专题03 二项分布与超几何分布
题型一：n 重伯努利试验的概率求法
题型二：求二项分布的分布列
题型三：超几何分布的辨析
题型四：利用超几何分布求概率
题型五：利用超几何分布求分布列
题型六：二项分布与超几何分布的综合
题型七：服从二项分布的概率最值
题型一：n 重伯努利试验的概率求法
1．某人每次射击击中目标的概率均为
，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】记“至少有两次击中目标”为事件
，连续射击三次击中目标的次数为
，
由每次射击击中目标的概率均为
，则未击中目标的概率均为
；
则
.
故选：D
2．某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1 到4 的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入
的奖品个数
满足
，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子
中奖品的个数超过3 时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次
从1 到4 号箱子中取奖品，4 个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2 个奖品的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数
满足
，所以
，
则
，所以
的分布列为：
1
2
3
4
5
P
设事件
为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则
，
所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为
．
设某同学游戏结束时取走的奖品个数为
，则
，所以
，
所以
，
，
所以
．
故选：B
3．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为
，某班3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．
且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数
的概率分布．
【答案】答案见解析
【详解】由题意可知
,∴
，
即
，
，
∴
的概率分布为
X
0
1
2
3
P
4．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设
备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这
三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为
，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
(1)写出X 的分布列；
(2)求出计算机网络不会断掉的概率．
【答案】(1)分布列见解析
(2)0.999
【分析】
【详解】（1）可以看出，X 服从参数为3，0.9 的二项分布，即
．
因此
，
，
，
，
从而X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即
，
因此所求概率为
．
5．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的
比例，检测员从流水线上随机抽取100 件产品进行检验，检验结果如下表所示：
产品类型
医用普通口
罩
医用外科口罩
医用防护口罩
样本数量（件）
40
40
20
(1)已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为40%，50%，60%.若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估
计概率，求选到绑带式口罩的概率；
(2)从该流水线上随机抽取3 件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X 的
分布列
【详解】（1）记事件
分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，
则
，且
两两互斥，
由题意：
，
记事件
为“选到绑带式口罩”，则
，
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为：
.
.
（2）由题意知，
，
，
，
，
，
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064
6．历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．
它起源于明代崇祯年间，距今已有近400 年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别
之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期
工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有
很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功
的概率分别为
，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作．
(1)设事件
“制作一件优秀作品”，求事件A 的概率；
(2)若该工艺画师进行3 次制作，事件
”恰有一件优秀作品”，求事件B 的概率；
(3)若该工艺画师制作3 次，其中优秀作品数为X，求X 的分布列
【详解】（1）由题意得
；
（2）该工艺画师进行3 次制作，恰有一件优秀作品为事件B
；
（3）随机变量X 的取值为
由题意可知：
随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
题型二：求二项分布的分布列
7．某同学课后进行“抛掷一枚质地均匀的硬币
次”的实验，每次抛掷硬币的结果互不影响.设事
件
次中反面朝上的次数大于0 且小于
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
为“
次中反面朝上的次数为0 或
”，
则
，
.
故选：B.
8．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为
，比赛时均能正常发挥，则在5 局3 胜制
中，甲队打完4 局才胜的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为甲队与乙队实力之比为
，所以每局比赛中甲获胜的概率为
，
则甲队打完4 局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4 局中获胜，
其概率为
，
故选：D.
9．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，
赞成栽种乙树木的概率为
，若从该地市民中随机选取4 人进行访谈，则至少有3 人建议栽种乙树木的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则
.
根据二项分布概率公式知道至少有3 人建议栽种乙树木的概率为
.
故选：D.
10．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负
方向移动1 个单位．若移动4 次，质子恰好向正方向移动4 个单位的概率为 ；质子位于原点的概率
为 ．
【答案】
/0.0625
/
【详解】质子向数轴正方向或向负方向移动的概率均为
，
所以移动4 次，质子恰好向正方向移动4 个单位的概率为
；
若移动4 次，质子位于原点，则向数轴正方向或向负方向各有
次，
所以质子位于原点的概率为
.
故答案为：
；
11．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用3 局2 胜制（3 局2 胜是指在一场比赛中，总共进行三局，先赢
得两局的一方即为胜者.如果前两局中有一方已经赢了两局，那么第三局就不再进行）．假设每局比赛中甲
获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，且各局比赛的结果相互独立，则甲以
的比分获胜的概率为
；
【答案】
【详解】若甲以
的比分获胜，即一共3 局，前两局甲乙各胜一局，最后一局甲胜，
所以甲以
的比分获胜的概率
，
故答案为：
题型三：超几何分布的辨析
12．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量
表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数的次数，则随机变量
服从二项分布.
B．有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，
表示n 次抽取中出现次品的件
数（
），则随机变量
服从二项分布.
C．有一批种子的发芽率为
，任取10 颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则
随机变量X 服从超几何分布.
D．某班级有男生25 人，女生20 人，选派4 名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随
机变量X 服从超几何分布.
【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n 次独立重复性实验，
所以随机变量
服从二项分布，故A 正确；
对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n 次独立重复性实验，
所以随机变量
服从二项分布，故B 正确；
对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n 次独立重复性实验，
所以随机变量X 服从二项分布，故C 错误；
对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X 表示抽取4 名样本中某类样本被抽取的人数，
所以随机变量X 服从超几何分布，故D 正确；
故选：ABD.
13．（多选）一袋中有5 个大小相同的黑球，编号为
，还有3 个同样大小的白球，编号为6，7，
8，现从中任取3 个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的最小号码
服从超几何分布
B．取出的白球个数
服从超几何分布
C．取出2 个黑球的概率为
D．若取出一个黑球记1 分，取出一个白球记
分，则总得分最小的概率为
【答案】BC
【详解】对于
，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，
即指某事件发生
次的试验次数，由此可知取出的最大号码
不服从超几何分布，故
错误；
对于
，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生
次的试验次数，
由此可知取出的黑球个数
服从超几何分布，故B 正确；
对于
，取出2 个黑球的概率为
，故C 正确；
对于
，若取出一个黑球记1 分，取出一个白球记
分，则取出三个白球的总得分最小，
总得分最大的概率为
，故
不正确.
故选：
.
14．下列问题中，哪些属于二项分布问题，哪些属于超几何分布问题．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是
的骰子的个数记为
，求
的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为
，任取
颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为
，求
的
分布列；
(3)盒子中有红球只，黄球
只，蓝球只，任取只球，把不是红色的球的个数记为
，求
的分布列；
(4)某班级有男生
人，女生
人．选派
名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记
为
，求
的分布列；
(5)现有
台平板电脑未经检测，抽取
台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为
，求
的
分布列．
【答案】(1)二项分布
(2)二项分布
(3)超几何分布
(4)超几何分布
(5)答案见解析
【详解】（1）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题.
（2）样本是独立重复试验问题，是二项分布问题.
（3）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类，
随机变量
表示抽取件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（4）样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类，
随机变量X 表示抽取
件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（5）样本没有给出不合格产品数，无法计算
的分布列，所以不属于超几何分布问题，也不是二项分布
问题．
题型四：利用超几何分布求概率
15．小卖部推出一套20 张不同的角色卡，其中3 张为稀有卡．若一次性抽取5 张，则抽到的卡中至少有一
张稀有卡的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率
，根据对立事件的概率公式，
可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为
.
故选：A.
16．一个盒子中装有4 个白球，3 个黑球，现从中一次取出3 个球，则取出的黑球个数为（ ）时，其
概率最大．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】设
为取出的3 个球中黑球的个数，则
的取值为
，
所以
，
故取出的黑球个数为1 时，其概率最大．
故选：B.
17．一箱猕猴桃共有20 个，其中有若干个为烂果（烂果率低于50%），从这一箱猕猴桃中任取2 个，恰有
1 个烂果的概率为
，则这箱猕猴桃的烂果个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【详解】设这一箱猕猴桃中有n 个烂果．
由超几何概型，得
，
解得
或
，
因为烂果率低于50%，所以
，则
．
故选：C
18．一箱苹果共有12 个苹果，其中有
个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3 个．恰有2 个烂果的
概率为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】依题意可得
，即
，整理得
，
解得
或9，因为
，所以
．
故选：B.
19．一批产品共有
件，其中件正品，
件次品，现从
件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品
中次品数为
，则
【答案】
【详解】由题意根据超几何分布的概率公式，可知
.
故答案为：
20．袋中有红黄蓝三种颜色的小球共
､
､
10 个（其中有5 个红球），若从中一次取出3 个小球，记恰有1 只
黄球的概率为
，则
的最大值为 .
【答案】
/
【详解】设黄色小球有
个，则
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
题型五：利用超几何分布求分布列
21．学校要从10 名候选人中选2 名组成学生会，其中高二（1）班有4 名候选人．假设每名候选人都有相
同的机会被选中，若X 表示高二（1）班的候选人中被选中的人数，写出X 的分布列．
【答案】答案见解析
【详解】由题意随机变量X 可取0,1,2，
，
，
，
高二（1）班的候选人中被选中的人数X 的分布列如下表．
X
0
1
2
P
22．某工厂流水线检测员每天随机从流水线上抽取100 件新生产的产品进行检测，某日抽取的100 件产品
的级别情况如柱状图所示：
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出
3 件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10 件产品，再从这10 件产品中任意抽取3 件，设取到二
级品的件数为
，求随机变量
的分布列.
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析.
【分析】
【详解】（1）由题图可知，抽取的100 件产品中一级品的频率是
，
故从出厂的所有产品中任取1 件，该产品是一级品的概率是
.
设从出厂的所有产品中随机取出3 件，至少有一件是一级品的事件为A，
则
.
（2）由题意可知抽取的10 件产品中有一级品7 件，二级品2 件，三级品1 件，
故
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
∴
的分布列为
0
1
2
P
23．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民
阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160 度以下(含
2160 度)，执行第一档电价0.5653 元/度；第二阶梯：年用电量在2161 度到4 200 度内(含4200 度)，超出
2160 度的电量执行第二档电价0.6153 元/度；第三阶梯：年用电量在4200 度以上，超出4200 度的电量执行
第三档电价0.8653 元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量/度
1000
1260
1400
1824
2180
2423
2815
3325
4411
4600
(1)计算表中编号为10 的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10 户中任意选取4 户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．
【答案】(1)2822.38
(2)分布列见解析
【分析】
【详解】（1）(因为第二档电价比第一档电价每度多0.05 元，
第三档电价比第一档电价每度多0.3 元，
编号为10 的用户一年的用电量是4600 度，
所以该户该年应交电费为
(元)．
（2）设取到第二阶梯的户数为X，
易知第二阶梯有4 户，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
，
，
，
故X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
24．现有6 道题，其中4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取2 道题解答，试求：
(1)所取的2 道题都是甲类题的概率；
(2)设所取的2 道题乙类题道数为X，求X 的分布列
【详解】（1）法1：设所取的2 道题都是甲类题为事件A，则
，
所取的2 道题都是甲类题的概率为
；
法2：列举法也可以
将4 道甲类题依次编号为1，2，3，4；2 道一类题依次编号为5，6，任取2 道题，
基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，
{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15 个，
而且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，
{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6 个
所以
=
（2）X 取值为0，1，2，
，
，
，
则分布列为
X
0
1
2
P
法2：由（1）得基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，
{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15 个
则分布列为
X
0
1
2
P
25．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、
合肥、济南之后的全国第5 家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市m 个大型机房和5
个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2 个机房，全是大型机房的概率为
(1)求m 的值；
(2)若一次抽取3 个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X 的分布列
【详解】（1）一共有
个机房，抽取2 个机房共有
种方法；
其中全部是大型机房的有
种方法；
所以全部是大型机房的概率为
，则
.
（2）X 的取值有0，1，2，3
，
，
，
，
X 的分布列为
X
0
1
2
3
p
题型六：二项分布与超几何分布的综合
26．某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4 个问题中随机抽取3 个问题作答，每答对一题得1 分，
已知这4 个问题中，甲能正确回答其中的2 个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为
，甲､乙两人对
每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)设甲得分为
，求
的分布列；
(2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率.
【详解】（1）
的取值为1，2，
，
，
所以
分布列为
1
2
（2）设乙得分为随机变量
，
甲得1 分乙得0 分的概率为
，
甲得2 分乙得1 分或0 分的概率为
，
所以比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率
.
27．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于
之间，现对植物园部分该
种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求
的值;
(2)若从高度在
和
中分层抽样抽取5 株，在这5 株中随机抽取3 株，记高度在
内的株数
为
，求
的分布列
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3 株，求至少有2 株高度在
的条件下，至多 1 株高度
低于
的概率.
【详解】（1）依题意可得
，解得
；
（2）由（1）可得高度在
和
的频率分别为
和
，所以分层抽取的5 株中，高度在
和
的株数分别为2 和3，所以
可取0，1，2.
所以
，
，
所以
的分布列为：
（3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有
株高度在
为事件
，至多株高度低于
为事件
，
则
，
，
所以
.
28．某公司订购了一批树苗，为了研究其生长规律，从中随机抽测100 株树苗的高度，经数据处理后得到
如图①的频率分布直方图，其中最高的16 株树苗高度的茎叶图如图②所示，以这100 株树苗高度的频率估
计整批树苗高度的概率．
(1)求这批树苗的高度高于1.60 的概率，并求图①中a，b，c 的值；
(2)研究发现高度在1.65 以上的树苗有特殊的生长规律，于是从抽测高度在1.65 以上（不含
）的树苗中
抽取3 株做研究，设X 为高度在
的树苗数量，求X 的分布列
(3)为做进一步对比研究，需从这批订购的树苗中随机选取3 株，记
为高度在
的树苗数量，求
的分布列
【详解】（1）这批树苗的高度高于1.60 的概率为
，
，
.
（2）
以上（不含
）的有
株，其中高度在
的树苗数量为株，
,
,
所以
的分布列为：
（3）依题意
，即
，
,
,
,
,
所以
的分布列为：
29．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它
们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本
的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 克的产品数量；
(2)在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设X 为质量超过505 克的产品数量，求X 的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2 件产品，设Y 为质量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列．
【答案】(1)12（件）
(2)分布列见解析，
(3)分布列见解析
【分析】
【详解】（1）质量超过
克的产品的频率为
，
质量超过
克的产品数量为
.
（2）质量超过
克的产品数量为
，
则质量未超过
克的产品数量为
，
服从超几何分布，
的取值为
，，
.
，
，
.
的分布列为
解法一：
的均值为
.
解法二：
的均值为
.
（3）根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过
克的概率为
.
从流水线上任取
件产品互不影响，
该问题可看二项分布，质量超过
克的件数
可能的取值为
，，
，且
.
，
，，
.
，
，
.
的分布列为
30．某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行
了测试（满分100 分），并随机抽取50 名学生的成绩进行统计，将其分成以下6 组：
，
，
，
，
，
，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中
的值；
(2)试估计全校学生成绩的第80 百分位数；
(3)若将频率视为概率，从全校成绩在80 分及以上的学生中随机抽取3 人，用
表示成绩在
中的人
数，求随机变量
的分布列.
【答案】(1)
(2)估计全校学生成绩的第80 百分位数为85
(3)分布列见解析
【详解】（1）由题意得：
，
解得：
；
（2）设全校学生成绩的第80 百分位数为，
，
，
，
，
，
估计全校学生成绩的第80 百分位数为85；
（3）因为成绩在
与
的学生比例为2:1，
所以从全校成绩在80 分及以上的学生中抽取1 人，此人成绩在
的概率为
，
故
，
则
，
，
用表格表示
的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
31．2023 年5 月，某高中开展了“最美寝室”文化布置评比活动，学生会成员随机抽取了12 间寝室进行
量化评估，其中有4 间寝室被评为优秀寝室.
(1)现从这12 间寝室中随机抽取3 间，求有1 间优秀的概率；
(2)以这12 间寝室的评估情况来估计全校寝室的文化布置情况，若从全校所有寝室中任选3 间，记X 表示
抽到优秀的寝室间数，求X 的分布列
【详解】（1）设
表示所抽取的3 间寝室中有间寝室优秀，抽取的3 间寝室中有1 间优秀为事件
，
则
；
（2）由题表数据可知，从12 间寝室中任选1 间是优秀的概率为
，
由题可知
的所有可能取值为
，则
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
32．在一盒中装有大小形状相同的10 个球，其中5 个红球，3 个黑球，2 个白球.
(1)若从这10 个球中随机连续抽取3 次，每次抽1 个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为
，求
的分布列；
(2)若从这10 个球中随机连续抽取3 次，每次抽取1 个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为
，
求
的分布列和均值.
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为
，
取到小球的个数
∴
∴
的分布列为
0
1
2
3
（2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数
服从超几何分布
∴
的分布列为
0
1
2
3
题型七：服从二项分布的概率最值
33．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0 出发，每隔1s 向左或向右移动一个单位，且向右移动的概
率为
．若该质点共移动100 次，则它位于数字 处的可能性最大．
【答案】
【详解】设质点向右移动的次数为
，则
服从二项分布，即
，
则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，
即
，
由二项分布的概率公式可得
，
设
最大，则
，
由
可得
，
即
，
化简可得
，解得
，
由
可得
，
即
，
化简可得
，解得
，
即
，且
，则
时，
最大，
则质点最终的位置为
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项
分布的概率公式计算，从而得到结果.
34．（多选）袋中有大小相同的3 个红球和5 个黄球，每次随机取出1 个球，用
表示事件“第（
）次取出红球”．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若每次取出的球不放回，则
C．若每次取出的球放回，则
D．若每次取出的球放回，则前5 次取球中最有可能取到3 次红球
【答案】AB
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，若每次取出的球不放回，则
，故B 正确；
对于C，若每次取出的球放回，则
相互独立，且
，
故
，
故
，故C 错误；
对于D，若每次取出的球放回，设前5 次取球中取到
个红球，
则
，故
，其中
，
令
，则
，故
，
故前5 次取球中最有可能取到2 次红球，故D 错误.
故选：AB.
35．某学校从全体师生中随机抽取30 位男生、30 位女生、12 位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30 位男生身高均不相同，记其身高的第80 百分位数为
，从学校全体男生中随机选取3 人，记
为3 人中身高不超过
的人数，以频率估计概率求
的分布列；
(2)从参加社会实践活动的72 人中一次性随机选出30 位，记被选出的人中恰好有
个男生的
概率为
，求使得
取得最大值的
的值.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
.
【分析】
【详解】（1）
所有可能的取值为
，且
.
；
；
；
.
故
的分布列为
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
（2）设事件
为“被选出的人中恰好有
位男生”，
则30 个人中剩下
个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为
，
所以
.
所以
，解得
.
所以
，
故当
时，
最大.
36．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价.阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月
用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围（单
位：立方米）
从本市随机抽取了10 户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
(1)现要在这10 户家庭中任意选取3 户，求取到第二阶梯水量的户数
的分布列；
(2)用抽到的10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10 户，若抽到
户月用水
量为二阶的可能性最大，求
的值.
【答案】(1)分布列见解析
(2)6
【分析】
【详解】（1）由茎叶图可知抽取的10 户中用水量为一阶的有2 户，二阶的有6 户，三阶的有2 户.
第二阶梯水量的户数
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
（2）设
为从全市抽取的10 户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得
，
所以
，其中
0，1，2，…，10.
设
，
若
，则
，
；
若
，则
，
.
所以当
或
，
可能最大，
，所以
的取值为
.
37．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质
检部门要对新机器生产的零件抽样检测.
(1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10 个零件中有2 个为次品，现从这10 个零件中随机抽取
3 个零件，设抽取的零件为次品的个数为
，求
的分布列
(2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100 件进行检验，其中有3 件为次品. 用
频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取
个零件，记这
个零件中恰有2 件为次品
的概率为
，求
取得最大值时
的值.
【详解】（1）
的可能取值为0，1，2.
，
，
.
所以
的分布列为
0
1
2
（2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为
，
则
个零件中恰有2 件次品的概率为
.
.
令
，即
，解得
；令
，解得
.
因此，当
时，
，当
时，
，所以
在
时取得最大值.
故
取得最大值时
的值为66.
38．河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的
．小麦品种
是在河南省广泛种植的一个品
种，某科研基地在实验田种植的
品种小麦收获时，随机取10 个该小麦的种子样本，每个样本均为1000
粒，测得每个样本的质量（称为千粒重，单位：
）分别为40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，
记这10 个数据的平均数为
．
(1)从这10 个数据中随机选取3 个，记这3 个数据中大于
的个数为
，求
的分布列；
(2)用这10 个样本中千粒重大于
的频率作为每个样本千粒重大于
的概率，从
品种小麦种子中随机
抽取20 个样本，千粒重大于
的样本最有可能是几个？
【答案】(1)分布列见解析
(2)8
【分析】
【详解】（1）
，
易知40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，中有6 个小于等于平均数，4 个大于平均数，
所以
的所有可能取值为，0，1，2，3；
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
（2）由（1）知：每个样本千粒重大于
的概率为
，
设20 个样本中千粒重大于
的样本个数为
,
由题意可知：
,
所以
，
设千粒重大于
的样本最有可能是
，
则
，
，
解得：
，
故
，
所以千粒重大于
的样本最有可能是8 个.
