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限时跟踪检测(六十三) 排列与组合
一、单项选择题
1．(2024·吉林长春质检)树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4名
男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有(
)
A．8种 B．9种 C．12种 D．14种
2．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )
A．20 B．19 C．10 D．9
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则
不同的坐法有( )
A．10种 B．16种
C．20种 D．24种
4．若将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，
且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 B．20 C．30 D．42
5．(2024·安徽合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实
验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊 5名航天员开展实验，其中天和核心舱
安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实
验，则不同的安排方案共有( )
A．8种 B．14种
C．20种 D．116种
6．(2024·北京市第十二中学期末)4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加
入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A．10 B．20 C．24 D．30
7．(2024·山东济宁模拟)为了办好第19届亚运会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志
愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加
入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，
这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于
专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为( )
A．144 B．150
C．168 D．192
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的
战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数
学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，从大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A．18种 B．36种
C．54种 D．78种
二、多项选择题
9．(2024·山东潍坊期末)中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．
“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种
历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节
连排六节课，则下列说法正确的是( )
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
三、填空题与解答题
11．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加
一科竞赛．若每个同学可以自由选择，则不同的选择种类是________，若甲和乙不参加同
一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________．(用
数字作答)
12．(2024·吉林长春模拟)将A，B，C，D，E这5名学生从左至右排成一排，则满足
“A与B相邻且A与C之间恰好有1名学生”的不同排列方法有________种．
13．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．
(结果用数字作答)
(1)如果3名女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？
(3)如果3名女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
14．将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
高分推荐题
15．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老
师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则分配方案的种数为( )
A．10 B．12
C．14 D．24
解析版一、单项选择题
1．(2024·吉林长春质检)树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4名
男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有(
)
A．8种 B．9种 C．12种 D．14种
解析：任意选有C＝15(种)选法，都是男生有1种选法，则至少有一名女生有14种选
法．故选D．
答案：D
2．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )
A．20 B．19 C．10 D．9
解析：“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e，o选
定位置，其余三个相同的字母r的位置就固定，即所有的拼写方式为A，error拼写错误的
种数为A－1＝19.
答案：B
3．甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则
不同的坐法有( )
A．10种 B．16种
C．20种 D．24种
解析：一排共有8个座位，现有两人就座，故有6个空座．∵要求每人的两旁均有空
座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就座，即有A＝20(种)坐法．故选
C．
答案：C
4．若将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，
且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 B．20 C．30 D．42
解析：四个篮球分成三组有C种分法，三组篮球进行全排列有A种分法，标号为1,2
的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30(种)分法．
答案：C
5．(2024·安徽合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实
验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊 5名航天员开展实验，其中天和核心舱
安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实
验，则不同的安排方案共有( )
A．8种 B．14种
C．20种 D．116种解析：可按照甲是否在天和核心舱划分：①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除
了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有C·A＝3×2＝6(种)可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三
人进入天和核心舱即可，则有C·C＝2×4＝8(种)可能．根据分类加法计数原理，共有6＋8
＝14(种)可能．
答案：B
6．(2024·北京市第十二中学期末)4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加
入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A．10 B．20 C．24 D．30
解析：方法一：不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有＝30(种)排法，故选D．
方法二：插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序
没变，因而有C种排法，再排新插入的2位同学有A种排法，从而共有CA＝30(种)排法，
故选D．
方法三：6个位置可以先排后加入的2位同学，有A＝30(种)排法，剩下4个位置原4
位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D．
答案：D
7．(2024·山东济宁模拟)为了办好第19届亚运会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志
愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加
入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，
这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于
专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为( )
A．144 B．150
C．168 D．192
解析：由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，
若没有限制则共有C·A＝240(种)安排方法；
当两个女同学在一起时有A＝24(种)安排方法；
当男同学小王、女同学大雅在一起时有A＝24(种)方法，
所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.
答案：D
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的
战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数
学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选
2门，从大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A．18种 B．36种
C．54种 D．78种
解析：由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选 2门，则每位同学每年所修课
程数为1,1,2或0,2,2.若每年所修课程数为1,1,2，则先将4门课程按1,1,2分为三组，有＝
6(种)不同的方式，再分配到三个学年，有A＝6(种)不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有36种；若每年所修课程数为0,2,2，则先将4门课程按0,2,2分为三组，
有＝3(种)不同的方式，再分配到三个学年，有A＝6(种)不同的方式，由分步乘法计数原理，
知不同的选修方式共有18种．综上，每位同学的不同选修方式有36＋18＝54(种)，故选
C．
答案：C
二、多项选择题
9．(2024·山东潍坊期末)中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．
“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种
历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节
连排六节课，则下列说法正确的是( )
A．某学生从中选3门学习，共有20种选法
B．“礼”和“射”不相邻，共有400种排法
C．“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种排法
D．“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种排法
解析：对于A，某学生从中选3门学习，共有C＝20(种)选法，故A正确．对于B，
“礼”和“射”不相邻，则有AA＝480(种)排法，故B错误．对于C，①若“数”排在第
一节，则排法有A＝120(种)；②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有
CCA＝384(种)．所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 120＋384＝
504(种)排法，故C正确．对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有
4AA＝48(种)排法；②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有 3AA＝36(种)排
法；③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有 3AA＝36(种)排法．所以
“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48＋36＋36＝120(种)排法，故D错
误．故选AC．
答案：AC
10．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2 160种分法
解析：对于A，先从6本书中分给甲2本，有C种方法；再从其余的4本书中分给乙2
本，有C种方法；最后的2本书给丙，有C种方法．所以不同的分配方法有CCC＝90(种)，
A正确．对于B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、
丙三人．所以不同的分配方法有CA＝90(种)，B正确．对于C,6本不同的书先分给甲、乙
每人各2本，有CC种方法；其余2本分给丙、丁，有A种方法．所以不同的分配方法有
CCA＝180(种)，C正确．对于D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，
有·种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人．所以不同的分配方法有··A＝1 080(种)，D错误．
答案：ABC
三、填空题与解答题
11．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛．若每个同学可以自由选择，则不同的选择种类是________，若甲和乙不参加同
一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________．(用
数字作答)
解析：若每个同学可以自由选择，由分步乘法计数原理可得，不同的选择种数是35＝
243.因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案．
当分配方案为2,2,1时，共有CA＝18(种)；当分配方案为3,1,1时，共有CA＝12(种)．所以
不同的选择种数是18＋12＝30.
答案：243 30
12．(2024·吉林长春模拟)将A，B，C，D，E这5名学生从左至右排成一排，则满足
“A与B相邻且A与C之间恰好有1名学生”的不同排列方法有________种．
解析：根据题意，分2种情况讨论：
①当A，C之间为B时，排列方法为AA＝12(种)；
②当A，C之间为D或E时，排列方法为CAA＝8(种)．
综上，所有排列方法为12＋8＝20(种)．
答案：20
13．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．
(结果用数字作答)
(1)如果3名女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？
(3)如果3名女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
解：(1)根据题意，分2步进行分析：
①先将4名男生排成一排，有A种情况；
②男生排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A种情况．
则有AA＝1 440(种)不同的出场顺序．
(2)根据题意，将7人排成一排，有A种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在
女生乙的后面的排法是一样的，
则女生甲在女生乙的前面的排法有A＝2 520(种)，所以有2 520种不同的出场顺序．
(3)根据题意，分3步进行分析：
①先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A种情况；
②将3名女生的整体和4名男生全排列，有A种情况；
③女生甲不在第一个出场，减去其第一个出场的情况即可．
则有AA－AA＝672(种)不同的出场顺序．
14．将6个相同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
解：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球
之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)方法．
(2)恰有一个空盒子，分两步进行，先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如“|○|○○○|○○|”(其中“|”表示隔板，“○”表示小球)，有C
种插法，然后将剩下的一块隔板与已放置的隔板中任意一块并放形成空盒，如“|○||○○○|
○○|”，有C种插法，故共有CC＝40(种)方法．
(3)恰有两个空盒子，分两步进行，先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5个空隙
中任选1个空隙插一块隔板，有C种插法，如“|○○|○○○○|”，然后将剩下的两块隔板插入
形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子如“||○○||○○○○|”，有C种插法；
②将两块板与前面三块板之一并放，如“|○○|||○○○○|”，有C种插法．
故共有C·(C＋C)＝30(种)方法．
高分推荐题
15．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A，B，C，D四个班级，每个班级一位老
师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则分配方案的种数为( )
A．10 B．12
C．14 D．24
解析：方法一：将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况：①甲分配
到B班，则乙、丙、丁三位辅导老师安排在剩下的三个班，有A＝6(种)分配方案；②甲不
分配到B班，甲有C，D两个班可以选择，有A种分配方案，丁有两个班可以选择，有A
种分配方案，乙、丙两位辅导老师安排在剩下的两个班，有 A种分配方案，所以共有
A×A×A＝8(种)分配方案．由分类加法计数原理可得，共有6＋8＝14(种)分配方案．故选
C．
方法二：甲、乙、丙、丁四位辅导老师全排列，有 A种排法，其中甲分配到A班有A
种排法，丁分配到B班有A种排法，而甲分配到A班的同时丁分配到B班有A种排法，所
以甲不能分配到A班，丁不能分配到B班的分配方案有A－2A＋A＝14(种)．故选C．
答案：C
