利用导数证明求和型不等式、利用导数证明双变量不等式专项训练（学生版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0617数学

利用导数证明求和型不等式与双变量不等式专训
题型一 利用导数证明求和型不等式
a
1.(25-26高二下·广东深圳·月考)已知函数f(x)=lnx+ ,a∈R．
x
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥1对x∈0,+∞
1
 恒成立，求a的取值范围；
1 1 1
(3)证明：对于任意正整数n，都有1+ + +⋯+ <lnn+1
2 3 n
 +1．2.(2026·江苏南京·模拟预测)已知函数fx
2
 =ax-1 
1
ex+ x2,a>-1.
2
(1)讨论fx  的单调性；
(2)证明：
①x-1  ex+x2≥-1 ；
1 1 1 3×5×7×⋯×2n-1
②当n≥2且n∈N*时， + +⋯+ <2ln
2 3 n

2×4×6×⋯×2n-2 
.3.(2026·广东佛山·模拟预测)已知fx
3
 =ae2x-2xa∈R  ．
(1)若曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程为y=b，求a，b的值；
(2)若fx 
1
≥ex恒成立，且在x=x 处取等号，试证明0<x < ； 0 0 5
n 1 1
(3)证明： > ln(2n+1)．
2k-1 2
k=14.(25-26高二下·重庆·期中)已知函数fx
4
 =x-a  ex+a-1  x，其中a∈R,e是自然对数的底数．
(1)当a=2时，求曲线y=fx  在点 0,f0    处的切线方程；
(2)若对任意x≥0,fx  ≥-2 恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：对任意n∈N*，都有 1×3+ 2×4+⋅⋅⋅+ nn+2 
n2+3n 1 2
> + ln ．
2 4 n2+3n+25.(2026·广东茂名·二模)已知函数fx
5

ax 1
= +ln ．
x+1 x+1
(1)当a=1时，证明：fx  ≤0恒成立；
π
(2)当a=0时，证明：当x∈0,
2
 时，函数fx  的图象与y=-sinx的图象无交点；
n i 1
(3)已知n∈N*，证明：∑ sin
i=1 i+1 i
 <lnn+1 
n 1
<∑sin ．
i=1 i6.(25-26高二下·陕西西安·期中)已知函数fx
6
 =ex+asinx，x∈0,+∞  .
(1)若a=1，证明：fx  ≥x+1对任意x∈0,+∞  恒成立.
(2)若fx  ≥cosx对任意x∈0,π  恒成立，求a的取值范围.
n 1
(3)若a=1，证明：对任意正整数n，都有 f
k
k=1
 >n+lnn+1   .题型二 利用导数证明双变量不等式
7.(2026·河北雄安·三模)已知函数fx
7
 =4x+2  lnx-x2+4x-5  ，函数gx 
2x-1
=

-x+m，m为
lnx
实数．
(1)证明：fx  ≤0．
(2)若-1<m<0．
(ⅰ)证明：gx  有两个零点x ，x ，且若x <x ，则x <1<x ； 1 2 1 2 1 2
(ⅱ)证明：x +x >3+m．
1 21-lnx
8.(25-26高二下·江西宜春·月考)已知函数f(x)=x2+ x -a有两个零点x 1 ,x 2x 1 <x 2
8
 ．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：fx 1 
1
>f x
2
 ；
(3)求证：x -x < a2-4<x2-x2．
2 1 2 19.(25-26高二下·辽宁锦州·月考)已知函数fx
9

a
= x2-x-xlnx(a∈R)．
2
(1)若a=2,求方程fx  =0的解集；
(2)若fx  有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为x ,x ， 1 2
①求a的取值范围；
②证明：fx 1  +fx 2 
1
< ． 2e10.(25-26高二下·山东泰州·月考)已知函数fx
10

1
=lnx- mx2，m∈R．
2
(1)讨论fx  的单调性；
(2)设函数gx  =xex-a fx 
1
 + mx2+x 2  a>0  ，若存在x 1 ，x 20<x 1 <x 2  使得gx 1  =gx 2  ，证
明：x ex 1+x ex 2>2a．
1 211.(25-26高二下·河北邢台·月考)已知函数fx
11

a
= x2-a-2
2
 x-2xlnx.
(1)若fx  为增函数，求a；
(2)若0<a<2，fx 
4
有两个零点x ，x ，且x <x ，证明：x -x > -2. 1 2 1 2 2 1 a12.(25-26高二下·广东梅州·月考)已知函数 f(x)=(x+b)ex-a
12
 (b>0)在点P(0,f(0))处的切线方程
为：y=x.
(1)求实数a，b的值；
1
(2)证明：f(x)≥ -1
e
 x+1  ；
m(1-2e)
(3)若方程f(x)=m有两个实数根x ,x ,且x <x ，证明：x -x ≤1+ .
1 2 1 2 2 1 1-e