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吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．已知 ，则复数 的共轭复数 为（ ）.
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，设 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ，满足此条件 有两解，则BC边长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，角 所对的边分别为 ， 是边 的中点， ， 若 ，则边
（ ）.
A．16 B． C．4 D．8
5．如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．结合图示，某坡度为 的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为 和 ，
第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（ ）A． B． C．90m D．
7．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点 是
“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．在 中， 为 内的一点， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若P为 的重心，则 B．若P为 的外心，则
C．若P为 的垂心，则 D．若P为 的内心，则
二、多选题
9．如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，已知 ， ，则下列说法
正确的是（ ）A． B．四边形 的周长为
C． D．四边形 的面积为
10．已知向量 ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 取得最小值，则
D．若 ，则 在 上的投影向量为
11．在 中，点 分别满足 与 相交于点 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A．
B．若 ，则
C．
D．若 外接圆的半径为2，且 ，则 的取值范围为
三、填空题12．复数 满足 ，则 的最大值为 .
13．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ABC的面积为3， ，
△ △
，则 的值为 ．
14．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如
图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为正三角形， ， ， 围成的
也为正三角形．若 为 的中点，① 与 的面积比为 ；②设 ，
则 ．
四、解答题
15．设复数 ， .
(1)在复平面内，复数 对应的点在实轴上，求 ；
(2)若 是纯虚数，求实数 的值.
16．在 中， ， ， ，点 ， 在 边上且 ， .
(1)若 ，用 ， 表示 ，并求线段 的长；
(2)若 ， ，求 的值.17．在 中，内角 所对的边分别是 ，三角形面积为 ，若 为 边上一点，满足
，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
18．如图，已知半径为2的扇形 的圆心角为 ， 为 的中点， 是 上一动点．
(1)求 的取值范围；
(2)当 为 的中点时，用 表示 ；
(3)若 ，求 的最大值．
19．如图1所示，在 中，点 在线段 上，满足 ， 是线段 上的点，且满足
，线段 与线段 交于点 ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值；(3)如图2，过点 的直线与边 分别交于点 ，设 ， ；
（ⅰ）求 的最大值；
（ⅱ）设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，求 的取值范围．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C C A A C AD ACD
题号 11
答案 AC
1．D
根据复数的模长公式以及复数运算求复数 ，即可得共轭复数.
【详解】由题意可得： ，
所以 .
故选：D.
2．C
由条件结合向量坐标运算公式求 ， ，再求 ， ， ，再结合向量夹角公式求结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ， ，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，又 ，
所以 ，即 与 的夹角为 .
故选：C.
3．D
根据三角形有两解，应满足 ，化简即可求解.
【详解】∵ 有两解，∴ ，∴ ，
故选：D．
4．C
利用余弦定理整理可得 ，代入数据运算求解即可.
【详解】因为 ，可知 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，可得 ，
即 ，解得 .
故选：C.
5．C
根据平面向量基本定理结合题意将 用 表示，从而可求出 ，进而可求得答案.
【详解】因为在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 .故选：C
6．A
在 中，利用正弦定理求出 ，再解 即可.
【详解】如图所示，由题意 ，
则 ，
在 中，因为 ，
所以 ，
在 中， ，
所以建筑的高度为 .
故选：A.
7．A
如图，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点 的坐标，设 ，
然后表示出 ，再根据 的取值范围可求得结果.
【详解】如图，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形 为边长为 的正六边形， ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
8．C
对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用
展开计算即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系， ，
对于A：若 为 的重心，则 ，
所以
若 ，则 ，解得 ，所以 ，A不正确；对于B：若 为 的外心，其必在直线 上，
所以 ，B错误；
对于C：若 为 的垂心，其必在 上，设 ，
则 ，解得 ，
此时 ，
若 ，则 ，解得 ，所以 ，C正确；
对于D：若 为 的内心，设内切圆半径为 ，
则 ，得 ，则 ，
此时 ，
若 ，则 ，解得 ，所以 ，D不正确；
故选：C.
9．AD
根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.
【详解】如图过 作 ，由等腰梯形 可得： 是等腰直角三角形，
即 ,即C错误；
还原平面图为下图，
即 ，即A正确；
过C作 ，由勾股定理得 ，
故四边形ABCD的周长为： ，即B错误；
四边形ABCD的面积为： ，即D正确.
故选：AD.
10．ACD
根据向量垂直得到数量积为0，可求 ，判断A的真假；根据向量共线可求 ，判断B的真假；问
题转化为两向量方向相反，可求 判断C的真假；根据投影向量的求法求投影向量，判断D的真假.
【详解】对于A，若 ，则 ，则 ，所以A正确；
对于B，若 ，则 ，所以 ，所以B错误：
对于C， 取得最小值时， ， 共线反向，则 ，解得 ，则 ，所以C正确；
对于D，若 ，则 ，所以 在 上的投影向量为 ，所
以D正确.
故选：ACD
11．AC
对于A，设 ，以向量 为基底表示向量 ，根据 共线求出 即可判断A正确；
对于B，由 得 ，再利用数量积求模即可判断B不正确；对于C，由
知分点 的位置求出 即可判断C正确；对于D，
由题意利用正弦定理求得得 或 ，当 时 ，由此判断D不正确.
【详解】对于A，设 ，因为 则
，
，
由 共线，得 解得 ，所以 ，故A正确；
对于B，由 得 ，
所以所以 ，故B不正确；
对于C，由 知 是 的中点，所以 ， ，又 ，所以
，所以 ， ，故C正确；
对于D，设 的三边分别为 ，依题意得 ，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得 ，
所以 ，由 ，得 或 ，当 时，
，故D不正确.
故选：AC.
12． /
根据题意结合复数的几何意义，可知 表示 所对应的点到点 的距离，从而可可求出
的最大值.
【详解】满足 的复数 所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义为 所对应的点到点 的距离，
因为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：13．
先求出 ，再利用面积求出 关系，再结合 求出 ，最后利用余弦定理求出 .
【详解】 ，
，
，
，又 ，
，
.
故答案为： .
14．
①根据类比图形的结构特点，找到 与 的面积联系即可.
②利用向量加减法的三角形法则，用 ， 表示出 即可.
【详解】如图：连接 ，由题意知 ，且 分别为 的中点， .
所以 ，
,
得 .
， ，
化简得 ，
所以
故答案为：① ；② .
15．(1)
(2)
（1）先求出 ，再由复数 对应的点在实轴上，求出 的值，从而可求出 ；
（2）先化简 ，再由 为纯虚数可求出实数 的值.
【详解】（1）因为复数 ， ，
所以 ，
因为复数 对应的点在实轴上，所以 ，得 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为复数 ， ，
所以
，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 .
16．(1) ,
(2)
(1)由向量的线性运算得到 ，再由向量的模的运算求解；
(2) 因为 ，所以 ， ，再分别计算数量积与向量
的模，再由 求解．
【详解】（1）依题意， ，
则 ，
故 ，由 ，
则
，
故线段 的长为： ．
（2）因为 ，
所以 ， ，
则
，
，
，
故 ．
17．(1)(2)
（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ，进而求解即可；
（2）在 中由正弦定理可得 ，在 中，可得 ，进而得到
，结合三角恒等变化公式化简可得 ，进而结合正弦函数的图
象及性质求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
由正弦定理得， ，
，
，
， ，
由 ，得 .
（2）由（1）知， ，
因为 ，所以 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中， ，
，
， ,
，
， ， ，
所以 的取值范围为 .
18．(1)
(2)
(3)
（1）设 ，则可得 ，结合余弦函数性质求解即可.
（2）由图可得 ，再根据投影向量确定 ，再代入角度求解即可.
（3）结合题意将 用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可.
【详解】（1）如图，设 ，连接 ，而 ，
因为 ，故 ，
所以 的取值范围为 ．
（2）因为 为 的中点，所以 ，
由平面向量加法法则得 ，
则 在 方向上的投影向量为 ，
在 方向上的投影向量为 ，
得到 ，
故 ，
将 代入，得 ．
（3）因为 ， ，
所以 ，
又由（2）知 ，故 ，则 ，
因为 ，所以当且仅当 时， 取得最大值1，
故 的最大值为 ．
19．(1) ，
(2)
(3)（ⅰ） ；（ⅱ）
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，且 、 不共线，所以 ， ；
（2）因为 、 、 三点共线，所以存在实数 使得 ，
所以 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，
即 ，又 、 不共线，
所以 ，解得 ，所以 ．
（3）（i）根据题意 ．
同理可得： ，
由（2）可知， ，
所以 ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
化简得 ，又因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
（ⅱ）根据题意， ，
，
所以
，
由（i）可知 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
易知，当 时， 有最大值 ，又因为 ，所以 .
