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2023-2024 学年高二年级数学下学期期末模拟卷 02
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ，则 的子集个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合 ，求出 判断子集个数.
【详解】 ， ，
，所以 的子集个数为 个.
故选：C.
2.已知 ，向量 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. 5 D.
【答案】B
【解析】由 ，则有 ，即 ，
则 ，故 .
故选：B.
1
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学科网（北京）股份有限公司3.某学校运动会男子 决然中，八名选手的成绩（单位： ）分别为： ， ，
， ， ， ， ， ，则下列说法错误的是（ ）
A. 若该八名选手成绩的第 百分位数为 ，则
B. 若该八名选手成绩的众数仅为 ，则
C. 若该八名选手成绩的极差为 ，则
D. 若该八名选手成绩的平均数为 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】举反例判断A，利用众数和平均数定义判断B、D，分情况讨论 判断C.
【详解】对A：因为 ，当 ，八名选手成绩从小到大排序为： ， ，
， ， ， ， ， ，
故该八名选手成绩的第 百分位数为 ，但 ，故A错误；
对于B：由众数是出现次数最多的数据，故该八名选手成绩的众数仅为 ，则 ，
故B正确；
对于C：当 ，极差为 ，不符合题意；
当 ，极差为 ，符合题意；
当 ，极差为 不符合题意，
综上若该八名选手成绩的极差为 ，则 ，故C正确；
对于D：平均数为 ，
2
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，故D正确.
故选：A
4.若 ， 函数 为奇函数，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】将 值代入函数 ，根据奇函数的定义式 是否成立来判断充分
性；由奇函数的定义式 来构造方程求参数 的值，从而判断必要性.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以此时 是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若 是奇函数，则 ，
即 ，所以 ，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故选：A.
5.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．
“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨
辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规
3
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学科网（北京）股份有限公司律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一
批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第n行的第 个数为 ，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】D
【分析】根据题意，归纳可得：第 行的第 个数为 ，由组合数的性质依次分析选项是否
正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，由数表可得：第 行的第 个数为 ，
由此分析选项：
对于A， ，A错误；
对于B，第2023行中从左往右第1013个数为 ，第1014个数为 ，两者不相等，B错
误；
对于C，记第 行的第 个数为 ，则 ，则 ，C错误；
对于D，第20行中第8个数为 ，第9个数为 ，则两个数的比为
，D正确．
故选：D．
6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播
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学科网（北京）股份有限公司在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游
玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、
乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）
A.96种 B.132种 C.168种 D.204种
【答案】C
【解析】
【分析】对其余 位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得.
【详解】依题意其余 位主播有两种情况：
① 位主播去一个景点， 位主播去另外一个景点；②分别都是 位主播去一个景点；
所以不同游玩方法 （种）.
故选：C
7. 已知数列 满足点 在直线 上， 的前n项和为 ，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得数列 是等差数列，根据等差数列的求和公式求出 ，从而可得
，设 ，利用导数研究其单调性，结合 即可求解.
【详解】因为数列 满足点 在直线 上，
所以 .
5
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
则 .
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选:C.
8.已知函数 的最小值为 ，则
（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简 ，再由 与 相交的两个交
点的最近距离为 ，结合 解出即可.
【详解】 ，
因为 ，
所以 ，
因为当 时， 对应的 的值分别为 ，
所以 与 相交的两个交点的最近距离为 ，
又 的最小值为 ，
所以 ，
即 ，
故选：A.
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
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学科网（北京）股份有限公司9.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了
线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，
则下列说法正确的是（ ）
A. a＝0.028
B. 在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人
C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁
D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁
【答案】CD
【解析】
【分析】根据频率和为 可构造方程求得 ，可判断A；由频率和频数的关系可求得观众年龄
在 岁的人数，可判断B；由平均数和百分位数的计算方法可验证CD.
【详解】对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，
∴a=0.03，故A错误；
对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15，
∴短视频观众年龄在10~20岁的有4 000×0.15=600(人)，故B错误；
对于C，平均年龄为
＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确；
对于D，设75%分位数为x，
由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033) ×10=0.48，
又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03) ×10=0.78，
所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组，
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学科网（北京）股份有限公司则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，
解得x=39，故D正确.
故选：CD.
10.给定一组数： ，且 的平均数和方差分别为 和 ，则下列说法
正确的是（）
A. ， ，…， 的平均数为21
B. ， ，…， 的方差为5
C.0， ， ，…， ，30的平均数为11
D.0， ， ，…， ，30的方差为49.8
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式，可判定A正确；根据方差的计算公式，可求得B错误；根
据平均数的计算公式，求得 ，可判定C正确；将 和 作为一组，中间8个数作为另一
组，结合 ，可判定D正确.
【详解】对于A中，由题意得 ，
所以 ，所以A正确；
对于B中，由题意得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
，所以B错误；
对于C中， ，所以C正确；
对于D中，将 和 作为一组，其平均数和方差分别为 ，
，将中间8个数作为另一组，
其平均数和方差分别为 ， ，
由C知 ，
，所以D正确．
故选：ACD．
11.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数， ，
且对任意 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】因为 ，
令 得： ，又因为 ，所以 ，故A正确；
因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，且 为偶函数.
令 ，可得： ①
再用 代替 可得：
②
① ②得：
所以： ，
所以 是周期为3的周期函数，所以： ，故B正确.
因为： ， ，所以： ，
所以： ，故C错误；
又因为 亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以
令 ， 可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
所以： .故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于可导函数 有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇
函数.
若定义在 上的函数 是可导函数，且周期为 ，则其导函数 也是周期函数，且周
期也为 .
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若复数 ，则 ______.
【答案】 ##0.2
【解析】
【分析】根据复数的乘方及除法运算可得 ，进而可得 ，根据乘法运算即可求
解.
【详解】 ，
所以 ， .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
13.若 展开式中的常数项为 ，则实数 ______.
【答案】
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得 的值，代入列出方程，即可求解.
【详解】由二项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，代入可得 ，解得 .
故答案为： .
14.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式.
【详解】 的定义域为 ，
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
（1）求数列 的通项公式;
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
由题意 (1)
由(1)(2)可得
所以
【小问2详解】
， ，
，故 为等差数列，
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学科网（北京）股份有限公司.
16.（15分）在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)若 平分 交 于 且 ，求 面积的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得 .
（2）根据已知条件求得 或 ，结合基本不等式求得三角形 面积的最小值.
【解析】（1）依题意， ，则 ，
故 ，则 ，
，
，
由于 ，所以 ，所以 ，
则 为锐角，且 .
（2）依题意 平分 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
在三角形 中，由正弦定理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，由正弦定理得 .
在三角形 中，由余弦定理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 或 .
当 时，三角形 是等边三角形， ， ，
，所以 .
当 时， ，
当且仅当 时等号成立，
所以三角形 .
综上所述，三角形 面积的最小值为 .
17.（15分）立德中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球
传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传
出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记 次传球后球在甲
手中的概率为 ，
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学科网（北京）股份有限公司（1）写出 ， ， 的值;
（2）求 与 的关系式 ，并求 ;
（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传
球次数为 ，求 的期望.
【答案】（1） ， ， ；
（2） ， ；
（3）4
【解析】
【分析】（1）分析传球的情况，写出 ， ， 的值；
（2）分析传球 次时的情况，得到 与 的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求
出新数列的通项公式，从而得到 的通项公式；
（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出
.
【小问1详解】
传球一次，球一定不在甲手中，所以 ；
传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲 乙 甲，甲 丙 甲，
所以 ；
传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为 ，此时传给甲的概率为
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学科网（北京）股份有限公司，所以 .
【小问2详解】
传球 次时球在甲手中，说明传球 次时球不在甲手中，概率为 ，
此时，传球给甲的概率为 ，所以有 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
，
故 与 的关系式为 ， .
【小问3详解】
的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，
有两种情况，甲 乙 丙，甲 丙 乙，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，
所以有 ，
即 ，解得 ，
所以 的期望为4.
18.（17分）如图，在三棱锥 中， 分别是侧棱 的中点， ，
平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）如果 ，且三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明过程详见解析.
（2）二面角 的余弦值为 .
【解析】
【分析】（1）易得 ，由线面垂直的性质证明 ，再根据线面垂直的判定
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学科网（北京）股份有限公司定理证明 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）易得 两两垂直，求出 ，以点C为原点，建立空间直角坐标系，利
用向量法求解即可.
【小问1详解】
分别是侧棱 的中点，
，
，
平面 ， 平面 ，
，
又 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
【小问2详解】
平面 ， 平面 ，
，
，
又由题意得 是等腰直角三角形，
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学科网（北京）股份有限公司，此时易算三棱锥体积为： ，
故 符合题意.
平面 ， ，
平面 ，
又 平面 ，
，
两两垂直，
如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
故
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
平面 ，
即为平面 的一条法向量，
故 ，
由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角 为锐二面角，
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学科网（北京）股份有限公司故二面角 的余弦值为 .
19.（17分）已知函数 ．
（1）证明曲线 在 处的切线过原点；
（2）讨论 的单调性；
（3）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可；
（2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a的取值，求函数的单调区间;
（3）把问题转化为 ，利用一次函数单调性得 ，只
需证 ，利用导数研究单调性即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题设得 ，所以 ，
又因为 ，所以切点为 ，斜率 ，
所以切线方程为 ，即 恒过原点．
【小问2详解】
由（1）得 ，
① 时， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减；
令 ，则
② 且 时，即 时， ， 在 上单调递增，
时， ，
，则 ，或 ，得
所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
，则 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，
③ 时， ，
则 ，则 ，所以 在 上单调递减；
，则 ，所以 在 上单调递增，
综上： 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递增； 在
上单调递减，
时， 在 上单调递减； 在 上单调递增，
【小问3详解】
当 时， ，即 ，
下面证明当 时， ， ，即证 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，因为 ，所以 ，只需证 ，
即证 ，令 ， ，
，令 ， ，
令 ， ， 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ，
令 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， ，所以 在 上单调递减，
， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，综上所述 ．
【点睛】第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当 时的函数
值比较，从而得到结论.
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