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2024-2025 学年度下学期龙西北名校联盟期初考试
高一数学试卷
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1. 已知集合 ， ，则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出结果.
【详解】依题意， ，又因为 ，
则 .
故选：D.
2. 计算 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式化简求解.
【详解】 .
故选：D.
3. 已知函数 ，则 （ ）A. 是奇函数，且在 上是增函数 B. 是偶函数，且在 上是增函数
C. 是奇函数，且在 上是减函数 D. 是偶函数，且在 上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解.
【详解】函数 定义域为R．又 ，
所以函数 为奇函数，设 ， ，函数 单调递增，
设 ，则 在 上单调递减，故函数 在R上是减函数.
故选：C.
4. 已知关于x的函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可.
【详解】由题意， 在 上单调递减，
则函数 在 上单调递减，
且 对于 恒成立，
则 ，解得 .
故选：A.5. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是单调递增的，设 ，
，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数性质及特殊角的正切比较 的大小，再利用函数
的性质比较即可.
【详解】依题意， ，
由函数 是偶函数，得 ，
又函数 在 上单调递增，则 ，
所以 的大小关系为 .
故选：C.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 是第二象限角的必要不充分条件是 且
C. 函数 的零点是
D. 的单调递增区间为 ，
【答案】D【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定，判断A；根据三角函数在各象限的正负，以及充分条件和必要条件的
定义，判断B；根据零点的定义判断C；结合对勾函数的性质，判断D.
【详解】对于A，根据含有一个量词的否定，命题“ ， ”的否定是“ ，
”，故A错误；
是
对于B，当 且 时，能推出 第二象限角，
反过来当 是第二象限角，也能推出 且 ，
所以 是第二象限角的充要条件是 且 ，故B错误；
对于C，函数 的零点满足 ，即 ，所以零点是1，不是 ，故C错误；
对于D，函数 结合对勾函数的图象，可知 单调递增区间为 ， ，故
D正确，
故选：D.
7. 已知函数 （ ，且 ）图象经过定点 ，若正数 满足
，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 的图象经过的定点 的坐标，再利用基本不等式中“1”的代换即可求解.
【详解】函数 ，
令 ，可得 ，代入函数可得 ，所以定点 的坐标为 ，代入 可得 ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
8. 已知函数 ，若关于x的方程 有4个不同的实根 ，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数图象可得 ，即 ，再由二次函数 图象关于
对称，可得 ，求得 可得结果.
【详解】由关于x的方程 有4个不同的实根，得函数 与 图象有4个交点；
作出函数 与 的图象，如图：观察图象得 ， ，
由 ，得 ，即 ，则 ，
而二次函数 图象关于 对称，则 ，因此 ，
由 ，解得 或 ，则 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合
求解.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知 、 、 、 均为非零实数，则下列一定正确的有（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式 可推出 ，由此可判断A;
利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D.【详解】 、 、 、 均为非零实数,则 ，故 ，即
，故A正确；
由题意可知 ，故 ，当且仅当 ，即 时取等号，故B正
确；
若 ，比如a=1，b=-1，则 不成立，故C错误；
若 ， ，则若 ， ，故 ，故D正确，
故选：ABD
10. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 其图象关于点 对称
C. 对称轴方程为 D. 单调增区间
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦
型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数 的最小正周期为 ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项，由 ，可得 ，即函数 的对称轴方程为 ，C对；
对于D选项，由 ，解得 ，
所以，函数 的单调增区间 ，D错.
故选：AC.
11. 已知函数 的定义域为R，且 的图象关于直线 对称， ，
又 ， ，则（ ）
A. 为偶函数 B. 的图象关于点 中心对称
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用给定的对称轴推理判断A；求出 的值判断B；探讨函数的周期，并赋值计算判断CD.
【详解】对于A，由 的图象关于直线 对称，得 ，
即 ，而函数 的定义域为R，则 ， 为偶函数，A正确；
对于B，由 ，得 ，即 ，解得 ，B错误；
由 ，得 ，
则 ，函数 的周期为4，
由 ，得 ，
的
，函数 周期为4，对于C， ，C正确；
对于D，由 ，得 ，则 ，
由 ，得 ， ，
，
所以 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
①存在常数a，b使得 ，则函数 图象关于点
对称.
②存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线 对称.
三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若 ，则 ______ .
【答案】
【解析】
【分析】本题首先可对分式的分子分母同时除 ，然后借助公式 以及 即可得出
结果．
【详解】 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查利用同角三角函数公式进行化简求值，考查的公式有，考查化归与转化思想，是简单题．
13. 某种药物作用在农作物上的分解率为 ，与时间 （小时）满足函数关系式 （其中 为非零
常数），若经过12小时该药物的分解率为 ，经过24小时该药物的分解率为 ，那么这种药物完全
分解，至少需要经过_____________小时（参考数据： ）
【答案】52
【解析】
【分析】根据题意建立方程组，可求得 ， ，即得 ，再结合对数的运算性质
化简，代值估算即得.
【详解】 经过12小时该药物的分解率为 ，经过24小时该药物的分解率为 ，
，解得 ， ，则 ，
当这种药物完全分解，即 时，得 ，得 ，
即 ，两边取对数得
.
故答案为：52.
14. 函数 的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】【分析】求出函数 的定义域，利用复合函数法可求得原函数的单调递增区间.
【详解】对于 ，有 ，
所以， ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
令 ， ， ，
因为函数 、 都为增函数，故函数 为增函数，
由 得 ，
即函数 在 上为增函数，
由复合函数法可知，函数 的增区间为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）把 的值代入求出集合 ，然后即可求出 ；
（2）讨论 和 两种情况，分别求满足题意 的取值范围即可.
【小问1详解】
当 时， ，
∵ ，
因此， ；
【小问2详解】
∵ ．
①当 时，即 ，
∴ ，此时满足题意；
②当 时．则 或 ，
解得 或 ．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
16. 已知（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出 ，再利用诱导公式求得值.
（2）由（1）的信息，利用齐次法求得值.
【小问1详解】
由 ，
得 ，所以 .
【小问2详解】
.
17. 已知 是函数 的零点， .
（1）求实数 的值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据零点的定义代入求解即可；（2）将原不等式化为 ，利用换元法转化为求函数的最小值即可求解.
【小问1详解】
是函数 的零点，
，得 ；
【小问2详解】
， ，
则不等式 在 上恒成立，
等价为 在 上恒成立，
， ，
上述不等式两边同时除以 ，得 在 上恒成立，
令 ， ，则 在恒成立，
所以 ，
令 ， ，
的图象开口方向向上，对称轴为 ，
所以 在 单调递减，所以 ，
则 ，即实数 的取值范围为 .
18. 设函数 .（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）增函数,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（2） 在 上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；
（3）由 的奇偶性和单调性，可得 ，再解一元二次不等式，可得所求范围．
【小问1详解】
由 解得 ，
函数 的定义域为 ，
，
可得 是定义域为 的奇函数；
【小问2详解】
函数 在 上为增函数．
证明：设 ， ，且 ，
，由 ，可得 ，所以 ，
由 ，可得 ， ,
所以 ，则 ，所以 ，
即 ，
所以 在 上为增函数；
【小问3详解】
因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，
不等式 化为 ，
因为 在 上为增函数，所以 ，
解得： 或 ，
，解得：
，解得： ,
综上：实数 的取值范围19. 若在函数 的定义域内存在 ，使得 成立，则称 具有性质 ．
（1）试判断函数 是否具有性质 ；
（2）证明：函数 具有性质 ；
（3）若函数 具有性质 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 不具有性质
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据性质 的定义判断即可；
（2）函数 ，根据性质 的定义证明即可；
（3）由已知可得 ，令 ，则问题转化为
存在 的根，计算求解即可得出解.
【小问1详解】
假设函数 具有性质 ，
则存在 ，使得 ，
即 ，即 ，显然不成立，
假设不成立，即 不具有性质 ．
【小问2详解】
证明： ，
， ， ，
令 ，得 ，即 ，即 ，
又函数 的定义域为 ， ，
函数 具有性质 ．
【小问3详解】
函数 的定义域为 ，且具有性质 ，
，
即 ，
令 ，则 ，
，
，
解得 或 ，
当方程有一个正根时，即 ， 即 ， 此时 ．
当方程有两个正根时，当 ，即 时， 此时 ．
实数 的取值范围为
