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2023-2024 学年高二数学期末模拟卷
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数 如下，其中拟合效果最好
的模型是（ ）
A．模型1（决定系数 为0.97） B．模型2（决定系数 为0.85）
C．模型3（决定系数 为0.40） D．模型4（决定系数 为0.25）
【答案】A
【解析】在两个变量 与x的回归模型中，它们的决定系数 越接近 ，模型拟合效果越好，
在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型 ，故选：A．
2．已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由随机变量 服从二项分布 ，可得 .故选：C.
3．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由于函数 ，则其导函数为： ，
代入 ，可得： ，解得： ，所以 ，
所以 .故选：D
4．已知变量x与y的回归直线方程为 ，变量y与z负相关，则（ ）
A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
【答案】C
【解析】根据回归方程 可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关，
由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关.故选：C
5．某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司学甲去A公司，则不同的安排方法共有（ ）
A．18种 B．30种 C．42种 D．60种
【答案】B
【解析】若只有同学甲去A公司，则共有 种可能，
若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有 种可能，
故共有 种可能.故选：B.
6．在正项等比数列 中， 为其前 项和，若 ，则 的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
因为数列 为等比数列，所以 成等比数列，
所以 ，
所以 ，整理得， ,解得 或 ，
因为等比数列 的各项为正数，所以 ，所以 ，故选：D
7．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 为其中白球
的个数，随机变量 为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 为取
出4个球的总得分，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知 均服从超几何分布，且 ，
由 ，得 ，所以 ，
因为 ,
,
,
所以 ,故选：B
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．已知 ，若对任意两个不等的正实数 ，都有 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据
可知 ，
令 ，
可得 为 上的增函数，
所以 恒成立，分离参数得 ，
而当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 最大值为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设 、 是一个随机试验中的两个事件，若 ， ， ，则下列选项一定正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为 ， ，所以 ，故A正确，B错误；
又 且 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，故C正确，D错误.故选：AC
10．设 ，这两个正态曲线如图所示.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为 ，两曲线分别关于 和 对称，
所以由图可知 ，，所以A错误；
因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以 ，所以B正确；
由正态分布在区间上的概率的几何意义，有 ， C错误；
，D正确.故选：BD
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B．点 是曲线 的对称中心
C． 有一个零点 D．直线 是曲线 的切线
【答案】ABC
【解析】A： ，
令 得 或 ，令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，
所以 时取得极值，故A正确；
B：令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故B正确；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C：因为 ， ， ，
所以函数 只在 上有一个零点，即函数 只有一个零点，故C正确；
D：令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，
当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．对具有线性相关关系的变量 有一组观测数据 ，其经验回归方程
，则在样本点 处的残差为 .
【答案】0.5/
【解析】将 代入 ，得 ，解得 ，所以 ，
故当 时， ，所以残差 .
13． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
【答案】
【解析】由题意，多项式 的展开式中含有 的项为：
，所以 的系数为 ．
14．某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每
次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和
为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每
名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题
的概率为 ．
【答案】
【解析】记答题的两位同学答对的题数分别为 ， ，则 ，
当 时，
是3的倍数，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为 ，
两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为 ．
记第n次由甲组答题的概率为 ，则由乙组答题的概率为 ，
，即 ，进一步有 ，
又 ，所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 .
令 ，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的单调区间和最小值.
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【解析】（1） 时， ，则 ，
故 ， ，
故切线方程为 ，即 ，
（2） 且 ，
时， ， 的增区间为 ， ；
时，当 时， ，当 时， ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ， ；
时， ，所以 的减区间为 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．（15分）若 ，请求值：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1)1；(2)65536；(3)3072
【解析】（1）令 得 ；
（2） 等于 的展开式的各个项系数的和，
令 代入 ，
则
（3）令 ，.
则 ，
且 ，
令 ，则 ，
且 ，
所以 .
17．（15分）某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题
分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获
奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为 ，乙答对第一、二、三题的概率分别为 ， ， ，且甲、
乙每次答对与否互不影响．
(1)求甲的累计得分 的分布列和期望；
(2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
【答案】(1)分布列见解析， ；(2)
【解析】（1）由题意知：甲累计得分 的可能取值有： ，
所以 ， ， ，
， ， ，
的分布列为：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司0 30 40 60 70 100
.
（2）法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖，
由（1）知：甲获奖的概率为 ，
乙获奖的概率为： ，
乙只得70分的概率为： ，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为： ，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为： ，
乙、所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为： .
法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，
其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为： .
18．（17分）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网
红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了
宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（日） 1 2 3 4 5
（万
45 50 60 65 80
人）
(1)计算 的相关系数 （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅
游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和
个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为 ，当 取多少时， 最大？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考公式： ， ， ，
参考数据： ．
【答案】(1) ，可以认为两者的相关性很强；(2) ；(3)当 时，恰有一次中奖的概
率 最大
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ，
由此可以认为两者的相关性很强．
（2）由（1）知 ， ．
所以 = ．
因为 ，所以回归方程为 ．
（3）记 ，
，
，即 ．
，令 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，得 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得最大值．由 ，解得 或 （舍去），
当 时，恰有一次中奖的概率 最大．
19．（17分）记集合 无穷数列 中存在有限项不为零， ，对任意 ，设
．定义运算 若 ，则 ，且
．
(1)设 ，用 表示 ；
(2)若 ，证明： ：
(3)若数列 满足 ，数列 满足 ，设
，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
根据多项式的乘法可得： ．
（2）因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
所以
（3）对于 ，
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10
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以
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11
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
