文档内容
15.2.5 整数指数幂 教学设计
一、教学目标：
1.类比正整数指数幂，探究负指数整数幂的运算性质.
2.会用整数指数幂的运算性质进行计算.
3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．
二、教学重、难点：
重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质.
难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义.
三、教学过程：
复习回顾
算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．
（1） = ； 同底数幂的乘法： （m，n是正整数）
（2） = ； 幂的乘方： （m，n是正整数）
（3） = ；积的乘方： （n是正整数）
（4） = ；同底数幂的除法： （a≠0，m，n是正整数且m>n ）
（5） = ；分式的乘方： （b≠0，n是正整数）
（6） = ；
知识精讲
思考：am 中指数 m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂 am 表示什么？
做一做，你发现了什么？a3÷a5=？
a 3 a 3 1 } (a≠0) 1
a
3
÷a
5
= = = ¿ ¿¿
→a−2
= ¿
5 3 2 2 2
a a⋅a a a
1
a−n
=
一般地，当 n 是正整数时， an (a≠0).这就是说，a-n (a≠0)是 an 的倒数.1 1
a−1 = a−5 =
例如： a， a5 .
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数.
你现在能说出当 m 分别为正整数、0、负整数时，am 各表示什么意思吗？
m m
{ 是正整数 ，且
a
=¿
a
(
m )¿{1
(
m
=
0 a
≠
0
)¿¿¿¿
思考：引入负整数指数和0指数后，am·an = am+n(m，n是正整数)这条性质能否推广到m，n
任意整数的情形？
a3 1
a−5
= =
=a−2 =a3+(−5)
a3
·
a3 a2 ，即a3 ·a−5 =a3+(−5)
.
1 1 1
a−5
= =
=a−8 =a(−3)+(−5)
a−3
·
a3 ·a5 a8 ，即a−3 ·a−5 =a(−3)+(−5)
.
1 1
=
=a−5 =a0+(−5)
a0 ·a−5 =1·a5 a5 ，即a0 ·a−5 =a0+(−5)
.
归纳：
am·an = am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
整数指数幂有以下运算性质：
(1) am·an=am+n (m，n是整数)；
(2) (am)n=amn (m，n是整数)；
(3) (ab)n=anbn (n是整数)；
(4) am÷an=am-n (a≠0，m，n是整数)；
(a) n an
=
(5)
b bn
(n是整数).
(6) 当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算).
典例解析
例1.计算：(b3
)
−2
5x-1y4
a2
(1) a-2÷a5 (2) (3) (a-1b2)3 (4) 4x2y
1
解：(1) a-2÷a5=a-2-5=a-7=
a7
(2)
(3) (a-1b2)3=a-3b6=b6
a3
(4)5x-1y4 5 5 y3
= x-3y3=
4x2y 4 4x3
【针对练习】1.计算：
(1)30 =___，3-2 =___；
(2)(-3)0 =___，(-3)-2 =___；
(3)b0 =___，b-2 =___(b≠0).
2.计算：
(1) (a-1b2c-2) -3 (2) (
y-2
)
-3
3x4
(1)解： a3c6
(a-1b2c-2
)
-3=(a-1
)
-3·(b2
)
-3·(c-2
)
-3 =a3b-6c6 =
b6
(2)解：(
y-2
)
-3
=
y6
=27x12y6
．
3x4 3-3x-12
例2.计算：
(1)a-2b2·(a2b-2)-3 (2)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 (3)(-3x2y-3) -2 ⋅(-2x2y) 3 ÷ ( - 1 x y2)
6
解：(1) 原式=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b8
a8(2)原式=(1a-2b-4c6)÷(a-6b3)= 1a4b-7c6=a4c6
4 4 4b7
(3)原式= 1 x-4 y6 ⋅(-8x6 y3)÷ ( - 1 x y2) = 1 ×(-8)×(-6)x-4+6-1y6+3-2= 16 x y7．
9 6 9 3
【点睛】对于这类运算先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指
数幂．
【针对练习】计算：
(1) (2)
(a2b-1
)
-2÷(2a-1bc) (x2y-1) 2 ⋅(x-1y2) 3 ÷(-x-1y) 4
1 b
解：(1)(a2b-1
)
-2÷(2a-1bc)=(a-4b2)÷(2a-1bc) = a-3bc-1 = ．
2 2a3c
（2） ．
(x2y-1) 2 ⋅(x-1y2) 3 ÷(-x-1y) 4 =x4 y-2 ⋅x-3y6÷x-4 y4=x y4÷x-4 y4 =x5
例3.计算：
分析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根
据实数的运算法则进行计算．
解：
【针对练习】计算：
解：例4.先化简，再求值：( a+2 - a-1 ) ÷ a-4，其中 a= ( - 1) -2 +(-2021) 0 ．
a2-2a a2-4a+4 a-2 2
解：原式 [ a+2 a-1 ] a-4，
= - ÷
a(a-2) (a-2) 2 a-2
(a+2)(a-2)-a(a-1) a-2，
= ⋅
a(a-2) 2 a-4
a-4 a-2
= ⋅ ，
a(a-2) 2 a-4
1
= ，
a2-2a
∵a= ( - 1) -2 +(-2021) 0，∴a=4+1=5，
2
1 1
∴原式= = ．
52-2×5 15
【针对练习】先化简，再求值： ( m+1- 4m-5) ÷ m2-4 ，其中m=-30+ (1) -1 ．
m-1 3m-3 2
(m+1)(m-1)-4m+5 3(m-1)
解：原式= ⋅
m-1 (m+2)(m-2)
(m-2) 2 3(m-1)
= ⋅
m-1 (m+2)(m-2)
3(m-2)
=
m+2
当m=-30+
(1) -1
=1，即m=1时，原式=
-3
=-1．
2 3
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测
1．下列计算正确的是（ ）
1
A．a-3 ⋅a-2=-a B．a-8÷a-2=a4 C．(a-2) -3 =a6 D．2a-2=
2a2
2．计算 的结果是（ ）
(a-1b2c-2
)
-3
A． B． C．a3b6 D．a3c6
a-1b-6c2 a3b2c6
c6 b6
3．计算 的结果是（ ）
(a2) 3 ⋅a-3
A．a2 B．a3 C．a5 D．a9
4．计算a﹣2b2•(a2b﹣2)﹣2正确的结果是（ ）
A．a6 B．b6 C．a6b6 D． 1
b6 a6 a6b6
5．已知a=
(1) -2
,b=(-2) 3,c=(x-2) 0 (x≠2)，则a，b，c的大小关系为（ ）
2
A．b
