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7.4 二项分布与超几何分布（精练）
【题组一 二项分布】
1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为 ，现有 位患有该病的患者
服用了这种药物， 位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有 位患者被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知 位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为 ，则不被治愈的概率为
所以 位患者中恰有1为患者被治愈的概率为 故选：B
2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X服从二项分布，即 ，且 ，
，则二项分布的参数n，p的值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】随机变量X服从二项分布，即 ，且 ， ，
可得 ， ，解得 ， ，故选：D.
3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进
一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为
（ ）.
A．60，24 B．80，120 C．80，24 D．60，120
【答案】D【解析】设该同学 次罚篮，命中次数为 ，则 ，
所以 ， ，
所以该同学得分 的期望为 ，
方差为 .故选：D
4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的 个白球和 个黑球的布袋中随
机摸取一球，有放回地摸取 次，设摸得黑球的个数为 ，已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得出 ，即
所以 故选C
5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B ，则P(ξ＝k)最大时，k的值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】AB
【解析】依题意 ，k=0，1，2，3，4，5.
可以求得P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= ，P(ξ=3)= ，P(ξ=4)= ，P(ξ=5)=.故当k=2或1时，P(ξ=k)最大.故选：AB.．
6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男
生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图 小数点前一位数字为茎，小数
点的后一位数字为叶 ，如图，若跑步时间不高于 秒，则称为“好体能”.
（1）写出这组数据的众数和中位数；
（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生 人数众多 任取3人，记X表
示抽到“好体能”学生的人数，求X的分布列
【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2） ；（3）分布列见解析；
【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；
（2）设至少有2人是“好体能”的事件为 ，则事件 包含得基本事件个数为； 总的基本事
件个数为 ，
（3） 的可能取值为0，1，2，3，
由于该校男生人数众多，故 近似服从二项分布
，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
7．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测
120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成 这6组，得到如图
所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，
1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，
1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．
（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m、n、t的值；
（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在 的人数求X的
分布列和数学期望．
【答案】（1） ， ， ；（2）分布列见详解；2.1.
【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为
记 为学生身高，则
所以 ， ， ；
（2）由（1）知学生身高在 的概率
随机变量 服从二项分布
则
所以 的分布列为
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，
若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有
6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.
方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元
的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返
金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.
（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X，求X的分布列；
（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断
应该选择哪种抽奖方案更合适.
【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为 （元），方案二数学期望为100（元）；方案一.
【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为 ，抽到白球的概率为 ，
依题意，X的取值可能为90，110，130，150.
且 ，
，
其分布列为
X 90 110 130 150
p
（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为
（元），
选择方案二时，设摸到红球的次数为Y，最终可能获得返金券金额为Z元，
由题意可知， ，得
由 可知，该顾客应该选择方案一抽奖.
【题组二 超几何分布】
1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数为 ，求 的数学期望；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为 ，可能取值为：0，1，2，3，
所以 ，
，
，
．
所以 的数学期望 .
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件 ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件
，“恰好取出2个红球”为事件 ，“恰好取出3个红球”为事件 ，
而 ，
，
，
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：．
2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活
动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10
名员工的捐款数额如下表：
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
捐款数额 120 80 215 50 130 195 300 90 200 225
（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；
（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为 ，求 的分布列
和数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析， .
【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人
故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：
（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，
则随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
则 的分布列为
0 1 2 3；
（用超几何分布公式 计算同样得分）
3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的
监测数据，整理得如下表格：
空气质量指数 优 良好 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 5 8 4
空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级
用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.
（1）求 ， 的值；
（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少
天的空气质量指数为优？
（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为 ，
求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ， .（2）61天（3）见解析
【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的
天数为总天数的 ，所以5+a=15，8+4+b=15，可得 ， .
（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为 ，
则一年中空气质量指数为优的天数约为 .
（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，
所以 的可能取值为0，1，2，3，4，
， ，
， ，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
故 .
4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2
个球，设随机变量 为取得红球的个数.
（1）求 的分布列；
（2）求 的数学期望 和方差 .
【答案】（1）详见解析（2） ，
【解析】（1） 的取值为0,1,2.
，
，，
则 的分布列为：
0 1 2
（2） ，
.
5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩
短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，
珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过
70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人
次的最高纪录.
2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下
（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.
②求客流量的中位数.
（2）设这100天中客流量超过5万人次的有 天，从这 天中任取两天，设 为这两天中客流量超过7万
人的天数.求 的分布列和期望．
【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，【解析】（1）①平均值为
②设中位数为 ，则
解得中位数为
（2）可知 其中超过7万人次的有5天
0 1 2
所以
6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的 个红球和 个黑球，乙盒内有大小相同的 个红球和
个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 个球．
（1）求取出的 个球中恰有 个红球的概率；
（2）设 为取出的 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】（1）记事件 取出的 个球中恰有 个红球，事件 取出的 个球中唯一的红球取自于甲盒，
事件 取出的 个球中唯一的红球取自于乙盒，则 ，且事件 与 互斥，
由互斥事件的概率公式可得 ，
因此，取出的 个球中恰有 个红球的概率为 ；
（2）由题意知随机变量 的可能取值为 、 、 、 ， ，
， ， .
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
因此，随机变量 的数学期望为 .
7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随
机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．
(1)求甲选手能晋级的概率；
(2)若乙选手每题能答对的概率都是 ，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的
答题水平．
【答案】（1） ；（2）乙选手比甲选手的答题水平高
【解析】解法一：（1）记“甲选手答对 道题”为事件 ， ，“甲选手能晋级”为事件 ，则
．；
（2）设乙选手答对的题目数量为 ，则 ，故 ，
设甲选手答对的数量为 ，则 的可能取值为 ，
， ， ，
故随机变量 的分布列为
所以， ，则 ，
所以，乙选手比甲选手的答题水平高；
解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件 ，则 ；
（2）同解法二．
8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A、B、C
三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节
目．
（1）求3个人来自两个不同专业的概率；
（2）设X表示取到B专业的人数，求X的分布列．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】 令事件A表示“3个来自于两个不同专业”，
表示“3个人来自于同一个专业”，表示“3个人来自于三个不同专业”，
，
，
个人来自两个不同专业的概率： ．
随机变量X有取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】
1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 是指大气中直径小于或等于 微米的颗粒物，也称为可吸
入肺颗粒物.我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在35微克/立方米以下空
气质量为一级；在35微克/立方米 微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 监测数据中随机的抽取15天的数
据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.
（1）在这15天的 日均监测数据中，求其中位数；
（2）从这15天的数据中任取2天数据，记 表示抽到 监测数据超标的天数，求 的分布列及数学
期望；
（3）以这15天的 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有
多少天的空气质量达到一级或二级.
【答案】（1）45；（2）分布列见解析， ；（3）219.
【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.
（2）依据条件， 服从超几何分布：
其中 ， ， ， 的可能值为 ，
， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2P
.
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 ，
一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，
则 ， ，
∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.
2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会
6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中
国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最
后一个参赛名额要在A，B两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问
题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答
每个问题的概率均为 ，A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求A恰好答对两个问题的概率；
（2）求B恰好答对两个问题的概率；
（3）设A答对题数为X，B答对题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【答案】(1) ;(2) ；(3)选择A.
【解析】(1) A恰好答对两个问题的概率为 ；
(2) B恰好答对两个问题的概率为 ；(3) X所有可能的取值为1,2,3. ， ，
，所以 ，
；
而 ， ， ，
所以 ， ，
可见，A与B的平均水平相当，但A比B的成绩更稳定.
所以选择投票给学生A.
3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做
如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得
0分.
（1）求拿2次得分不小于1分的概率；
（2）拿4次所得分数 的分布列和数学期望
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 .
【解析】(1)一次拿到奇数的概率 ，
所以拿2次得分为0分的概率为
所以拿2次得分不小于1分的概率为
（2） 可以取值：0，1，2，3，4所以
分布列
0 1 2 3 4
满足二项分布概率
4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人
的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘
制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺
炎的可能性较低．
（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记 表示成绩优良的人数，求 的分布列及数学期望；
（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到 人的成绩是优良的可能性最大，求 的值．
【答案】（Ⅰ）分布列见解析； ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良， 可能的取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
数学期望 ；
（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数 ，
所以 ， ，
令 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以当 时，抽到 人的成绩是优良的可能性最大.
