专题27排列与组合（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_05.专项训练_专题27排列与组合-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题27 排列与组合 一、单选题 A3 10A3 n 1．（2020·山东省高二期中）若 2n n，则 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】 A3 10A3 n3,nN* 因为 2n n，所以 ， 2n2n12n210nn1n2 所以有 ， 22n15n2 即 ，解得：n8. 故选：C. A3 12Cn2 n 2．（2020·山东省高二期中）若 n n ，则 （ ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 A3 12Cn2 12C2 ∵ n n n， nn1 nn1n212 ∴ 2 ，即n26， ∴n8， 故选：D． 3．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果 要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A．14 B．24 C．28 D．48 【答案】A 【解析】 法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为 ．故选A. 法二：从4男2女中选4人共有 种选法，4名都是男生的选法有 种， 故至少有1名女生的选派方案种数为 - =15-1=14．故选A 4．（2020·山东省高二期中）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人 服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ） A．420 B．660 C．840 D．880 【答案】B 【解析】 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队， A2C2 840 共有 8 6 种选法， A2C2 180 其中不含女生的有 6 4 种选法， 840180660 所以服务队中至少有1名女生的选法种数为 . 故选：B 6 5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）用0，1，2，3，4，5这 个数字，可以组成没有重复数字的四位数 的个数是( ) 360 A． 300 B． C．240 180 D． 【答案】B 【解析】 A4 120 当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有： 5 种； A1A3 180 当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有： 3 5 种,两类相加一共有300种，故选B. 6．（2020·北京大峪中学高二期中）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数 为( ) A．240种 B．120种 C．96种 D．480种 【答案】A 【解析】 C2 10 由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有 5 种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位 A4 24 1024240 置全排列共有 4 种可能，所以不同的分法种数为 种，故选A. 7．（2020·福建省高三二模（理））在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了 前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都 在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（ ）． A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】A 【解析】 （1）当甲排第1名时，则第5名从乙、丙两个选一个，其它三名任意排列， N 2A3 12  1 3 ； （2）当甲排第2，3，4名时，则第5名必排丙，第1名排乙，其它三名任意排列， N  A3 6  2 3 ；  N 12618， 故选：A. 8．（2019·佛山市顺德区容山中学高二开学考试）高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意 选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） C2A4 C264 A2A4 A264 A． 5 4 B． 5 C． 5 4 D． 5 【答案】D 【解析】A2 64 A264 1班、2班的安排方式有 5 种，剩余4个班的安排方式有 种，所以共有 5 各安排方式，故选D． 二、多选题 n! 9．（2020·南京市秦淮中学高二期中）下列各式中，等于 的是（ ） An1 An nAn1 m!Cm A． n B． n1 C． n1 D． n 【答案】AC 【解析】 根据题意，依次分选项： A An1 n(n1)2n! A 对于 ， n ，故 正确； B An (n1)n(n1)2(n1)! B 对于 ， n1 ，故 错误； C nAn1 n(n1)1n! C 对于 ， n1 ，故 正确； Am m!Cm m! n  Am 对于D， n m! n ，故D错误； 故选：AC． 10．（2020·江苏省高二期中）下列等式中，正确的是（ ） Am mAm1  Am rCr nCr1 A． n n n1 B． n n1 m1 Cm  Cm1 C． Cm1 Cm1Cm Cm1 D． n nm n n1 n n1 n1 【答案】ABD 【解析】 n! n! nm1n! n! n1n! n1! m  m   选项A，左边=nm! nm1! nm1! nm1! nm1! nm1! =右边，正确； n1! r n! n! n   r  选项B，右边 r1!n1r1! r r1!nr! r!nr! 左边，正确；Cm1Cm Cm  选项C，右边 n n n1 左边，错误； m1 n! m1n! n!      选项D，右边 nm m1!nm1! m1m!nmnm1! m!nm! 左边，正 确. 故选：ABD 11．（2020·山东省潍坊一中高二月考）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它 们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ） C1C1C1C1 C1C2A2 C2A3 A．18 B． 3 2 1 3 C． 3 4 2 D． 4 3 【答案】CD 【解析】 C2A3 36 根据捆绑法得到共有 4 3 ， C1C2A2 36 先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有 3 4 2 . C1C1C1C1 1836 3 2 1 3 . CD 故选： . 12．（2020·临淄区英才中学高二期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为72种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ACD 【解析】 A4 24 A A. 甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有 4 种，故 正确. A1A3+A1A1A3=54 B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 3 3 3 2 3 种，故B不正确. A3A2=72 C C.甲乙不相邻的排法种数为 3 4 种，故 正确.A5 5 =20 D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 A3 种,故 正确. D 3 故选：ACD. 点睛： 排列组合中的排序问题，常见类型有： （1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空排；（3）定序问题缩倍法(插空法)；（4）定位问题优先法. 三、填空题 5 13．（2020·北京市鲁迅中学高二月考） 人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有______种（用数字作答） 【答案】48 【解析】 A2 2 因为甲、乙相邻，则利用捆绑法，看作一个人，则有 2 种， A4 24 再与其余3人看作4人全排列有 4 种， 5 A2A4 48 所以 人排成一排，其中甲、乙相邻的排法有 2 4 种， 故答案为：48 14．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种 （用数字作答）． 【答案】72 【解析】 A3 可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 3种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四 A2 A3A2 72 个空隙中，有 4种，则甲、乙两不相邻的排法有 3 4 种． 15．（2020·山东省高二期中）用1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除 的数的个数为______.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 由题意知，能被5整除的四位数末位必为5，只有1种方法，其它位的数字从剩余的四个数中任选三个全A3=432=24 排列有 4 ， 故答案为：24 16．（2020·浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成______个无重复数字 的三位数, 也可以组成______个能被5整除且无重复数字的五位数. 【答案】100 216 【解析】 C1 5 第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有 5 种方法； A2 5420 第二步，确定另外二个数位上的数，有 5 种方法， 所以可以组成520100个无重复数字的三位数； 第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个数上的数有2种情况： A4 5432120 当个数上的数字是0时，其他数位上的数有 5 个； C1 4 当个数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有 4 种方法，而后确定其他三个数位上的数有 A3 43224 24496 4 种方法，所以共有 个数， 根据分类计算原理共有12096216个数． 四、解答题 17．（2020·江苏省扬州中学高二期中）有5名男生，4名女生排成一排. （1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？ （2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）504 （2）43200 【解析】 （1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人 A3 504 从中选出3人排成一排，共有 9 种排法； A5 （2）可用插空法求解，先排5名男生有 5种方法，A4 5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有 6 种方法 A5A4 43200 故共有 5 6 种方法 6 4 4100 18．（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（理））从 名运动员中选出 人参加 接力赛，分别求满 足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒. 【答案】（1）144（2）336 【解析】 A2 A2 A2A2 144 （1）先选跑中间的两人有 4 种，再从余下的4人中选跑 1 、 4 棒的有 4 ，则共有 4 4 种. A4 （2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法 6 ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法 A2A2 A4 A2A2 336 2 4 种，故满足条件的安排方法有 6 2 4 种. 19．（2020·江苏省泰州中学高二期中）从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛． （1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？ （2）如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？ 【答案】（1）91种；（2）120种． 【解析】 分析: （1）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可 得答案； （2）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法 数，即可得答案. 详解: C4 126 （1）先在9人中任选4人，有 9 种选法, 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有 C4 35 1263591 7 种, 则甲与女姓中的乙至少要有1人在内的选法有 种.C4 126 C4 5 （2）先在9人中任选4人，有 9 种选法，其中只有男生的选法有 5 种，只有女生的选法有 C4 1 12651120 4 种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有 种. 20．（2019·佛山市顺德区容山中学高二开学考试）以下问题最终结果用数字表示 (1)由0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且2、3不相邻的五位数？ (3)由1、2、3、4、5组成多少个无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数？ 【答案】（1）60 （2）72 （3）20 【解析】 （1）偶数末位必须为0，2，4对此进行以下分类： A4 当末位是0时，剩下1，2，3，4进行全排列， 4=24 A1 当末位是2时，注意0不能排在首位，首位从1，3，4选出有 3种方法排在首位，剩下的三个数可以进行 A3 A1A3 全排列有 3种排法，所以当末位数字是2时有 3 3=18个数． 同理当末位数字是4时也有18个数， 所以由0、1、2、3、4可以组成无重复数字的五位偶数有24+18+18=60个. A5 54321120 （2）由1、2、3、4、5组成五位数一共有 5 个． A1 2 第一步，把2.3捆定，有 2 种排法； A4 432124 第二步，捆定的2，3与1，4，5一起全排列，共有 4 个数， A1 A4 根据分步计数原理，2，3相邻的五位数共有 2 4 =48个数， 因此由1、2、3、4、5组成无重复数字且2、3不相邻的五位数共有 1204872个数． A2 5420 （3）把五位数每个数位看成五个空，数字4，5共有 5 个， 然后把数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式， 根据分步计数原理，可知由1、2、3、4、5组成无重复数字且数字1,2,3必须按由大到小顺序排列的五位数 A2120 为 5 个． 21．（2020·浙江省效实中学高二期中）（1）由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中， 十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种？ （2）我校高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人， 要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，求不同的选取法的种数. 【答案】（1）280种；（2）472种. 【解析】 （1）十位数字与千位数字之差的绝对值等于7， (1,8)(2,9)(7,0)(8,1)(9,2) 可得千位数字和十位数字的组合有 五种， A2 56 5A2 280 每种组合中百位和个位的数共有 8 种组合，所以符合条件的四位数共有 8 种. C3 （2）情形一：不选三班的同学，从12个人中选出3人，有 12种选取方法，其中来自同一个班级的情况 3C3 C3 3C3 22012208 有 4种，则此时有 12 4 种选取方法； 情形二：选三班的一位同学，三班的这一位同学的选取方法有4种，剩下的两位同学从剩下的12人中任选 C2 4C2 264 2人，有 12种选取方法，则此时有 12 种选取方法. 208264472 根据分类计数原理，共有 种选取方法. 3 2 22．（2020·北京大峪中学高二期中）一场小型晚会有 个唱歌节目和 个相声节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？ （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ 3 （4）前 个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 48 72 36 108 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .【解析】 2 3 4 （1）将 个相声节目进行捆绑，与其它 个节目形成 个元素，然后进行全排， A2A4 48 所以，排法种数为 2 4 种； 2 3 4 A3A2 72 （2）将 个相声节目插入其它 个节目所形成的 个空中，则排法种数为 3 4 种； 3 （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它 个节目排在中间，进行全排， A2A3 36 由分步乘法计数原理可知，排法种数为 3 3 种； 5 3 （4）在 个节目进行全排的排法种数中减去前 个节目中没有相声节目的排法种数， 3 A5 A3A2 12012108 可得出前 个节目中要有相声节目的排法种数为 5 3 2 .