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第二章 一元二次函数与不等式
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1．已知关于 的不等式 的解集为R，则实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，不等式为 ，对 恒成立，所以满足条件
当 时，不等式为 ，解集为 ，不满足题意
当 时，对应的二次函数开口向上， 的解集一定不是R，
不满足题意
当 ， 时，若不等式 的解集为R，则
，解得： ，综上，
故选：B
2．不等式 的解集是 ，则 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：因为不等式 的解集是 ，
所以方程 的两根为 ，
所以由韦达定理得 ， ，即 ，
所以 ，解不等式得解集为
故选：C
3．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题意得， ， ，即 ，
故问题转化为 在 上有解，
设 ，则 ， ，
对于 ，当且仅当 时取等号，
则 ，
故 ，
故选：A
4．若实数 ， ，满足 ，以下选项中正确的有（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】D
【解析】 实数 ， ， ，
整理得 ，当且仅当 时取 ，故选项A错误；
( ，
当且仅当 时取 ，故选项B错误；
， ，
，当且仅当 时取 ，
但已知 ,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
2，
，
，当且仅当 时取 ，故选项D正确，
故选：D
5．设 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ .其
中正确的结论的序号为（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
【答案】B
【解析】
【分析】因为 ，故 ，故①正确；
不妨取 ，满足 ，但 ，故②错误；
由 ，可得 ，故③错误；
由于 ，则 ，而 ，
故 ，即 ，故④正确，
故选：B
6．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为9 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 的最小值为9，故A错误；
对于B， ，
当 时（此时 ） 取得最小值 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，即 的最大值为 ，故C错误；
对于D， ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：D.
7．已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式 可化为 （*）．
当 时，（*）式即 ．
即 ．
又 （当 时取等号）
（当 时取等号）．
所以 ，
当 时，（*）式为 ， ．
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），所以 ．
综上， ．
故选：B．
8．已知函数 ，设关于 的不等式 的解集为 ，若
4，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：显然当 时， ，不满足条件；
当 时，易知 ，当 时， ，于是 ，
而由 ，可得 ，即 ，所以 也不满足条件，
当 时，函数 ，
因为关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则在 上，函数
的图象应在函数 的图象的下方，
如图所示，要使在 上，函数 的图象在函数 的图象的下方，
只要 即可，即 ，
化简可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
综上， 的取值范围为 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知方程 及 分别各有两个整数根 ， 及 ， ，且
， 则下列结论一定正确的是（ ）
A． ， ， ，
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】解：对于A：由 知， 与 同号．
若 ，则 ，这时 ，
所以 ，
此时与 矛盾，
所以 ， ．
同理可证 ， 故A正确；
对于B：根据题意可知，
， ， ，解得 ．
同理 ， ，
即 ，故B不正确，D正确；
对于C：由A知， ， ， ， 是整数，所以 ， ．
由韦达定理有 ，
所以 ，故C正确；
故选：ACD．
10．已知关于x的不等式 的解集为 则（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．
D．不等式 的解集为
【答案】BC
6【解析】因为关于x的不等式 的解集为
所以 ， 是方程 ，
所以A错误， ，则 ，
对于B，由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以不等式 的解
集为 ，所以B正确，
对于C，因为 ， ，所以 ，所以C正确，
对于D，不等式 可化为 ，因为 ，所以 ，
解得 ，所以原不等式的解集为 ，所以D错误，
故选：BC
11．下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集为
B．若实数a，b，c满足 ，则
C．若 ，则函数 的最小值为2
D．当 时，不等式 恒成立，则k的取值范围是
【答案】AB对A，由 解得 或 ，所以A正确；
对B，由于 ，所以可以对 两边同除 ，得到 ，所以B正确；
对C，由于 ，所以 当且仅当 ，即
时取等号，显然不成立，所以C错误；
对D，①当 时，不等式为 ，恒成立；
②当 时，若要使不等式 恒成立，则 ，解得 ，
所以当 时，不等式 恒成立，则k的取值范围是 ，所以D错误.
故选：AB．
12．已知关于x的不等式 的解集是 ，其中 ，则下列结论中
正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由题设， 的解集为 ，
∴ ，则 ，
∴ ， ，则A、D正确；
原不等式可化为 的解集为 ，而 的零点分别为 且开
口向下，又 ，如下图示，
∴由图知： ， ，故B错误，C正确.
故选：ACD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数 满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】4
【解析】 ，设 ，则 ， ，
，
，
等号在 ，即 ，或 时成立.
所以 的最小值为4.
故答案为：4
814．已知正实数a，b，满足 ，则 的最大值为___．
【答案】
【解析】：因为正实数 ， ，满足 ，
则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
令 ， ，
则原式
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最大值 ，
故答案为： .
15．若对任意 ， 恒成立，则 的最大值为
_________．
【答案】 ##
【解析】解：令 ，则 ，故 ，
对任意 ， ，则 恒成立，
∴
∴ ，此时 ，
∴ ，当 时取等号，
此时 成立，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
16．已知关于x的方程 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是
___________．【答案】
【解析】由题意可知关于x的方程 有4个不同的实数解，可分为以下几种
情况：①当 时，方程 ，化为 ，解得 ，不满足题意，舍
掉；
②当 时，方程 ，化为 ，此方程有两个正根，即
，解得 ；
③当 时，方程 ，化为 ，此方程有两个负根，即
，解得 ；
由①②③可知，实数a的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 （10分）
已知二次函数 （ 为实数）
(1)若 的解集为（1，2），求不等式 的解集；
(2)若对任意 ， 时， 恒成立，求 的最小值；
(3)若对任意 ， 恒成立，求ab的最大值．
【答案】(1) (2)1(3)
【解析】（1）依题意知， ，且方程 的两根为1，2由根与系数间的关
系得 ，则 ．故不等式
解得： ，即原不等
式的解集为 ．
（2）因为 时， 恒成立，故得 ，那 ，即
10，所以 （当且仅当 时等号成立）
（3）令 ，则 ，所以 ．对任意 ，恒
成立，所以 恒成立．所以 且
所以 ，此时
，因此 ，当且仅当 时等号成立，此时
，（或 ）验证，
成立故ab的最
大值为 ．
18 （12分）
求实数 的范围，使关于 的方程
(1)有两个实根，且一个比 大，一个比 小；
(2)有两个实根 ，且满足 ；
(3)至少有一个正根.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)设 ．
依题意有 ，即 ，得 ．
(2)设 ．
依题意有 ，解得 ．
(3) ．
方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得 ，即
②有一个正根，一个负根，此时可得 ，得 ．
③有一个正根，另一根为 ，此时可得
综上所述，得 ．
19 （12分）已知关于 的一元二次函数
(1)若 的解集为 或 ，求实数 、 的值．
(2)若实数 、 满足 ，求关于 的不等式 的解集．
【答案】(1) (2)详见解析
(1) 的解集为 或 ，
与 是一元二次方程 的两个实数根，
，解得 ．
(2) ，关于 的不等式 化为： ，
因式分解为： ，
当 时，化为 ，则 ；
当 时， ，解得 ，不等式的解集为 ；
时， ，解得 不等式的解集为 ；
时， ，不等式 化为： ，解得 或 ，不
等式的解集为 或 ．
20（12分）
12已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上的值域；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最大值；
(3)求 在 上的最大值与最小值．
【答案】(1) (2)
(3)答案见解析
(1)当 时， ，
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
，
函数 在区间 上的值域是 ；
(2)当 时， ，
，函数 在区间 上的最大值 ；
，函数 在区间 上的最大值 ；
函数 在区间 上的最大值 ；
(3) 函数 的对称轴为 ，
①当 ，即 时，函数 在 上是增函数，
当 时，函数y取得最小值为 ；当 时，函数 取得最大值为 ．
②当 ，即 时，
当 时，函数 取得最小值为 ；当 时，函数 取得最大值为 ．
③当 ，即 时，
a时，函数 取得最小值为 ；当 时，函数 取得最大值为 ．
④当 ，即 时，函数 在 上是减函数，
故当 时，函数 取得最大值为 ；当 时，函数 取得最小值为 ．
综上，当 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，当 时，函数的最
大值为 ，最小值为 ，当 时，函数的最大值为 ，最小值为，当 时，函数的最大值为 ，最小值为
21（12分）
某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x
万元（ ）满足关系式 （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月
销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万
元，厂家将每件产品的销售价定为 元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销
售收入-生产投入-促销费用）
(1)将y表示为x的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1) ， .
(2)月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.
【解析】(1)由题意知当 时， ，代入
则 ，解得 ， .
利润 ，
又因为 ，
所以 ， .
(2)由（1）知 ，
因为 时， ，
因为 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，
故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元.
22（12分）
已知 是二次函数， 的解集是 ，且 在区间 上的最大值是12.
(1)求 的解析式；
14(2)解关于 的不等式 .
【答案】(1) (2)详见解析.
【解析】(1)解：因为 是二次函数，不等式 的解集是 ，
所以 ，
又 在区间 上的最大值是12，
所以 ，
解得 ，
所以 ；
(2)由（1）知不等式为 ，
即 ，
因为 ，即为 ，
当 时， ，所以 或 ，
当 时，则 ；
当 时， ，所以 或 ，
综上：当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集是 .16
