7.4 二项分布与超几何分布
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：相互独立事件................................................................ 2
考点二：n 重伯努利试验及其特征..................................................2
考点三：二项分布......................................................................2
考点四：二项分布的均值与方差.................................................... 2
考点五：超几何分布................................................................... 2
模块二：题型分类.........................................................................2
题型一：n 重伯努利试验的判断.....................................................2
题型二：利用二项分布求分布列.................................................... 4
题型三：二项分布的概率最大问题..................................................7
题型四：二项分布的均值与方差...................................................10
题型五：建立二项分布解决实际问题.............................................16
题型六：超几何分布的判断........................................................ 25
题型七：超几何分布的概率........................................................ 26
题型八：超几何分布的均值........................................................ 29
题型九：超几何分布的方差........................................................ 32
题型十：二项分布和超几何分布的综合..........................................35
模块三：综合巩固....................................................................... 42
7.4 二项分布与超几何分布
模块一：基础知识
考点一：相互独立事件
1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
2．设A,B 是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B 相互独立,简称A,B 独立．
考点二：n 重伯努利试验及其特征
1．伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2．n 重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．
3．n 重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n 次．(2)各次试验的结果相互独立．
考点三：二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，
则X 的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)．
考点四：二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点五：超几何分布
1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用
X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为
P(X＝k)＝CkMCn－k
N－M
CnN
，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．
2．均值：E(X)＝nM
N .
模块二：题型分类
题型一：n 重伯努利试验的判断
1.n 重伯努利试验的定义及特征
（1）定义：将一个伯努利试验
进行
所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．
（2）特征：①同一个伯努利试验重复做
．
②各次试验的结果
．
【答案】
独立地重复
n 次
n 次
相互独立
【详解】根据n 重伯努利试验的定义进行填空
2. n 重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
【分析】由n 重伯努利试验试验的定义判断即可．
【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成
的随机试验称为n 重伯努利试验，
故n 重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；
故选：C
3.下列例子中随机变量服从二项分布的有
．
①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数
M
N
；
④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数
M
N
．
【答案】①③
【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断.
【详解】对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3 的倍数”，则
1
3
P A
，而在n 次独立重复试
验中事件A 恰好发生了k 次
0,1,2,...,
k
n
的概率
1
2
C
3
3
k
n k
k
n
P
k
，符合二项分布的定义．
对于②，的取值是1,2,3,...,n ，
1
0.9 0.1k
P
k
1,2,3,...,
k
n
，显然不符合二项分布的定义，因此
不服从二项分布．
③和④的区别：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此不服从
二项分布，对于③有
~
, M
B n N
服从二项分布，
故答案为：①③
题型二：利用二项分布求分布列
1.已知�∼�4,
1
3 ，则�(�= 1) =（
）
A．
8
81
B．
32
81
C．
4
27
D．
8
27
【解题思路】根据二项分布的知识求得正确答案.
【解答过程】因为�∼��,
�
�，所以�(�= �) = C�
�×
�
�×
�
�
�
=
��
��．
故选：B．
2.已知随机变量�服从二项分布�∼�6,
1
3 ，则��= 2 等于（
）
A．
13
16
B．
4
243
C．
13
243
D．
80
243
【解题思路】由二项分布的概率公式计算．
【解答过程】�(�= �) = C�
�(
�
�)�(�−
�
�)�=
��
���．
故选：D．
3.设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p 等于(
)
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】D
【详解】按照二项分布的期望公式，有40
16,
0.4
p
p
.
4．（22-23 高二下·重庆·期末）若
1
6, 3
B
，则
4
P
（
）
A．3
16
B．20
243
C．13
243
D．80
243
【答案】B
【分析】根据
1
~
6, 3
B
知
(
4)
P
即为独立做6 次试验，发生了4 次的概率，即
4
4
2
6
C
(1
)
p
p
，即可求解.
【详解】根据
1
~
6, 3
B
知，
(
4)
P
即为独立做6 次试验，发生了4 次的概率，
即
4
2
4
4
2
4
6
6
1
1
20
C
(1
)
C
1
3
3
243
p
p
.
故选：B
5.有8 件产品，其中4 件是次品，从中有放回地取3 次（每次1 件），若X 表示取得次品的次数，则�(�≤2) =
（
）
A．
3
8
B．
13
14
C．
4
5
D．
7
8
【解题思路】首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．
【解答过程】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为
�
�=
�
�．从中取3 次，�为取得次
品的次数，则�∼�(�,
�
�),
�(�≤�) = �(�= �) + �(�= �) + �(�= �) = ��
�× (
�
�)�×
�
�+ ��
�(
�
�)�+ ��
�(
�
�)�=
�
�，
故选：D．
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛
获胜的概率均为2
3 ，则甲以3∶1 的比分获胜的概率为(
)
A．8
27
B．64
81
C．4
9
D．8
9
【答案】A
【详解】前3 局有2 局甲获胜，最后一局甲胜，
故3:1 获胜的概率是
,
故选A.
7.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10 门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3
次的概率为A；若击中目标记2 分，记10 门大炮总得分的期望值为B，则A，B 的值分别为（
）
A．15
128 ，5
B．15
128 ，10
C．15
256 ，5
D．15
256 ，10
【答案】B
【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到B 值，再利用其概率公式
计算A 值即可.
【详解】设10 门大炮击中目标的次数为X ,则根据题意可得
1
~
10, 2
X
B
,
10
门大炮总得分的期望值为
1
10
2
10
2
B
，
3
7
3
10
1
1
15
(
3)
C
1
2
2
128
A
P X
，
故选：B.
8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，
否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为1
9 ，第二轮检测不合格的概率为1
10 ，两轮检测是否
合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损80
元，已知一轮中有4 件产品，记一箱产品获利X 元，则
80
P X
等于（
）
A．96
625
B．256
625
C．608
625
D．209
625
【答案】C
【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出X 的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则
服从二项分布，分别求出X 的取值对于得概率，从而可得答案.
【详解】由题意得该产品能销售的概率为
1
1
4
1
1
9
10
5
，
易知X 的取值范围为
320, 200, 80,40,160
，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则
4
~
4, 5
B
，
所以
4
4
4
1
C
5
5
k
k
k
P
k
，
0,1,2,3,4
k
，
所以
2
2
2
4
4
1
96
80
2
C
5
5
625
P X
P
，
3
1
3
4
4
1
256
40
3
C
5
5
625
P X
P
，
4
0
4
4
4
1
256
160
4
C
5
5
625
P X
P
，
故
608
80
80
40
160
625
P X
P X
P X
P X
.
故选：C.
题型三：二项分布的概率最大问题
1.若X～B 7,
1
2 ，则使P（X＝k）最大的k 的值是（
）
A．2
B．3
C．4 或3
D．4
【解题思路】若��= �最大，则��= �≥��= �+ �
��= �≥��= �−�，据此进行求解即可.
【解答过程】
�(�=�+�)
�(�=�) =
��
�+�·(�
�)�
��
�·(�
�)�=
�−�
�+�≥�，得�≤�.
所以当�= �时，�(�= �) = ��
��
�
�
，
当�= �时，�(�= �) = ��
��
�
�
，则��= �= ��= �
从而�= �或4 时，�(�= �)取得最大值.
故选：C.
2.某人在11 次射击中击中目标的次数为X，若�~�11,0.8 ，若��= �最大，则k＝（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【解题思路】若��= �最大，则��= �≥��= �+ �
��= �≥��= �−�，解出�的范围，代入数值.
【解答过程】因为��= �= C�
����−��−�，若��= �最大，则
��= �≥��= �+ �
��= �≥��= �−�
，化简得：��+ �−�≤�≤��+ �，�∈N .
代入已知数值得：�. �≤�≤�. �，所以�= �时��= �最大.
故选：C.
3.经检测一批产品中每件产品的合格率为3
5 ，现从这批产品中任取5 件，设取得合格产品的件数为X ，则
以下选项正确的是（
）
A．X 的可能取值为1，2，3，4，5
B．
3
2
2
5
3
2
(
2)
C
5
5
P X
C．
3
X
的概率最大
D．X 服从超几何分布
【答案】C
【分析】
X 的可能取值包括0 可判断A ；
2
3
2
5
3
2
(
2)
C
5
5
P X
可判断B ；随机变量
3
~
(5, )
5
X
B
，
5
5
3
2
(
)
C
( )
( )
5
5
k
k
k
P
k
，若
(
)
P
k
取得最大值时,则有
(
)
(
1)
(
)
(
1)
P
k
P
k
P
k
P
k
，
*
k N ，求出k 的值可
判断C；X 服从二项分布可判断D.
【详解】对于A，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A 错误；
对于B，
2
3
2
5
3
2
(
2)
C
5
5
P X
，故B 错误；
对于D，由题意，随机变量
3
~
(5, )
5
X
B
，故D 不正确；
对于C，随机变量
3
~
(5, )
5
X
B
，
5
5
3
2
(
)
C
( )
( )
5
5
k
k
k
P
k
，
若
(
)
P
k
取得最大值时，则:
(
)
(
1)
(
)
(
1)
P
k
P
k
P
k
P
k
5
1
1
4
5
5
5
1
1
6
5
5
3
2
3
2
C ( ) ( )
C
( )
( )
5
5
5
5
3
2
3
2
C ( ) ( )
C
( )
( )
5
5
5
5
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，
则
1
2
1
3
5
5
1
5
1
3
1
2
5
6
5
k
k
k
k
，解得
*
2.6
3.6,
N
k
k
，则
3
k
．
故
3
X
的概率最大，所以C 正确；
故选：C.
4.某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且
,0.7
X
B n
，记
kP
P X
k
，
0,1,2,
,
k
n
L
，若
7P 是唯
一的最大值，则
E X 的值为（
）
A．7
B．7.7
C．8.4
D．9.1
【答案】A
【分析】根据二项分布的概率公式
C
1
n k
k
k
n
kP
P X
k
p
p
，
0,1,2,
,
k
n
L
，利用
kP 是唯一最大值可
得
1
1
k
k
k
k
P
P
P
P
，代入
0.7,
7
p
k
可求出
10
n
，再利用二项分布的期望公式可求得结果.
【详解】因为
C
1
n k
k
k
n
kP
P X
k
p
p
，
0,1,2,
,
k
n
L
，若
kP 是唯一最大值，
则
1
1
k
k
k
k
P
P
P
P
，所以
1
1
1
1
1
1
C
1
C
1
C
1
C
1
n k
n k
k
k
k
k
n
n
n k
n k
k
k
k
k
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
，
由
1
1
1
C
(1
)
C
(1
)
k
k
n k
k
k
n k
n
n
p
p
p
p
，得1
1
p
p
n
k
k
，解得
1
k
p
n
p
，
由
1
1
1
C
(1
)
C
(1
)
k
k
n k
k
k
n k
n
n
p
p
p
p
，得
1
1
p
p
k
n
k
，解得
k
p
n
p
，
所以
1
k
p
k
p
n
p
p
，
因为
0.7,
7
p
k
，所以6.3
7.3
0.7
0.7
n
，得
73
9
7
n
，
因为n 为正整数，所以
10
n
，
所以
10 0.7
7
E X
，
故选：A
5.已知�∼��, �，若4��= 2 = 3��= 3 ，则�的最大值为（
）
A．
5
6
B．
4
5
C．
3
4
D．
2
3
【解题思路】根据���= �= ���= �可得到方程，求得�=
�
�+�，结合n 的取值，可得答案.
【解答过程】由题意可知�≥�，
因为���= �= ���= �，所以�C����(�−�)�−�= �C����(�−�)�−�，
整理得��−�= �−��，即�=
�
�+�，
又�∈�*，且�≥�，所以�≤
�
�，
故选：B.
6.设随机变量�∼��, �，记��= C�
���1 −��−�，�= 0,1,2, ⋯, �，下列说法正确的是（
）
A．当k 由0 增大到n 时，��先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大.二项分布当�= 0.5 时是
对称的，当�< 0.5 时向右偏倚，当�> 0.5 时向左偏倚
B．如果�+ 1 �为正整数，当且仅当�= �+ 1 �时，��取最大值
C．如果�+ 1 �为非整数，当且仅当k 取�+ 1 �的整数部分时，��取最大值
D．��= ��1 −�
【解题思路】由��≥��−�
��≥��+�可得�+ ��−�≤�≤�+ ��，分析可判断BC 选项，进而根据二项分布
的图象性质可判断A 选项；根据二项分布的期望公式可判断D 选项.
【解答过程】因为�∼��, �，��= C�
����−��−�，�= �, �, �, ⋯, �，
由��≥��−�
��≥��+�，得C�
����−��−�≥C�
�−���−��−��−�+�
C�
����−��−�≥C�
�+���+��−��−�−�，
解得�+ ��−�≤�≤�+ ��，
若�+ ��为正整数，则�= �+ ��或�= �+ ��−�时，��取最大值，故B 错误；
若�+ ��为非整数，则�取�+ ��的整数部分时，��取最大值，故C 正确；
综上所述，当k 由0 增大到n 时，��先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大.
根据二项分布的图象性质可得，当�= �. �时是对称的，当�< �. �时向左偏倚，当�> �. �时向右偏倚，
故A 错误；
而��= ��，故D 错误.
故选：C.
题型四：二项分布的均值与方差
1.设随机变量�∼�4,
2
3 ，则下列说法不正确的有（
）
A．��= 1 =
8
81
B．��= 2 = ��= 3
C．�的数学期望��=
8
3
D．�的方差��=
8
9
【解题思路】根据已知条件，结合n 次独立重复试验的概率公式，以及二项分布的期望和方差公式判断即
可.
【解答过程】因为随机变量�~��,
�
�，所以��= �= C�
��
�
��
�
�
=
�
��，故A 正确；
�(�= �) = C�
��
�
��
�
�
=
��
��，�(�= �) = C�
��
�
��
�
�
=
��
��，
�(�= �) ≠�(�= �)，故B 不正确；
X 的数学期望�(�) = �×
�
�=
�
�，故C 正确；
X 的方差�(�) = �×
�
�× �−
�
�=
�
�，故D 正确.
故选：B.
2.已知
1
~
4, 2
X
B
，则
(3
2)
E
X
（
）
A．12
B．9
C．6
D．4
【答案】D
【分析】根据题意，由二项分布的期望公式即可得到
E X ，再由期望的性质即可得到结果.
【详解】因为
1
~
4, 2
X
B
，则
1
4
2
2
E X
，
所以
(3
2)
3 (
)
2
3 2
2
4
E
X
E X
．
故选：D
3.某次数学测验共有10 道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的
题目数为X ，且X 服从二项分布
1
10, 4
B
，则以下说法错误的是（
）
A．
5
2
E X
B．
15
8
D X
C．
2
1
6
E
X
D．
3
1
4
P X
【答案】D
【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案.
【详解】因为
1
~
10, 4
X
B
，所以
1
5
(
)
10
4
2
E X
，故A 正确；
1
1
15
(
)
10
(1
)
4
4
8
D X
，故B 正确；
5
(2
1)
2 (
) 1
2
1
6
2
E
X
E X
，故C 正确；
9
1
10
1
1
(
1)
C
1
4
4
P X
9
9
5
3
2
4
3
4
，故D 错误.
故选：D
4.在3 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为
63
64，则事
件A 发生的次数X 的期望和方差分别为（
）
A．
9
4和
9
64
B．
3
4和
3
16
C．
9
16和
3
64
D．
9
4和
9
16
【解题思路】根据题意得到�~�(�, �)，结合题设条件求得�=
�
�，结合期望和方差的公式，即可求解.
【解答过程】设事件�在每次试验中发生的概率为�∈�, �，则�~�(�, �)，
因为事件�至少发生一次的概率为
��
��，可得�−(�−�)�=
��
��，解得�=
�
�，
所以�~�(�,
�
�)，所以��= ��= �×
�
�=
�
�, ��= ��(�−�) = �×
�
�×
�
�=
�
��.
故选：D.
5.已知随机变量
~
,
X
B n p ，若
1
E X ，
4
5
D X
，则
4
P X
（
）
A．4
625
B．32
125
C．1
125
D．1
25
【答案】A
【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.
【详解】由
1
E X ，
4
5
D X
，得
1
np ，
4
1
5
np
p
，
解得
5
n
，
1
5
p
，
所以
4
4
5
1
1
4
4
C
1
5
5
625
P X
.
故选：A.
6.�、�两组各有3 人独立的破译某密码，�组每个人成功破译出该密码的概率为�1，�组每个人成功破译出
该密码的概率为�2，记�、�两组中成功破译出该密码的人数分别为�, �，若0 < �1 < �2 <
1
2，则下列关系
正确的是（
）
A．�(�) > �(�), �(�) < �(�)
B．�(�) > �(�), �(�) > �(�)
C．�(�) < �(�), �(�) < �(�)
D．�(�) < �(�), �(�) > �(�)
【解题思路】由题意分析�，�均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.
【解答过程】由题意可知：�服从二项分布��, ��，所以��= ���, ��= ����−��.
同理：�服从二项分布��, ��，所以��= ���, ��= ����−��.
因为�< ��< ��<
�
�，所以���< ���，所以��< ��.
对于二次函数�= ���−�，对称轴�=
�
�，所以在�,
�
�上函数单调递增，
所以当�< ��< ��<
�
�时，有����−��< ����−��，即��< ��.
故选：C.
7.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独
立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．�(2�+ 1) = 160
B．�(�= 30) = C100
30 (0.8)30(0.2)70
C．�(2�+ 1) = 32
D．存在�≠50，使得�(�= �) = �(�= 100 −�)成立
【解题思路】根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定.
【解答过程】由题意可得�∼����, �. �，
则��= ���× �. �= ��, ��= ���× �. �× �−�. �= ��，
所以�(��+ �) = ���+ �= ���，���+ �= ���= ��，故AC 错误；
由二项分布的概率公式得�(�= ��) = C���
��(�. �)��(�. �)��，故B 正确；
��= �= C���
�
⋅(�. �)�⋅(�. �)���−�, ��= ���−�= C���
���−�⋅(�. �)���−�⋅(�. �)�，
若��= �= ��= ���−�，
则C���
�
⋅(�. �)�⋅(�. �)���−�= C���
���−�⋅(�. �)���−�⋅(�. �)�，
化简得(�. �)��−���= (�. �)��−���，解得�= ��，与条件矛盾，即D 错误.
故选：B.
8.某广场上有4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是2
3 ，出现绿
灯的概率都是1
3 .记这4 盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4 盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2 时的概率；
（2）求ξ的均值．
【答案】（1）8
27 ；（2）8
3 .
【分析】（1）ξ＝2 表示4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2 盏灯出现红灯，进而结合概率的乘法公式即可求
出结果；
（2）方法一：求出ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，并求出相应的概率，得到分布列，利用均值的概念即可
求出结果；方法二：利用二项分布的均值公式直接计算即可.
【详解】（1）依题意知，ξ＝2 表示4 盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2 盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的
概率都是2
3 ，故ξ＝2 时的概率P＝
2
2
2
4
2
1
8
3
3
27
C
.
（2）方法一
ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
依题意知，P(ξ＝k)＝
4
4
2
1
3
3
k
k
k
C
(k＝0,1,2,3,4)．
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
1
81
8
81
8
27
32
81
16
81
∴E(ξ)＝0× 1
81＋1× 8
81 ＋2× 8
27 ＋3× 32
81 ＋4×16
81 ＝8
3 .
方法二
∵ξ服从二项分布，即ξ～B
2
(4, )
3 ，
∴E(ξ)＝
2
8
4
3
3
.
9.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低于50 个的概率；
(2)用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72.
【详解】试题分析：（1）设
1A 表示事件“日销售量不低于100 个”，
2
A 表示事件“日销售量低于50 个”，B
表示事件“在未来连续3 天里有连续2 天日销售量不低于100 个且另一天的日销售量低于50 个”.因此
可求出
1
(
)
0.6
P A
，
2
(
)
0.15
P A
，利用事件的独立性即可求出
( )
P B ；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即
可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.
（1）设
1A 表示事件“日销售量不低于100 个”，
2
A 表示事件“日销售量低于50 个”，B 表示事件“在未来连
续3 天里有连续2 天日销售量不低于100 个且另一天的日销售量低于50 个”.因此
1
(
)
(0.006
0.004
0.002) 50
0.6
P A
.
2
(
)
0.003 50
0.15
P A
.
( )
0.6 0.6 0.15 2
0.108
P B
.
（2）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
0
3
3
(
0)
(1
0.6)
0.064
P X
C
,
1
2
3
(
1)
0.6(1
0.6)
0.288
P X
C
,
2
2
3
(
2)
0.6 (1
0.6)
0.432
P X
C
,
3
3
3
(
3)
0.6
0.216
P X
C
,
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.
10.某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女学生各
25 名，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
男生人数
2
5
8
9
1
女生人数
a
b
10
3
2
(1)从该校参加活动的男生中随机抽取3 人，X 表示这3 人成绩不低于80 分的人数，求X 的分布列、数学
期望和方差；
(2)试确定a，b 为何值时，使得抽取的女生成绩的方差最小，并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，6
5 ，18
25
(2)
0
a
，
10
b
，理见解析
【分析】（1）利用二项分布求出概率，然后列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可.
（2）通过方差的计算公式分析即可.
【详解】（1）由题意可知抽取的男生成绩不低于80 分的概率为10
2
25
5
，即
2
3 5
X
B
,
，
它的分布列为
3
3
2
2
C
1
0,1,2,3
5
5
k
k
k
P X
k
k
，如表：
X
0
1
2
3
P
27
125
54
125
36
125
8
125
54
36
8
6
0
1
2
3
125
125
125
5
EX
（或
2
6
3
5
5
EX
）．
2
2
18
3
1
5
5
25
DX
．
（2）
0
a
，
10
b
．理由如下：
由题意可得
10
a
b
，由于方差是衡量一组数据的离散程度，
所以数据越集中，方差越小，所以当
0
a
，
10
b
时，数据更集中，方差最小．
11.某市体育中考由平时体育成绩和体育测试成绩两部分组成，满分为30分，其中平时体育成绩占15分，
体育测试成绩占15分．现从该市某学校参加中考的九（1）班、九（2 ）班两个班级学生中随机抽取了各20
名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
0,15
15,18
18,21
21,24
24,27
27,30
九（1）班人数
2
2
8
1
3
4
九（2 ）班人数
m
n
6
2
4
2
(1)从该校九（1）班的学生中随机抽取3 人，X 表示这3人成绩不低于21分的人数，求X 的分布列、数学
期望和方差；
(2)试确定
,
m n 为何值时，使得抽取的九（2 ）班成绩的方差最小，并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析；数学期望
6
5
E X
；方差
18
25
D X
(2)
0
m
，
6
n
；理由见解析
【分析】（1）由表格数据可计算得到
2
3 5
X
B
,
，由二项分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，
由此可得分布列；由二项分布的数学期望和方差的计算公式可求得结果；
（2）根据方差的特征可知要使方差最小，则需抽取的成绩更稳定，由此可得
0
m
，
6
n
.
【详解】（1）由表格数据可知：从该校九（1）班的学生中随机抽取1人，其成绩不低于21分的概率为
1 3
4
2
20
5
，
2
3, 5
X
B
；
则X 所有可能的取值为0,1,2,3，
3
3
27
0
5
125
P X
；
2
1
3
2
3
54
1
C
5
5
125
P X
；
2
2
3
2
3
36
2
C
5
5
125
P X
；
3
2
8
3
5
125
P X
；
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
27
125
54
125
36
125
8
125
数学期望
2
6
3
5
5
E X
，方差
2
3
18
3
5
5
25
D X
.
（2）由题意知：
20
6
2
4
2
6
m
n
；
若要使得抽取的九（2 ）班成绩的方差最小，则需抽取的学生成绩更集中，更稳定，
则当
0
m
，
6
n
时，此时抽取的九（2 ）班成绩的方差最小.
题型五：建立二项分布解决实际问题
1.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相
互独立的，并且概率都是1
3 ．
(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、期望、方差；
(2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3) 211
243
【分析】（1）由X 的可能取值为0,1,2,3,4,5 ，且
1
~
5, 3
X
B
即可求出分布列，由二项分布的期望、方差
公式即可计算期望、方差；
（2）Y 的可能取值为0,1,2,3,4,5 ，分别求出相应的概率，即可求出Y 的分布列；
（3）利用对立事件概率计算公式即可求出结果.
【详解】（1）由题意可知，X 可取0,1,2,3,4,5 ，且服从二项分布
1
~
5, 3
X
B
，则
0
5
0
5
1
2
32
0
C
3
3
243
P X
，
1
4
1
5
1
2
80
1
C
3
3
243
P X
，
2
3
2
5
1
2
80
2
C
3
3
243
P X
，
3
2
3
5
1
2
40
3
C
3
3
243
P X
，
4
1
4
5
1
2
10
4
C
3
3
243
P X
，
5
0
5
5
1
2
1
5
C
3
3
243
P X
．
由此得X 的分布如下：
P
0
1
2
3
4
5
X
32
243
80
243
80
243
40
243
10
243
所以
1
5
5
3
3
E X
，
1
2
10
5 3
3
9
D X
.
（2）由于Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然Y 是随机变量，
其取值为0,1,2,3,4,5 且
0
2
1
1
0
3
3
3
P Y
，
1
2
1
2
1
3
3
9
P Y
，
2
2
1
4
2
3
3
27
P Y
，
3
2
1
8
3
3
3
81
P Y
，
4
2
1
16
4
3
3
243
P Y
，
5
2
32
5
3
243
P Y
，
由此得Y 的分布如下：
P
0
1
2
3
4
5
Y
1
3
2
9
4
27
8
81
16
243
32
243
（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A ，
所求概率
32
211
1
0
1
243
243
P A
P X
.
2.非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重
要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为
研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000 名非遗短视频粉丝，记录他们的年
龄，将数据分成6 组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求a 的值；
(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2 人，记取出的2 人中年龄不超过40 岁的人数为X，用频率估计概
率，求X 的分布列及数学期望
(
)
E X ；
(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频
粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m 与n 的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)
0.018
a
(2)分布列详见解析，
0.6
E X
(3)n
m
【分析】（1）根据频率之和为1求得a .
（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.
（3）根据平均数、中位数的求法求得
,
m n ，并比较出两者的大小关系.
【详解】（1）
0.004
0.012
0.014
0.024
0.028
10
1
a
，
解得
0.018
a
.
（2）不超过40 岁的人的频率为
0.004
0.012
0.014
10
0.3
，
所以
2,0.3
X
B
，X 的可能取值为0,1,2 ，
0
0
2
2
0
C
0.3
0.7
0.49
P X
，
1
1
1
2
1
C
0.3
0.7
0.42
P X
，
2
2
0
2
2
C
0.3
0.7
0.09
P X
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
所以
2 0.3
0.6
E X
.
（3）
15 0.04
25 0.12
35 0.14
45 0.24
55 0.28
65 0.18
46.4
m
岁.
0.04
0.12
0.14
0.3,0.04
0.12
0.14
0.24
0.54
，
所以
0.2
25
145
40
10
40
0.24
3
3
n
m
.
3.甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共
设定5 个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5 个投篮点投球，且每投中一次
可获得1 分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，
且每投中一次可获得2 分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6 分的概率1
8
p
，求p ；
(2)由（1）问中求得的p 值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
【答案】(1)
1
2
p
(2)甲获胜的可能性大
【分析】（1）求出乙得6 分的概率，从而得到方程，求出
1
2
p
；
（2）设X 为甲累计获得的分数，则
1
5, 2
X
B
，从而求出期望值，设Y 为乙累计获得的分数，得到Y 的
可能取值及相应的概率，求出分布列，得到期望值，比较后得到结论.
【详解】（1）若乙得6 分，则需乙前3 个投篮投中，第4 个投篮未中，
其概率为
3
1
p
p
，又0
1
p
，
故
3
1
1
8
p
p
p
，解得
1
2
p
；
（2）设X 为甲累计获得的分数，则
1
5, 2
X
B
，所以
1
5
5
2
2
E X
np
，
设Y 为乙累计获得的分数，则Y 的可能取值为0，2，4，6，8，10，
1
0
2
P Y
，
1
1
1
2
1
2
2
4
P Y
，
2
1
1
1
4
1
2
2
8
P Y
，
3
1
1
1
6
1
2
2
16
P Y
，
4
1
1
1
8
1
2
2
32
P Y
，
5
1
1
10
2
32
P Y
，
所以Y 的分布列为：
Y
0
2
4
6
8
10
P
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
32
所以
1
1
1
1
1
1
31
0
2
4
6
8
10
2
4
8
16
32
32
16
E Y
，
因为
E X
E Y
，所以甲获胜的可能性大
4.某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、
每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答
题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为2
3 ，第二组每道题答对的概率均为
1
2 ，两组题至少答对
3 题才可获得一枚纪念章．
(1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为X ，请写出X 的分布列，并求
E X ；
(2)若甲同学进行了4 轮答题，求甲同学恰好获得2 枚纪念章的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
16
9
E X
(2) 8
27
【分析】（1）先确定X 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，利用期望公式求
E X ；
（2）先求甲同学每一轮获得纪念章的概率，进而可得
1
4, 3
Y
B
，结合独立重复试验概率公式求甲同学
恰好获得2 枚纪念章的概率.
【详解】（1）由题意，X 可取0，1，2，3，4．
2
2
1
0
1
1
3
3
9
P X
，
1
2
2
2
4
1
C
1
3
3
9
P X
，
2
2
1
1
1
2
1
1
3
3
2
2
9
P X
，
1
2
2
2
1
1
2
3
C
1
3
3
2
2
9
P X
，
2
2
1
1
1
4
3
3
2
2
9
P X
，
则X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1
9
4
9
1
9
2
9
1
9
1
4
1
2
1
16
0
1
2
3
4
9
9
9
9
9
9
E X
．
（2）每一轮获得纪念章的概率为
2
1
1
3
4
9
9
3
P
P X
P X
，
设4 轮答题获得纪念章的数量为Y ，则
1
4, 3
Y
B
，
2
4 2
2
4
1
2
8
2
C
3
3
27
P Y
，
即甲同学则获得2 枚纪念章的概率是8
27 ．
5.小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有��∈N* 道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按
次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5 分，否则
得0 分；第二轮每道题答对得20 分，否则得0 分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率
均为
1
3，第二轮每题答对的概率均为
2
3．设小明第一轮答题的总得分为�，第二轮答题的总得分为�．
(1)若�= 30，求��；
(2)证明：当�≥24 时，��> ��．
【解题思路】
（1）设小明第一轮答对的题数为�，则�∼��,
�
�，从而求出��=
�
�，再根据�= ��求出��；
（2）设小明第二轮答对的题数为�，求出�的可能取值及可能取值，得到��=
�
�×
�
�+
�
�
�
×
�
�+ ⋯+
�
�
�−�
×
�−�
�+
�
�
�
× �，利用错位相减法求和，再根据�= ���求出��，从而比较出当�≥��时，��>
��.
【解答过程】（1）设小明第一轮答对的题数为�，
由条件可知�∼��,
�
�，则��=
�
�，
因为�= ��，所以��= ���=
��
�，
因此，当�= ��时，��= ��．
（2）设小明第二轮答对的题数为�，则�的所有可能取值为0，1，2，…，n，
且��= �=
�
�，��= �=
�
�×
�
�，��= �=
�
�
�
×
�
�，…，
��= �−�=
�
�
�−�
×
�
�，��= �=
�
�
�
．
所以��=
�
�×
�
�+
�
�
�
×
�
�+ ⋯+
�
�
�−�
×
�−�
�+
�
�
�
× �，①
�
���=
�
�
�
×
�
�+
�
�
�
×
�
�+ ⋯+
�
�
�
×
�−�
�+
�
�
�+�
× �，②
①－②得
�
���=
�
�×
�
�+
�
�
�
×
�
�+ ⋯+
�
�
�
×
�
�，
所以��=
�
�+
�
�
�
+ ⋯+
�
�
�
=
�
��−�
�
�
�−�
�
= ��−
�
�
�
．
因为�= ���，所以��= ����= ���−
�
�
�
．
当�≥��时，��=
��
�≥��，��< ��，
即��> ��得证．
6.某商场对M ，N 两类商品实行线上销售（以下称“ A 渠道”）和线下销售（以下称“ B 渠道”）两种销售模
式．M 类商品成本价为120 元件，总量中有40%将按照原价200 元/件的价格走B 渠道销售，有50%将按
照原价8.5 折的价格走A 渠道销售；N 类商品成本价为160 元/件，总量中有20%将按照原价300 元/件的
价格走B 渠道销售，有40%将按照原价7.5 折的价格走A 渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价
6 折的价格销售，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
(2)某商场举行让利大用卖活动，全场M ，N 两类商品走A 渠道销售，假设每位线上购买M ，N 商品的顾
客只选其中一类购买，每位顾客限购1 件，且购买商品的顾客中购买M 类商品的概率为1
4 ．已知该商场当
天这两类商品共售出5 件，设X 为该商场当天所售N 类商品的件数，Y 为当天销售这两类商品带来的总收
益，求Y 的期望
E Y ，以及当
0.5
P X
n
（nN）时，n 可取的最大值．
【答案】(1) N 类商品单件收益的均值更高
(2)
306.25
E Y
；n 可取的最大值为4
【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可得出结果；
（2）N 类商品的销售件数符合二项分布，先列出这5 件衣服总收益关于X 的关系式，得
250
15
Y
X
，
结合
250
15
E Y
E X
化简即可求解；再求出
0,1,2,3,4,5
X
对应的概率值，可确定n 可取的最大值，
【详解】（1）设M 类，N 类商品单件收益分别为
1
X 元，
2
X 元，
则
1
0.4
200
0.5 200 0.85
0.1 200 0.6 120
57
E X
元，
2
0.2 300
0.4 300 0.75
0.4 300 0.6 160
62
E X
元，
1
2
E X
E X
，故N 类商品单件收益的均值更高.
（2）由题意可知
3
5, 4
X
B
，
0,1,2,3,4,5
X
，
200 0.85 120
5
300 0.75 160
250
15
Y
X
X
X
元，
又
3
15
5
4
4
E X
元，
所以
250
15
250
15
306.25
E Y
E
X
E X
元，
5
0
5
1
1
0
C
4
1024
P X
，
1
4
1
5
3
1
15
1
C
4
4
1024
P X
，
2
3
2
5
3
1
90
2
C
4
4
1024
P X
，
3
2
3
5
3
1
270
3
C
4
4
1024
P X
，
4
1
4
5
3
1
405
4
C
4
4
1024
P X
，
5
0
5
5
3
1
243
5
C
4
4
1024
P X
，
1 15
90
270
376
4
0.5
1024
1024
P X
，
375
405
781
5
0.5
1024
1024
P X
，
所以当
0.5
P X
n
（nN）时，n 可取的最大值为4．
7.为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知
识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采
取电脑出题的方式，从题库中随机出10 道题，编号为�1，�2，�3，�4，⋯，�10，电脑依次出题，参赛选
手按规则作答，每答对一道题得10 分，答错得0 分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3 的倍数，
且不少于18 人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参
赛：
方案一：将班级选派的3�名参赛选手每3 人一组，分成�组，电脑随机分配给同一组的3 名选手一道相同
的试题，3 人均独立答题，若这3 人中至少有2 人回答正确，则该小组顺利出线；若这�个小组都顺利出线，
则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的3�名参赛选手每�人一组，分成3 组，电脑随机分配给同一组的�名选手一道相同
的试题，每人均独立答题，若这�个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3 个小组中至少有2 个小组
顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为
4
5，每次作答结果相互独立，且他
不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A 班每位参赛选手答对试题的概率均为常数�0 < �< 1 ，A 班为使晋级团体赛
决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【解题思路】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，由题意确定�∼�(��,
�
�)，根据二项分布的
期望和方差的性质，即可求得答案.
（2）设A 班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为��, ��，分别求出��, ��的表达式，作差并
利用构造函数判断��, ��的大小，即可得到结论.
【解答过程】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，则�= ���，
由题意可知�∼�(��,
�
�),
则�(�) = �(���) = ���(�) = ��× ��×
�
�= ��;
�(�) = �(���) = ����(�) = ���× ��×
�
�× (�−
�
�) = ���.
（2）设A 班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为��, ��，
当选择方案一时，小组里3 人中至少有2 人回答正确的概率为C�
���(�−�) + C�
���= ���−���，
故��= ���−����= ����−���；
当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为��，则小组没有出线的概率为�−��，
故��= C�
�����−��+ C�
����= ����−����；
故��−��= ����−���−����+ ����= ���[(3 −��)�+ ���−�]，
令��= �−���+ ���−�, �∈N∗，
则��+ �−��= �−���+�+ ���+�−�−��)�−���
= �−����−��+ ����−�= ��−�
�−���−��，
因为�< �< �，所以�−�> �, �−��> �，
故�−���> �, �< ��< �, ∴�−���−��> �，
则��+ �−��> �，即��+ �> ��，
故��= �−���+ ���−�, �∈N∗为单调增函数，
因为�(�) = �−��+ ��−�= �，
由于各班参赛人数必须为3 的倍数，且不少于18 人，即�≥�，
此时��≥��> ��= �⇒��> ��
故A 班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.
题型六：超几何分布的判断
1.判断正误
（1）超几何分布就是一种概率分布模型．(
)
（2）一个袋子里装有4 个白球，5 个黑球和6 个黄球，从中任取4 个球，则取出的黑球个数X 服从超几何
分布．(
)
【答案】
√
√
【详解】根据超几何分布的定义可知（1）（2）正确.
2.下列随机变量中，服从超几何分布的有
．(填序号)
①在10 件产品中有3 件次品，一件一件地不放回地任意取出4 件，记取到的次品数为X；
②从3 台甲型彩电和2 台乙型彩电中任取2 台，记X 表示所取的2 台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6 个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.
【答案】①②
【分析】根据超几何分布模型定义逐个分析即可求出结果.
【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X 服从超几何分布．②中随机变量X 服从超几何分
布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．
故答案为：①②.
3.在15 个村庄中，有7 个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10 个村庄中交通不方便的村庄的个
数，则X 服从超几何分布，其参数为（
）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【解题思路】根据超几何分布概率模型可得选项.
【解答过程】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故选：A.
4.一个袋子中100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球作为样
本，用随机变量�表示样本中黄球的个数，则�服从（
）
A．二项分布，且��= 8
B．两点分布，且��= 12
C．超几何分布，且��= 8
D．超几何分布，且��= 12
【解题思路】利用超几何分布的定义判断，再利用超几何分布的期望公式求解.
【解答过程】解：由于是不放回地随机摸出20 个球作为样本，所以由超几何分布得定义得�服从超几何分
布，所以��=
����
���=�.
故选：C.
5.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70% ，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的
分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4 只，蓝球5只，任取3 只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列；
(4)某班级有男生25 人，女生20 人．选派4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记
为X ，求X 的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的
分布列．
【答案】
【分析】
（1）（2）（3）（4）（5）根据超几何分布的特点逐项判断，可得出结论.
【详解】（1）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题.
（2）解：样本没有分类，是重复试验问题，不是超几何分布问题.
（3）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类，
随机变量X 表示抽取3件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（4）解：样本符合超几何分布的特征，样本都分为两类，
随机变量X 表示抽取4 件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（5）解：样本没有给出不合格产品数，无法计算X 的分布列，所以不属于超几何分布问题．
题型七：超几何分布的概率
1.数学老师从6 道习题中随机抽3 道让同学检测，规定至少要解答正确2 道题才能及格．某同学只能求解
其中的4 道题，则他能及格的概率是
【答案】4
5
【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
2
1
3
0
4
2
4
2
3
3
6
6
4
2
2
3
5
C C
C C
p X
p X
p X
C
C
.
点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分
布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查
某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，
其实质是古典概型．
2.某党支部有10名党员，7 男3女，为迎接建党100周年，从中选取2 人做汇报演出，若X 表示选中的女党
员数，则
2
P X
（
）.
A．7
15
B．8
15
C．14
15
D．1
【答案】C
【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.
【详解】由题意，知X 服从超几何分布，X 的可能取值为0 ，1，2 ，
故
2
7
2
10
C
7
0
C
15
P X
，
1
1
7
3
2
10
C C
7
1
C
15
P X
，
2
3
2
10
C
1
2
C
15
P X
，
于是
7
7
14
2
0
1
15
15
15
P X
P X
P X
.
故选：C.
3.已知共15 张卡牌由5 张红卡、10 张其它颜色卡组成，混合后分3 轮发出，每轮随机发出5 张卡．
(1)求事件“第1 轮无红色卡牌”的概率
1p ；
(2)求事件“第1 轮有至少3 张红色卡牌”的概率
2p ；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率
3p ．
【答案】(1) 12
143 ；
(2) 167
1001；
(3) 750
1001.
【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求
1p ；
（2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求
2p ；
（3）讨论第一轮有红牌1、2、3 张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求
3p .
【详解】（1）由题意，“第1 轮无红色卡牌”的概率
5
10
1
5
15
C
12
C
143
p
.
（2）由题意，“第1 轮有至少3 张红色卡牌”的概率
3
2
4
1
5
0
5
10
5
10
5
10
2
5
15
C C
C C
C C
167
C
1001
p
.
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1 张红牌，则第二轮红牌有1 张、2 张、3 张，
此时每轮都有红牌的概率为
1
4
1
4
2
3
3
2
5
10
4
6
4
6
4
6
5
5
15
10
C C
C C
C C
C C
50
20
1000
C
C
143 21
3003
，
第一轮抽到2 张红牌，则第二轮红牌有1 张、2 张，
此时每轮都有红牌的概率为
2
3
1
4
2
3
5
10
3
7
3
7
5
5
15
10
C C
C C
C C
400
5
1000
C
C
1001
6
3003
，
第一轮抽到3 张红牌，则第二轮红牌有1 张，
此时每轮都有红牌的概率为
3
2
1
4
5
10
2
8
5
5
15
10
C C
C C
250
C
C
3003
，
综上，3 轮中“每轮均有红色卡牌”的概率
3
750
1001
p
.
4.某12 人的兴趣小组中，有5 名“三好学生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用X 表示这6 人中“三好学生”
的人数，则当X 取
时，对应的概率为
2
3
5
7
6
12
C C
C
.
【答案】2 或3
【分析】根据超几何分布以及组合数的性质即可求出结果.
【详解】由题意可知，X 服从超几何分布，
且
6
2
3
5
7
5
7
6
6
12
12
X
X
C C
C C
C
C
，所以
6
3
2
5
7
5
7
5
7
6
6
6
12
12
3
4
12
X
X
C C
C C
C C
C
C
C
，
所以
2
X
或3；
故答案为：2 或3.
5.在10 个排球中有6 个正品，4 个次品，从中随机抽取4 个，则正品数比次品数少的概率为（
）
A．5
42
B．4
35
C．19
42
D．8
21
【答案】A
【分析】抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0 个正品和4 个次品；抽取到1 个正品和3 个次
品.分别求概率再相加即可.
【详解】抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0 个正品和4 个次品；抽取到1 个正品和3 个次
品.
当抽取到0 个正品和4 个次品时，
4
4
1
4
10
C
1
C
210
P
；
当抽取到1 个正品和3 个次品时，
1
3
6
4
2
4
10
C C
24
4
C
210
35
P
，
所以抽取的正品数比次品数少的概率为
1
2
1
4
5
210
35
42
P
P
.
故选：A.
题型八：超几何分布的均值
1.一个口袋中装有7 个球，其中有5 个红球，2 个白球抽到红球得2 分，抽到白球得3 分．现从中任意取
出3 个球，则取出3 个球的得分Y 的均值
E Y 为
．
【答案】48
7
【分析】求Y 的可能取值与每个值所对应的概率即可求解
【详解】Y 的可能取值为6,7,8，且
3
0
5
2
3
7
C C
10
2
6
C
35
7
P Y
，
2
1
5
2
3
7
C C
20
4
7
C
35
7
P Y
，
1
2
5
2
3
7
C C
5
1
8
C
35
7
P Y
，
所以得分Y 的均值
2
4
1
48
E( )
6
7
8
7
7
7
7
Y
，
故答案为：48
7
2.一个不透明的袋子中装有3 个黑球，n 个白球
*
N
n
，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意
取出3 个球，已知取出2 个黑球，1 个白球的概率为9
20 ，设X 为取出白球的个数，则
E X
（
）
A．3
2
B．1
2
C．1
D．2
【答案】A
【分析】
根据取出2 个黑球，1 个白球的概率为9
20 求出n 的值，再求出X 的分布列，根据数学期望的定义即可计
算.
【详解】由题可知，
2
1
3
3
3
C C
9
C
20
n
n
，解得
3
n
，
X 的可能取值为0,1,2,3，
3
3
3
6
C
1
0
C
20
P X
，
1
2
3
3
3
6
C C
9
1
C
20
P X
，
2
1
3
3
3
6
C C
9
2
C
20
P X
，
3
3
3
6
C
1
3
C
20
P X
，
∴
1
9
9
1
0
1
2
3
1.5
20
20
20
20
E X
.
故选：A
3.从装有6个白球，2 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2 分，每取出1个白
球得1分. 按照规则从容器中任意抽取2 个球，所得分数的期望为（
）
A．5
2
B．3
C．10
3
D．7
2
【答案】A
【分析】
根据取出小球的所有情况写出得分X 的所有可能，根据超几何公式求得X 各个取值对应的概率，进而得
到其分布列，求出期望.
【详解】解：设得分为X ，根据题意X 可以取4 ，3，2 .
则
2
2
2
8
C
1
(
4)
C
28
P X
，
1
1
2
6
2
8
C C
12
3
(
3)
C
28
7
P X
，
2
6
2
8
C
15
(
2)
C
28
P X
，
则X 分布列为：
X
4
3
2
P
1
28
3
7
15
28
所以得分期望为
1
3
15
5
(
)
4
3
2
28
7
28
2
E X
.
故选：A .
4.某班级要从4 名男生，2 名女生中随机选取3 人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为X ，
则
E X
（
）
A．4
3
B．8
5
C．6
5
D．1
【答案】D
【分析】分析可知随机变量X 可能的取值为0 、1、2 ，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可
求得
E X 的值.
【详解】由题可知，X 可能的取值为0 、1、2 ，
且
0
3
2
4
3
6
C C
1
0
C
5
P X
，
1
2
2
4
3
6
C C
3
1
C
5
P X
，
2
1
2
4
3
6
C C
1
2
C
5
P X
，
所以
1
3
1
0
1
2
1
5
5
5
E X
.
故选：D.
5.某地盛行糕点有n 种，该地的糕点店从中准备了m（�< �）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕
点有k（�< �）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量
X 为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则��=（
）
A．
��
�
B．
�+�
�2
C．
��
�
D．
�−�
�
【解题思路】由题意可知�服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可.
【解答过程】由题意可知从含有顾客喜好的k（�< �）种糕点的n 种糕点中，任取m（�< �）种糕点，
其中恰有�种顾客喜好的糕点，则�服从超几何分布，
所以�(�= �) =
C�
�C�−�
�−�
C��
(�= �, �, �, ⋅⋅⋅, �)，其中�= ����, �, �< �, �< �，
所以��=
��
�，
故选：A.
6.设随机变量�∼�(10, �, 1000)（2 ≤�≤992 且�∈�∗），�(2; 10, �, 1000)最大时，�(�) =（
）
A．1.98
B．1.99
C．2.00
D．2.01
【解题思路】根据给定条件，求出�(�; ��, �, ����)最大时的M 值，再利用超几何分布的期望公式计算
作答.
【解答过程】随机变量�∼�(��, �, ����)，则�(�; ��, �, ����) = �(�= �) =
C�
�C����−�
�
C����
��
，
因�(�; ��, �, ����)最大，则有�(�; ��, �, ����) ≥�(�; ��, �+ �, ����)
�(�; ��, �, ����) ≥�(�; ��, �−�, ����) ，
即
C�
�C����−�
�
C����
��
≥
C�+�
�
C���−�
�
C����
��
C�
�C����−�
�
C����
��
≥
C�−�
�
C����−�
�
C����
��
，
�(�−�)
�
⋅
(����−�)!
�!(���−�)! ≥
�(�+�)
�
⋅
(���−�)!
�!(���−�)!
�(�−�)
�
⋅
(����−�)!
�!(���−�)! ≥
(�−�)(�−�)
�
⋅
(����−�)!
�!(���−�)!
，
整理得(�−�)(����−�) ≥(�+ �)(���−�)
�(���−�) ≥(�−�)(����−�)
，解得���. �≤�≤���. �，
而�∈�∗，则�= ���，所以�(�) =
���
����=
�����
����= �. ��.
故选：C.
7.从装有6 个白球，2 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1 个红球得2 分，每取出1
个白球得1 分. 按照规则从容器中任意抽取2 个球，所得分数的期望为（
）
A．
5
2
B．3
C．
10
3
D．
7
2
【解题思路】根据取出小球的所有情况写出得分�的所有可能，根据超几何公式求得�各个取值对应的概
率，进而得到其分布列，求出期望.
【解答过程】解：设得分为�，根据题意�可以取�，�，�.
则�(�= �) =
C�
�
C�
�=
�
��，�(�= �) =
C�
�C�
�
C�
�=
��
��=
�
�，
�(�= �) =
C�
�
C�
�=
��
��，
则�分布列为：
�
4
3
2
�
�
��
�
�
��
��
所以得分期望为�(�) = �×
�
��+ �×
�
�+ �×
��
��=
�
�.
故选：A.
题型九：超几何分布的方差
1.已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进行检测，记取到的正品数为X ，则
下列结论正确的是（
）
A．
4
2
1
3
E
X
B．
1
5
D X
C．
1
E X
D．
8
2
1
5
D
X
【答案】D
【分析】根据题意可知，X 可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差
的公式及性质计算即可．
【详解】根据题意可知，X 可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故
2
1
1
2
2
4
2
4
3
3
6
6
C C
C C
1
3
1)
, (
2)
,
C
5
C
5
(
P X
P X
3
4
3
6
C
1
(
3)
,
C
5
P X
所以
1
3
1
(
)
1
2
3
2,
5
5
5
E X
2
2
2
1
3
1
2
(
)
(1
2)
(2
2)
(3
2)
5
5
5
5
D X
，
2
1
2
1
2 2 1
3
E
X
E X
，
8
2
1
4 (
)
,5
D
X
D X
故选：D．
2.某公司有日生产件数为95 件的“生产能手”3 人，有日生产件数为55 件的“新手”2 人，从这5 人中任意抽
取2 人，则2 人的日生产件数之和X 的标准差为
．
【答案】24
【分析】依题意可知X 的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，
从而求出数学期望与标准差；
【详解】解：由题意，可得X 的所有可能取值为190，150，110，且
0
2
2
3
2
5
C C
3
(
190)
C
10
P X
，
1
1
2
3
2
5
C C
3
(
150)
C
5
P X
，
2
0
2
3
2
5
C C
1
(
110)
C
10
P X
，则
3
3
1
(
)
190
150
110
158
10
5
10
E X
，标准差
2
2
2
3
3
1
(
)
32
( 8)
( 48)
24
10
5
10
V X
．
故答案为：24
3.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1 个红球，乙盒子里有3 个红球和3 个黑球，现从乙盒子里随机取出�1 ≤
�≤6, �∈�∗个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为�个，则随着�1 ≤�≤
6, �∈�∗的增加，下列说法正确的是（
）
A．��增加，��增加
B．��增加，��减小
C．��减小，��增加
D．��减小，��减小
【解题思路】由题意可知，从乙盒子里随机取出�个球，含有红球个数�服从超几何分布，即�∼��, �, �，
可得出��=
�
�，再从甲盒子里随机取一球，则�服从两点分布，所以��= ��= �=
�
�+
�
��+�，��= �−
��= �=
�
�−
�
��+�，从而可判断出��和��的增减性.
【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出�个球，含有红球个数�服从超几何分布，即�∼��, �, �，
其中��= �=
��
���
�−�
��
�
，其中�∈�，�≤�且�≤�，��=
��
�=
�
�.
故从甲盒中取球，相当于从含有
�
�+ �个红球的�+ �个球中取一球，取到红球个数为�.
故��= �=
�
�+�
�+�=
�
�+
�
��+�，
随机变量�服从两点分布，所以��= ��= �=
�
�+�
�+�=
�
�+
�
��+�，随着�的增大，��减小；
��= �−��= ���= �=
�
�−
�
��+��，随着�的增大，��增大.
故选：C.
4.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参
与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4 人，女生2 人，现从中随机
选取2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X 的分布列及期望��、方差��.
【解题思路】（1）根据条件概率公式即可求解.
（2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差.
【解答过程】（1）设“有女生参加活动”为事件�，“恰有一名女生参加活动”为事件�．
则���=
C�
�C�
�
C�
�=
�
��, ��=
C�
�C�
�+C�
�
C�
�
=
�
�，所以���
=
���
��
=
�
��
�
�
=
�
�；
（2）依题意知�服从超几何分布，且��= �=
C�
�C�
�−�
C�
�
�= �, �, �，
��= �= C�
�
C�
�= �
�, ��= �= C�
�⋅C�
�
C�
�
= �
��, ��= �= C�
�
C�
�= �
��,
所以�的分布列为：
�
0
1
2
�
�
�
�
��
�
��
��= �×
�
�+ �×
�
��+ �×
�
��=
�
�, ��=
�
�× 0 −
�
�
�
+
�
��× 1 −
�
�
�
+
�
��× 2 −
�
�
�
=
��
4�.
5.2020 年5 月28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021 年1 月1
日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性
地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并
组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20 名学生的成绩（单位：分），
绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
等级
合格
中等
良好
优秀
（1）从样本中任取2 名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2 名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3 人座谈，记�为抽到高二年级的人数，求�的分布列，数
学期望与方差.
【解题思路】（1）利用条件概率的公式即得解；
（2）随机变量�服从超几何分布，计算对应的概率，列出分布列，利用期望与方差的公式即得解
【解答过程】（1）记事件�为“从样本中任取2 名同学的竞赛成绩为优秀”，事件�为“这两个同学来自同一
个年级”，则�(�) =
���
�
���
�，�(��) =
��
�+��
�
���
�
.
所以在成绩为优秀的情况下，这2 个同学来自同一个年级的概率为
�(�|�) =
�(��)
�(�) =
��
�+��
�
���
�
=
�
��.
（2）由题意�的可能取值为0，1，2，3.
�(�= �) =
��
�
���
�=
�
��，�(�= �) =
��
���
�
���
�
=
�
��，�(�= �) =
��
���
�
���
�
=
�
�，�(�= �) =
��
�
���
�=
�
�.
所以�的分布列为：
�
0
1
2
3
�
�
��
�
��
�
�
�
�
数学期望为：�(�) = �×
�
��+ �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
�=
�
�
�(�) = (�−
�
�)�×
�
��+ (�−
�
�)�×
�
��+ (�−
�
�)�×
�
�+ (�−
�
�)�×
�
�=
��
��.
题型十：二项分布和超几何分布的综合
1.为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要
在�，�两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：�，�两名学生各自从6 个问题中随机抽取3 个问
题作答.已知这6 个问题中，学生�能正确回答其中的4 个问题，而学生�能正确回答每个问题的概率均为
2
3.�，
�两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求�，�两名学生恰好答对2 个问题的概率.
（2）设�答对的题数为�，�答对的题数为�，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【解题思路】（1）由古典概型概率公式求得�的概率，由独立重复试验的概率公式计算出�的概率；
（2）�的可能取值为1，2，3，计算出概率后得概率分布列，求出期望与方差，而�∼��,
�
�，也计算出
均值与方差，比较可得．
【解答过程】
（1）由题意，知�恰好答对2 个问题的概率为��=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�，�恰好答对2 个问题的概率为��=
C�
��
�
��
�
�
=
�
�.
（2）�的可能取值为1，2，3，
则��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�；��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�；��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�.
所以��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �，��= �−��×
�
�+ �−��×
�
�+ �−��×
�
�=
�
�.
易知�∼��,
�
�，
所以��= �×
�
�= �，��= �×
�
�×
�
�=
�
�.
因为��= ��，��< ��，
所以�与�答题的平均水平相当，但�比�更稳定.所以选择学生�.
2.某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6 道备选题中一次性随
机抽取3 道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2 个选题方可通过.6 道备选题中，考
生甲有4 个选题能正确完成，2 个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是
2
3，且每个选题正确
完成与否互不影响.
(1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.
【解题思路】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可；
（2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得.
【解答过程】（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为�，则�的可能取值有�, �, �，
且��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�，��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�, ��= �=
C�
�
C�
�=
�
�，
所以，考生甲正确完成选题数�的概率分布列如下表：
�
1
2
3
�
�
�
�
�
�
�
记考生乙正确完成试题的个数分别为�，则�的可能取值有�, �, �, �，
且��= �=
�
�
�
=
�
��，��= �= ��
�⋅
�
�⋅
�
�
�
=
�
�, ��= �= ��
�⋅
�
�
�
⋅
�
�=
�
�, ��= �=
�
�
�
=
�
��，
所以，考生乙正确完成选题数�的概率分布列如下表：
�
0
1
2
3
�
�
��
�
�
�
�
�
��
（2）��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �; �∼��,
�
�, ��= �×
�
�= �，
��= (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�=
�
�; ��= �×
�
�× �−
�
�=
�
�，
从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为��< ��，因此可以判断甲考生的操作能力更强.
3.“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023 年已经培养了6000 多名具
有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、
化学学科夏令营活动．
(1)若数学组的7 名学员中恰有3 人来自A 中学，从这7 名学员中选取3 人，表示选取的人中来自A 中学
的人数，求的分布列和数学期望：
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答
对每道题的概率分别为
1
2
,
p p ，且
1
2
4
3
p
p
，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次
答题活动中取得6 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，9
7
(2)11
【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；
（2）先求出每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【详解】（1）由题意知，的可能取值有0,1,2,3，
3
4
3
7
C
4 3 2
4
(
0)
C
7 6 5
35
P
，
2
1
4
3
3
7
C C
18
(
1)
C
35
P
，
1
2
4
3
3
7
C C
12
(
2)
C
35
P
，
3
3
3
7
C
1
(
3)
C
35
P
，
所以的分布列为
0
1
2
3
P
4
35
18
35
12
35
1
35
4
18
12
1
45
9
0
1
2
3
35
35
35
35
35
7
E
.
（2）因为甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率为
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
8
C
(1
)C
C
C
(1
)
2
(
)
3
3
3
Q
p
p
p
p
p
p
p p
p p
p
p
p p
p p
p p
，
由
1
2
0
1,0
1
p
p
，又
1
2
4
3
p
p
，得到
1
1
1
3
p
，
则
2
1
2
1
1
1
1
4
4
(
)
3
3
p p
p
p
p
p
，又
1
1
1
3
p
，所以
1
2
1 4
,
3 9
p p
，
令
1
2
1 4
,
3 9
t
p p
，则
2
2
8
4
16
3
3(
)
3
9
27
Q
t
t
t
，当
4
9
t
时，Q 取到最大值为
16
27 ，
要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值
16
27 ，
设甲、乙两人在n 轮答题中取得胜利的次数为X ，则
16
( ,
)
27
X
B n
，
所以
16
27
EX
n
，由
16
6
27
EX
n
，解得
81
10.125
8
n
，
又
N
n
，则
min
11
n
，理论上至少要参加11 轮竞赛.
4.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题，按照答对
题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙
每题正确完成的概率都是
2
3，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【解题思路】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为�，�，由于�~�(�, �, �)，�~��,
�
�，分别
写出分布列，再求期望值均为�；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.
【解答过程】（1）设�为甲正确完成面试题的数量，�为乙正确完成面试题的数量，
依题意可得：�~�(�, �, �)，
∴�(�= �) =
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�，�(�= �) =
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�，�(�= �) =
��
�⋅��
�
��
�
=
�
�，
∴X 的分布列为：
X
1
2
3
P
�
�
�
�
�
�
∴��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �．
�~��,
�
�，
∴�(�= �) = ��
��
�
��
�
�
=
�
��，�(�= �) = C�
��
�
��
�
�
=
�
��=
�
�，
�(�= �) = C�
��
�
��
�
�
=
��
��=
�
�，�(�= �) = ��
��
�
��
�
�
=
�
��，
∴Y 的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
�
��
�
�
�
�
�
��
∴��= �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
��= �．
（2）��=
�
�× (�−�)�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�=
�
�，
��= ��(�−�) = �×
�
�×
�
�=
�
�，
∵��< ��，
∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．
5.普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强
对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5 轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则
如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10 分．每一轮比赛中，参赛者在30 分钟
内完成法律文书题和案例分析题各2 道，若有不少于3 道题得分超过8 分，将获得“优胜奖”，5 轮比赛中，
至少获得4 次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽
取法律文书题和案例分析题各5 道，其中有4 道法律文书题和3 道案例分析题得分超过8 分．
(1)从这10 道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2 道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概
率；
(2)将上述两类题目得分超过8 分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前
强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8 分的概率共增加了0.1，以获得“优胜奖”的次数期望为
参考，试预测该同学能否进入决赛．
【答案】(1) 33
50
(2)该同学没有希望进入决赛
【分析】
（1）由题意分析出超过8 分的题型，求出对应的概率，相加即可求解；
（2）设强化训练后法律文书题超过8 分的概率为
1p ，案例分析题的为
2p ，则
1
2
3
2
p
p
，求得强化训练
后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为
2
1
2
1
2
3
3
P
p p
p p
，结合二次函数的性质求得
1
2
27 14
,
50 25
p p
，
令
1
2
p p
t
，利用换元法可得
2
1
3
( )
3
2
4
P t
t
，由二次函数的性质和二项分布的数学期望计算公式可
得
(
)
4
E X
，即可下结论.
【详解】（1）
由题可知，所有可能的情况有：
①超过8 分的是1 道法律文书题，2 道案例分析题，
1
2
4
3
1
2
2
5
5
C
C
3
C
C
25
P
，
②超过8 分的是2 道法律文书题，1 道案例分析题，
2
1
1
4
3
2
2
2
2
5
5
C
C
C
9
C
C
25
P
，
③超过8 分的是2 道法律文书题，2 道案例分析题，
2
2
4
3
3
2
2
5
5
C
C
9
C
C
50
P
，
故所求的概率
3
9
9
33
25
25
50
50
P
；
（2）
设强化训练后，法律文书题超过8 分的概率为
1p ，案例分析题超过8 分的概率为
2p ，
则
1
2
4
3
1
3
5
5
10
2
p
p
，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为：
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
C
1
C
C
C
1
C
C
P
p
p
p
p
p
p
p
p
2
1
2
1
2
1
2
2
3
p p
p
p
p p
2
1
2
1
2
3
3
p p
p p
，
1
2
3
2
p
p
，且
1
4
5
p
，
2
3
5
p
，即
2
3
4
2
5
p
，
1
3
3
2
5
p
，
则
2
7
10
p
，
1
9
10
p
，
故可得：
1
4
9
5
10
p
，
2
3
7
5
10
p
，
2
1
2
1
1
1
3
3
9
2
4
16
p
p
p
p
p
，
1
2
27 14
,
50 25
p
p
，
令
1
2
p p
t
，则
2
2
1
3
( )
3
3
3
2
4
P t
t
t
t
在27 14
,
50 25
上单调递减，
2
27
2
3
3
( )
3
50
50
4
4
P t
P
．
该同学在5 轮比赛中获得“优胜奖”的次数
~
5,
X
B
P ，
3
15
(
)
5
5
4
4
4
E X
P
，
故该同学没有希望进入决赛．
6.近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8 道谜语中一次性抽出4 道作答．小张
有6 道谜语能猜中，2 道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为�(0 < �< 1)，且猜中每道谜语与否
互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求�的取值范围．
【解题思路】（1）根据超几何分布概率公式和二项分布概率公式求概率，然后可得分布列；
（2）分别求两人猜中谜语道数的期望，根据期望列不等式即可求解.
【解答过程】（1）设小张猜中谜语的道数为�，可知随机变量�服从超几何分布，�的取值分别为2，3，4．
有��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
��
��=
�
��，��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
��
��=
�
�，��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
��
��=
�
��，
故小张猜中谜语道数的分布列为
�
2
3
4
�
�
��
�
�
�
��
设小王猜中谜语的道数为�，可知随机变量�服从二项分布�∼��, �, �的取值分别为0，1，2，3，4，
有��= �= (�−�)�，
��= �= C�
�(�−�)��= ��(�−�)�，
��= �= C�
�(�−�)���= ���(�−�)�，
��= �= C�
��−���= ����−�，
��= �= ��．
故小王猜中谜语道数的分布列为
�
0
1
2
3
4
�
(�
−�)�
��(�
−�)�
���(�
−�)�
����
−�
��
（2）由（1）可知��= �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
��= �, ��= ��，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则�> ��，可得�< �<
�
�．
模块三：综合巩固
1.将一枚均匀的硬币投掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．
【答案】11
32
【分析】本题是一个n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括
三种情况，正面出现4 次，反面出现2 次；正面出现5 次，反面出现1 次；正面出现6 次，共有三种情况，
这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，
正面出现的次数比反面出现的次数多包括
正面出现4 次，反面出现2 次；
正面出现5 次，反面出现1 次；
正面出现6 次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，
正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是
2
4
2
5
5
6
6
6
1
1
1
1
1
15
6
1
11
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
64
64
64
32
C
C
故答案为：11
32
【点睛】本题考查n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题
的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．
2.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲
队获胜的概率为2
3 ，乙队获胜的概率为1
3 ，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为
．
【答案】17
81
【分析】乙队获胜可分为乙队以3:0 或3:1或3: 2 的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起来即
可．
【详解】乙队获胜可分为乙队以3:0 或3:1或3: 2 的比分获胜．
乙队以3:0 获胜，即乙队三场全胜，概率为
3
1
1
3
27
；
乙队以3:1获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为
2
2
3
1
2
1
2
C
3
3
3
27
；
乙队以3: 2 获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为
2
2
2
4
1
2
1
8
C
3
3
3
81
．
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为1
2
8
17
27
27
81
81
．
故答案为：17
81．
3.已知离散型随机变量X 服从二项分布
~
( , )
X
B n p ，且
(
)
4
E X
，
(
)
D X
q
，则1
1
p
q
的最小值为
A．2
B．5
2
C．9
4
D．4
【答案】C
【解析】根据二项分布
~
X B n
p
，
的性质可得
E X ，
D X ，化简即4
4
p
q
，结合基本不等式即可得
到1
1
p
q
的最小值.
【详解】离散型随机变量X 服从二项分布
X
B n
p
，
，
所以有
4
E X
np
，
1
D X
q
np
p
（
，
所以4
4
p
q
，即
1
4
q
p
，（
0
p
，
0
q
）
所以1
1
1
1
4
q
p
p
q
p
q
5
5
9
2
1
4
4
4
4
4
q
p
q
p
p
q
p
q
，
当且仅当
4
2
3
q
p
时取得等号．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
4.设随机变量
~
(12,
)
X
B
p ，若
4
E X
，则
D X 的最大值为（
）
A．4
B．3
C．8
3
D．2
9
【答案】C
【分析】根据二项分布的数学期望得p 的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得
D X 的最大值.
【详解】随机变量
~
(12,
)
X
B
p ，由
4
E X
得0
12
4
p
，解得
1
0
3
p
.
2
12
1
12
12
D X
p
p
p
p
，
易知二次函数
2
12
12
y
x
x
的开口向下，对称轴为
1
2
x
，所以在
1
0, 3
上单调递增，
于是
1
3
p
时
D X 取得最大值，即最大值为
1
2
8
12
1
12 3
3
3
p
p
.
故选：C.
5.已知在10件产品中有2 件次品，现从这10件产品中任取3 件，用X 表示取得次品的件数，则
1
P X
（
）
A．
1
2
3
10
C
C
B．
1
2
2
8
3
10
C C
C
C．
2
1
3
8
3
10
C C
C
D．
1
1
2
3
3
10
C C
C
【答案】B
【分析】
根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得
1
P X
.
【详解】由题意可知，10件产品中有2 件次品，8 件正品，
从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，
1
X 表示要从2 件次品中抽取1件，从8 件正品中抽取2 件，
故
1
2
2
8
3
10
C C
1
C
P X
.
故选：B.
6.一个袋子中装有6 个红球和4 个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2 个球，其
中白球的个数为X，则X 的数学期望是（
）．
A．4
5
B．3
5
C．2
5
D．1
5
【答案】A
【分析】由题意可知X 可取0,1,2 ，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望.
【详解】由题意知
0,1,2
X
，
则
2
6
2
10
C
1
0
C
3
P X
，
1
1
6
4
2
10
C C
8
1
C
15
P X
，
2
4
2
10
C
2
2
C
15
P X
．
所以
1
8
2
4
0
1
2
3
15
15
5
E X
．故A 正确.
故选：A.
7.有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是（
）
A．N
B．
1
n
M
N
C．nM
N
D．
1
n
M
N
【答案】C
【分析】根据超几何分布的均值求解即可.
【详解】设抽到的次品数为X，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次
品数X 服从超几何分布.
∴抽到的次品数的均值
nM
E X
N
.
故选：C
8.一个不透明的袋子有10 个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6 个黑球，4 个白球.现进行
如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3 个球，记取到白球的个数为
1
X ，期望和方差分别为
1
1
,
E X
D X
；试验二：逐个有放回地随机摸出3 个球，记取到白球的个数为
2
X ，期望和方差分别为
2
2
,
E X
D X
.则下列判断正确的是（
）
A．
1
2
E X
E X
B．
1
2
E X
E X
C．
1
2
D X
D X
D．
1
2
D X
D X
【答案】D
【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3 个球、从中随机地有放回摸出3 个球的期望、方差，再做比较
可得答案.
【详解】①从中随机地无放回摸出3 个球，记白球的个数为
1
1
,
X
X
的可能取值是0,1,2,3，
则
0
3
1
2
4
6
4
6
1
1
3
3
10
10
C C
C C
1
1
0
,
1
C
6
C
2
P X
P X
2
1
3
0
4
6
4
6
1
1
3
3
10
10
C C
C C
3
1
2
,
3
C
10
C
30
P X
P X
，
故随机变量
1
X 的概率分布列为
1
X
0
1
2
3
P
1
6
1
2
3
10
1
30
则数学期望为
1
1
1
3
1
6
0
1
2
3
6
2
10
30
5
E X
，
方差为
2
2
2
2
1
6
1
6
1
6
3
6
1
14
0
1
2
3
5
6
5
2
5
10
5
30
25
D X
.
②从中随机地有放回摸出3 个球，则每次摸到白球的概率为4
2
10
5
，
则
2
2
3, 5
X
B
，故
2
2
6
3
5
5
E X
，
2
2
2
18
3
1
5
5
25
D X
，
故
1
2
1
2
,
E X
E X
D X
D X
.
故选：D.
9.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若
从这10 个数中任取3 个数，则这3 个数中至多有1 个阴数的概率为（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．2
3
【答案】A
【分析】先根据题意确定10 个数中的阳数和阴数，然后求出任取3 个数中有0 个阴数和1 个阴数的概率，
相加即可求解.
【详解】由题意知，10 个数中，1，3，5，7，9 为阳数，2，4，6，8，10 为阴数，
若任取的3 个数中有0 个阴数，则概率为
3
5
3
10
C
1
C
12
；
若任取的3 个数中有1 个阴数，则概率为
2
1
5
5
3
10
C C
5
C
12
；
故这3 个数中至多有1 个阴数的概率为
1
5
1
12
12
2
P
.
故选：A.
10.设随机变量
2
3,
,
3
X
B
p
D X
，且
1
E X ．若8 名党员中有15
2
p 名男党员，从这8 人中选4 名代
表，记选出的代表中男党员人数为Y ，则
3
P Y
（
）
A．3
7
B．4
7
C．5
7
D．6
7
【答案】A
【分析】
根据题意结合二项分布的期望和方差可得
2
3
p
，再利用超几何分布的概率公式运算求解.
【详解】
因为
2
3,
,
3
X
B
p
D X
，则
2
3
1
3
p
p
，解得
1
3
p
或
2
3
p
，
又因为
3
1
E X
p
，则
1
3
p
，可得
2
3
p
，
则15
5
2
p
．所以
3
1
5
3
4
8
C C
3
3
C
7
P Y
，
故选：A ．
11.课桌上有12 本书，其中理科书籍有4 本，现从中任意拿走6 本书，用随机变量表示这6 本书中理科
书籍的本数，则概率为
6
0
5
1
8
4
8
4
6
6
12
12
C C
C C
+
C
C
的是（
）
A．
(
1)
P
B．
(
1)
P
C．
(
1)
P
D．(
2)
P
【答案】A
【分析】
根据题设易知服从超几何分布，根据目标式对应概率的含义即可得答案.
【详解】
由题意，随机变量表示这6 本书中理科书籍的本数，且服从超几何分布，
所以
6
0
5
1
8
4
8
4
6
6
12
12
C C
C C
0
1
1
C
C
P
P
P
．
故选：A
12.设随机变量
10,
X
B
p
，且满足
2.1
D X
，
4
6
P X
P X
，则p （
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【答案】A
【分析】利用二项分布的方差公式求出p，再根据概率不等式判断作答.
【详解】因为随机变量
10,
X
B
p
，则
10
1
2.1
D X
p
p
，即
2
0.21
0
p
p
，解得
0.7
p
或
0.3
p
，
由
4
6
P X
P X
，得
6
4
4
4
6
6
10
10
C
1
C
1
p
p
p
p
，即
2
2
1
p
p
，解得1
1
2
p
，
所以
0.7
p
.
故选：A
13.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3 位的二进制数
1
2
3
A
a a a
，其中A 的各位数中，
1,2,3
k k
a
出现0 的概率为1
3 ，出现1 的概率为2
3 ．若启动一次出现的二进制数为
100
A
，则称这次试验成功．若成
功一次得2 分，失败一次得1
分，则81 次这样的独立重复试验的总得分Y 的数学期望为（
）
A．63
B．6
C．63
D．6
【答案】A
【分析】
由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其期望的性质可求.
【详解】
根据题意一次试验成功的概率为2
1
1
2
3
3
3
27
，
∴次重复试验中成功次数X 服从二项分布
2
81, 27
X
B
，
故
2
81
6
27
E X
，
总得分
2
81
3
81
Y
X
X
X
，
故
3
81
18
81
63
E Y
E X
，
故选A．
14.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互
独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．
(2
1)
160
E
X
B．
30
30
70
100
(
30)
C
(0.8) (0.2)
P X
C．
(2
1)
32
D
X
D．存在
50
k
，使得
(
)
(
100
)
P X
k
P X
k
成立
【答案】B
【分析】
根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定.
【详解】由题意可得
100,0.8
X
B
，
则
100 0.8
80,
100 0.8
1 0.8
16
E X
D X
，
所以
(2
1)
2
1
161
E
X
E X
，
2
1
4
64
D
X
D X
，故AC 错误；
由二项分布的概率公式得
30
30
70
100
(
30)
C
(0.8) (0.2)
P X
，故B 正确；
100
100
100
100
100
,
1
C
(0.8)
(0.2)
C
(0.8)
(0.2
0
)
0
k
k
k
k
k
k
P X
k
P X
k
，
若
100
P X
k
P X
k
，
则
100
100
100
100
100
C
(0.8)
(0.2)
C
(0.8)
(0.2)
k
k
k
k
k
k
，
化简得
2
100
2
100
(0.8)
(0.2)
k
k
，解得
50
k
，与条件矛盾，即D 错误.
故选：B.
15.（多选）若随机变量
1
~
6, 3
X
B
，下列说法中正确的有（
）
A．
2
4
2
6
1
2
2
C
3
3
P X
B．期望
4
3
E X
C．期望
2
1
3
E
X
D．方差
2
1
4
D
X
【答案】AC
【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A 选项；利用二项分布的期望公式可判断B 选项；利用期望
的性质可判断C 选项；利用方差的性质可判断D 选项.
【详解】因为随机变量
1
~
6, 3
X
B
，则
2
4
2
6
1
2
2
C
3
3
P X
，
1
6
2
3
E X
，
1
2
4
6
3
3
3
D X
，
由期望的性质可得
2
1
2
1
2 2 1
3
E
X
E X
，
由方差的性质可得
4
16
2
1
4
4
3
3
D
X
D X
，AC 对，BD 错.
故选：AC.
16.（多选）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3 个黑球，3 个白球，现从中任取4 个球，设这4 个
球中黑球的个数为X ，则（
）
A．X 服从二项分布
B．X 的值最小为1
C．
3
2
5
P X
D．
2
E X
【答案】BCD
【分析】
随机变量X 服从超几何分布进而否定选项A；求得随机变量X 的最小值判断选项B；求得
2
P X
的值
判断选项C；求得
E X 的值判断选项D.
【详解】
依题意知随机变量X 服从参数为6，4，3 的超几何分布，故A 错误；
X 的所有可能取值为1，2，3，所以X 的值最小为1，故B 正确；
2
2
3
3
4
6
C C
3
2
C
5
P X
，故C 正确；
3 4
2
6
nM
E X
N
，故D 正确.
故选：BCD
17.（多选）若袋子中有4 个白球，2 个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4 次，每次取一个球，取到白
球记1分，取到黑球记0 分，记4 次取球的总分数为X ，则（
）
A．
1
~
4, 3
X
B
B．
32
3
81
P X
C．
8
3
E X
D．
16
9
D X
【答案】BC
【分析】分析可知
2
~
4, 3
X
B
，可判断A 选项；利用独立重复试验的概率可判断B 选项；利用二项分布
的期望公式可判断C 选项；利用二项分布的方差公式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为4
2
6
3
，则
2
~
4, 3
X
B
，A 错；
对于B 选项，
3
3
4
2
1
32
3
C
3
3
81
P X
，B 对；
对于C 选项，
2
8
4
3
3
E X
，C 对；
对于D 选项，
2
1
8
4
3
3
9
D X
，D 错.
故选：BC.
18.（多选）为了响应国家强军强国的战略，某中学在军训中组织了射击比赛．规定每名同学有4 次射击机
会，击中一次得10 分，没击中得5
分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射击机会，每次击中的概率为
是3
4 ，每次射击相互独立．记X 为小明的得分总和，记Y 为小明击中的次数，下列结论正确的是（
）
A．
3
E Y
B．
27
3
64
P Y
C．
189
20
256
P X
D．
675
4
D X
【答案】ACD
【分析】由题可知
3
(4, )
4
Y
B
，
15
20
X
Y
，再根据二项分布的期望与方差公式一一分析即可.
【详解】对A，由题可知
3
(4, )
4
Y
B
，则
10
5(4
)
15
20
X
Y
Y
Y
，
∴
3
3
3
3
( )
4
3,
( )
4
(1
)
4
4
4
4
E Y
D Y
，故A 正确；
对B，
4
3
81
(
4)
4
256
P Y
，
81
175
3
1
(
4)
1 256
256
P Y
P Y
，故B 错误；
对C，计算易得，
1
Y 时，
5
X ；
2
Y
时，
10
X
时，
3
Y 时；
25
X
；
4
Y
时，
40
X
，所以
3
4
3
4
4
4
3
1
3
189
(
20)
(
3)
(
4)
C
C
4
4
4
256
P X
P Y
P Y
，故C 正确；
∴
2
2
3
675
(
)
15
( )
15
4
4
D X
D Y
，故D 正确.
故选：ACD.
19.（多选）一个袋子有5 个大小相同的球，其中有2 个红球，3 个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出
2 个球，记取到红球的个数为
1
X ，期望和方差分别为
1
1
,
E X
D X
；试验二：从中随机地无放回摸出2
个球，记取到红球的个数为
2
X ，期望和方差分别为
2
2
,
E X
D X
；则（
）
A．
1
2
E X
E X
B．
1
2
E X
E X
C．
1
2
D X
D X
D．
1
2
D X
D X
【答案】AC
【分析】根据条件得到
1
2
2, 5
X
，由二项分布的均值和方差公式可求出
1
1
,
E X
D X
，求出
2
X 的可能
取值，及其对应的概率，由方差和期望公式可求出
2
2
,
E X
D X
，分别比较
1
E X
，
2
E X
和
1
D X
，
2
D X
可得答案.
【详解】由题意可得
1
2
2, 5
X
，
则
1
1
2
4
2
2
12
2
,
2
1
5
5
5
5
25
E X
D X
，
由题意
2
X 可取0,1,2 ，
则
2
3
2
2
5
C
3
0
C
10
P X
，
1
1
2
3
2
2
5
C C
6
1
C
10
P X
，
2
2
2
2
5
C
1
2
C
10
P X
，
所以
2
3
6
1
4
0
1
2
10
10
10
5
E X
，
2
2
2
2
3
4
6
4
1
4
9
0
1
2
10
5
10
5
10
5
25
D X
，
所以
1
2
E X
E X
，
1
2
D X
D X
.
故选：AC.
20.（多选）某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得4 分，没踢进得0 分．小
明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为2
3 ，每次射门相互独立．记X 为小明得分总
和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（
）
A．
10
3
E
B．
4
4
5
2
2
4
C
1
3
3
P X
C．
40
3
E X
D．
49
9
D X
【答案】AC
【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可．
【详解】由题意得，
2
5, 3
，因此
2
10
5
3
3
E
，所以选项A 正确；
1
4
5
2
2
4
1
C
(1
)
3
3
P X
P
，所以选项B 不正确；
由题意得
4
X
，则
10
40
4
4
4
3
3
E X
E
E
，所以选项C 正确；
2
1
10
5
3
3
9
D
，
10
160
4
16
16
9
9
D X
D
D
，因此选项D 不正确．
故选：AC．
21.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3 个白球和m 个黑球，从中随机摸取1 个球，有放回地摸取3
次，记摸取白球的个数为X．若
9
(
)
4
E X
，则
(
2)
P X =
=
．
【答案】27
64
【分析】根据已知条件，可知X 服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出m，进而可得
2
P X
.
【详解】由题意知
3
~
3,
3
X
B
m
．
因为
9
4
E X
，所以
3
9
3
3
4
m
，解得
1
m ，
所以
2
2
3
3
1
27
2 =C
4
4
64
P X
．
故答案为：27
64 .
22.有一批产品，其中有12 件正品和4 件次品，从中有放回地任取3 件，若X 表示取到次品的次数，则
2
P X
，
D X
．
【答案】
9
64
9
16
【分析】根据题意分析可得，X 服从二项分布，所以可以用公式直接求解
2
P X
及方差
D X .
【详解】由题意得X 服从二项分布，且每次取到次品的概率为
4
1
16
4
p
，所以
1
~
3, 4
X
B
，
所以
2
2
3
3
1
9
2
C
4
4
64
P X
，
1
3
9
1
3
4
4
16
D X
np
p
．
故答案为：9
64 ；9
16 .
23.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20 道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题
答对与否相互独立．若答对一题得3 分，答错一题扣1 分，则该同学总得分的数学期望为
，方差
为
．
【答案】
28
76.8
【分析】根据题意该同学答对的题目数服从二项分布，设该同学得分为，则
4
20
，根据二项分
布的期望和方差公式结合期望、方差的性质即可求解.
【详解】设该同学答对题目的数量为，因为该同学每道题答对的概率为0.6 ，共答20 道题，
所以
~
20,0.6
B
，所以
20 0.6
12
E
，
20 0.6
1 0.6
4.8
D
．
设该同学总得分为，则
3
20
4
20
，
4
20
28
E
E
，
16
4.8 16
76.8
D
D
．
故答案为：28 ；76.8.
24.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间
留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可
能向左或向右落下，其中向左落下的概率为1
3 ，向右下落的概率为2
3 ，最后落入底部的格子中.格子从左到
右分别编号为0 ，1，2 ，...，10，则小球落入
号格子的概率最大.( 图片仅供参考)
【答案】7
【分析】
小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为1
3 ，向右下落的概率为2
3 ，归纳出小球掉入
01 2 ...10
k k ，，，，
号格子，需要向左10
k
次，向右k 次，概率为
10
10
1
2
C
3
3
k
k
k
，然后由小球落入k 号格子的概率最大，列
不等式组求解．
【详解】
小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为1
3 ，向右下落的概率为2
3 ，
小球掉入0 号格子，需要向左10次，概率为
10
1
3
，
小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，概率为
9
9
10
1
2
C
3
3
，
小球掉入2 号格子，需要向左8次，向右2 次，概率为
8
2
8
10
1
2
C
3
3
，
小球掉入3号格子，需要向左7 次，向右3次，概率为
7
3
7
10
1
2
C
3
3
，
依此类推，小球掉入
01 2 ...10
k k ，，，，号格子，需要向左10
k
次，向右k 次，
概率为
10
10
1
2
C
3
3
k
k
k
，
设小球落入k 号格子的概率最大，显然
0
k
，
10
k
，
则
10
11
1
1
10
10
10
9
1
1
10
10
1
2
1
2
C
C
3
3
3
3
1
2
1
2
C
C
3
3
3
3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
，解得19
22
3
3
k
，又k 为整数，所以
7
k
，
所以小球落入7 号格子的概率最大．
故答案为：7 ．
25. 2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林
匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥
会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了
10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过30人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从
这10所学校中随机选出3所，记X 为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这4个动作技巧进行集训，且在集训中进
行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这4 个动作中至少有3 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在
集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为2
3 ，其余每个动作达到“优秀”的概率都为1
3 ，
每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到
5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)分布列见解析，期望为3
2
(2)27 轮
【分析】（1）分析可知“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过30 人的学校共5所，X 的所有可能取
值为0 、1、2 、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求
得
E X 的值；
（2）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件A ，计算出
P A 的值，利用二项分布的期望公式可
得出关于n 的不等式，求解即可.
【详解】（1）解：“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过30人的学校共5所，X 的所有可能取值为
0 、1、2 、3 ，
所以
3
5
3
10
C
1
0
C
12
P X
，
2
1
5
5
3
10
C C
5
1
C
12
P X
，
2
1
5
5
3
10
C C
5
2
C
12
P X
，
3
5
3
10
C
1
3
C
12
P X
，
所以X 的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
1
12
5
12
5
12
1
12
所以
1
5
5
1
3
0
1
2
3
12
12
12
12
2
E X
．
（2）解：记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件A ，
2
3
3
2
3
3
3
3
3
2
1
2
1
1
2
1
5
C
C
C
3
3
3
3
3
3
3
27
P A
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布
5
, 27
B n
，
由题意可得5
5
27
n
，得到
27
n
，因为
*
N
n
，所以n 的最小值为27 ，故至少要进行27 轮测试．
26.“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过
一至四关的概率依次是5 4 3 2
,
,
,
6 5 4 3 ，女生闯过一至四关的概率依次是4 3 2 1
,
,
,
5 4 3 2 ．男生甲、乙，女生丙、丁
四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）．
(1)求甲闯过四关的概率；
(2)设随机变量
X 为该四人小组闯过四关的人数，求
E X
．
【答案】(1) 1
3
(2)16
15
【分析】
（1）由独立乘法公式即可求解；
（2）首先算出
P B 进一步结合二项分布的概率运算可得分布列以及数学期望.
【详解】（1）
记事件A 为“男生闯过四关”，则
5
4
3
2
1
6
5
4
3
3
P A
，
故甲闯过四关的概率为1
3 ．
（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
记事件B 为“女生闯过四关”，则
4
3
2
1
1
5
4
3
2
5
P B
，
2
2
1
1
64
0
1
1
3
5
225
P X
，
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
96
1
C
1
1
C
1
1
3
3
5
5
5
3
225
P X
，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
C
1
C
1
3
5
5
3
P X
1
2
2
2
1
1
1
1
52
C
1
C
1
3
3
5
5
225
，
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
12
3
C
1
C
1
3
3
5
5
5
3
225
P X
，
2
2
1
1
1
4
3
5
225
P X
，
所以
X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
64
225
96
225
52
225
12
225
1
225
64
96
52
12
1
16
0
1
2
3
4
225
225
225
225
225
15
E X
，
故
E X
的值为16
15 ．
27.中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了
解程度，某学习小组随机向该地100 位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据
如下表所示：
规定成绩在
0,60 内代表对中医药文化了解程度低，成绩在
60,100 内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100 位市民中随机抽取1 人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地41 岁~50 岁年龄段的市民中随机抽取3 人，记X 为对中医药文化了解程度
高的人数，求X 的分布列和期望.
【答案】(1) 11
20
(2)分布列见解析，
2
E X
【分析】（1）由表格得出成绩在
60,100 的人数，计算频率，即可得出答案；
（2）由表格得出41 岁~50 岁年龄段中，成绩在
0,60 内以及
60,100 内的人数，求出概率，进而得出
2
3, 3
X
B
.然后列出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）由表格可知，成绩在
60,100 的人数为9
6
22 18
55
，
所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为55
11
100
20
.
（2）根据表格可知，41 岁~50 岁年龄段中，成绩在
0,60 内的人数为2
8 10
20
，成绩在
60,100 内的
人数为22 18
40
，
则随机抽取1 人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率
40
2
60
3
P
，了解程度低的概率
20
1
1
60
3
P
.
由题意可知
2
3, 3
X
B
，则X 的可能取值为0,1,2,3，
则
3
0
3
0
1
2
1
0
C
3
3
27
P X
，
2
1
3
2
1
2
1
C
3
3
9
P X
，
2
2
3
2
1
4
2
C
3
3
9
P X
，
0
3
3
3
1
2
8
3
3
3
2
C
7
P X
，
故X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
27
2
9
4
9
8
27
所以X 的数学期望
1
2
4
8
0
1
2
3
2
27
9
9
27
E X
.
28.第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，在保持原有40 个大项目不变的前提下，
增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子
竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10 个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，
各省代表队人数如下表：
省代表队
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
电子竞技人数
45
52
24
38
57
19
26
47
34
29
霹雳舞人数
26
18
44
43
32
27
56
36
48
20
(1)从这10 支省代表队中随机抽取3 支，在抽取的3 支代表队参与电子竞技的人数均超过35 人的条件下，
求这3 支代表队参与霹雳舞的人数均超过25 人的概率；
(2)某省代表队准备进行为期3 个月的霹雳舞封闭训练，对Powermove 中的Swipe、Windmill、Air tracks、
Flare、Headspin 动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项
评分，有一个动作达到“优秀”即可得1 分．已知在一轮测试的5 个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的
概率均为2
3 ，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4 分的次数的平均值不低于8 次，
那么至少要进行多少轮测试？
【答案】(1) 2
5
(2)18 轮
【分析】（1）利用条件概率公式，结合图中表格数据与组合数的知识即可得解；
（2）先求得得分不低于4 分的概率，再根据二项分布的均值结合题意列出不等式求解即可.
【详解】（1）参与电子竞技的人数超过35 人的代表队有5 个，
在此基础上，参与霹雳舞的人数超过25 人的省代表队有4 个，
则所求概率为
3
4
3
5
C
2
C
5
；
（2）在一轮测试中，得分不低于4 分的概率为
4
5
4
5
3
C
2
2
2
112
1
3
3
3
24
，
则甲队员在集训测试中得分不低于4 分的次数服从二项分布
112
, 243
B n
，
由题意，112
8
243 n
，解得
243
14
n
，注意到
N
n
，所以
min
18
n
，
即至少要进行18 轮测试．
29.2024 年7 月18 日第30 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价
工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介
于40 至100 之间，将数据按照[40 ，50) ，[50 ，60) ，[60 ，70) ，[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 分成6
组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50 名学生成绩的中位数；
(2)在这50 名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 的三组中抽取了11 人，再
从这11 人中随机抽取3 人，记为3 人中成绩在[80 ，90) 的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在[90 ，100] 的为A 等级，成绩在[70 ，90) 的为B 等级，其它为C 等级．以样
本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100 人，其中获得B 等级的人数
设为，记B 等级的人数为k 的概率为
(
)
P
k
，写出
(
)
P
k
的表达式，并求出当k 为何值时，(
)
P
k
最
大？
【答案】(1)
0.012
m
，68
(2)分布列见解析，9
11
(3)
100
100
(
)
(0.4) (0.6)
k
k
k
P
k
C
，
0
k
，1，3，，40，40
【分析】（1）利用频率之和为1列方程，化简求得m 的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计
算出中位数.
（2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望.
（3）根据二项分布的知识求得
(
)
P
k
，由此列不等式，解不等式来求得
(
)
P
k
的最大值时对应的k 的
值.
【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，(0.004
0.022
0.03
0.028
0.004) 10
1
m
，
解得
0.012
m
，
设中位数为n ，
0.004 10
0.022 10
60
0.3
0.5
n
，解得
68
n
．
（2）
[70
，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 的三组频率之比为0.28:0.12:0.04
7:3:1
，
从[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 中分别抽取7 人，3 人，1 人，
所有可能取值为0，1，2，3，
3
8
3
11
56
(
0)
165
C
P
C
，
2
1
8
3
3
11
28
(
1)
55
C C
P
C
，
1
2
8
3
3
11
8
(
2)
55
C C
P
C
，
3
3
3
11
1
(
3)
165
C
P
C
，
故的分布列为：
0
1
2
3
P
56
165
28
55
8
55
1
165
故
56
28
8
1
9
)
0
1
2
3
165
55
55
165
1
(
1
E
．
（3）B 等级的概率为(0.028
0.012) 10
0.4
，
100
100
(
)
(0.4) (0.6)
k
k
k
P
k
C
，
0
k
，1，3，，100，
令
100
1
1
99
100
100
(0.4) (0.6)
(0.4)
(0.6)
k
k
k
k
k
k
C
C
①，
100
1
1
101
100
100
(0.4) (0.6)
(0.4)
(0.6)
k
k
k
k
k
k
C
C
②，
由①可得，
0.6
0.4
100
1
k
k
，解得
39.4
k
，由②可得，
0.4
0.6
(101
)
k
k
，解得
40.4
k
，
故
40
k
时，
(
)
P
k
取得最大．
30.2024 年3 月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全
省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民
节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x （千瓦时）时，按
平价计费，每月用电量超过标准电量x （千瓦时）时，超过部分按议价计费.随机抽取了100 户居民月均用
电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450 度，将数据按照
0,50 ，
50,100 ，…
400,450 分成9
组，制成了频率分布直方图（如图所示）.
(1)求直方图中m 的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的
值；
(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4 户，若其中不小于400（千瓦时）的有X 户居
民，求X 的分布列.
【答案】(1)
0.0030
m
(2)
290
x
(3)分布列见解析.
【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积和为1求解即可；
（2）由频率分布直方图得250
300
x
，进而得0.73
(
250) 0.0030
0.85
x
，解方程即可得答案.
【详解】（1）解：由题得50 (0.0008
0.0016
0.0040
0.0052
0.0012
0.0008
0.0004
2 )
1
m
解得
0.0030
m
.
所以直方图中m 的值为
0.0030
m
.
（2）解：由频率分布直方图得月均用电量小于250（千瓦时）的居民家庭所占百分比为：
50 (0.0008
0.0016
0.0030
0.0040
0.0052)
0.73
，
同理，88的居民用电量小于300（千瓦时）
所以250
300
x
，
所以0.73
(
250) 0.0030
0.85
x
，解得
290
x
（千瓦时）.
所以若使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准290 （千瓦时）的值
（3）解：根据频率分布直方图，样本中用电量不小于350（千瓦时）的居民共有(0.0008
0.0004) 50 100
6
（户），
不小于400（千瓦时）的有X 户居民0.0004 50 100
2
（户），
所以随机变量X 的可能取值为0,1,2 ，
4
4
4
6
1
(
0)
15
C
P X
C
，
3
1
4
2
4
6
8
(
1)
15
C
C
P X
C
，
2
2
4
2
4
6
6
2
(
2)
15
5
C
C
P X
C
，
所以随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
P
1
15
8
15
2
5
