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专练 54 二项分布、超几何分布与正态分布
授课提示：对应学生用书113页
[基础强化]
一、选择题
1．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
答案：C
解析：由正态分布的特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝＝4.
2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
答案：B
解析：∵X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，
又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，
∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.
3．设随机变量X～N(2，4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，则实数a的值为( )
A．1 B．
C．5 D．9
答案：B
解析：∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，
∴＝2，得a＝.
4．[2024·山东威海模拟]设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则p＝(
)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：∵随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，
∴，解得.故选A.
5．[2024·浙江温州适应性考试(一)]一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个
白球，2个红球，小明从中无放回地摸出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记
2分，则小明总得分ξ的数学期望等于( )
A．3.8分 B．4分
C．4.2分 D．4.4分
答案：C
解析：由题意可得，小明总得分ξ的所有可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)
＝＝＝，P(ξ＝5)＝＝.所以总得分ξ的数学期望E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝4.2(分).故选C.
6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设
X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()
A.0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
答案：B
解析：由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，
得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)0.5，
∴p＝0.6.
7．设X～N(μ ，σ)，Y～N(μ ，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中
1 2
正确的是( )
A．P(Y≥μ)≥P(Y≥μ)
2 1
B．P(X≤σ)≤P(X≤σ)
2 1
C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案：C
解析：由图可知，μ<0<μ ，σ<σ，
1 2 1 2
∴P(Y≥μ)P(X≤σ)，故B不正确；
2 1
当t为任意正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D不正确．
8．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的
概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变
量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是( )
A．游客至多游览一个景点的概率
B．P(X＝2)＝
C．P(X＝4)＝
D．E(X)＝
答案：ABD
解析：记该游客游览i个景点为事件A，i＝0，1，
i
则P(A )＝(1－)＝，
0
P(A )＝＋C··＝，
1
所以游客至多游览一个景点的概率为
P(A )＋P(A )＝＋＝，故A正确；
0 1
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；
P(X＝0)＝P(A )＝，
0P(X＝1)＝P(A )＝，
1
P(X＝2)＝×C××＋×C××＝，故B正确；
P(X＝3)＝×C××＋×C×＝，
P(X＝4)＝×＝，故C错误；
数学期望为：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确，故选ABD.
9．(多选)[2024·新课标Ⅰ卷]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并
举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，
得到推动出口后亩收入的样本均值x＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X
服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x，s2)，则(若随
机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)( )
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
答案：BC
解析：由题可得X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)μ
＋σ)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，故A错误，B正确；P(Y>2)＝P(Y>μ －σ)≈0.841 3>0.5，
1 1
故C正确，D错误．
二、填空题
10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．
答案：
解析：∵∴1－p＝，
∴p＝.
11．随机变量X～N(3，σ2)，且P(06)＝________．
答案：0.15
解析：∵X～N(3，σ2)，
∴P(X<3)＝0.5.
又P(06)＝P(X<0)＝0.15.
12．在我校高三高考调研中，数学成绩 X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示
P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成
绩高于120分的有________人．
答案：78
解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对称，又P(60≤X≤120)＝0.8，
∴P(X>120)＝＝0.1，
∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．
[能力提升]
13．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，
发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技
术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种
植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为f(x)＝
·e－，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)之间的概率一样大
答案：AC
解析：正态分布密度函数为 f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，由题意知μ＝100，σ2＝
100，所以该地水稻的平均株高为100 cm，方差为100，故A正确；B错误；因为正态分布
密度曲线关于直线 x＝100 对称，所以 P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故 C 正确；
P(100P(801 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b，则＋的最小值为________．
答案：32
解析：由ξ～N(1 000，σ2)，P(ξ>1 200)＝a，P(800<ξ<1 000)＝b得a＝0.5－b，所以a＋
b＝，则＋＝2(a＋b)＝2(10＋＋)≥2(10＋2)＝32，当且仅当即时取等号，所以＋的最小值为
32.
16．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．
现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取
出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望E(X)＝________．
答案：
解析：现从5个小球中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C＝10，其中恰有2个小
球颜色相同包含的基本事件个数m＝CC＝3，恰有2个小球颜色相同的概率是p＝＝.X的
所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×
＋2×＝.
