指数函数与对数函数必刷检测题（基础）
（考试时间：120 分钟
试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第四单元（人教A 版2019）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．函数
1
1
x
y
a
恒过定点（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
0,1
D．
1,1
【答案】B
【解析】指数函数
x
y
a
（
0
a
且
1
a ）过定点
0,1 ，
所以
1
1
x
y
a
，当
1
0
1
x
x
时y 的值恒为2，即过定点
1,2 ，
故选：B
2．在对数式
3
log
5
a
b
a
中，实数a 的取值范围是（
）
A．
,3
5,
B．
3,5
C．
3,4
D．
3,4
4,5
【答案】D
【解析】要使对数式
3
log
5
a
b
a
有意义，需满足
3
0
3
1
5
0
a
a
a
，
解得3
4
a
或4
5
a
，
所以实数a 的取值范围是
3,4
4,5
．
故选:D.
3．已知
2 ,0
1
2
1
1,
1
x
x
f
x
f
x
x
，若
( )
2022(
N )
f n
n
，则n 的最大值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式依次求
(9)
f
，
(10)
f
，
(11)
f
，
(12)
f
即可.
【详解】因为当
1
x 时，
( )
2 (
1)
1
f x
f x
，
所以
(9)
2 (8) 1=2 2 (7) 1 +1=4 (7)
3=8 (6)
7
16 (5) 15
f
f
f
f
f
f
(9)
32 (4)
31=64 (3)
63=128 (2)
127
256 (1)
255
f
f
f
f
f
，
又
(1)
2
f
，所以
(9)
2
256
255
767
f
，
所以
(10)
2 (9)
1=1535
f
f
，
(11)
2 (10)
1=3071
f
f
，
(12)
2 (11)
1=6143
f
f
，
所以若
( )
2022(
N )
f n
n
，则n 的最大值为10，
故选：B.
4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0 在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（
）
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理可求解.
【详解】由f(1.25)<0，f(1.5)>0 得f(1.25)·f(1.5)<0，
又函数f(x)的图象是连续不断的，
根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，
即方程x3＋3x－7＝0 的根所在的区间是(1.25，1.5)，
故选：B
5．计算
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
2
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解析】因为
1
2
6
6
6
1 log 4
log 3
log
4
3)
1
(
2
，
3
3
3
2
12
log 12
2log 2
log
1
2
，
所以
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
1
2
.
故选：B
6．百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年9 月底，毛主席在接见安徽参加国
庆的代表团时，送给代表团成员----渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天
天向上.这8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我
们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为3% ，
那么经过一个学期（看作120 天）后的学习情况为
120
(1 3%)
34.711
，如果每天的“迟步率”为3%，同样
经过一个学期的学习情况为
120
(1 3%)
0.026
.经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335
倍还多，按上述情况，若“进步”的值是“迟步”的值的100 倍，要经过的的天数大约为（保留整数）（参考数
据：lg103
2.013,lg97
1.987
）（
）
A．56
B．77
C．120
D．200
【答案】B
【解析】依题意，设要经过n 天，“进步"的值是“迟步”的值的100 倍，
则(1 3%)
100
(1 3%)
n
n
，即103
100
97
n
，
则
103
97
lg100
log
100
lg103
lg97
n
2
2
77
2.013 1.987
0.026
.
故选：B.
7．人们用分贝
dB 来划分声音的等级，声音的等级
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）
满足
13
9lg1 10
x
d x
.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB，在有50 人的课堂上讲课时，老师声
音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（
）
A．1 倍
B．10 倍
C．100 倍
D．1000 倍
【答案】C
【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.
【详解】∵声音的等级式
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）满足
13
9lg1 10
x
d x
，
又∵老师的声音的等级约为63dB，
13
63
9lg10
x
，解得
6
10
x
，即老师的声音强度约为
6
10
2
W / m ，
∵两人交谈时的声音等级大约为45dB，
13
45
9lg10
x
，解得
8
10
x
，即两人交谈时的声音强度约为
8
10
2
W / m ，
老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的
6
8
10
100
10
倍.
故选：C
8．已知
( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数，( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，且
2
3
5
x
y
z
f
f
f
，
则（
）
A．(2 )
(3 )
(5 )
g
x
g
y
g
z
B．(5 )
(2 )
(3 )
g
z
g
x
g
y
C．(3 )
(5 )
(2 )
g
y
g
z
g
x
D．(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
【答案】B
【解析】( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数可推知2
3
5
1
x
y
z
k
，表示出, ,
x y z ，再作商法，运用换底
公式变形，比较出2 ,3 ,5
x
y
z 的大小即可求解.
【详解】由已知得2
3
5
1
x
y
z
k
，则, ,
(0,
)
x y z
，所以
2
log
x
k
，
3
log
y
k ，
5
log
z
k ，
所以2
2lg
lg3
lg9
1
3
lg 2
3lg
lg8
x
k
y
k
，则2
3
x
y
，2
2lg
lg5
lg 25
1
5
lg 2
5lg
lg32
x
k
z
k
，则2
5
x
z
，
所以0
3
2
5
y
x
z
．又因为( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，所以(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
故选：B．
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知0
1
a
b
，则下列不等式成立的是（
）
A．1
1
2
2
a
b
B．ln
ln
a
b
C．1
a > 1
b
D．
2
2
b
a
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
1
2
x
y
在R 上递减，且0
1
a
b
，所以1
1
2
2
a
b
，所以A 正确，
对于B，因为
ln
y
x
在(0,
)
上单调递增，且0
1
a
b
，所以ln
ln
a
b
，所以B 错误，
对于C，因为0
1
a
b
，
0
ab
，所以a
b
ab
ab
，即1
1
b
a
，所以C 正确，
对于D，因为0
1
a
b
，所以
2
2
a
b
，所以D 正确，
故选：ACD.
10．设指数函数
(
0
x
f x
a
a
，且
1)
a
，则下列等式中正确的是（
）
A．
f x
y
f x f
y
B．
f
x
f
x
y
f
y
C．
Q
n
f nx
f x
n
D．
N
n
n
n
f
xy
f
x
f
y
n
【答案】ABC
【解析】对于A，
x y
f x
y
a
，
x
y
x y
f x f
y
a
a
a
，
所以
f x
y
f x f
y
，故A 正确；
对于B，
x y
f x
y
a
，
x
x y
y
f x
a
a
f
y
a
，
所以
f
x
f
x
y
f
y
，故B 正确；
对于C，
nx
f nx
a
，
(
)
x
n
nx
n
a
f
x
a
，
所以
n
f nx
f x
，故C 正确；
对于D，
(
)
n
xy
n
nxy
f xy
a
a
，
(
)
(
)
x
n
y
n
nx
ny
nx
n
ny
n
f
a
a
f
a
a
x
y
a
，
所以
n
n
n
f
xy
f
x
f
y
，故D 错误；
故选：ABC．
11．下列说法正确的是（
）
A．若函数
( )
f x 的定义域为[0,2] ，则函数
(2
2)
f
x
的定义域为[ 1,0]
B．
2 2
1
2
x
y
的最大值为1
4
C．
1
2
x
y
x
的图象关于( 2,1)
成中心对称
D．
2
2
( )
log
4
5
f x
x
x
的递减区间是(
,2)
【答案】AC
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，根据指数函数的单调性进行判断；对于C，
通过平移函数
1
y
x
的图象判断函数
1
2
x
y
x
的图象的对称中心；对于D，根据对数函数的定义域即可判
断..
【详解】对于A，函数
f
x 的定义域为
0 2
，，
由0
2
2
2
x
得1
0
x
≤≤，
则函数
2
f
x 的定义域为
1,0
，A 正确；
对于B，函数
1
2
x
y
在R 上单调递减，且
2
2
2
x
，
则
2 2
1
1
2
4
x
y
，即当
0
x
时，
函数
2 2
1
2
x
y
取得最小值1
4 ，无最大值，B 错误；
对于C，函数
1
y
x
的图象的对称中心为
0,0 ，
将函数
1
y
x
的图象先向左平移2 个单位，
再向上平移1 个单位得到函数
1
1
1
2
2
x
y
x
x
的图象，
则函数
1
2
x
y
x
的图象的对称中心为
2,1
，C 正确，
2
2
( )
log
4
5
f x
x
x
定义域(
, 1)
(5,
)
，D 错误.
故选：AC
12．已知函数
2
2
log
2
1
f
x
mx
x
m
，
R
m
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
B．若函数
f
x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是1
5 1
5
,
2
2
C．若函数
f
x 在区间
2,上为增函数，则实数m 的取值范围是
0,
D．若
0
m
，则不等式1
f x 的解集为
3
2
x x
【答案】AC
【解析】对于A：因为
( )
f x 的定义域为R ，所以
2
2
1
0
mx
x
m
恒成立，
当
0
m
时2
1
0
x
，显然不恒成立，故
0
m
，
所以
0
Δ
4
4 (
1)
0
m
m m
，解得
1
5
2
m
，即实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
，故A 正确；
对于B：因为
( )
f x 的值域为R ，所以函数
2
2
1
y
mx
x
m
R
x
的值域有子集
0,
，
当
0
m
时，此时
2
log
2
1
f
x
x
的定义域为1 ,
2
，值域为R ，符合题意；
当
0
m
时
0
Δ
4
4 (
1)
0
m
m m
，解得
1
5
0
2
m
，
综上可得实数m 的取值范围是
1
5
0,
2
，故B 错误；
对于C，因为函数
( )
f x 在区间[2,
)
上为增函数，
当
0
m
时，
2
( )
log (2
1)
f x
x
，函数在定义域1 ,
2
上单调递增，符合题意；
当
0
m
时，
0
1
2
4
4
1
0
m
m
m
m
，解得
0
m
；综上可得
0
m
，故C 正确；
对于D，当
0
m
时，
2
( )
log (2
1)
f x
x
，由
( )
1
f x ，即
2
log (2
1)
1
x
，可得0
2
1
2
x
，
解得1
3
2
2
x
，即不等式1
f x 的解集为
1
3
2
2
x
x
，故D 错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．设
2
3
2
5
5
5
3
2
2
5
5
5
a
b
c
,
，
，则, ,
a b c 大小关系是
.
【答案】a
c
b
＞＞
【解析】因为
2
5
f x
x
在
0,
单调增，
所以
2
2
5
5
3
2
5
5
，即a
c
，
因为
2
5
x
g x
在
,
单调减，
所以
3
2
5
5
2
2
5
5
，即
,
c
b
综上，a
c
b
＞＞.
故答案为：a
c
b
＞＞.
14．心理学家有时用函数
1
e kt
L t
A
测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A 表示需要
记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200 个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记
忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20 个单词，则k 的值约为（ln0.9
0.105
，
ln0.1
2.303
）
．
【答案】0.021
【分析】该生在5min 内能够记忆20 个单词，将
200
A
，
5
20
L
带入即可得出结论.
【详解】由题意可知
5
200 1
e
20
k
，
所以，
5
e
0.9
k
，
所以
5
lne
ln0.9
0.105
k
，
解得
0.021
k
．
故答案为：0.021.
15．已知函数
1
( )
2
2
x
x
a
f x
在
1 ,3
2
上单调递增，则实数a 的取值范围
．
【答案】
1,1
【分析】利用换元法，令
2x
t
，则问题转化为
2
a
f t
t
t
，
2 ,8
2
t
上单调递增，再对a 分
0
a
、
0
a
、
a<0三种情况讨论，结合对勾函数的性质求出参数的取值范围，即可得解．
【详解】解：令
2x
t
，因为
1 3
2
x
, ，
2 ,8
2
t
，
所以
2
a
f t
t
t
，
2 ,8
2
t
上单调递增，
当
0
a
时
( )
2
2
f x
t
t
，在
2 ,8
2
上单调递增，满足题意；
当
0
a
时
2
a
f t
t
t
在
,
2
a
上单调递增，所以
2
0
1
2
2
a
a
；
当a<0时
2
a
y
t
t
在
0,
上单调递增，则只需2
0
a
t
t
在
2 ,8
2
t
上恒成立，
所以
2
2
0
1
0
2
2
2
a
a
；
综上可得实数a 的取值范围为
1 1
，
.
故答案为：
1 1
，
16．已知函数
2
log
,0
2
( )
3,
2
x
x
f x
x
x
，若存在三个互不相同的实数a ，b ，c，满足
( )
( )
( )
f a
f b
f c
，
则abc 的取值范围是
．
【答案】
2,3
【分析】利用图像法作出a、b、c 对应位置，计算出ab=1，即可求出abc 的取值范围.
【详解】如图示：
记
( )
( )
( )
f a
f b
f c
m
，在坐标系内作出
1y
f
x
和
2y
m
的图像，三个交点的横坐标从左到右依次记
为a、b、c，则有0
1
2
3
a
b
c
，且
2
2
log
log
a
b
，
所以
2
2
log
log
a
b
，所以
2
2
log
log
0
a
b
，即
2
log
0
ab
，所以
1
ab .
所以
2,3
abc
c
故答案为：
2,3
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2)lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
【解析】（1）
2
lne
lne
1 2
1
；
（2）
lg8
lg125
lg 8 125
lg1000
3
；
（3）
3
3
3
3
3
3
36
2log 6
log 4
log
6
log 4
log
log 9
2
3
4
；
（4）
2
2
2
log
log 16
log 4
2
；
（5）
3
2
3
2
8
2
2
4
2
2
3log 3
log
3
log 27
3
1
2
log 9
log
3
log 3
2
；
（6）
2
2
2
2
3 log 5
log 8 log 5
log 40
40
2
2
2
；
（7）
2
2
lg5 lg 20
lg 2
lg5
2lg 2
lg5
lg 2
2
2
2
2lg5 lg 2
lg5
lg 2
lg 2
lg5
1
；
（8）
4
1
3
3
2
2
1
32
4
32
lg
lg 8
lg
245
lg
lg 2
lg 7 5
2
49
3
49
4 2
lg
lg4
lg 7 5
7
4 2
1
lg
7 5
7
4
1
lg 10
2
.
18．（12 分）
推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每
日处理厨余垃圾的成本为P（元），日处理量为x（吨），经测算，当0
20
x
时，
40
P
x
；当20
x
30
时，
2
1
76
1000
2
P
x
x
，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100 元的化工产品的收益.
(1)当日处理量为10 吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本）
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
【解析】（1）当
10
x
时，代入
40
P
x
中，故成本
40 10
400
P
，
故收益为100 10
40 10
600
（元）；
（2）设日纯收益为L
当0
20
x
时，
100
40
60
L
x
x
x
，
所以当
20
x =
时，日纯收益L 最大，为1200 元
当20
x
30
时，
2
2
2
1
1
1
100
76
1000
24
1000
(
24)
1288
2
2
2
L
x
x
x
x
x
x
，
当
24
x
时，L 的最大值为1288.
1288
1200
，
该公司每日处理的㕑余垃圾为24 吨时，获得的日纯收益最大.
19．（12 分）
已知函数
lg 2
lg 2
f x
x
x
.
(1)判定函数
f
x 的奇偶性，并加以证明；
(2)判定
f
x 的单调性（不用证明），并求不等式
1
3
2
0
f
x
f
x
的解集.
【解析】（1）
f
x 是奇函数，理由如下：
由题意
2
0
2
0
x
x
，解得2
2
x
，即
2
lg 2
lg 2
lg2
x
f x
x
x
x
的定义域关于原点对称，
且
2
2
2
2
lg
lg
lg
lg1
0
2
2
2
2
x
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
，即
f x
f
x
，
所以
f
x 是奇函数.
（2）由于
2
4
lg
lg
1
2
2
x
f x
x
x
，所以由复合函数单调性可知
f
x 在定义域上单调递增，
由（1）可知
f
x 的定义域为
2,2
，且
f
x 是奇函数，
所以
1
3
2
0
1
3
2
2
3
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
，
因为
f
x 在定义域上单调递增，
所以有
2
1
2
2
3
2
2
1
2
3
x
x
x
x
，解不等式组得
1
3
1
5
2
2
4
3
x
x
x
，即4
5
3
2
x
，
所以不等式
1
3
2
0
f
x
f
x
的解集为4 5
,
3 2
.
20．（12 分）
已知定义在R 上的奇函数
f
x 和偶函数
g x 满足
2x
f x
g x
.
(1)判断函数
f
x 的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数
2
1
F x
g
x
af
x
，
0,1
x
的最小值.
【解析】（1）定义在R 上的奇函数
f
x 和偶函数
g x ，则
,
f
x
f x
g
x
g x
，
∵
2x
f x
g x
①，
∴
(
)
(
)
2 x
f
x
g
x
，即
( )
2 x
f x
g x
②，
联立①②解得:
1
1
)
(2
2
),
( )
(2
2
)
2
(
2
x
x
x
x
g x
f x
，
f
x 在R 上单调递增，证明如下:
设
1
2
,
R
x x
，且
1
2
x
x
，
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
f x
f x
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
1
2
x
x
，
1
2
1
2
1
2
2
2 ,2
1
0,2
0
x
x
x
x
x
x
，
1
2
( )
(
)
0
f x
f x
，即
1
2
( )
(
)
f x
f x
，
( )
f x
在R 单调递增.
（2）
2
1
F x
g
x
af
x
2
2
1 (2
2
)
(2
2
) 1
2
2
x
x
x
x
a
，
令
2
2
x
x
t
，可知
0,1
x
时单调递增，则
3
0, 2
t
，
2
2
2
2
2
2
(2
2 )
2
2
x
x
x
x
t
，
令
2
2
2
2
1
1
1
( )
(
2)
1
(
)
2
2
2
8
2
2
2
a
h
t
a
a
a
t
t
t
t
t
，
当
0
2
a
，即
0
a
时，( )
h t 在
3
0, 2
t
时单调递增，则
min
( )
(0)
0
h t
h
；
当
3
0
2
2
a
，即0 <
< 3
a
时，( )
h t 在
0, 2
a
t
时单调递减，在
3
,
2 2
a
t
时单调递增，
则
mi
2
n
8
( )
( )
2
a
h t
h
a
；
当
3
2
2
a
，即
3
a
时，( )
h t 在
3
0, 2
t
时单调递减，则
min
9
3
3
( )
8
( )
2
4
h t
h
a
；
综上，当
0
a
时，
F x 的最小值为0；
当0 <
< 3
a
时，
F x 的最小值为
2
8
a
；
当
3
a
时，
F x 的最小值为9
8
3
4 a
.
21．（12 分）
已知函数
2
( )
log (4
)
x
f x
x
a
（a R 且
0
a
）．
(1)若函数
( )
f x 为奇函数，求实数a 的值；
(2)对任意的
1 ,1
2
x
，不等式
( )
(
)
1
f x
f
x
恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）因为函数
( )
f x 为奇函数，所以
(
)
( )
0
f
x
f x
-
+
=
对定义域内每一个元素x 恒成立．
即
2
2
(
)
( )
log
4
log
4
x
x
f
x
f x
a
x
a
x
2
2
2
log
4
4
log
1
4
4
0
x
x
x
x
a
a
a
a
，
则
2
1
4
4
1
x
x
a
a
，即
4
4
0
x
x
a
a
．
又因为
0
a
，所以4
4
0
x
x
a
，故
0
a
．
（2）因为
2
2
( )
log 4
x
x
f x
a
，所以
2
2
2
2
(
)
log
log
4
1
4
x
x
x
x
f
x
a
a
．
由
2
1
4
( )
(
)
log
1
4
x
x
a
f x
f
x
a
，得到
1
4
0
2
4
x
x
a
a
，
又
0
a
，故只需要1
4
2 4
2
x
x
a
a
，即
4
2
2 4
1
x
x
a
对任意
1 ,1
2
x
恒成立．
因为
1 ,1
2
x
，所以4
2
0
x
，故
2 4
1
3
2
4
2
4
2
x
x
x
a
对任意的
1 ,1
2
x
恒成立．
因为
3
2
4
2
x
y
在1 ,1
2
为减函数，所以
min
3
7
2
4
2
2
x
，故
7
2
a
．
综上所述，
7
0
2
a
．
22．已知函数
2
2
2
y
ax
a
x
，
R
a
.
(1)若
1 2
y
x
时，对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，求不等式
0
y
的解集；
(3)若存在
0
m
使关于x 的方程
2
1
2
2
1
ax
a
x
m
m
有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
0
4
a
a
(2)答案见解析
(3) (
, 4
2 3)
【分析】（1）分
0
a
与
0
a
两种情形考虑；
（2）
2
(
)(
1)
0
x
x
a
，结合两根大小分类讨论；
（3）结合基本不等式求出
1
1
1
2
1
3
t
m
m
m
m
，则问题等价于关于x 的方程
2
|
|
(
2) |
| 2
0
a x
a
x
t
有四个不等实根，考察，两根与系数的关系即可.
【详解】（1）由题有
2
2
2
1 2
ax
a
x
x
恒成立，即
2
1
0
ax
ax
恒成立，
当
0
a
时，1
0
恒成立，符合题意；
当
0
a
时，则
2
0
Δ
4
0
a
a
a
，得
0
0
4
a
a
，得0
4
a
，
综合可得0
4
a
，所以a 的取值范围为{ | 0
4}
a
a
（2）由题
2
(
2)
2
0,
ax
a
x
即(
2)(
1)
0
ax
x
，
由
0,
a
则
2
(
)(
1)
0
x
x
a
，且2
2
1
a
a
a
①当0
2
a
时，2
1
a
，不等式的解集为{
1
x x
∣
或
2}
x
a
；
②当
2
a
时，不等式的解集为R
③当
2
a
时，2
1
a ，不等式的解集为{
2
x x
a
∣
或
1}
x
；
综上可得：当0
2
a
时，不等式的解集为{ |
1
x x 或
2}
x
a
；
当
2
a
时，不等式的解集为R ；当
2
a
时，不等式的解集为
2
{ |
x x
a
或
1}
x
；
（3）当
0
m
时，令
1
1
1
2
1
3
t
m
m
m
m
，
当且仅当
1
m 时取等号，
则关于x 的方程
(|
|)
f
x
t
可化为
2
|
|
(
2) |
| 2
0
a x
a
x
t
，
关于x 的方程
2
|
|
(
2) |
| 2
0
a x
a
x
t
有四个不等实根，
即
2
(
2)
2
0
ax
a
x
t
有两个不同正根，
则
2
Δ
2
4
2
0
2
0
2
0
a
a
t
a
a
t
a
，
因为
3
t
得
0
a
，再由
2
0
a
a
得
2
a ，
由
Δ
a
a
t
2
2
4
2
0 知，
存在
[3,
)
t
使不等式
2
4
(
2)
8
0
at
a
a
成立，
故
2
4
3
(
2)
8
0
a
a
a
，即
2
8
4
0,
a
a
解得
4
2 3
a
或
4
2 3,
a
综合可得
4
2 3
a
.
故实数a 的取值范围是(
, 4
2 3)
.
