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专题02 排列与排列数
题型一：排列的概念及简单计算
题型二：排列数方程与不等式
题型三：全排列问题
题型四：元素（位置）有限制的排列问题
题型五 ：相邻问题的排列问题
题型六：不相邻问题的排列问题
题型七：数字的排列问题
题型一：排列的概念及简单计算
1．（24-25 高二下·江苏南京·期中）
可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】排列的意义理解
【分析】根据排列数的定义即可得到答案.
【详解】根据排列数的定义得
可以表示为
.
故选：B.
2．（24-25 高二下·上海闵行·阶段练习）下列选项中，不属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9 中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从
中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】排列的意义理解
【分析】排列是要求有顺序的，故而只需看每个选项中的是否和顺序有关即可.
【详解】A.选出3 名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A 错误；
B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B 正确；
C. 如
和
是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C 错误；
D. 如
和
是不同的点，故属于排列问题，故D 错误.
故选：B.
3．（23-24 高二下·山东菏泽·期中）
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】排列的意义理解、排列数的计算
【分析】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解.
【详解】因
且
，
表示80 个连续正整数的乘积，
其中最大因数为
，最小因数为
，由排列数公式的意义得结果为
，
所以
.
故选：A
4．从
本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】排列的意义理解
【分析】根据排列数的定义即可求解.
【详解】根据排列数的定义，
可得从
本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是
.
故选：B
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）（多选题）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从10 人中选取5 人组成一个卫生队
B．从10 人中选取4 人参加4×100 米接力赛
C．从10 人中选取5 人参加某兴趣小组
D．从10 人中选取5 人分别去五个地区支教
【答案】BD
【难度】0.94
【知识点】排列的意义理解
【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A 错误，
对于B，因为选取人后，4 人排列有顺序要求，是排列问题，所以B 正确，
对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C 错误，
对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D 正确，
故选：BD.
6．（23-24 高二上·江西新余·阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，
，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，
，，
中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】排列的意义理解
【分析】根据排列的定义及相关知识逐项进行判断.
【详解】对于A 项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，
故A 项正确；
对于B 项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列
问题，故B 项错误；
对于C 项：从，，
，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C 项正确；
对于D 项：从，
，，
中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D 项正确.
故选：ACD.
7．（24-25 高二下·山东临沂·阶段练习）一个数阵有
行
列，第一行中的
个数互不相同，其余行都由这
个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，则
的最大取值 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】全排列问题
【分析】根据排列数意义计算即可.
【详解】由题中所给的n 个数组成的排序共有
，
所以任意两行的顺序都不相同时
的最大取值为
.
故答案为：
.
8．（2025·上海·三模）互不相同的正整数
满足
，满足条
件的有序实数对
有 组（结果用数值表示）.
【答案】48
【难度】0.4
【知识点】全排列问题
【分析】设
，由已知得
，可得
或
，从而可求解.
【详解】设
，
由
，可得
，
因为
是互不相同的正整数，故
是互不相同的整数，
因为乘积为6，可得负因数的个数为偶数个，
可得
或
，
则对应的
也有两组，
故符合条件数有2 组，故符合条件的
的所有有序实数对是这两个组的数的全排列，
即
.
故答案为：
.
题型二：排列数方程与不等式
1．（24-25 高二下·广东清远·期末）
（ ）
A．8
B．13
C．63
D．66
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】排列数的计算
【分析】根据排列数公式计算即可.
【详解】
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·四川成都·期末）
（ ）
A．0
B．56
C．1
D．42
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】排列数的计算
【分析】根据排列数计算公式，化简求值.
【详解】由题意得
，
故选：A.
3．（24-25 高二下·吉林松原·期中）已知
，则
（ ）
A．5
B．3
C．4 或6
D．4
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式
【分析】利用排列数与组合数的相关公式，化简计算求出
即可.
【详解】由
，可知
，且
，
化简得：
，
解得
或
，因
，故
.
故选：D.
4．已知
，则x 等于（ ）
A．6
B．13
C．6 或13
D．12
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x 的范围，即可得答案.
【详解】由题意得
，
化简可得
，解得
或6，
因为
，所以
且
，故
.
故选：A.
5．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】
根据排列数公式计算即可.
【详解】
由
，
得
，解得
，
所以不等式
的解集是
.
故选：D.
6．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
，又
，
，
所以
，
所以不等式
的解集为
，
故选：D.
7．（24-25 高二下·江苏扬州·期中）（多选题）满足不等式
的x 的值可能为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可.
【详解】由
可得：
，即
，
由
化简得：
，
即
，解得
或
，
综上可得
，又
，故x 的值可能为3，4，5，6，7.
故选：ABC.
8．（多选题）满足不等式
的
的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】根据排列数公式化简后解一元二次不等式即可.
【详解】
,
,
,
原不等式可化为
，
,
解得
,
,
即
或
，
故选：BC
9．（24-25 高三·上海·课堂例题）
，则
.
【答案】9
【难度】0.85
【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式
【分析】根据阶乘的性质即可求解.
【详解】
，
所以
，故
，
故答案为：9
10．（24-25 高三·上海·随堂练习）已知
，则正整数
．
【答案】8
【难度】0.94
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】根据排列数公式，转化为关于
的不等式，结合
的取值范围，得出
的值．
【详解】
，则
，解得
，
又
，则
，得
．
故答案为：
题型三：全排列问题
1．（25-26 高三上·福建·阶段练习）用
可以组成
个无重复数字的六位奇数，则
（ ）
A．360
B．400
C．420
D．450
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】排列数的计算、全排列问题
【分析】根据排列公式计算即可.
【详解】个位数字可以是
，可得
，
故选：A.
2．（25-26 高一上·浙江·开学考试）对于正整数n，符号
…
，例如：
，
，如果
，那么
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】全排列问题
【分析】先确定末尾有4 个0，再确定
!能被9 整除，则
各个数字之和也能被9 整
除，即可求解．
【详解】由
!
……
，5 的倍数有5，10，15，20 共4 个，
!中，末尾共有4 个0，
故
；
!中的因数有9，
!能被9 整除，
各位数字之和
也能被9 整除，
应为9 的倍数，即
，
，
故选：A.
3．（24-25 高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4 条不同的旅游路线，甲要从中任选2 条路线，
分别在假期7 月和8 月出游，则不同的选择及安排方法有（ ）
A．24 种
B．16 种
C．12 种
D．6 种
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】全排列问题
【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决.
【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有
种.
故选：
.
4．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、
木、匏páo 、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶
fǒu 、埙xūn ”2 种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4 种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3
种乐器．现从这三类乐器中各选1 种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ）
A．144 种
B．72 种
C．44 种
D．48 种
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、全排列问题
【分析】利用排列数及分步计数原理即可求解..
【详解】根据题意，分2 步进行分析：
①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2 种乐器，在其中选出1 种有2 种选法，
“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4 种乐器，在其中选出1 种有4 种选法，
“竹”，包括“箫、笛、笋”3 种乐器，在其中选出1 种有3 种选法，
测在三类乐器中各选1 种乐器，有
种选法；
②将选出的3 种乐器安排给甲乙丙三人，有
种情况，
则有
种不同的分配方法；
故选：A.
5．（25-26 高二上·全国·课前预习）把n 个不同的元素 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，
全排列数为
（叫做n 的阶乘）．规定：
.
【答案】 全部 1
【难度】0.94
【知识点】排列的意义理解
【分析】略
【详解】略
6．（23-24 高二下·河北保定·阶段练习）3 名工人各自在4 天中选择1 天休息，且每天最多只能1 个人休息，
则共有 种不同的休息方法.
【答案】24
【难度】0.85
【知识点】排列的意义理解、全排列问题
【分析】依题意可知相当于将三人在4 天中进行排序的问题，计算可得结果.
【详解】根据题意可知该问题相当于将三人在4 天中进行排序，共有
种不同的休息方法.
故答案为：24.
题型四：元素（位置）有限制的排列问题
1．（25-26 高三上·青海西宁·期中）2025 年10 月西宁市大通回族土族自治县首次全面摸清野生动物资源
“家底”，标志着生物多样性保护进入科学化、精细化新阶段．某校野生动物兴趣小组在野生动物宣传周
后合影留念，2 名指导老师和5 名学生排成一排照相留念，若2 位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A．5040 种
B．1440 种
C．720 种
D．360 种
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】利用捆绑法即可求解.
【详解】先将2 位老师看作一个整体与5 名学生全排，有
种，2 位老师自身排有
种，所以2
位老师相邻时不同的排法共有
种．
故选 ：B．
2．（24-25 高二下·贵州遵义·阶段练习）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨
水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和
“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A．24
B．48
C．144
D．240
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解.
【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有
种放置方法，
捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有
种方法，
再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4 个空选择2 个，共有
种方法，
综上，共有
种放置方式.
故选：C
3．（2025 高三·全国·专题练习）在图所示的10 块地中，选出6 块种植
这六个不同品种的蔬菜，
每块地种植一种．若
必须横向相邻种在一起，
与
在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同
的种植方案有（ ）.
A．3120 种
B．3360 种
C．5160 种
D．5520 种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题
【分析】本题是一个分类和分步原理的综合应用，
横向相邻种，在这三种蔬菜的排列就是
,
排在上排与排在下排又是两种方案，
可以选择的方案:分两种情况，当
与
在同一排时，又分
两种情况，根据计数原理得到结果.
【详解】①当
与
同行，与
也同行时，有
种种植方案；
与
不同行时，有
种种植方案；
②当
与
不同行时，有
种种植方案.
故不同的种植方案有
（种）.
故选：C.
4．（24-25 高二下·天津·期中）一场小型晚会有3 个唱歌节目和2 个相声节目，要求排出一个节目单．第一
个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法；前3 个节目中要有相声节目，有 种排
法．
【答案】 36 108
【难度】0.85
【知识点】全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、其他排列模型
【分析】利用特殊元素优先选择，即可求解第一空；利用正难则反，先算前3 个节目中没有相声，即相声
在后两个节目的排法，即可求解第二空.
【详解】选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3 个节目在中间排列，排法为
；
5 个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有
．
故答案为：36；108
5．（25-26 高三上·云南·期中）甲、乙等5 名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等
奖、优秀奖各1 名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有 （用数字作答）种.
【答案】72
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】根据排列的定义，结合分步乘法原理进行求解即可.
【详解】因为甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有
种，
则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有
种，，
所以5 名同学获奖的所有可能情况有
种.
故答案为：72
6．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）某数学兴趣小组的6 名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学
必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有 （用数字作答）种.
【答案】144
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题
【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解.
【详解】6 名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有
（种），
6 名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有
（种），
所以6 名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有
（种）.
故答案为：144.
7．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）数字10 在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两
人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10 张，分别含有数字2 至数字10，以及一张字母
．
为了计数的方便，两人约定字母
代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一
人所抽数字总和为10 时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率
【分析】由题抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应
共5 个数字，讨论
的情况
、
、
、
依次求出对应满足要求的抽取情况数，结合排列数及古典概型的概率求
法求概率.
【详解】由题设，抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应
共5 个数字，
由甲取三次纸牌即获胜，则
不可能为10，
不可能为10，且
，
，
由题意，
的情况有
、
、
、
，
对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有
种，乙在余下的7 个数字中选2 个数字，
当
由
组成，若
时
有6 种，若
时，即从
中选有
种，此时满足题设
的
情况有
种，
当
由
组成，若
时
有6 种，若
时，即从
中选有
种，此时满足题设
的
情况有
种，
当
由
组成，若
时
有6 种，若
时，即从
、
中选有
种，此时
满足题设的
情况有
种，
当
由
组成，若
时
有6 种，若
时，即从
、
中选有
种，此时
满足题设的
情况有
种，
综上，满足要求的
的情况有
种，
又
的所有情况有
种，
所以甲取三次纸牌即获胜的概率为
.
故答案为：
8．（25-26 高三上·江苏南京·阶段练习）某市抽调5 位老师分赴3 所山区学校支教，要求每位老师只能去一
所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分
派方法的种数是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】先安排甲、乙两位老师，再利用间接法安排剩下的3 位老师，最后利用分步乘法计数原理即可求
解.
【详解】设学校为
，先把甲、乙两位老师安排到不同学校，有
种，
不妨设甲在
，乙在
，只需剩余3 人至少有1 人去
即可，
利用间接法计算，有
种不同安排方法，
根据分步乘法计数原理可知，共有
种不同安排方法.
故答案为：
.
9．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起
出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为 ．
【答案】192
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知，丙排在第4 位，则甲乙两人可能在第1、2 或2、3 或5、6 或6、7 位，
故不同的排法有
种.
故答案为：192.
10．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）用1，2，3，
四个数组成一个五位数（每个数仅用到1 次），则能
组成 个不同的五位数．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】先分两大类，第一类为1 和2 相邻，然后再按1 和2 的左右顺序分两小类，分别由分步乘法计数
得出，第二类为1 和2 不相邻，然后再按3 在不在数字1 和2 中间分两小类，分别由分步乘法计数得出，
最后再由分类加法计数得到答案.
【详解】分两大类进行：
第一类：数字1 和2 相邻时，再分两小类：
①数字1 和2 相邻且1 在2 的左边，这时相当于两个
和一个3 排序，先排两个
只有一种方法如图，
再由这两个
产生3 个空中选一个空插入3，所以共有
种不同的五位数；
②数字1 和2 相邻且2 在1 的左边，这时1，2，3 的排法有2 种顺序如图，此时产生3 个空，
再从这3 个空中选一个空插入
，所以共有
种不同的五位数.
或
第二类：数字1 和2 不相邻时，再分两小类：
③数字3 在数字1 和2 中间，此时共有两种顺序132 和231 如图，
再由这3 个数产生4 个空选一个空插入
，所以共有
种不同的五位数，
或
④数字3 不在数字1 和2 中间，那么只能
在数字1 和2 中间，此时共有2 种不同的排法如图，
最后3 只能排首位或者末位，所以共有
种不同的五位数.
或
故一共有
种不同的五位数.
故答案为：
.
题型五 ：相邻问题的排列问题
1．（24-25 高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中
甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（ ）种.
A．6
B．12
C．36
D．72
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】排列问题，捆绑法解决
【详解】先将甲乙丙“捆绑”，然后与丁戊进行全排列，有
种排列方式，
再将甲乙丙解绑，并只对甲乙丙进行排列，有
种排列方式，
总数为
种
故选：C
2．（24-25 高二下·湖北省直辖县级单位·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6 名同学站成一排参加文艺汇演，
若甲和乙相邻，且都不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．48 种
B．72 种
C．96 种
D．144 种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题
【分析】应用捆绑法及特殊位置优先处理计算求解
【详解】甲、乙、丙、丁、戊、己6 名同学站成一排参加文艺汇演，
若甲和乙相邻，则有
种排法，且甲和乙都不站在两端丙、丁、戊、己4 名同学选2 人在两端有
种排
法，
所以不同的排列方式有
种排法.
故选：D.
3．（24-25 高二下·广东茂名·期末）小明在注册某账号的密码时，想在1，2，3，a，b 中组成无重复的五
位字符的密码，要求a 与b 相邻，则可以设置不同的密码的个数为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】将“a”和“b”看成一个整体，利用捆绑法求解.
【详解】将“a”和“b”看成一个整体，与1，2，3 进行全排列，再将“a”和“b”交换顺序，
所以不同的放置方式种数为
.
故选：D.
4．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）现有
五人站成一排，则
相邻且
不相邻的排法种数
共有 种．
【答案】24
【难度】0.65
【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解.
【详解】根据题意，将
，
看成一个整体，
，
的排列方法有
种方法，
然后将这个整体与
进行全排列，即不同的排列方式有
，
最后将
，
插入到三个空中的两个中，有
种方法，
根据分步计数原理可知排法种数为
，
故答案为：24.
5．（25-26 高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3 个班各有2 名同学获奖，现将这6 人
站成一排拍照，其中甲班的2 名同学相邻，且乙班的2 名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作
答）
【答案】144
【难度】0.85
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】甲班的2 名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2 名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法
计数原理即可求解.
【详解】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2 人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2 人（共
3 个元素）进行全排列，有
种方法；甲班两人内部有
种排法，故共有
种站法；
第二步，将乙班的2 人插入前后4 个空位，有
种站法.
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有
种.
故答案为：144
6．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某高中学校经过推荐和选拔，挑选6 名同学（4 名男生、2
名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有 种不同的排法．
（用数字作答）
【答案】240
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题
【分析】根据题意，使用捆绑法，2 名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2 种情况，再将其与其
他4 名男生全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案．
【详解】根据题意，分2 步进行，
先将2 名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有
种情况，
再将其与其他4 名男生全排列，有
种情况，
则其不同的排列方法为
种，
故答案为：240．
7．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）某次志愿者活动需分配4 名大学生
和2 名老师（甲、
乙）排成一列合影．要求大学生
与
必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有
种．
【答案】144
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】先对
进行捆绑，再与
全排，最后用插空法求解即可.
【详解】由题知，先把学生
与
进去捆绑有
种，再与
进行全排，有
种，
最后把2 名老师插入4 个空中，有
种，所以共有
.
故答案为：144.
题型六：不相邻问题的排列问题
1．（24-25 高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在
两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．72 种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题
【分析】先考虑甲的站位，可选中间3 个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，
即可求得答案.
【详解】先考虑甲的站位，可选中间3 个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，
此时共有
种排列方式；
然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列，
在这3 个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入，
此时共有
种排列方式；
故符合题意的不同排列方式共有
（种），
故选：C
2．（24-25 高二下·湖北恩施·期末）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，
其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6 块知识展板放置在排成一排的六
个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不
同放置方式的种数为（ ）
A．144
B．240
C．336
D．456
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】根据题意，先让“雨水”和“谷雨”不相邻，再让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”
相邻，分别求得不同的放置方式，结合间接法，即可求解.
【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为
；
第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为
；
所以不同放置方式种数为
.
故选：C.
3．（24-25 高二下·四川资阳·期末）某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女
果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（ ）
A．240 种
B．360 种
C．480 种
D．512 种
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】不相邻排列问题
【分析】根据插空法计算即可.
【详解】由题可知：
.
故选：C
4．（24-25 高二下·云南曲靖·阶段练习）为庆祝七一建党节，某党支部举办了建党节演出活动，该活动要
安排3 个歌舞类节目、2 个情景类节目和2 个朗诵类节目的演出顺序.若朗诵类节目不在第一个出场，情景
类节目演出顺序不相邻，则不同的演出顺序的种数为（ ）
A．1560
B．2640
C．1360
D．2340
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题
【分析】分情景类节目第一个出场、舞类节目第一个出场两种情况利用插空法可得答案.
【详解】若情景类节目第一个出场，有
种，再安排3 个歌舞类节目和2 个朗诵类节目的演出顺序，
有
种，最后再利用插空法安排一个情景类节目，有
种，
则共有
种演出顺序.
若歌舞类节目第一个出场，有
种，再安排余下的2 个歌舞类节目和2 个朗诵类节目的演出顺序，
有
种，最后再利用插空法安排2 个情景类节目，有
种，
则共有
种演出顺序.
故不同的演出顺序的种数为
.
故选：B.
5．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）某班星期一上午安排5 节课，若数学2 节，语文、物理、化学各1
节，且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果.
【详解】先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位，
从中选两个安排物理化学，有
种排法，
所以星期一上午不同课程安排种数为
.
故答案为：
6．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展
“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，
“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种．
【答案】144
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和
“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解.
【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有
种不同的次
序，
再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有
种不同的次序，
最后将“射”和“御”交换位置，有
种不同排序，
根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有
种．
故答案为：
.
7．（2025 高三·全国·专题练习）斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列是1，1，2，3，5，8，…，
这个数列从第3 项开始，每一项都等于前两项之和．小李以前6 项数字的某种排列作为他的银行卡密码，
如果数字1 与2 不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数有 种．
【答案】144
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题
【分析】插空法，先排2，3，5，8 四个数，再根据已知条件，分两类情况将剩下的两个1 插空即可解答.
【详解】先排数字2，3，5，8，有
种排法，4 个数字形成5 个空当，再考虑排两个1，有两类情况：
第一类：若两个1 相邻，依题意应从可选择的3 个空当中选一个放入两个1，有3 种排法；
第二类：若两个1 不相邻，则应从可选择的3 个空当中选两个分别放入数字1，有3 种排法．
由分步乘法计数原理，不同的密码个数有
种，
故答案为：144.
8．（24-25 高二下·四川绵阳·期末）有3 名男生和2 名女生站成一排照相，要求两名女生不能相邻，同时男
生甲不能站在最左边，女生乙不能站在最中间，满足条件的站法种数为 ．
【答案】50
【难度】0.65
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题
【分析】先利用插空法求得两名女生不能相邻的站法；然后分别求出两名女生不能相邻且男生甲站在最左
边、两名女生不能相邻且女生乙站在最中间、两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最
中间三种情况的站法，根据排除法求解即可.
【详解】先求出两名女生不能相邻的站法有
种；
若两名女生不能相邻且男生甲站在最左边，则满足题意的站法有
种，
若两名女生不能相邻且女生乙站在最中间，则满足题意的站法有
种，
若两名女生不能相邻，同时男生甲站在最左边，女生乙站在最中间，
则满足题意的站法有
种，
所以满足条件的站法种数为
种.
故答案为：50
9．（2025 高二·全国·专题练习）有2 名女生和3 名男生共5 名学生站成一排照相，则女生甲不在两端、3
名男生中有且只有2 名相邻的站法有 种.
【答案】48
【难度】0.85
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题
【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理,对“3 名男生中有且只有2 名相邻”利用捆绑法、插
空法即可求解.
【详解】先从3 名男生中选择2 名捆绑，且他们的位置与顺序相关，共有
种可能，
记2 名女生为甲和乙，则她们的站法有2 种：
若甲在左、乙在右，因为女生甲不在两端，所以男生捆绑后作为两个个体插空，必有一个在甲的左边，因
此有
种可能；
若甲在右、乙在左，同样也有
种可能；
由分步乘法计数原理和分类加法计数原理可知，共有
种站法.
故答案为：48.
题型七：数字的排列问题
1．（25-26 高三上·福建·阶段练习）用
可以组成
个无重复数字的六位奇数，则
（ ）
A．360
B．400
C．420
D．450
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】排列数的计算、全排列问题
【分析】根据排列公式计算即可.
【详解】个位数字可以是
，可得
，
故选：A.
2．（2025 高三·全国·专题练习）将1，2，3，4，5，6，7 这7 个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有
（ ）．
A．576 种
B．720 种
C．864 种
D．900 种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题
【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6 结合排列数公式列式计算求解.
【详解】 先排1，3，5，7，有
种排法；
再排6，根据题意，6 不能排在3 的两侧，则6 有
种排法；
最后排2 和4，这两个数不能排在6 的两侧，则有
种排法.
故相邻数字互质的排法共有
（种）．
故选：C.
3．（24-25 高二下·吉林·期末）用、
、、
可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】数字排列问题、其他排列模型
【分析】利用排列计数原理可求得结果.
【详解】用、
、、
可以组成没有重复数字的三位数的个数是
.
故选：D.
4．（24-25 高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数
为（ ）
A．36
B．48
C．60
D．72
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题
【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解.
【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有
个，
若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4 两种选择，万位有3 种选择，这样的数有
，
所以五位的偶数有
.
故选：C.
5．（24-25 高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4 这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．9
B．12
C．16
D．24
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】排列数的计算
【分析】根据题意，选出3 个数字，进行全排列，即可求解.
【详解】根据题意，可从1，2，3，4 这四个数中，选出3 个数字，进行全排列，
可得组成无重复数字的三位数的个数为
.
故选：D.
6．（24-25 高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任选3 个数字，可组成无重复数字
的三位数的个数为（ ）
A．60
B．84
C．100
D．120
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】数字排列问题、排列数的计算
【分析】利用间接法，将首位为
的情况去掉即可求解.
【详解】从0，1，2，3，4，5 这六个数字中任选3 个数字，共有
种选法，
若首位为
，从剩下的五个数字中任选
个数字，共有
种选法，
所以组成无重复数字的三位数的个数为
.
故选：
7．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）从数字0，1，2，3，4，5 中任取四个数字，组成没有重复数字的
四位偶数，其个数为
【答案】156
【难度】0.65
【知识点】数字排列问题、排列数的计算
【分析】考虑个位数字是否为0，利用分类加法计数原理即可求得答案.
【详解】若个位数字为0，则其余数位上的数字可从其余5 个数字里任选3 个排列，
此时符合题意的偶数有
（个）；
若个位数字为2 或4，首位不能为0，则符合题意的偶数有
（个）；
故符合题意的四位偶数共有
（个），
故答案为：156.
8．（25-26 高三上·广东·开学考试）从1，2，3，…，19，20 中选三个不同的数a，b，c，且满足
的数组（a，b，c）的个数为 ．
【答案】180
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】由
，知
，必须同奇或同偶，结合排列问题和分类加法计数原理计算即可求解.
【详解】由
，知
，必须同奇或同偶，
若
，都为奇数，则有
种选法；
若
，都为偶数，则有
种选法；
由分类加法计数原理知，满足题意的数组共有
种.
故答案为：
.
9．（2025 高三·全国·专题练习）由数字1，2，3，4，5，6，7 组成无重复数字的七位整数，从中任取一个，
所取的数满足首位为1，且任意相邻的两位数字之差的绝对值不大于2，则取到此类数字的概率为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】数字排列问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题意，画出树状图，得到满足条件的取法数，再用排列数表示总的取法数，结合古典概型概
率公式计算即可.
【详解】由图所示的树状图可知，满足条件的共有14 种，全部取法共有
种，
因此所求的概率为
.
故答案为：
.
10．（24-25 高二下·上海·期末）在由1，2，3，4 这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为
．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率
【分析】利用排列组合先确定无重复的三位数，再分别计算个位是2 和4 时的情况，由古典概率求解可得.
【详解】首先无重复的三位数共有
个，
当个位是2 时，有
；
同理当个位是4 时，也有
，
所以偶数的概率为
.
故答案为：
题型八：综合问题
1．（24-25 高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实
际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137 可表示为“
”，26 可表示为“
”，现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含
数字
的三位数的个数为（ ）
A．10
B．20
C．36
D．38
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、其他排列模型
【分析】依题意
根算筹可以分为
，
，
三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，
即可得解.
【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示
、
，
三根算筹可以表示、
，四根算筹可以表示
、；
依题意
根算筹可以分为
，
，
三种情况：
若为
，则有
个三位数；
若为
，则有
个三位数；
若为
，则有
个三位数；
综上可得一共有
个三位数.
故选：D
2．（24-25 高二下·湖北·期中）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．
四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中
均为自然数，则满足条件的有序数组
的
个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】其他排列模型
【分析】这道题考查的是排列的应用，首先找出小于等于
的自然数的平方有哪些，再列出
可由哪些
平方数（不超过四个）相加而成，最后算出这些数的排列数即可.
【详解】小于等于
的自然数的平方有：
，而
，
由
构成的有序数组的个数为：
个；
由
构成的有序数组的个数为：
个；
由
构成的有序数组的个数为：
个；
所以一共有：
个.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，局部元素相同法求排列数：
在对元素进行排列时，出现部分元素相同时，则要除以相同元素数量的全排列，以消除顺序，有多少就除
多少；
思路点睛：解题时先求出
可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，再应用排列的相关知识求排列数，
最后相加即为最后的答案；
关键点点睛：这道题考查排列及排列数问题，列出三种情况后能否求出其排列数是关键，故应对局部元素
相同的排列数的求法加以巩固.
3．（24-25 高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．
通过海选，现有6 个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6 个节目的演出顺序有如下
要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240 种
B．188 种
C．144 种
D．120 种
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型
【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4 个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三
位情况一样,即可得出答案.
【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有
种排法，再与其它4 个节目排序，有
种排法，
最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有
种．
故选：D.
4．（23-24 高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古
乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻
且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（ ）
A．128
B．64
C．48
D．24
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型
【分析】相邻问题用捆绑法，定序问题用倍缩法.
【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有
种，
然后与宫、商、角进行全排列有
种，考虑到顺序问题，
则可排成不同音序的种数为
.
故选：D.
5．（2025 高三·全国·专题练习）在如图所示的标有不同号码的5 格餐具盒里面放入5 种馅料的烧饼（肉、
糖、什锦、腊肠、火腿）各1 个，每个格子只能放1 个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊
肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有 种．
【答案】24
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相
邻排列问题
【分析】解法1 利用捆绑法将糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，将肉馅和腊
肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3 个空中的2 个，根据分步乘法计数原理即可求解；
解法2 把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4 个元素进行全排列，糖、什
锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放，利用间接法即可求解.
【详解】解法1：分三步：第一步，将糖、什锦馅的烧饼捆绑，有
种不同的方法；
第二步，将糖、什锦馅的烧饼相邻捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，有
种不同的方法；
第三步，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3 个空中的2 个，有
种不同的方法．
故一共有
（种）不同的方法．
故答案为：24.
解法2：把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4 个元素进行全排列，有
种不同的方法；
糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放有
种，
所以所求摆放方法共有
（种）．
故答案为：24.
6．（24-25 高二下·河南濮阳·期末）将8 块颜色各不相同的箭头形积木按如图的方式，首尾相连拼接成一
个圆环，若任意调换积木的顺序，但其中红色和黄色两块积木必须相邻，则可以拼成的不同圆环有
种.（用数字作答）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】相邻问题的排列问题、其他排列模型
【分析】利用捆绑法可求拼成的不同圆环的种数.
【详解】将红色和黄色两块积木捆绑并放在圆环某一固定位置上，有
种排法，
将其余六块依次放入余下六个位置，共有
种排法，
故可以拼成的不同圆环有
种排法，
故答案为：
.
7．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6 的卡片
各1 张，两人轮流从中不放回的随机抽取1 张卡片，直到其中1 人抽到的卡片编号之和等于10 或者所有卡
片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3 张卡片时，游戏恰好结束的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、其他排列模型、计算古典概型问题的概率
【分析】将问题转化为抽取5 张，且甲抽取的张数字之和为
，乙抽取的两张卡片数字之和不为10，再
分类讨论每种情况的种类数，最后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】根据题意可知甲抽了3 张卡片时，游戏恰好结束相当于从6 张卡片中抽取了5 张，且甲抽取的三
张卡片数字之和为10，乙抽取的两张卡片数字之和不为10，
则总的情况相当于从6 张卡片中抽取了5 张并进行排列，即共
种排法，
其中三张卡片数字之和为10 的组合有1，3，6；1，4，5；2，3，5 共3 种情况，
两张卡片数字之和为10 的组合有
，
一种情况，
当甲抽取的数字为1，3，6；1，4，5 时，乙在剩余的3 个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有
种；
当甲抽取的数字为2，3，5 时，若乙抽取的两张卡片数字可能为4，6，此时不合题意，
此时共有
种，
所以符合题意的排列总数为
种，可得所求概率为
.
故答案为：
.
8．（2025·辽宁辽阳·一模）某工人给排成一排的
块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第
号，共
种颜色，其中
，
.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第
号颜色
（每种颜色至少使用一次，
，
），则称此方案为一种
上色方案.当
时，不同的
上
色方案共有 种.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】涂色问题、其他排列模型
【分析】不妨将
块排成一排的地砖从左至右依次记为
、
、
、
，分析可知，一定有
块地砖同色，
列举出同色的情况，结合排列计数原理与分步乘法计数原理可得结果.
【详解】不妨将
块排成一排的地砖从左至右依次记为
、
、
、
，
用种颜色给地砖上色，每种颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定有
块地砖同色，
同色的情况有
、
、
，共种，
所以，共有
种不同的
上色方案.
故答案为：
.
