们第二条对数的运算法 a N a a 则。 那第三条呢？第三小组代表你们来说。第三小组的代表是这样子回答的，请坐。他们 说呀，对于 amn amn而言，能推导得到对数的运算法则应该是log Mn nlog M 。以上 a a 就是我们对数的三条运算性质，我们再来说一下：①log MN log M log N ；② a a a M log log M log N ；③log Mn nlog M 。 a N a a a a 环节三：巩固提高 这就是我们这一节课所要探究的对数的运算性质，根据我们以上的性质，我们也可以 解决一些相应的问题。刚才是用到了我们第一个运算性质，我们再来看下面这一道题目： log 58 ？大家快速的计算一下，这个问题稍微有一些难度。好，这位女同学你来说。嗯， 2 你对于这一个知识掌握的很牢固，请坐！她说呀，对于这一个题目而言是这样去做的： 1 1 3 log 58 log 85  log 8 ，用到了我们的第三条运算性质。 2 2 5 2 5 环节四：小结作业 这一节课学到这里已经快结束了，我们通过本节课的学习一起探究了对数的三条运算 性质，这是我们的主要内容。其实啊，对于我们对数的运算性质而言，还有一个比较重要 的公式叫做换底公式，那什么叫作换底公式呢？又应该怎么去推导呢？希望同学们课下的 时候能够预习一下，下一节课我们再相互交流讨论，一起来探究一下换底公式。同时需要 同学们完成课本课后的相应练习题，对于本节课的知识加以巩固。好，我们这些课就学到 这里了，同学们，下课。 44用负责任态度，做更好的教育 【板书设计】 45用负责任态度，做更好的教育 真题 8 《直线与平面垂直的判定》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《直线与平面垂直的判定》 内容： 46用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.通过相关活动引导探究直线与平面垂直的判定。 4.十分钟内完成试讲。 《直线与平面垂直的判定》教案 一、教学目标 1.运用折纸来研究直线与平面垂直的判定，达到直观想象和数学抽象核心素养的结合。 2.通过自主探究、小组合作等活动形式，学生提高独立思考团结协作的能力。 3.学生通过本节课的学习，提高学习数学的兴趣，养成科学严谨的态度，培养学生的知 识迁移能力。 二、教学重难点 1.重点：掌握直线与平面垂直的判定定理。 2.难点：直线与平面垂直的判定定理的推导过程。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：复习线面垂直的定义，引导思考“如何判断一条直线和一个平面是垂直的 呢？”，引出本节课的课题。 环节二：新课讲授 1.初步感知 47用负责任态度，做更好的教育 通过定义明确探究思路：证明已知直线和平面垂直，可以选择此平面中的两条直线， 将线面垂直转化为线线垂直。 2.合作探究 设计折纸活动，通过观察折痕与桌面的位置关系，将实物抽象为一个数学立体几何模 型，以小组为单位进行探究，利用反证法进行证明。 3.新知生成 通过小组合作，师生共同总结得出线面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，也就是：“线线垂直，线面垂直”。 环节三：巩固提升——习题练习 利用本节所学完成相关数学问题。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂 直，也就是：“线线垂直，线面垂直”。 环节五：作业布置——习题练习 完成相关课后习题加以巩固。 四、板书设计 《直线与平面垂直的判定》逐字稿 环节一：导入新课 上课，同学们好，请坐。同学们，我们前面学习了线面垂直的定义，或者我们可以称 48用负责任态度，做更好的教育 之为线面垂直的性质，如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线 和此平面互相垂直，这句话我们尤其要注意什么，对，注意平面内的任意一条直线，数学 是一门严谨性的学科，那么我们如何判断一条直线和一个平面是垂直的呢？我们这节课就 一起探究一下——《直线与平面垂直的判定》。 环节二：新课讲授 同学们，根据以往学习的知识，我们可以怎样判定呢？第一排最中间的同学你来说。 他说：根据以往学习的知识，咱们可以使用定义法。嗯，你总结的很到位。但是如果使用 定义法的话，我们没有办法证明平面内的每一条直线都与已知直线垂直，这条路是走不通 的。那应该怎样证明呢？老师给大家一个提示：我们都知道两条直线可以确定一个平面， 也就是说我们想证明已知直线和平面垂直，可以选择此平面中的两条直线，将线面垂直 转化为线线垂直。 为了探究这个问题，请大家拿出准备好的三角形纸片，以小组为单位，给大家5分钟 的时间，参照PPT展示的探究活动：过点A翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖直 放在桌面上，思考两个问题： （1）折痕AD如何反折才能与桌面垂直？ （2）当折痕AD与桌面垂直时，观察这个模型有什么特征？ 好，时间到。我们请第3组的代表来说一说你们的结果。他们说，经过几次实验发现， 只有当AD为高时，AD才能与桌面垂直，而且他们发现，AD与BD和CD都是垂直的，因 此他们设想，如果我们说AD与桌面的BD、CD分别垂直，那么AD与桌面垂直，他们小组 观察的很到位，看到大家也在频频点头，看来同学们也同意他们的设想。 参照刚刚的探究过程，如果我们把刚刚得到的这个模型抽象为一个数学立体几何模型， 我们会得到图中的PPT这样所示的这样一个图形：我们把AD、BD、CD抽象为直线，桌面 抽象为平面α，我们会得到一个什么结论？对，没错，就是“如果直线AD和平面α内的两条 直线BD和CD分别垂直，那么直线AD与平面α垂直”，也就是说我们通过了两个线线垂 直，推出一个线面垂直。大家的结论正不正确呢？接下来我们用过反证法验证一下。给大 49用负责任态度，做更好的教育 家5分钟时间，同桌之间相互交流一下。 好，最左边靠窗的同学你来说。他说：他们在探究的时候想到两条直线的位置关系， 有平行和相交两种，在我们这个例子当中，BD和CD是相交关系，因此他们想如果二者是 平行的，那么这个结论可能不能成立，因此他们就通过画图的方式去思考了这个问题。他 先在平面α当中画出了两条平行线m和n，然后画第三条直线l与已知的两条直线垂直，发 现l与平面的位置关系有三种，可以平行，可以相交，也可以在平面α内，因此刚刚我们所 得到这个结论，应该修改一下：如果直线AD与平面α内的两条相交直线BD和CD分别垂 直，那么直线AD与平面α垂直。 大家同意他的想法吗？嗯，都同意。这样，我们就得到了线面垂直的判定定理：一条 直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，也就是：“线线垂直， 线面垂直”。 环节三：巩固提高 好，为了检验大家的学习成果，我们做个练习： 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，求P到BC的距离是多少？给 大家3分钟时间自主完成，我们请一位同学来板演，好。 过A作AD⊥BC于D，连接PD，因为AB=AC=5，BC=6，所以BD=DC=3，BC⊥AD， 又∵PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC， ∵PA∩AD=A， ∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PD， ∴点P到BC的距离是PD， 在△ADC中，AC=5，DC=3，∴AD=4， PD PA2PD2  8242 4 5 在Rt△PAD中， 50用负责任态度，做更好的教育 大家来看他做得对不对，做的非常好，看来这道题目难不倒大家。 环节四：小结作业 这节课学到这里已经接近尾声了，我们找位同学对本节课的内容进行总结，最右边第 一位同学，他说这节课我们学习了线面垂直的判定方法，从定义法的角度来讲，他强调任 意一条直线，这个我们不可能用它来证明，从判定定理的角度来讲，强调是两条相交直线。 这是我们之后在证明过程当中要注意的，他总结的很到位也很全面，但是也同时要注意我 们定理的图形语言和符号语言。 课后作业是请大家完成我们的课后相关练习题，对于本节课的知识加以巩固。同学们， 下课。 【板书设计】 51用负责任态度，做更好的教育 真题 9 《指数函数的图象和性质》 中小学教师资格证面试备课纸 准考证号： 姓名： 所在考场：第 考场 报考科目：高中数学 抽题时间： 题目：《指数函数的图象和性质》 内容： 52用负责任态度，做更好的教育 53用负责任态度，做更好的教育 基本要求： 1.试讲过程中结合板书。 2.采用师生互动的教学方法。 3.讲清指数函数的图象和性质。 4.十分钟内完成试讲。 《指数函数的图象和性质》教案 一、教学目标 1.运用描点法画指数函数图象，用图象来研究指数函数的性质，达到直观想象和数学抽 象核心素养的结合。 2.通过自主探究、小组合作等活动形式，学生提高独立思考团结协作的能力，经历指数 函数性质的探索过程，培养学生数形结合的数学思想。 3.学生通过本节课的学习，体会数学知识间的密切联系，提高了学习数学的兴趣，养成 了科学严谨的态度，培养了学生的知识迁移能力。 二、教学重难点 1.重点：掌握指数函数的图象和性质。 2.难点：函数性质的探究以及归纳过程中核心素养的培养。 三、教学过程 环节一：新课导入 复习导入：复习指数函数的概念，进一步研究指数函数。通过画出指数函数的图象， 然后借助图象研究指数函数的性质。以此导入本节课。 环节二：新课讲授 1.初步感知 1 通过描点的方法画出 y 2x的图象，再利用描点法或函数图象的对称性画出 y( )x 2 的图象。 54用负责任态度，做更好的教育 2.合作探究 学生绘制出a1及0a1的指数函数的图象，通过讨论研究得出指数函数的部分性 质。 3.新知生成 通过完成表格，师生共同总结出指数函数的定义域、值域和性质。 环节三：巩固提升——习题练习 给出一些指数，利用指数的性质判断大小。 环节四：课堂小结——学生总结 学生分享收获：指数函数的图象和运算性质。 环节五：作业布置——搜集应用 利用指数函数的性质解决生活中的实际问题。 四、板书设计 《指数函数的图象和性质》逐字稿 环节一：导入新课 同学们，在本节课的开始之前，我们来做个游戏。大家四人为一组，找一张纸我们来 折纸，请同学们观察对折的次数与所得的层数之间的关系，并得出对折次数x与所得层数y 的关系式。2分钟时间我们请同学起来回答一下，2组派个代表来回答一下这个关系式， 55用负责任态度，做更好的教育 y 2x，非常正确，请坐。这个关系式是我们上节课所学的指数函数，对于指数函数，它 又有怎样的性质呢？那我们这节课来学习一下《指数函数的图象和性质》。 环节二：新课讲授 首先，我们先一起来画一下y 2x的函数图象，大家拿出练习本，和老师一起画一下。 首先建立直角坐标系，其次取点（-2， ）（-1， ）（0，1）（1，2）（2，4），最 1 1 4 2 后描点连线，得到的图象是这样的。这是底数大于1的情况，那现在请大家画一画底数大 于0小于1的 x 的图象，老师找一位同学上黑板来画一下，注意将这两个函数图象 1 y  2 画在同一个直角坐标系中。 很多同学都已经画完了，这位同学画的也非常正确。现在我们一起看一下这两个函数 图象，仔细观察图象，这两个函数图象有什么关系呢？给大家3分钟的时间，和你的同桌 相互交流一下。 最中间的这位男同学，你来说。哦，你说这两个函数图象都经过了一个相同的点（0， 1），并且一个函数图象是单调递增的，另一个是单调递减的。观察的很仔细，还有其他的 发现吗？靠窗的这位女同学，你来说。这位同学补充的很完整，表现相当出色，请坐。这 位同学说：对于这两个函数而言，它们的底数是互为倒数的，而它们的图象是关于y轴对 称的，并且无限接近x轴但永不相交。 通过刚刚两位同学的描述，我们发现了这两个特定指数函数图象的特点，那对于一般 的指数函数的图象又有什么共同的性质呢？给大家10分钟的时间，先自己多画几个指数函 数的图象，再和小组成员一起交流讨论一下，看一看你们有什么发现。老师给大家提示一 下，可以根据底数的大小分成两类函数，对于性质的探究可以思考以下问题： （1）图象范围；（2）图象经过的特殊点；（3）图象从左向右的变化趋势。 好，时间到了，请一组同学先回答一下：指数函数图象的范围是什么呢？嗯，一组代 56用负责任态度，做更好的教育 表说，对于所有的指数函数，它们的图象都是位于x轴的上方，并且x的所有值都可以取到， 因此对于指数函数而言，函数的定义域为R，函数的值域是（0，+∞）。第一小组总结的 很全面，成功的解决了第一个问题。 那剩下的问题又应该怎样回答呢？第三小组你们来说吧。好，很正确，不过如果在回 答的时候逻辑再清晰一些就更好了，期待你下次的表现。第三小组代表说：对于指数函数 而言，图象都经过固定点（0，1），当底数大于1时，指数函数图象是单调递增的，当底 数在0到1之间时，指数函数的图象是单调递减的。 经过大家的探究，我们成功得到了指数函数的图象和性质，我们一起来总结一下。 ①x取任何实数时，ax 0即定义域为R，值域为（0，+∞）； ②无论a为任何正数，图象都过（0，1）点； ③a>1时， y ax是增函数；当01时， y ax是增函数；当0