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2023-2024 学年高二年级数学下学期期末模拟卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
一、
中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B D A C C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分．
9 10 11
AC ABD ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．3
13．
14．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13分）【答案】（1）
1
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得 ， ，即可求解公比得解，
.
（2）利用错位相减法求和即可求解
【小问1详解】
由 以及 可得 ，
又 ，故 ，
因此公比 ，
故
【小问2详解】
，
则 ，
，
两式相减可得 ，
，
2
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学科网（北京）股份有限公司，
.
16.（15分）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）0.35
【解析】
【分析】（1）由题意 ，利用 原则可求解；
（2）利用超几何分布的概率公式求分布列，进而得到期望；
（3）由二项分布可求.
【小问1详解】
因为该市人口数量在950万人左右的社区这一天的垃圾量 大致服从正态分布 ，
所以 ，
因为 ，
所以这 个社区中“超标”社区的个数为 .
【小问2详解】
3
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学科网（北京）股份有限公司由题可知随机变量 的取值为：0，1，2，3，
则 ， ，
， ，
所以， 的分布列为：
则 .
【小问3详解】
由（1）可知随机变量
所以 ，
所以 的值约为0.35．
17.（15分）
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导得 ，分 是否小于0进行讨论即可求解；
（2）显然 时，不等式恒成立，所以原题条件等价于 ，在 上恒成
4
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学科网（北京）股份有限公司立，构造函数 ， ，利用导数求得其最大值即可得解.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
当 时， 显然成立，此时 可为任意实数；
当 时，由 ， 在 上恒成立，得 ，
令 ， ，
则 ，
设 ，由（1）可知， 在 上单调递增，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
则 ，所以 ，
5
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学科网（北京）股份有限公司综上，实数 的取值范围为 .
18.（17分）
【答案】（1）模型②，
（2）认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关
【解析】
【分析】（1）根据数据分析，函数和一次函数模型差距较大，选择模型②： . 然
后结合线性回归分析，求得函数 ;
（2）列联表，计算卡方，然后对比 的数据，做出判断即可；
【小问1详解】
选择模型②： .
记 ，则 .
由题知， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即y关于x的回归方程为 .
【小问2详解】
由题意，得到列联表：
基本适应 不适应 合计
年龄不小于30岁 75 75 150
年龄小于30岁 100 50 150
6
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学科网（北京）股份有限公司合计 175 125 300
，
根据 的独立性检验，认为该地区对职业结构变化的自信程度与年龄有关，此推断犯
错误的概率不大于0.01.
(17分）
【答案】（1）图象见解析，存在“自公切线”
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将曲线C： 方程变形，由圆的函数图象作出其图象，结合
“自公切线”定义即可判断.
（2）结合“自公切线”定义将所证不等式转化为证明 在 上单调即可，构造函数，
利用导数研究其单调性，即可证明.
（3）根据 将所证不等式转化为证明 ，构造函数
，利用导数研究其最值证明 ，进一步转化为证明
，，设 ，求导，利用（2）的结论，
得 在 上单调递增，即可证明.
【小问1详解】
曲线C： ，当 时， ，表示以点 为圆心，半径为
的部分圆弧，当 时， ，表示以点 为圆心，半径为 的半圆圆，从而
图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司由图象可知，存在“自公切线”；
【小问2详解】
由题意， ，下面只需证明 在 上单调即可，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减，即 单调递减；
当 时， ，此时 单调递减，即
单调递减；
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
所以 在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.
【小问3详解】
， ，
故只需证明 ，
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学科网（北京）股份有限公司即只需证明 ，
构造函数 ，则 ，
当 时， ，从而 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
故只需证 ，
设 ，注意到 ，
，注意到 ，
令 ，则由（2）知， ，
且由（2）知， 在 上单调递减，所以 ，
从而 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
从而，当 ， 时， .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
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学科网（北京）股份有限公司（或 ），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函
数.
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