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专题02 指数型及对数型复合函数
题型一：对数型复合函数的定义域
题型二：求单调区间
题型三：已知单调性求参数
题型四：利用单调性比较大小
题型五：利用单调性解不等式
题型六：求值域
题型七：已知值域求参数
题型八：零点问题
题型九：恒成立问题
题型十：新定义问题
题型一：对数型复合函数的定义域
1．函数
的定义域是 ．
【答案】
【详解】由题意得
，解得
.
故答案为：
2．函数
的定义域是 .
【答案】
【详解】对于函数
，则有
，又
，所以
，
所以
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
3．函数
的定义域为
【答案】
【详解】由题，可得
，等价于
，解得
或
.
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
4．函数
的定义域为 ．
【答案】
【详解】要使
有意义，
只需：
，
即：
，
解得：
或
.
故答案为：
题型二：求单调区间
5．若函数
在
上单调递减，则函数
的递增区间是 .
【答案】
【详解】由题意可得
且
，
由函数
在
上单调递减，则有
，
解得
，即
，
因函数
在
上单调递减，
令
，解得
或
，
由
在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
的递增区间为
.
故答案为：
.
6．函数
单调递减区间是 ；值域为 ．
【答案】
【详解】令
，
可知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
又因为
，所以
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
；
.
7．函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
在定义域上单调递减，则
的单调递增区间为
.
故选：D
8．函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】先求函数的定义域即
，解得
，
根据复合函数的单调性可知函数
的单调递增区间即求函数
在
上的单调减区间，
而函数
在
上的单调递减区间为
，故函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
9．设函数
，则
（ ）
A．是偶函数，且在
上单调递增
B．是奇函数，且在
上单调递减
C．是偶函数，且在
上单调递增
D．是奇函数，且在
上单调递减
【答案】D
【详解】由
，解得
且
，
则函数
的定义域为
，关于原点对称，
而
，
所以函数
是奇函数，故A，C 错误；
当
时，
，
则函数
在
上单调递增，故B 错误；
当
时，
，
则函数
在
上单调递减，故D 正确.
故选：D.
10．函数
的单增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
,
则
，由对勾函数的单调性知，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，由
得
，
所以由复合函数的单调性知，函数
的单增区间为
，
故选：A
题型三：已知单调性求参数
11．若函数
在区间
内单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，则
在
上单调递增.
因为
在区间
内单调递减，
所以函数
在区间
内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：
，解得
．
故选：A．
12．函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，
且
在
上恒成立，
则有
，解得
，
故实数
的取值范围为
.
故选：D.
13．若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由函数
的定义域为
在区间
上单调递增，
因为根据外函数是指数函数单调递增，所以内函数
在区间
上单调递增，
显然
，
①当
时，
在
和
上单调递增，所以
，
则
．
②当
时，
在
和
上单调递减，不符合题意．
综上，实数
的取值范围为
．
故选：A．
14．函数
在区间
单调递减，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
由复合函数单调性可知：若
在区间
上单调递减，
则
在
上单调递减且
在
上恒成立，
，解得：
，即
的取值范围为
.
故选：C.
15．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令
，在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在定义域内单调递增，所以
在
上单调递增，
因为函数
在
上单调递增，所以
，即
，
故实数
的取值范围是
.
故答案为：
16．若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意得，
在
上单调递增，且
在
上恒成立，
则
，解得
．
故答案为：
题型四：利用单调性比较大小
17．已知函数
为增函数，记
，则
的大小关系不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由函数
为增函数，由复合函数的单调性的判定方法，可得
为增函数，
令
，即
，解得
，
令
，即
，解得
或
，
令
，即
，解得
，
如图所示，
当
时，可得
，所以
；
当
时，可得
，所以
；
当
时，可得
，所以
，
结合选项，可得C 不可能成立.
故选；C.
18．已知函数
，设
，
，
，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域为
，关于原点对称，
又
，
所以函数
为偶函数，
所以
，
当
时，
，
令
，
所以函数在
上单调递增，而
在
上也单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
又
，
，
，
所以
，
所以
，即
.
故选：D
19．已知函数
，其中
，则
之间的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
所以
，
，
因为
是
上的单调递减函数，
是
上的单调递增函数，
所以
是
上的单调递减函数，
所以
.
故选：B.
20．函数
，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
函数定义域为
，
，函数为偶函数，
当
时，
，且
在
上单调递增，
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
，
，
，故
.
故选：D.
21．已知
，
，则M，N 的大小关系为 ．
【答案】
【详解】令
，
显然
是R 上的减函数，∴
，即
.
故答案为：
.
题型五：利用单调性解不等式
22．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，则
，
因为
，
所以函数
为奇函数，
当
时，易知
单调递增，
单调递增，
所以当
时，函数
单调递增，
又函数
为奇函数，所以函数
在
上单调递增，
所以
等价于
所以
所以不等式
的解集为
.
故选：C.
23．设
，若满足
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可列
，得
.
即
关于
点对称．
因为
，所以
是增函数，
为减函数，
为增函数，
故
单调递增．
所以
，
，
即需满足
，解得
或
.
故选：D．
24．定义在
上的奇函数
在
上单调递增，且
则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，函数
是定义在R 上的奇函数，则
，
又由
在
上单调递增，且
，
则
在
上为增函数，且
，
则在区间
上
，在区间
上
，
在区间
上
，在区间
上
，
不等式
或
，
所以
或
，
所以
或
，
所以
或
，
解得：
或
或
即不等式的解集为
故选：D.
25．已知函数
，则不等式
的解集 .
【答案】
【详解】函数
的定义域为
，
，
函数
是奇函数，而函数
在
上单调递减，
函数
在
上单调递增，因此函数
在
上单调递减，
不等式
，
则
，解得
，
所以所求不等式的解集为
.
故答案为：
26．已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】
，
的定义域为
，
，所以函数
是偶函数．
令
，取
，
则
，
因为
，
在R 上单调递增，
所以
，故
，
所以
，故
在
上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减，可知
在
上单调递增，
所以不等式
，
等价于
，两边平方得，
，
解得
．
故答案为：
27．若关于
的不等式：
的解集是
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当
时，
单调递增，故
等价于
，
即
，解得
或
，不符合题意；
当
时，
单调递减，故
等价于
，
即
，解得
，符合题意，故
的取值范围是
.
故答案为：
题型六：求值域
28．函数
（ ）
A．有最大值，也有最小值
B．没有最大值，有最小值
C．有最大值，没有最小值
D．没有最大值，也没有最小值
【答案】B
【详解】因为函数
，
设
，
当
函数单调递减，当
函数单调递增，
所以当
时，函数取最小值
，函数无最大值.
故选：B.
29．函数
的值域为 .
【答案】
【详解】因为
，当且仅当
时，等号成立，
可知函数
的值域为
，
又因为
在定义域内单调递减，则
，
且
，所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
30．函数
的定义域为 ，值域为 .
【答案】
【详解】因为
，所以
恒成立，
由
，得
，则
的定义域为
，
，故
的值域为
.
故答案为：
；
31．求函数
的值域.
【答案】
【详解】因
，设
，则
，
，
再设
，则
，且
，
，
当
时，
；
当
时，
，
当
时，因
，则
；
当
时，
，则
，当且仅当
时取等号故
.
综上可得：函数
的值域为
.
32．函数
，当
时，求该函数的值域.
【答案】
【详解】由
，
令
，则有
，
因为
，所以
，因此
，
所以函数
的值域为
.
33．若
，求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令
，
所以
的值域为
.
（2）令
，
所以
的值域为
.
（3）令
，
所以
的值域为
.
题型七：已知值域求参数
34．已知函数
的值域为
．若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可知
有解，且
无最大值，
即
有解，且
无最大值，
当
时，
有解，
无最大值，符合题意；
当
时，
，则
有解，
当
时，
有最大值，则
有最大值，不符合题意；
当
时，
有解需满足
，解得
，
此时
无最大值，
无最大值，满足题意．
综上，实数
的取值范围是
．
故选：A．
35．已知函数
，若
的值域为
，则实数
的最小值为 .
【答案】
【详解】由函数
的值域为
，得
的值域包含
，
当
时，
显然不满足题意，故
，
则函数
，图象开口向上，且与
轴有公共点，
于是
，解得
，所以实数
的最小值为
.
故答案为：
36．已知函数
的值域为
，则实数
的值为 .
【答案】1
【详解】因
的值域为
，
即
，又
在定义域内为增函数，故
的最大值为4，
则
，由
，可得
时，
，解得
，
此时
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则得
，符合题意.
故答案为：1.
37．已知
的最小值为
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当
时，
，当且仅当
，即
时，取等号，
当
时，设
，则
，
则
在
上单调递减，
则当
时，取得最小值为
，
要使
的最小值为
，则
，得
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
．
【点睛】易错点睛：
忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误.
二次函数分析错误：在
时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在
上是减函数.
38．已知函数
是奇函数，当
时，其值域为
，求
的值．
【答案】
【详解】由函数
是奇函数，得
对定义域内任意的
恒成立，
即
对定义域内任意的
恒成立，
则
，即
对定义域内任意的
恒成立，因此
，解得
，
当
时，
，函数无意义；当
时，
，符合题意，则
，
函数
，由
，得
，且
，
函数
在
上单调递减，函数
在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递减，当
时，函数
的值域为
，
于是
，即
，则
，
整理得
，又
，解得
，
所以
.
39．设常数
，函数
，
.
(1)当
时，求函数
的值域.
(2)若函数
的最小值为0，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）若
，则
，
因为
，则
，可得
，
，
又因为
的图象开口向上，对称轴为
，
可知
在
内单调递增，且
，
，
可得
，所以函数
的值域为
.
（2）因为函数
，
，
且
，则
，可得
，
，
又因为
的图象开口向上，对称轴为
，
当
时，
在
内单调递增，
则
的最小值是
，解得
，符合题意；
当
时，
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
的最小值是
，解得
，不合题意；
当
时，
在
内单调递减，
则
的最小值是
，解得
，不合题意；
综上所述：
．
题型八：零点问题
40．已知
，则函数
的零点个数是 .
【答案】6
【详解】令
，即
，
解得
或2，
画出
图象，如下：
由图可知，实线和虚线共有6 个交点，所以函数
的零点个数是6.
故答案为：6.
41．已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】由
解得
或
，
构造函数
，
在
上单调递减，
，
，所以
存在唯一零点
，
所以对于
，有唯一解
.
令
，
得
或
或
，
得
或
或
，
时，
，
画出
的大致图象如下图所示，
由图可知，函数
的零点个数是.
故选：C
【点睛】求和函数的零点，可以考虑的方向有：直接法、零点存在性定理法、图象法.直接法即由
求得函数的零点. 零点存在性定理法即利用
来判断零点所在区间.图象法即利用图象来判断
函数的零点.
42．已知
则函数
的零点个数是 ．
【答案】7
【详解】函数
的零点即为方程
的根，解方程
得
或
．
作出函数
的图像，如图所示．
由图像知直线
与
的图像有4 个交点，直线
与
的图像有3 个交点．
因此函数
的零点有7 个．
故答案为：7
43．已知函数
（e 为自然对数的底数），则函数
的零点个数
为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8.
【答案】B
【详解】设
，由
，得
，
作出
，
的图象，如图所示：
由图可知，
与
有3 个交点，
设这3 个交点的横坐标从小到大依次为
，且
，
结合图象可知，
有1 个解，
有3 个解，
有2 个解，
因此
有6 个解，即函数
的零点个数为6.
故选：B.
题型九：恒成立问题
44．若函数
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，
，
，
可转化为
，
又
开口向上，且对称轴为
，
在
上单调递增，
，
函数
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
也就是
，
，解得
.
实数
的取值范围为
.
故选：C.
45．已知
对
恒成立，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为
，所以由指数函数的单调性得
，
函数
在
上单调递增，
又因为
，且
，所以函数
在
上单调递增；
所以当
时，函数
取最大值，最大值为
，
所以
，即
，所以
，
解得
，即
，
所以
，解得
或
；
而
，故
.
故
的取值范围为
.
故答案为：
.
46．函数
，若
，
恒成立.则a 的取值范围为 .
【答案】
【详解】令
当
时，
的最小值为
，
因为
，
恒成立.
所以
，
即
，解得
，
因为
，所以
，所以
；
当
时，
的最小值为
，
因为
，
恒成立.
所以
，
即
，解得
，所以
.
综上：a 的取值范围为：
故答案为：
.
47．已知函数
.
(1)求函数
的定义域，并判断函数
的单调性；（单调性不要求证明）
(2)如果
，求
的取值范围；
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)定义域为
在
上单调递增.
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由
，得
，所以
的定义域为
，
又
为增函数，故
在
上单调递增；
（2）因为
的定义域为
，且是增函数，
所以
，解得
，
所以
的取值范围是
；
（3）因为
等价于
对任意
恒成立，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
48．已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
(2)若
，
，
，不等式
对任意
恒成立，求
的取值
范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】
【详解】（1）
是偶函数，
，即
，
即
，而
，
．
（2）
，
，
，又
，
，
而对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
，
，
，
，
，
，令
，
，
而
在
上单调递增，
在
上单调递减，
的取值范围是
．
49．已知函数
，当
时，
恒成立，求的取值范围．
【答案】
【详解】
，
当
时，其图象是一条线段，
∵当
时，
恒成立，∴
，得
则
，解得
．
题型十：新定义问题
50．对于函数
，若在定义域内存在非零实数
满足
，则称
为“伪偶函数”．若存
在实数
使得
是定义在
上的伪偶函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
是定义在
上的伪偶函数时，
则存在非零实数
满足
，即
有解，
当
时，
，与题意不符，舍去；
当
时，
，其中
．
又因为
，所以
，即
.
故选：B
51．定义一种新的运算“
”：
，
，都有
．
(1)对于任意实数a，b，c，试判断
与
的大小关系；
(2)已知函数
，
，若对任意的
，总存在
，使得
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）∵
，
，
，
∴
，
，
∴
.
（2）由题意得
，
，
若对任意的
，总存在
，使得
，
则
在R 上的值域是函数
在
上的值域的子集
设
，
，
令
，
，则
，
∴
，∴
设
在
上的值域为A，则
，
∵
，当且仅当
时取等号，
∴
，设
在R 上的值域为B，则
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，且
，
解得
且
，即m 的取值范围为
.
52．定义一种新运算“
”，
.
(1)计算
，并判断
与
的大小关系；
(2)若函数
有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数
的值；
(3)已知关于
的不等式
的解集为
中的整数恰有4 个，求实数
的取值
范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】
【详解】（1）因为
.
所以
.
，
，
所以
.
（2）
，
令
，则问题转化为二次函数
在区间
上有最小值，且最小值大于0，
因为二次函数
过定点
，
故只需
解得
，而
是整数，所以
.
（3）由题意，不等式
，
即
，即
，
即
，
要想满足题意，则必有
，则
，或
.①
令
，则
，
所以
的一个零点在
内，
因为解集
中的整数恰有4 个，
所以4 个整数解是
，
故
的另一个零点在区间
内.
所以
即
②
由①②解得
，或
.
所以实数
的取值范围是
或
.
53．若对于定义域内的任意
，都有
，其中
为正常数，则称函数
为“
距”增函数，
这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
(1)若
，试判断
是否为“2 距”增函数；
(2)假设函数
为“2 距”增函数，求
的最小值．
【答案】(1)是
(2)
【分析】
【详解】（1）由
得，
故
，即函数
是“2 距”增函数．
（2）因为
，
即
，
所以
对任意
都成立，
故
对任意
都成立，
则易得
．
①当
时，判断
在
上单调递增，
所以
．
②当
时，任取
，且
，
令
，则
由
，得
，
，即
，
，即
，
在
上单调递增，
．
③当
时，由
，得
，
，即
，
，即
，
在
上单调递减，同理可证
在
上单调递增，
．
综上所述，
．
54．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数
（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为
，双曲余弦函数为
，已知这两个
最基本的双曲函数具有如下性质；①定义域均为
，且
在
上是增函数；②
为奇函数，
为
偶函数；③
（常数是自然对数的底数；
）.利用上述性质解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)已知
，记函数
，当
时，总有
，求
的最小值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）由性质③知
，所以
，
由性质②知，
，
，
所以
，即
，
解得
，
.
因为函数
，
均为
上的增函数，故函数
为
上的增函数，合乎题意.
（2）函数
，设
，
由性质①，
在
是增函数知，
当
时
，
所以原函数即
，
，
，即
，设
，
（法一）
，
由对勾函数与反比例函数的性质可知，
单调递减，
所以
，
即
的最小值为
，当且仅当
时取到最小值.
（法二）设
，则
，
，
所以
而由对勾函数性质知
在
递增，
所以当
时，
，故
，
此时
，即
，
即
的最小值为
，当且仅当
时取到最小值.
