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专题02 排列与排列数
题型一：排列的概念及简单计算
题型二：排列数方程与不等式
题型三：全排列问题
题型四：元素（位置）有限制的排列问题
题型五 ：相邻问题的排列问题
题型六：不相邻问题的排列问题
题型七：数字的排列问题
题型一：排列的概念及简单计算
1．（24-25 高二下·江苏南京·期中）
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·上海闵行·阶段练习）下列选项中，不属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9 中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从
中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
3．（23-24 高二下·山东菏泽·期中）
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．从
本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）（多选题）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从10 人中选取5 人组成一个卫生队
B．从10 人中选取4 人参加4×100 米接力赛
C．从10 人中选取5 人参加某兴趣小组
D．从10 人中选取5 人分别去五个地区支教
6．（23-24 高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，
，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，
，，
中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
7．（24-25 高二下·山东临沂·阶段练习）一个数阵有
行
列，第一行中的
个数互不相同，其余行都由这
个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，则
的最大取值 ．
8．（2025·上海·三模）互不相同的正整数
满足
，满足条
件的有序实数对
有 组（结果用数值表示）.
题型二：排列数方程与不等式
1．（24-25 高二下·广东清远·期末）
（ ）
A．8
B．13
C．63
D．66
2．（24-25 高二下·四川成都·期末）
（ ）
A．0
B．56
C．1
D．42
3．（24-25 高二下·吉林松原·期中）已知
，则
（ ）
A．5
B．3
C．4 或6
D．4
4．已知
，则x 等于（ ）
A．6
B．13
C．6 或13
D．12
5．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高二下·江苏扬州·期中）（多选题）满足不等式
的x 的值可能为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．（多选题）满足不等式
的
的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．（24-25 高三·上海·课堂例题）
，则
.
10．（24-25 高三·上海·随堂练习）已知
，则正整数
．
题型三：全排列问题
1．（25-26 高三上·福建·阶段练习）用
可以组成
个无重复数字的六位奇数，则
（ ）
A．360
B．400
C．420
D．450
2．（25-26 高一上·浙江·开学考试）对于正整数n，符号
…
，例如：
，
，如果
，那么
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．（24-25 高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4 条不同的旅游路线，甲要从中任选2 条路线，
分别在假期7 月和8 月出游，则不同的选择及安排方法有（ ）
A．24 种
B．16 种
C．12 种
D．6 种
4．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、
木、匏páo 、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶
fǒu 、埙xūn ”2 种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4 种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3
种乐器．现从这三类乐器中各选1 种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ）
A．144 种
B．72 种
C．44 种
D．48 种
5．（25-26 高二上·全国·课前预习）把n 个不同的元素 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，
全排列数为
（叫做n 的阶乘）．规定：
.
6．（23-24 高二下·河北保定·阶段练习）3 名工人各自在4 天中选择1 天休息，且每天最多只能1 个人休息，
则共有 种不同的休息方法.
题型四：元素（位置）有限制的排列问题
1．（25-26 高三上·青海西宁·期中）2025 年10 月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源
“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周
后合影留念，2 名指导老师和5 名学生排成一排照相留念，若2 位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A．5040 种
B．1440 种
C．720 种
D．360 种
2．（24-25 高二下·贵州遵义·阶段练习）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨
水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和
“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A．24
B．48
C．144
D．240
3．（2025 高三·全国·专题练习）在图所示的10 块地中，选出6 块种植
这六个不同品种的蔬菜，
每块地种植一种．若
必须横向相邻种在一起，
与
在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同
的种植方案有（ ）.
A．3120 种
B．3360 种
C．5160 种
D．5520 种
4．（24-25 高二下·天津·期中）一场小型晚会有3 个唱歌节目和2 个相声节目，要求排出一个节目单．第一
个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3 个节目中要有相声节目，有 种排
法．
5．（25-26 高三上·云南·期中）甲、乙等5 名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等
奖、优秀奖各1 名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有 （用数字作答）种.
6．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）某数学兴趣小组的6 名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学
必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种.
7．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）数字10 在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两
人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10 张，分别含有数字2 至数字10，以及一张字母
．
为了计数的方便，两人约定字母
代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一
人所抽数字总和为10 时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为 ．
8．（25-26 高三上·江苏南京·阶段练习）某市抽调5 位老师分赴3 所山区学校支教，要求每位老师只能去一
所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分
派方法的种数是 .
9．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起
出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为 ．
10．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）用1，2，3，
四个数组成一个五位数（每个数仅用到1 次），则能
组成 个不同的五位数．
题型五 ：相邻问题的排列问题
1．（24-25 高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中
甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（ ）种.
A．6
B．12
C．36
D．72
2．（24-25 高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6 名同学站成一排参加文艺汇演，
若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．48 种
B．72 种
C．96 种
D．144 种
3．（24-25 高二下·广东茂名·期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b 中组成无重复的五
位字符的密码，要求a 与b 相邻，则可以设置不同的密码的个数为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
4．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）现有
五人站成一排，则
相邻且
不相邻的排法种数
共有 种．
5．（25-26 高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3 个班各有2 名同学获奖，现将这6 人
站成一排拍照，其中甲班的2 名同学相邻，且乙班的2 名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作
答）
6．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6 名同学（4 名男生、2
名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．
（用数字作答）
7．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4 名大学生
和2 名老师（甲、
乙）排成一列合影．要求大学生
与
必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有
种．
题型六：不相邻问题的排列问题
1．（24-25 高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在
两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．72 种
2．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，
其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6 块知识展板放置在排成一排的六
个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不
同放置方式的种数为（ ）
A．144
B．240
C．336
D．456
3．（24-25 高二下·四川资阳·期末）某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女
果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（ ）
A．240 种
B．360 种
C．480 种
D．512 种
4．（24-25 高二下·云南曲靖·阶段练习）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要
安排3 个歌舞类节目、2 个情景类节目和2 个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景
类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（ ）
A．1560
B．2640
C．1360
D．2340
5．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）某班星期一上午安排5 节课，若数学2 节，语文、物理、化学各1
节，且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 .
6．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展
“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，
“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种．
7．（2025 高三·全国·专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列是1，1，2，3，5，8，…，
这个数列从第3 项开始，每一项都等于前两项之和．小李以前6 项数字的某种排列作为他的银行卡密码，
如果数字1 与2 不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数有 种．
8．（24-25 高二下·四川绵阳·期末）有3 名男生和2 名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男
生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ．
9．（2025 高二·全国·专题练习）有2 名女生和3 名男生共5 名学生站成一排照相，则女生甲不在两端、3
名男生中有且只有2 名相邻的站法有 种.
题型七：数字的排列问题
1．（25-26 高三上·福建·阶段练习）用
可以组成
个无重复数字的六位奇数，则
（ ）
A．360
B．400
C．420
D．450
2．（2025 高三·全国·专题练习）将1，2，3，4，5，6，7 这7 个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有
（ ）．
A．576 种
B．720 种
C．864 种
D．900 种
3．（24-25 高二下·吉林·期末）用、
、、
可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数
为（ ）
A．36
B．48
C．60
D．72
5．（24-25 高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4 这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．9
B．12
C．16
D．24
6．（24-25 高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任选3 个数字，可组成无重复数字
的三位数的个数为（ ）
A．60
B．84
C．100
D．120
7．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）从数字0，1，2，3，4，5 中任取四个数字，组成没有重复数字的
四位偶数，其个数为
8．（25-26 高三上·广东·开学考试）从1，2，3，…，19，20 中选三个不同的数a，b，c，且满足
的数组（a，b，c）的个数为 ．
9．（2025 高三·全国·专题练习）由数字1，2，3，4，5，6，7 组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，
所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为 .
10．（24-25 高二下·上海·期末）在由1，2，3，4 这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为
．
题型八：综合问题
1．（24-25 高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实
际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137 可表示为“
”，26 可表示为“
”，现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含
数字
的三位数的个数为（ ）
A．10
B．20
C．36
D．38
2．（24-25 高二下·湖北·期中）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．
四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中
均为自然数，则满足条件的有序数组
的
个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．
通过海选，现有6 个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6 个节目的演出顺序有如下
要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240 种
B．188 种
C．144 种
D．120 种
4．（23-24 高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古
乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻
且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128
B．64
C．48
D．24
5．（2025 高三·全国·专题练习）在如图所示的标有不同号码的5 格餐具盒里面放入5 种馅料的烧饼（肉、
糖、什锦、腊肠、火腿）各1 个，每个格子只能放1 个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊
肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种．
6．（24-25 高二下·河南濮阳·期末）将8 块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式，首尾相连拼接成一
个圆环，若任意调换积木的顺序，但其中红色和黄色两块积木必须相邻，则可以拼成的不同圆环有
种.（用数字作答）
7．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6 的卡片
各1 张，两人轮流从中不放回的随机抽取1 张卡片，直到其中1 人抽到的卡片编号之和等于10 或者所有卡
片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3 张卡片时，游戏恰好结束的概率为 .
8．（2025·辽宁辽阳·一模）某工人给排成一排的
块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第
号，共
种颜色，其中
，
.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第
号颜色
（每种颜色至少使用一次，
，
），则称此方案为一种
上色方案.当
时，不同的
上
色方案共有 种.
