专题31离散型随机变量及其分布列（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修3_05.专项训练_专题31离散型随机变量及其分布列-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题31 离散型随机变量及其分布列 一、单选题 1．（2020·陕西高二期末（理））已知随机变量X 的分布列如下，则 p （ ） X 0 1 2 3 1 1 1 P p 12 3 6 1 1 1 5 A．12 B．6 C．3 D．12 【答案】D 【解析】 1 1 1 5    p1 p . 由题意可得12 3 6 ，则 12 故选：D a 2．（2020·南京市临江高级中学高二期中）下表是离散型随机变量X的分布列，则常数 的值是（ ） X 3 4 5 9 a 1 1 1 P a 2 6 2 6 1 1 1 1 A．6 B．12 C．9 D．2 【答案】C 【解析】 a 1 1 1 1  a  1 a  2 6 2 6 ，解得 9 . 故选：C P(k)mk,(k 1,2,3,4,5) 3．（2020·重庆北碚西南大学附中高二月考）已知随机变量ξ的分布列为 ， 则实数m＝（ ）1 1 1 1 A．5 B．10 C． 15 D． 20 【答案】C 【解析】 P(k)mk,(k 1,2,3,4,5) ∵随机变量ξ的分布列为 m2m3m4m5m1 1 m 解得实数 15 故选：C 4．（2020·陕西高二期末（理））若随机变量X 的分布列如下： X 3 2 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 P(X m)0.5 m 则当 时， 的取值范围是（ ） m�2 0m1 0m2 1m2 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 P(X 2)0.1 P(X 0)0.3 P(X 1)0.5 m(0,1] 由题意可得 ， ， ，则 . 故选：B 5．（2020·河南高二期末（理））随机变量X的分布列为( ) X -1 0 1 P a b c P| X |1 其中a,b,c成等差数列,则 等于( ) 1 1 A．6 B．31 2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c, 1 又a+b+c=1,所以b=3, 2 所以P(|X|=1)=a+c=3 ，故选D.    P 3 1  6．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设随机变量 的概率为分布列如下表，则 （ ）  1 2 3 4 1 1 1 a P 12 3 3 7 1 5 1 A．12 B．2 C．12 D．6 【答案】A 【解析】 1 1 1 a  1  12 3 3 1 a 4 3 1 2 4 由 ，解得 或 1 1 7 P(|3|1) P(2)P(4)   4 3 12 故选：A 7．（2020·河南南阳高二二模（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那3 么概率是10的事件为( ) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 【答案】C 【解析】 C1C3 1 C4 1 C2C2 3 3 7  7  3 7  对于选项A，概率为 C4 2.对于选项B，概率为C4 6 .对于选项C，概率为 C4 10 .对于选项 10 10 10 1 3  D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是2 10，故 D选项不正确.综上所述，本小题选C. 8．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的 个数，则P(X2)等于( ) 7 8 A．15 B．15 14 C．15 D．1 【答案】C 【解析】 由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式， C2 7 C1 C1 7 C2 1 7  7 3  3  即P(X＝0)＝C2 15，P(X＝1)＝ C2 15，P(X＝2)＝C2 15， 10 10 10 7 7 14   于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝15 15 15 故选C二、多选题 9．（2020·大名县第一中学高二月考）如果 是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( ) A． 取每一个可能值的概率都是非负数 B． 取所有可能值的概率之和是1 C． 的取值与自然数一一对应 D． 的取值是实数 【答案】ABD 【解析】 根据概率性质可得 取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确； 取所有可能值的概率之和是1，所以B正确； 的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确. 故选：ABD 10．（2020·三亚华侨学校高二月考）下列关于随机变量及分布的说法正确的是（ ） A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B．某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数 服从两点分布 C．离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1 D．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 【答案】AD 【解析】 对于选项A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故是随机变量，故选项A正确； 对于选项B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复实验，命中的次数 服从二项 分布 而不是两点分布，故选项B错误； 对于选项C：离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1，故选项C错误； 对于选项D：由互斥事件的定义可知选项D正确． 故选：AD 11．（2019·东台市安丰中学高二期中）设随机变量 的分布列为 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 随机变量 的分布列为 , ， 解得 ， 故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故答案为：A、B、C. 12．（2019·山东潍坊高三月考）某市有 ， ， ， 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游 览 的概率为 ，游览 ， 和 的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ） A．游客至多游览一个景点的概率 B．C． D． 【答案】ABD 【解析】 记该游客游览 个景点为事件 ， ， 则 ， ， 所以游客至多游览一个景点的概率为 ，故A正确； 随机变量 的可能取值为 ， ， ，故B正确； ， ，故C错误； 数学期望为： ，故D正确， 故选：ABD.三、填空题 13．（2020·汪清县汪清第六中学高二月考（理））已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________. ξ 0 1 2 1 p x2 x 4 1 【答案】2 【解析】 1 x2 x 1 由随机变量概率分布列的性质可知： 4 ，且0≤x≤1， 1 解得x＝2 1 故答案为2 14．（2020·辉县市第二高级中学高二期中（理））已知随机变量X的分布列为 i P(X i) (i 1,2,3,4) 2a ，则P(2 X 4)等于________. 7 【答案】10 【解析】 i 1 P(X i) (i 1,2,3,4)  (1234)1  2a ， 2a ，解得a=5， 3 4 7 P(2 X 4) P(3)P(4)   则 10 10 10. 7 故答案为：10．15．（2020·梅河口市第五中学高二月考（理））随机变量X 的分布列为 PX k c ,k 1,2,3,4.c P 1  X  5 kk1 为常数， 则  2 2  的值为____________ 5 【答案】6 【解析】 c ∵P（X=k）=）=kk1 ，k=1，2，3，4， c c c c    1 ∴2 6 12 20 ， 5 ∴c=4 ， 1 5 5 5 5 + = ∵P（2 ＜X＜2 ）=P（X=1）+P（X=2）=8 24 6； 5 故答案为6 ．  16．（2019·北京市第二中学朝阳学校高二期末）随机变量 的分布列如下：  1 2 3 4 5 6 x P 0.2 0.25 0.1 0.15 0.2 P3 x 则 ______， ______. 【答案】0.1 0.55 【解析】 由0.2x0.250.10.150.21得x0.1 P3 P1P2P30.20.10.250.55 故答案为：0.1，0.55四、解答题 17．（2019·全国高二课时练习）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机 抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果. 6,11,15,21,25,30 【答案】 【解析】 X的可能取值为6,11,15,21,25,30. 其中,X=6表示抽到的是1元和5元; X=11表示抽到的是1元和10元; X=15表示抽到的是5元和10元; X=21表示抽到的是1元和20元; X=25表示抽到的是5元和20元; X=30表示抽到的是10元和20元. 18．（2019·全国高二课时练习）在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示 的随机试验的结果. 0,1,2,3 【答案】 【解析】 因为x,y可能取的值为1,2,3, 所以0≤|x-2|≤1,0≤|x-y|≤2,所以0≤ξ≤3, 所以ξ可能的取值为0,1,2,3. 用(x,y)表示第一次抽到卡片号码为x,第二次抽得号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为: ξ=0表示两次抽到卡片编号都是2,即(2,2). ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3). ξ=2表示(1,2),(3,2). ξ=3表示(1,3),(3,1). 19．（2020·南岗黑龙江实验中学高二期中（理））设离散型随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（1）2X 1的分布列；P(1 X 4) （2）求 的值. 【答案】（1）见解析；（2）0.7 【解析】 由分布列的性质知：0.20.10.10.3m1，解得m0.3 （1）由题意可知 P(2X 11) P(X 0)0.2 P(2X 13) P(X 1)0.1 P(2X 15) P(X 2)0.1 ， ， P(2X 17) P(X 3)0.3 P(2X 19) P(X 4)0.3 ， 所以2X 1的分布列为： 2X 1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 P(1 X 4) P(X 2)P(X 3)P(X 4)0.10.30.30.7 （2） 20．（2020·延安市第一中学高二期中（理））学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、 2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) （1）求在1次游戏中, ①摸出3个白球的概率; ②获奖的概率; （2）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列. 1 7 . . 【答案】（I）（i）5 ；（ii）10 （II）X的分布列见解析 【解析】 C2 C1 1 3 2 (1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件A i (i＝0,1,2,3)，则P(A 3 )＝ C2 · C2 ＝ 5 . 5 3 ②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A∪A，又 2 3 C2C2 C1C1 C1 1 1 1 7 3 2 3 2 2 P(A 2 )＝C2C2 ＋ C2 ·C2 ＝ 2 ，且A 2 ，A 3 互斥，所以P(B)＝P(A 2 )＋P(A 3 )＝ 2 ＋ 5 ＝ 10 . 5 3 5 3 (2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2， 7  9 1   P(X＝0)＝ 102＝100， 7  7  21 1   P(X＝1)＝C 2 1·10  10＝50，  7  49   P(X＝2)＝102＝100， 所以X的分布列是 X 0 1 2 9 21 49 P 100 50 100 21．（2019·黑龙江铁人中学高二期末（理））甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题， 答对者为本队赢得一分， 2 2 2 1 , , 答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为3 ，乙队中3人答对的概率分别为3 3 2且各人正确与否相 互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.  （Ⅰ）求随机变量 分布列； (Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件， 求P(AB).  【答案】（Ⅰ） 的分布列为 ε 0 1 2 3 P 34 P(AB) (Ⅱ) 243 【解析】  (Ⅰ)由题意知， 的可能取值为0，1，2，3,且3 2  2 1 2  2 2 P(0)C0 1  ,P(1)C1  1      3  3 27 3 3  3 9 2 3 3 2  2 4 2 8 P(2)C2  1  ,P(3)C3        3 3  3 9 3 3 27  所以 的分布列为 ε 0 1 2 3 P （Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且 C、D互斥，又 2  2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 10 P(C)C2( )2 1           3 3   3     3 3 2 3 3 2 3 3 2  34 2 1 1 1 4 P(D)C3( )3      3 3 3 3 2 35 由互斥事件的概率公式得 10 4 34 34 P(AB) P(C)P(D)    34 35 35 243 22．某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3 项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到 1 2 4 “移库”一项，则第一次合格的概率为2 ，第二次合格的概率为3 ，第三次合格的概率为5 ，若第四次抽 到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过． P （1）求小李第一次考试即通过的概率 1；  （2）求小李参加考核的次数 的分布列． 5 【答案】（1）6（2）分布列为 1 2 3 4  5 4 7 1 P 6 27 405 810 【解析】 （1）根据题意小李第一次考试即通过包括①小李没有抽到“移库”一项；②抽到“移库”一项且通过． 1 C2 C3 2 8 2 1 1 5 P  8      1 C3 C3 3 2 3 6 9 9  （2）根据题意小李参加考核的次数 可能为1，2，3，4，其中 5  52 1 2 4 P1 P  P2  1      1 6，  63 3 3 27 ，  5 4 2 1 4 7 5 4 7 1 P3 1     ,P31        6 273 3 5 405 6 27 405 810 分布列为 1 2 3 4  5 4 7 1 P 6 27 405 810