高三数学一检答案(1)_2023年11月_0211月合集_2024届江西省景德镇市高三上学期第一次质量检测_江西省景德镇市2024届高三上学期第一次质量检测数学

2024 届高中数学高三一检参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B A B C B D BCD BD BCD ACD
1.C【解析】A{2,1,0,1，2,3}，B 1,1 ，所以AIB {-1，}，故选C.
13i
2.A【解析】z   2i，z  2i在复平面内对应的点为 2,-1在第四象限，故选
1i
A.
3.B【解析】a1且b1，则ab 2；反之，a 3，b 0，满足ab 2，但不能
推出a1且b1，所以a1且b1是ab 2的充分不必要条件，故选B.
uuur uuur uuur uuur
4.A【解析】AD在AB方向上的投影数量为2，所以AB AD  22=4，故选A.
lnx 1lnx lne ln
5. B【解析】设 f  x  ，f / x  ，∴ f  x 在 e,单减，所以 > ，
x x2 e 
即e>e∴c>b，又a 3π ec ，∴a c b，选B
12345 3940484850
6. C【解析】∵x  3， y   45，
5 5
∴a 453336，所以A正确，因为 y与x成正相关，所以B正确，代入x6得
1
y 54，所以D正确，因为方差s2   3945 2 4045 2  5045 220.8 ，
 
5
所以C错误,故选C.
7. B 【 解 析 】  四 边 形 ADFE 是 菱 形
123 45 ,由抛物线的性质可知AD  AF 24
2p 8
1251+2+5180 160  AB   选B
sin21 3
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#}S S
8.D【解析】由a = 1 知，a =2，由a = 2 ，a  0得a  2，A正确；
1 S 1 1 2 S 1 n 2
1 2
S S 1
由a = n  0知S  S 1，a = n 1 ，
n S 1 n1 n n S 1 S 1
n n n
1 1
所以a -a = -  0，所以 a 递减，有最大值，无最小值，B正确；
n+1 n S 1 S 1 n
n+1 n
S
a = n 1，则S =a La  2  n1  n1，故C正确；
n S 1 n 1 n
n
 n1  S nS S S - n1  S nS
 n1  a -na = n+1- n = n n1 n1 n  0，不存在n N*，
n+1 n S 1 S 1  S 1  S 1  0
n+1 n n+1 n
使n a   n 1  a ，故D错误；故选D.
0 n 0 n 1
0 0
3
9. BCD 【解析】MN 的方程为x y 3，O到MN 距离为  5
2
2
 3 
MN 与圆O相交，弦长为2 5    2 故A错误B正确
 2 
过N 作圆O的切线，位于第二象限的切点为A
5 2
sinANO   ANO 45 MNA90故C正确
3 2
若MPN 90，则P在以MN 为直径的圆x2  y2 3x3y 0上，
圆x2  y2 3x3y 0与圆x2  y2 5相交，故存在P使得MPN 90故D正确
r r r r 3 1 
10.BD【解析】若a b，则ab  sin cos sin( ) 0
2 2 6
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#} 5
Q 0，+  得= A错误
6 6
r r 1  1
若ab  ，则sin( )
3 6 3
5     7
sin(2 )sin[2( )+ ]cos2( )12sin2( ) B正确
6 6 2 6 6 9
r r
3 3
若a//b，则sincos sin2
4 2
 2  
Q 0，2 0，2得2 ，  ， C错误
3 3 6 3
r r
1 3 1
若 a  b 则sin2+ cos2+ 得cos2
4 4 2
2 4  2
Q 0，2 0，2 2  ，  得  ，  D正确
 3 3   3 3 
11.BCD【解析】若为矩形，还可以DH  AE ,故A错误，若为菱形，则邻边相等，对角线
5
互相垂直，可得B正确，EH最小为2，最大为 ，所以C正确，综合矩形和菱形条件
得D正确
 lnx1 
 1 1 
12.ACD【解析】 f ' x  ，∴ f x在0， Z,在  ，1 和 1， ] ，画出
 xlnx 2  e e 
草图即可得ACD正确
二、填空题
4
 2 1
13.60【解析】常数项为C4 2x2 
 
60
6  x
-2 1 1
14.x2y10【解析】 f x   ， f 1  ， f  1 0，所以切线方程
 1 x 2 x 2
1
为 y   x1  .
2
3 9
15.  或
4 4
2 2
【解析】g(x)sin(x )由g(x)为偶函数，得g(0)sin 1
3 3
2  3k 3
  k 得  （kZ)
3 2 2 4
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#}T  5  3 9
Q    03  , 验证满足条件
2  6 2 4 4
3 9
 或
4 4
6
16.y  x
2
10 3 10
【解析】在RtVOQF 中sinQFO cosQFO
1 1 10 1 10
3 10c
在RtPFF 中 PF  FF cosQFO  ，
1 2 1 1 2 1 5
10c
PF  FF sinQFO 
2 1 2 1 5
2 10c c 10 b 6
2a PF  PF     
1 2 5 a 2 a 2
6
故双曲线的渐近线方程为 y  x
2
三、解答题
17.（1）n  2时，S a ，S  a ，两式相减得，a  2a ，a  a 1，所以
n1 n n n1 n1 n 2 1
 1,n 1
a  
n 2n2,n 2
（2）n  2时，S  a ，又S  a ，所以S  a  2n1 .
n n1 1 2 n n1
A 1cosA bc b
18.解：（1）Q cos2   cos A
2 2 2c c
b2 c2 a2 b
  得b2+a2 c2 ACB90
2bc c
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#} 1 3
（2）在Rt△ABC中CAB ， a c b c
6 2 2
延长 DC交AB于E，延长BC交AD于F
1 1 1 1
CF  BC  c，CE  AB c，CD 2CE c
2 4 2 2
13 CF 13
在Rt△ACF 中AF  CF2+AC2  c,sinDAC  
4 AF 13
CD AC 39
在△ACD中  得sinADC 
sinDAC sinADC 26
19.解析：连接AM ，PM，∵△PAB与△PAC均为等边三角形，
∴AC  AB,PC  PB
∴AM BC,PM BC
∴BC 平面PAM
∴PA BC得证；
2
（2）设AB=a,由（1）可知：AM PM  a,所以PM 平面ABC
2
如图建立空间直角坐标系，则：
 2   2   2  uuur  2 2 
A a,0,0 B0, a,0,P0,0, a,AP  a,0, a
       
 2   2   2   2 2 
 2 2 
∴N a,0, a
 
 4 4 
uuur  2 2  uur  2 2 
AB  a, a,0 BP 0, a, a ,设平面 ABP 的一个法向量为：
   
 2 2   2 2 
ur
m

x,y,z
，则：
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#}ur uuur
2 2
mAB   ax ay  0
  2 2 ，令y 1得x1,z 1，∴m ur  1,1,1 
ur uur
 2 2
mBp   ay az  0

 2 2
r
同理可得：平面NBP的一个法向量为：n 1,1,1 ，
ur r
mn 111 1
则cos  ur r    
m n 3 3 3
1
又二面角A-PB-N的平面角为钝角，所以二面角A-PB-N的余弦值为
3
.
4 3 1 4 3 3 2 1 21
20.解析：（1）P         
5 5 4 5 5 4 5 3 125
（1）X 0,1000,3000,6000
1 21 46
P  X 0   
5 125 125
4 2 8
P  X 1000   
5 5 25
4 3 3 3 27
P  X 3000     
5 5 4 5 125
4 3 3 2 2 12
P  X 6000      
5 5 4 5 3 125
X 0 1000 3000 6000
P 46 8 27 12
125 25 125 125
所以EX 1544
b2
 (x 2a2)
y 2 a2 0 3
21.解:（1）设M(x ,y ) k k  0  
0 0 MA MB x 2 a2 x 2 a2 4
0 0
b2 3
  Q2c 2 a2 4,b2 3
a2 4
x2 y2
曲线C的方程为  1；
4 3
3
（2）设PB,AQ的斜率分别为k ,k 易知k k k k  k 2k
3 4 1 3 2 4 4 3 4
AT 的方程为y k (x2)，BT 的方程为y k (x2)
4 3
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#}2
x 
T 3
y k (x2) 8k 2 6
 4  x  4
3x2 4y2 12 Q 4k 2 3
4
y k (x2) 8k 2 6 32k 2 6
 3  x  3  4
3x2 4y2 12 P 4k 2 3 16k 2 3
3 4
2
2
由x  x 得k 2  3 AT  3  2 (4k 23)( 2 ,1).
P Q 4 8 AQ x 2 9 4 3
Q
 
22.（1）由题意可知g(x) f(x)sinxsin2x2sinx，x0,

 2
则g(x)2cos2x2cosx 4cos2 x2cosx22(2cosx1)(cosx1)，
  1  
令g(x)0，又x0, ，则cosx ，解得x0, 

 2 2  3
     3 3 
则g(x)在0, 单调递增，在 ,

单调递减.又g(0)0，g( ) ，g( )2，
 3  3 2 3 2 2
 3 3
综上所述：函数g(x) f(x)sinx值域为0, .

 2 
f(x)  
（2）由 3cosx，x0,

化简可得：sinxsinax3xcosx0，
x  2
 
令h(x)sinxsinax3xcosx，x0,

 2
 
则h(x)acosax2cosx3xsinx，x0,

，h(0)a2.
 2
  a 3  2 3
①a 1，h( )sin sin  cos  (2 )0（舍去）；
4 4 4 4 4 2 4
②若a 2，h(x)sinxsin2x3xcosx，h(x)2cos2x2cosx3xsinx
h(x)4sin2x5sinx3xcosx8sinxcosx5sinx3xcosx
5sinx5sinxcosx3xcosx3sinxcosx5sinx(1cosx)3cosx(xsinx)
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#}   
易证x0, 时，xsinx，则h(x)0，可得h(x)在0, 单调递增
 
 2  2
 
又h(0)0，则h(x)0，h(x)在0, 单调递增

 2
 
同理h(0)0，则h(x)0，x0,

，符合题意.
 2
  
③若a3，令x  0, ，ax x  x (a1)，sinax sin(x )
0 a1  2   0 0 0 0 0
h(x )sinx sin(x )3x cosx 3x cosx 0（舍去）
0 0 0 0 0 0 0
综上所述：a的取值集合为
2

.
{#{QQABAYQQogggABBAAAhCUwEiCAIQkAGCAAoOwFAAMAABgQNABAA=}#}