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2025-2026 学年芜湖皖江中学高一下学期 6 月周测卷解析
1.【答案】C 解：将该组数据从小到大排列为4，5，6，8，12，共5个数据，因为 ，
则这组数据的上四分位数是8 5×75%=3.75
2.【答案】A 解：因为 ， 不共线， 且 时，（x 2）a （y 3）b 0
3.【答案】D 解：若
𝑎𝑎��⃗
，
𝑏𝑏�⃗
，则
x=2
或
y=-3
，所以
−
A选项
⃗−
错误；
+ �⃗ = �⃗
若 ， ，则𝑚𝑚//𝑛𝑛 或𝑛𝑛/m/𝛼𝛼，n异𝑚𝑚面/，/𝛼𝛼所以𝑚𝑚B⊂选𝛼𝛼项错误；
若𝑚𝑚//𝛼𝛼，𝑛𝑛 ⊂𝛼𝛼， 𝑚𝑚//，𝑛𝑛则 或m，n异面，所以B选项错误；
若𝛼𝛼//𝛽𝛽 𝑚𝑚 ⊂，𝛼𝛼 𝑛𝑛 ⊂，𝛽𝛽 𝑚𝑚，//𝑛𝑛 ， ，则 ，所以D选项正确．
4.【答𝑚𝑚案∩】𝑛𝑛B= 解𝐴𝐴：𝑚𝑚只⊂有𝛼𝛼当 𝑛𝑛 ⊂𝛼𝛼 时𝑚𝑚/代/𝛽𝛽入 𝑛𝑛//𝛽𝛽 𝛼𝛼成/立/𝛽𝛽
5.【答案】C 解：由 𝑧𝑧=1+0i， |𝑧𝑧−，2得|=-1 ，所以（ - ） - ， ，
所以 - 在 方向上的𝑎𝑎��⃗投=影(向1,√量 3是)（𝑏𝑏�⃗=）(2,0) 𝑎𝑎��⃗ �𝑏𝑏⃗=(−1,√ 3) 𝑎𝑎��⃗ 𝑏𝑏�⃗ ⋅𝑏𝑏�⃗= 2 �𝑏𝑏�⃗�=2
𝑎𝑎��⃗−𝑏𝑏��⃗ ⋅ � 𝑏𝑏 �⃗ 𝑏𝑏 ��⃗ −2
𝑎𝑎��⃗ 𝑏𝑏�⃗ 𝑏𝑏�⃗ �𝑏𝑏 ��⃗� ⋅�𝑏𝑏 ��⃗�= 2 (2,0)=(−1,0).
6.【答案】D 解： ， ，因为棱台是上下边之比是 ∶ ，且该棱台是由一个
上 下
√ 3 2 √ 3 2 9√ 3
𝑆𝑆 =2× 4 ×2 =2√ 3 𝑆𝑆 =2× 4 ×3 = 2 2 3
高为3 的棱锥截得，所以棱台的高为 ，所以 ，故选D
1 9√ 3 19
7.【答案√ 3】 解：如图，延长直线EF，分√ 3别交DA 𝑉𝑉， = DC3×的(延2√长 3线+于2M，+ N 3√两 3点)×，√ 3= 2
连接 ，𝐷𝐷. 分别交 ， 于H，G两点，
过点𝐷𝐷1，𝑀𝑀E，𝐷𝐷1F𝑁𝑁的截面即𝐴𝐴𝐴𝐴为1五𝐶𝐶边1𝐶𝐶形
𝐷𝐷1 𝐷𝐷1𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻.
因为该正方体的棱长为2，点E，F分别是AB，BC的中点，
所以 ， ，
𝐴𝐴𝑀𝑀 𝐴𝐴𝐻𝐻 1 𝐶𝐶𝑁𝑁 𝐶𝐶𝐻𝐻 1
𝑀𝑀𝐷𝐷=𝐷𝐷𝐷𝐷1 =3 𝐷𝐷𝑁𝑁=𝐷𝐷𝐷𝐷1 =3
故
1
𝑆𝑆△𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 =𝑆𝑆△𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 =9𝑆𝑆△𝐷𝐷1𝑀𝑀𝐹𝐹.
又因为 的三边长分别为 ， ， ，所以 ，
2
1 2 3√ 2 3√ 17
△𝐷𝐷1𝑀𝑀𝑁𝑁 √ 13 √ 13 3√ 2 𝑆𝑆△𝐷𝐷1𝑀𝑀𝐹𝐹 =2×3√ 2×� �√ 13� −� 2 � == 2
学科网（北京）股份有限公司则截面 的面积为
2 7√ 17
故选 𝛺𝛺 (1−9)𝑆𝑆△𝐷𝐷1𝑀𝑀𝐹𝐹 = 6 .
𝐷𝐷.
8.【答案】B 解；因为 ，所以 ，
𝑎𝑎+𝑏𝑏
𝑐𝑐 =1 𝑐𝑐 =cos𝐴𝐴+cos𝐵𝐵
由正弦定理得 ，
sin𝐴𝐴+sin𝐵𝐵
则 sin𝐶𝐶 =cos𝐴𝐴+cos𝐵𝐵，
所s以in𝐴𝐴+sin𝐵𝐵 =cos𝐴𝐴sin𝐶𝐶+cos𝐵𝐵sin𝐶𝐶 ，
整理s得in(𝐵𝐵+𝐶𝐶)+sin(𝐴𝐴+𝐶𝐶)=c，os 𝐴𝐴sin𝐶𝐶+cos𝐵𝐵sin𝐶𝐶
所以 sin𝐵𝐵cos𝐶𝐶+sin𝐴𝐴cos𝐶𝐶，= 0
因为(sin𝐵𝐵+sin𝐴𝐴)c，os所𝐶𝐶 =以0 ，
故 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐶𝐶，∈(即0,𝜋𝜋) ， sin𝐴𝐴>0,sin𝐵𝐵 >0,cos𝐶𝐶 ∈(−1,1)
𝜋𝜋
cos𝐶𝐶 =0 𝐶𝐶 = 2
则该三角形的外接圆的半径 ，所以外接圆的面积为
1 1 2 𝜋𝜋
故选： 𝑟𝑟 =2𝑐𝑐 =2 𝜋𝜋𝑟𝑟 = 4.
9.【答案𝐵𝐵.】ACD 解；对于A选项，复数 的共轭复数 ，因此 ，A选项正确.
对于B选项，复数的模 ，因𝑧𝑧=此𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑧𝑧 =𝑎𝑎−𝑏𝑏𝑏𝑏，B选项𝑧𝑧错=误3.− 2𝑏𝑏
2 2 2 2
对于C选项， |𝑧𝑧|，= √ 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 |𝑧𝑧|=√ 3 +2 =√ 13≠5
∵𝑧𝑧 =3+2𝑏𝑏 ，该选项正确.
2 2 2 2
∴对𝑧𝑧于=D(选3项+，2𝑏𝑏 ) =3 +2×3×2𝑏𝑏+(2𝑏𝑏) =9+12𝑏𝑏−4=5+12𝑏𝑏
分子 ，分母 ，
∵ 𝑧𝑧+3=3+2𝑏𝑏+3=6+2𝑏𝑏 𝑧𝑧−𝑏𝑏 =3+2𝑏𝑏−𝑏𝑏 =3+𝑏𝑏
，2是实数，故 ，该选项正确.
2
𝑧𝑧+3 6+2𝑏𝑏 (6+2𝑏𝑏)(3−𝑏𝑏) 18−6𝑏𝑏+6𝑏𝑏−2𝑏𝑏 20 𝑧𝑧+3
∴ 10𝑧𝑧.【−𝑏𝑏答=案3】+𝑏𝑏B = C (3+𝑏𝑏)(3−𝑏𝑏) = 9−𝑏𝑏 2 =10=2 𝑧𝑧−𝑏𝑏 ∈𝑅𝑅
【解析】解：对于 因为 ，所以
因为D为边BC上一𝐴𝐴.点，𝐵𝐵�所����𝐷𝐷�⃗以=𝜆𝜆�𝐷𝐷���𝐶𝐶�⃗ ， 𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗−�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗=𝜆𝜆�𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗−�𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗�.
𝜆𝜆 ≠−1
因此 ，而 ， 、 不共线，
1 𝜆𝜆
𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗=𝜆𝜆+1𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+𝜆𝜆+1𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗=𝑥𝑥𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+𝑦𝑦�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗ 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗
所以 ，因此当 时， ，故A错误；
1 2
𝑥𝑥 =𝜆𝜆+1 1 𝑥𝑥 =3
� 𝜆𝜆 𝜆𝜆 =2 � 1
𝑦𝑦 =𝜆𝜆+1 𝑦𝑦 =3
学科网（北京）股份有限公司对于 由选项A知： ，因此 ，
1
𝑥𝑥 =𝜆𝜆+1 1+𝜆𝜆
𝐵𝐵. � 𝜆𝜆 𝑥𝑥+𝑦𝑦 =𝜆𝜆+1=1
即无论 取何值，均有𝑦𝑦 =𝜆𝜆+1 ，故B正确；
对于 当𝜆𝜆 时，由选𝑥𝑥项+𝑦𝑦 A =知1： ，因此
1 1
因为
𝐶𝐶. 𝜆𝜆 =1
、 、
𝑥𝑥 =𝑦𝑦 =2
，
𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗=2��𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗+�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗�.
∘
所以�𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗�=2 �𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗�=3 <�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗,�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗>=60
，
2 2 2
1 1 1 19
𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗ =4��𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗ +�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗ +2�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗⋅𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗�=4�4+9+2×2×3×2�=
4
因此 ，即 ，故C正确；
√ 19 √ 19
对于�𝐴𝐴����
因
�𝐷𝐷�⃗�为=当2AD过三𝐴𝐴𝐷𝐷角=形A2BC内心时，AD是
的平分线，
所以𝐷𝐷. ，因此 ，故D错误. ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵 2 𝐵𝐵𝐷𝐷 2
11.【𝐷𝐷答𝐶𝐶案=】𝐴𝐴𝐶𝐶B = C 3解：对于𝜆𝜆 = A，𝐷𝐷𝐶𝐶当= C3、D 在垂直于 AB 的同一平面内且过点A时，可得 ；
∘
当 C、D 沿 AB 方向错开时， ，因此 不恒成立，故 A 错误；∠ 𝐶𝐶𝐴𝐴𝐷𝐷 =60
∘ ∘
对于 B，当 平面BCD时，∠𝐶𝐶C𝐴𝐴D𝐷𝐷最<小6，0 由余弦定∠𝐶𝐶理𝐴𝐴𝐷𝐷：≥60 ，
2 2 2 ∘
即 ，𝐴𝐴𝐵𝐵故⊥ ，B 正确； 𝐶𝐶𝐷𝐷 =2 +1 −2×2×1×cos60 =3
对𝐶𝐶于𝐷𝐷 C=，√当 3 𝐶𝐶𝐷𝐷 ≥时√， 3过D作 ，则 平面DCH，故 ， ，
∘
由余弦定理得𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥𝐶𝐶𝐷𝐷 ，故 𝐷𝐷𝐻𝐻 ⊥，𝐴𝐴又𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥， 𝐴𝐴，𝐵𝐵故⊥𝐶𝐶𝐻𝐻 平∠面𝐶𝐶𝐻𝐻A𝐷𝐷B=D，60C 正确；
对于 D，当 𝐶𝐶𝐷𝐷平=面√ 3ACD时𝐶𝐶𝐷𝐷，⊥AC𝐷𝐷𝐻𝐻与AD𝐴𝐴所𝐵𝐵成⊥角𝐶𝐶为𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵，∩故𝐷𝐷 D𝐻𝐻 =错误𝐻𝐻. 𝐶𝐶𝐷𝐷 ⊥
∘
综上，选 𝐴𝐴 𝐵𝐵 ⊥ 60
𝐵𝐵𝐶𝐶.
12.【答案】25 解：由条件可知高一年级应抽取的人数是 人.
500
13.【答案】19 解：因为 ，所以 60×， 1200=是25关于x的方程 的复数根，即
是另一个根，根据韦2达02定6 理可2 得； ， ，所以 2
𝑏𝑏 =𝑏𝑏 =−1 −3𝑎𝑎+4𝑏𝑏=3+4𝑏𝑏 3+4𝑏𝑏 𝑥𝑥 +𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑞𝑞 =0(𝑝𝑝,𝑞𝑞 ∈𝑅𝑅)
314−.【4𝑏𝑏答案】 解：在 中， 𝑝𝑝=−，6由𝑝𝑝=25 𝑝𝑝+𝑞𝑞 =19 ，可得 ，
√ 6 𝜋𝜋 1
所以 2 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 = 3 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =2|𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗||𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗|sin∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 =√ 3 |𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗||𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗|=4
由 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗⋅𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗=，|可𝐴𝐴����𝐵𝐵得 �⃗||𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗|cos∠𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 =2.
2
因 𝐴𝐴� 为 ����𝐷𝐷�⃗ P = 为 2 C �𝐷𝐷��� D �𝐵𝐵�⃗ 上一点 𝐴𝐴� ， ����𝐷𝐷�⃗ 所 = 以3设 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗. ， ，
则 𝐷𝐷����𝐷𝐷�⃗=𝜆𝜆�𝐷𝐷���𝐶𝐶�⃗ 0≤𝜆𝜆 ≤1 ，
2 2 2 2 2 2 2
𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗=𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗+�𝐷𝐷���𝐷𝐷�⃗=3𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+𝜆𝜆�𝐷𝐷���𝐶𝐶�⃗=3𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+𝜆𝜆(𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗−�𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗)=𝜆𝜆�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗+3𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗−𝜆𝜆𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗=𝜆𝜆�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗+3𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗−3𝜆𝜆𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗=𝜆𝜆�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗+(3−3𝜆𝜆)�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
1 𝜆𝜆 =𝑚𝑚 1 1 1
𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗=𝑚𝑚𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗+2𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ � 2−2𝜆𝜆 1 𝑚𝑚 =𝜆𝜆 =4 𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗=4𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗+2𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗
则 3 =2 ，
2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 3
|𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗| =(4𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗+2𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗) =16|𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗| +4|�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗| +4𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗⋅𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗=16|�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗| +4|𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗| +2≥2×4|𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗|×2|𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗|+2=2
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时等号成立，
所以
|
的
𝐴𝐴����𝐶𝐶�
最
⃗|
小
=
值
2√是 2,|𝐴𝐴� ���𝐵𝐵�⃗|=√ 2
√ 6
|𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗| 2 .
故答案为：
√ 6
2 .
设 ， ，先由 的面积求出 ， ，再根据平面向量的线性运算求出 ，进
1
𝐷𝐷����𝐷𝐷�⃗=𝜆𝜆�𝐷𝐷���𝐶𝐶�⃗ 0≤𝜆𝜆 ≤1 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 |�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗||𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗|=4 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗⋅𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗=2 𝜆𝜆 =4
而得到 ，求出 ，再利用基本不等式即可求出 的最小值．
1 1 2 1 2 1 2 1
15.【答𝐴𝐴�� 案 ��𝐷𝐷�⃗ 】=解4𝐴𝐴� ： ���𝐶𝐶�⃗+由2𝐴𝐴�� 频 ��𝐵𝐵�⃗ 率分布|直𝐴𝐴���� 方𝐷𝐷�⃗|图=，1可6知|�𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗| +4|�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗| +2 |𝐴𝐴����𝐷𝐷�⃗| ，则 ；
前三个小矩形(的1)面积和为 (0.004+𝑎𝑎+0.022+0.02，8+ 0.022+0.018)×10=1 𝑎𝑎 =0.006
(前2)四个小矩形的面积和为 (0.004+0.006+0.022)×，10 =0.32<0.4
则第40百分位数位于 0.32内+，0. 028×10=0.6>0.4
由 [70,80，)得第40百分位数为 ，
0.4−0.32
平均70数+为0.6−0.32×10≈72.9 72.9
45×0.004×10+55×0.006×10+ 65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10
=1.8+3.3+14.3+21+18.7+17.1=76.2.
16.【解析】解：（1）在△ABC中， = ， C= ， ，
√ 6+√ 2 1
𝐴𝐴𝐵𝐵 2 𝐵𝐵 √ 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐵𝐵 =2
由余弦定理得AC2 = AB2 +BC2 −2AB⋅BCcosB，解得AC= ， 所以cosA= ，
2 2 2
(AB) +(AC) −(BC) √ 2
√ 3 2AB ⋅AC = 2
解：（2）由(1)可知cosA ，所以A=45°，因为DE∥BC, AE⊥AC ，所以∠DAE=45°，∠ADE=120°，又DE=
√ 2 √ 2
= 2 2
根据正弦定理； 所以 ，根据勾股定理可得
∠√ 2DAE ∠ADE
2 AE √ 3 √ 15
17.【解析】 Ⅰs证in明：连=s接in AC，,设ACAE与=B2D相交于点O， CE= 2
( )
四边形ABCD是菱形， 为AC的中点．因为直线PA与BC所成的角的大小为 即∠ ，又 ， ，
∘ ∘
∵PD=2 ，。 ∴𝑂𝑂 所以 ⊥ ， 底面ABCD是菱形， 60 . ， PAD=6且0 𝐷𝐷𝐴𝐴。=同4理 𝐴𝐴𝐷𝐷⊥=2
2 2 2 ∘
∴ √ 3 ∵(𝐷𝐷A) =(AD) +(PD) , PD AD ∵ ∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 =120 ∴BD=2. 𝐷𝐷𝐵𝐵 =4 PD BD,∵
学科网（北京）股份有限公司， 平面ABCD， 平面 ， 平面 平面ABCD, 。四边形ABCD是
𝐴𝐴菱𝐷𝐷形∩，𝐵𝐵 𝐷𝐷 =𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷，⊂同理； 平𝐵𝐵面𝐷𝐷 ⊂ 。𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 平∴面𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥， 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷.∵𝐴𝐴 𝐶𝐶 ⊂ ∴𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥𝐴𝐴𝐶𝐶 ∵
∴𝐵𝐵𝐷𝐷 ⊥𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊥ 𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷 ∵𝐷𝐷𝐵𝐵 ⊂ 𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷 ∴𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊥𝐷𝐷𝐵𝐵
Ⅱ 由（）可知 平面 E为棱PA的中点， ，
1 ∘
( ) 1 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷. 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 =2×2×2×sin60 =√ 3
为PA的中点， 平面ABCD， 三棱锥 的高为 ，
1 1 1
∵Ⅲ𝐻𝐻 过点E作 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥，垂足为 过H ∴作 𝐻𝐻−，𝐴𝐴𝐵𝐵垂𝐷𝐷足为I，ℎ连=接2𝐷𝐷𝐷𝐷由=√Ⅱ 3 𝑉𝑉𝑀𝑀− 平 𝐴𝐴𝐴𝐴 面 𝐷𝐷 = AB3C 𝑆𝑆△ D 𝐴𝐴 ， 𝐴𝐴𝐷𝐷 又×ℎ =平3×面√ P 3 A × D，√ 3 =1.
( ) 𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐻𝐻. 𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐻𝐻𝐻𝐻. ( )𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊥ 𝐷𝐷𝐷𝐷 ⊂
平面 平面 又平面 平面 ， ， 平面PAD， 平面 平面ABCD，
∴ 平𝐷𝐷面𝐴𝐴𝐷𝐷A⊥BCD，𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷. ，𝐷𝐷𝐴𝐴𝐷𝐷∩ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 =𝐴𝐴，𝐷𝐷 𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷 ，𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊂ 平面EHI，∴𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥平面E𝐴𝐴H𝐵𝐵I，𝐶𝐶𝐷𝐷.𝑄𝑄𝐵𝐵𝐷𝐷 ⊂平面
𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊂ 平面EHI，∴𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥𝐵𝐵，𝐷𝐷 二𝐻𝐻面𝐻𝐻角⊥𝐻𝐻𝐻𝐻.∵𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊥𝐵𝐵的𝐷𝐷平面𝐻𝐻𝐻𝐻角∩是𝐻𝐻𝐻𝐻 =𝐻𝐻，在𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊂ 中， 𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊂ ，∴𝐵𝐵𝐷𝐷 ⊥ 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻.
1 1 1
∵𝐻𝐻𝐻𝐻 ⊂ ∴𝐵𝐵𝐷𝐷 ⊥𝐻𝐻𝐻𝐻 ∴ 𝐻𝐻−𝐵𝐵𝐷𝐷−𝐴𝐴 ∠𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 𝑅𝑅𝑅𝑅△𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 =2𝐷𝐷𝐷𝐷 =√ 3 𝐻𝐻𝐻𝐻 =2𝐴𝐴𝑂𝑂 =2×√ 3=
， 二面角 的正切值是
√ 3 𝐻𝐻𝐻𝐻
128. .【∴答ta案n∠】𝐻𝐻𝐻𝐻解𝐻𝐻：= 𝐻𝐻𝐻𝐻由=题2意∴证明如下𝐻𝐻：−如𝐵𝐵𝐷𝐷图−，𝐴𝐴作出符合题意2的. 图形，连接 ，
(1) 𝐵𝐵𝐶𝐶1
在 中，D，E分别为AB， 中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面
（△2）𝐴𝐴解𝐵𝐵𝐶𝐶：1由题意及 得，在直三𝐴𝐴𝐶𝐶棱1柱 ∴𝐷𝐷𝐻𝐻//𝐵𝐵𝐶𝐶中1 ，∵𝐷𝐷𝐻𝐻 ⊄ 𝐵𝐵𝐶𝐶，𝐶𝐶1𝐵𝐵1 𝐵𝐵𝐶𝐶1，⊂四边形𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐵𝐵1 与∴四𝐷𝐷𝐻𝐻边//形 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1是𝐵𝐵 1矩. 形，
∘
， (1)， ， 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶−𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐶𝐶，1 ∠𝐴𝐴平𝐶𝐶面𝐵𝐵 =90 ，𝐴𝐴𝐶𝐶 =𝐵𝐵平𝐶𝐶面 𝐴𝐴，𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1 平面 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶，1𝐵𝐵 1
∴𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊥𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊥𝐶𝐶𝐶𝐶1 𝐵𝐵𝐶𝐶 ⊥𝐶𝐶𝐶𝐶1 ∵𝐴𝐴𝐶𝐶∩𝐶𝐶𝐶𝐶1 =𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊂ 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1 𝐶𝐶𝐶𝐶1 ⊂ 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1 𝐵𝐵𝐶𝐶 ⊄ 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1
学科网（北京）股份有限公司平面 ， ， 由几何知识得， 即为直线 与平面 所成的角，
∘
∴直𝐵𝐵线𝐶𝐶D⊥E与平𝐴𝐴𝐶𝐶面𝐶𝐶1𝐴𝐴1 ∠𝐵𝐵所𝐶𝐶成𝐶𝐶1的=角9为0 ∴，在 中，∠D𝐵𝐵，𝐶𝐶1E𝐶𝐶分别为AB𝐵𝐵，𝐶𝐶1 中点𝐴𝐴，𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1 ，
∘
直线 与平面𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1 所成的角为45 ，即△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶1 ， 𝐴𝐴𝐶𝐶1 𝐷𝐷𝐻𝐻//𝐵𝐵𝐶𝐶1
∘ ∘
∴在 𝐵𝐵𝐶𝐶1 中，𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐴𝐴1 ， 45 ∠𝐵𝐵，𝐶𝐶1𝐶𝐶 =45 ， ，在 中， ， ，
∘ ∘
𝑅𝑅𝑅𝑅△为𝐵𝐵等𝐶𝐶𝐶𝐶腰 1 直角∠三𝐵𝐵𝐶𝐶角 1𝐶𝐶形=，4过5 点D ∠作𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1 =90， 则𝐶𝐶点𝐶𝐶1 F =为2 BC ∴中𝐴𝐴𝐶𝐶点=，𝐵𝐵𝐶𝐶 =𝐶𝐶𝐶𝐶1 =2 ， 𝑅𝑅𝑅𝑅△𝐴𝐴𝐵𝐵，𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 ⊥𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶 =𝐵𝐵𝐶𝐶
1
△由几𝐴𝐴𝐵𝐵何𝐶𝐶知识得，DE到面 的距离𝐷𝐷𝐻𝐻即/为/𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐻𝐻 =2𝐴𝐴𝐶𝐶 =1 𝐷𝐷𝐻𝐻 ⊥𝐵𝐵𝐶𝐶
𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶𝐶1𝐵𝐵1 𝐷𝐷𝐻𝐻 =1.
（3）解：由（1）可知 ，求直线 与平面 所成角的正弦值，即求直线 与平面 所成角的正弦值、
设；B到平面 的距离𝐷𝐷为𝐻𝐻//，𝐵𝐵直𝐶𝐶1线 与平𝐷𝐷面𝐻𝐻 所𝐶𝐶1成G角H为β。 𝐵𝐵𝐶𝐶1 𝐶𝐶1GH
易得； 𝐶𝐶1GH 。d G是𝐵𝐵𝐶𝐶1 中点，𝐶𝐶1GH ，
1 1 1
𝑉𝑉𝐴𝐴1−𝐴𝐴𝑀𝑀𝐹𝐹 =𝑉𝑉B−𝐴𝐴1𝑀𝑀𝐹𝐹 ∵ BD A����H�⃗ = 3H�����C⃗ ∴ 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝑀𝑀𝐹𝐹 =16𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴=8
。 。 °
1 1 1 2 2 5 2 2 √ 13
∴ 在 𝑉𝑉 △ 𝐴𝐴1 A −𝐴𝐴 B 𝑀𝑀𝐹𝐹= 中 3 ； ×8×2=12 𝐶𝐶1H=� 𝐶𝐶1𝐶𝐶 + 则 𝐶𝐶𝐻𝐻 = ∠2 HG=� 𝐴𝐴𝐻𝐻 + ， 𝐴𝐴𝐻𝐻 解得 − ； 2𝐴𝐴𝐻𝐻 ∠ ×𝐴𝐴𝐻𝐻×𝐶𝐶𝑂𝑂𝑆𝑆45 。 = 2
2 2 √ 26 7 17 17
𝐶𝐶1 𝐶𝐶1𝐻𝐻=� 𝐶𝐶1𝐷𝐷 +𝐷𝐷𝐻𝐻 = 2 , cos 𝐶𝐶1𝐻𝐻H=√ 13√ 26 sin 𝐶𝐶1𝐻𝐻H=√ 13√ 26 . ∴ 𝑆𝑆△𝐴𝐴1𝑀𝑀𝐹𝐹=8
因为 × ，所以h= 。因为 。所以 β
2
1 1 2 17 √ 2
19.【𝑉𝑉答B−案𝐴𝐴1 】𝑀𝑀𝐹𝐹=3×S△为𝐴𝐴1 直𝑀𝑀𝐹𝐹角三h=角𝑉𝑉形𝐴𝐴1 ；−𝐴𝐴证𝑀𝑀𝐹𝐹明=：8 17 𝐶𝐶1𝐵𝐵=2√ 2 sin =2√ 2=34
在 中，△由𝐴𝐴𝐵𝐵余𝐶𝐶弦定理知： ，
2 2 2
所以△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐵𝐵 =𝐴𝐴𝐵𝐵 +𝐴𝐴𝐶𝐶 −2𝐴𝐴𝐶𝐶⋅𝐴𝐴𝐵𝐵⋅cos∠𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵
2
又因1为=(𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐶𝐶) −(2，+√所 3以)𝐴𝐴𝐶𝐶⋅𝐴𝐴𝐵𝐵. ，
所以AB𝐴𝐴，𝐵𝐵A+C𝐴𝐴分𝐶𝐶别=为2+方√程 3 𝐴𝐴𝐶𝐶⋅𝐴𝐴𝐵𝐵 =2√ 3 的两根，
2
因为 ，所以 𝑥𝑥 −(2+√ 3，)𝑥𝑥所+以2√ 3=0 ，
2 2 2
所以𝐴𝐴𝐵𝐵 <𝐴𝐴𝐶𝐶，即 𝐴𝐴𝐵𝐵 =为√直 3角,𝐴𝐴三𝐶𝐶角=形2 𝐴𝐴𝐶𝐶 =𝐴𝐴𝐵𝐵 +𝐵𝐵𝐶𝐶；
5𝜋𝜋 2
【解𝐴𝐴析𝐵𝐵】⊥𝐵𝐵𝐶𝐶证明：△直𝐴𝐴角𝐵𝐵𝐶𝐶三角形，证明： (𝑏𝑏)𝐴𝐴𝐻𝐻 =2sin(6 −𝛼𝛼) (𝑏𝑏𝑏𝑏)3
在 中，由余弦定理知： ，
(1)
所以 2 2 2
△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐵𝐵 =𝐴𝐴𝐵𝐵 +𝐴𝐴𝐶𝐶 −2𝐴𝐴𝐶𝐶⋅𝐴𝐴𝐵𝐵⋅cos∠𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵
又因为 2 ，所以 ，
1=(𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐶𝐶) −(2+√ 3)𝐴𝐴𝐶𝐶⋅𝐴𝐴𝐵𝐵.
所以AB，AC分别为方程 的两根，
𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐴𝐴𝐶𝐶 =2+√ 3 𝐴𝐴𝐶𝐶⋅𝐴𝐴𝐵𝐵 =2√ 3
2
𝑥𝑥 −(2+√ 3)𝑥𝑥+2√ 3=0
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 为直角三角形； 2 2 2
𝐴𝐴𝐵𝐵 <𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐵𝐵 =√ 3,𝐴𝐴𝐶𝐶 =2 𝐴𝐴𝐶𝐶 =𝐴𝐴𝐵𝐵 +𝐵𝐵𝐶𝐶
解： 如图，因为 ，所以AC是四边形ABCD的外接圆的直径， ，
𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥𝐵𝐵𝐶𝐶 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
(2) (𝑏𝑏) 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊥𝐷𝐷𝐶𝐶
所以四边形ABCD为矩形，连接DE， ，
𝜋𝜋
∠𝐴𝐴𝐻𝐻𝐷𝐷 =∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐷 = 6
在 中，因为 ， ，所以 ，
𝜋𝜋 5𝜋𝜋
△𝐴𝐴𝐷𝐷𝐻𝐻 ∠𝐴𝐴𝐻𝐻𝐷𝐷 = 6 ∠𝐷𝐷𝐴𝐴𝐻𝐻 =𝛼𝛼 ∠𝐴𝐴𝐷𝐷𝐻𝐻 = 6 −𝛼𝛼
由正弦定理知： ，所以 ，
𝐴𝐴𝐻𝐻 𝐴𝐴𝐷𝐷 5𝜋𝜋
设AE交CDs 于 in∠F𝐴𝐴 ， 𝐷𝐷𝐻𝐻 作=CsGin∠ 平 𝐴𝐴𝐻𝐻 行 𝐷𝐷 于AF且𝐴𝐴𝐻𝐻交=A2Bs于in(6 −𝛼𝛼)
则四边形AGCF为平行四边形，
(𝑏𝑏𝑏𝑏) 𝐻𝐻.
所以 ，又因为 ，
由平𝐴𝐴�面���𝐶𝐶�⃗向=量𝐴𝐴���基�𝐻𝐻�⃗本+定�𝐴𝐴���𝐻𝐻�⃗理知： 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗=𝑥𝑥，𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗所+以𝑦𝑦�𝐴𝐴���𝐻𝐻�⃗(𝑥𝑥,，𝑦𝑦 ∈𝑅𝑅)
𝐴𝐴𝐻𝐻
𝐴𝐴����𝐻𝐻�⃗=𝑦𝑦�𝐴𝐴���𝐻𝐻�⃗ 𝑦𝑦 =𝐴𝐴𝐻𝐻
在 中， ，所以：
𝐴𝐴𝐷𝐷 1
𝑅𝑅𝑅𝑅△𝐴𝐴𝐷𝐷𝐻𝐻 𝐴𝐴𝐻𝐻 =cos𝛼𝛼=cos𝛼𝛼
𝐴𝐴𝐻𝐻 1 1
𝑓𝑓(𝛼𝛼)=𝑦𝑦 = = = 2
𝐴𝐴𝐻𝐻 5𝜋𝜋 cos 𝛼𝛼+√ 3sin𝛼𝛼cos𝛼𝛼
2cos𝛼𝛼⋅sin( −𝛼𝛼) ，
6
2 2 𝜋𝜋
𝜋𝜋
=1+cos2𝛼𝛼+√ 3sin2𝛼𝛼=1+2sin(2𝛼𝛼+6),𝛼𝛼 ∈(0,3)
所以 ，所以
𝜋𝜋 𝜋𝜋 5𝜋𝜋 𝜋𝜋 1
2𝛼𝛼+6 ∈(6, 6) sin(2𝛼𝛼+6)∈(2,1].
所以
𝜋𝜋
1+2sin(2𝛼𝛼+6)∈(2,3].
所以，当 时， 取最小值，最小值为
𝜋𝜋 2
𝛼𝛼 = 6 𝑓𝑓(𝛼𝛼) 3.
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