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指数函数与对数函数必刷检测题（基础）
（考试时间：120 分钟
试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第四单元（人教A 版2019）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．函数
1
1
x
y
a
恒过定点（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
0,1
D．
1,1
2．在对数式
3
log
5
a
b
a
中，实数a 的取值范围是（
）
A．
,3
5,
B．
3,5
C．
3,4
D．
3,4
4,5
3．已知
2 ,0
1
2
1
1,
1
x
x
f
x
f
x
x
，若
( )
2022(
N )
f n
n
，则n 的最大值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0 在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（
）
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
5．计算
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
2
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
6．百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年9 月底，毛主席在接见安徽参加国
庆的代表团时，送给代表团成员----渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天
天向上.这8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我
们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为3% ，
那么经过一个学期（看作120 天）后的学习情况为
120
(1 3%)
34.711
，如果每天的“迟步率”为3%，同样
经过一个学期的学习情况为
120
(1 3%)
0.026
.经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335
倍还多，按上述情况，若“进步”的值是“迟步”的值的100 倍，要经过的的天数大约为（保留整数）（参考数
据：lg103
2.013,lg97
1.987
）（
）
A．56
B．77
C．120
D．200
7．人们用分贝
dB 来划分声音的等级，声音的等级
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）
满足
13
9lg1 10
x
d x
.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB，在有50 人的课堂上讲课时，老师声
音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（
）
A．1 倍
B．10 倍
C．100 倍
D．1000 倍
8．已知
( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数，( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，且
2
3
5
x
y
z
f
f
f
，
则（
）
A．(2 )
(3 )
(5 )
g
x
g
y
g
z
B．(5 )
(2 )
(3 )
g
z
g
x
g
y
C．(3 )
(5 )
(2 )
g
y
g
z
g
x
D．(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知0
1
a
b
，则下列不等式成立的是（
）
A．1
1
2
2
a
b
B．ln
ln
a
b
C．1
a > 1
b
D．
2
2
b
a
10．设指数函数
(
0
x
f x
a
a
，且
1)
a
，则下列等式中正确的是（
）
A．
f x
y
f x f
y
B．
f
x
f
x
y
f
y
C．
Q
n
f nx
f x
n
D．
N
n
n
n
f
xy
f
x
f
y
n
11．下列说法正确的是（
）
A．若函数
( )
f x 的定义域为[0,2] ，则函数
(2
2)
f
x
的定义域为[ 1,0]
B．
2 2
1
2
x
y
的最大值为1
4
C．
1
2
x
y
x
的图象关于( 2,1)
成中心对称
D．
2
2
( )
log
4
5
f x
x
x
的递减区间是(
,2)
12．已知函数
2
2
log
2
1
f
x
mx
x
m
，
R
m
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
B．若函数
f
x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是1
5 1
5
,
2
2
C．若函数
f
x 在区间
2,上为增函数，则实数m 的取值范围是
0,
D．若
0
m
，则不等式1
f x 的解集为
3
2
x x
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．设
2
3
2
5
5
5
3
2
2
5
5
5
a
b
c
,
，
，则, ,
a b c 大小关系是
.
14．心理学家有时用函数
1
e kt
L t
A
测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A 表示需要
记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200 个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记
忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20 个单词，则k 的值约为（ln0.9
0.105
，
ln0.1
2.303
）
．
15．已知函数
1
( )
2
2
x
x
a
f x
在
1 ,3
2
上单调递增，则实数a 的取值范围
．
16．已知函数
2
log
,0
2
( )
3,
2
x
x
f x
x
x
，若存在三个互不相同的实数a ，b ，c，满足
( )
( )
( )
f a
f b
f c
，
则abc 的取值范围是
．
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2)lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
18．（12 分）
推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每
日处理厨余垃圾的成本为P（元），日处理量为x（吨），经测算，当0
20
x
时，
40
P
x
；当20
x
30
时，
2
1
76
1000
2
P
x
x
，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100 元的化工产品的收益.
(1)当日处理量为10 吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本）
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
19．（12 分）
已知函数
lg 2
lg 2
f x
x
x
.
(1)判定函数
f
x 的奇偶性，并加以证明；
(2)判定
f
x 的单调性（不用证明），并求不等式
1
3
2
0
f
x
f
x
的解集.
20．（12 分）
已知定义在R 上的奇函数
f
x 和偶函数
g x 满足
2x
f x
g x
.
(1)判断函数
f
x 的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数
2
1
F x
g
x
af
x
，
0,1
x
的最小值.
21．（12 分）
已知函数
2
( )
log (4
)
x
f x
x
a
（a R 且
0
a
）．
(1)若函数
( )
f x 为奇函数，求实数a 的值；
(2)对任意的
1 ,1
2
x
，不等式
( )
(
)
1
f x
f
x
恒成立，求实数a 的取值范围．
22．已知函数
2
2
2
y
ax
a
x
，
R
a
.
(1)若
1 2
y
x
时，对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，求不等式
0
y
的解集；
(3)若存在
0
m
使关于x 的方程
2
1
2
2
1
ax
a
x
m
m
有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
