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12.3 二项分布与正态分布
考点清单
学生用书P105 知识结构化 考点清单化
考点一 条件概率与全概率公式、相互独立事 二项分布
(２)
一般地 在ｎ重伯努利试验中 设每次试验中事件Ａ发生的概
件及二项分布 ꎬ ꎬ
率为ｐ ｐ 用Ｘ表示事件Ａ发生的次数 则Ｘ的分布列
(０< <１)ꎬ ꎬ
１.条件概率及性质 为Ｐ ( Ｘ ＝ ｋ )＝Ｃ ｋ ｎ ｐｋ (１－ ｐ ) ｎ － ｋ ( ｋ ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬꎬ ｎ ) .如果随机变量Ｘ
一般地 设Ａ Ｂ为两个随机事件 且Ｐ Ａ 称Ｐ Ｂ Ａ
(１) ꎬ ꎬ ꎬ ( )>０ꎬ ( ｜ )＝ 的分布列具有上式的形式 则称随机变量Ｘ服从二项分布 记
ꎬ ꎬ
Ｐ ＡＢ
( )为在事件Ａ发生的条件下 事件Ｂ发生的条件概率 简 作Ｘ Ｂ ｎ ｐ .
Ｐ Ａ ꎬ ꎬ ~ ( ꎬ )
( ) ５.二项分布的均值与方差
称条件概率.
若Ｘ Ｂ ｎ ｐ 则Ｅ Ｘ ｎｐ Ｄ Ｘ ｎｐ ｐ .
条件概率的性质 ~ ( ꎬ )ꎬ ( )＝ ꎬ ( )＝ (１－ )
(２) 考点二 正态分布
设Ｐ Ａ 则
( )>０ꎬ
Ｐ Ω Ａ . １.正态曲线及其特点
① ( ｜ )＝１
如果Ｂ和Ｃ是两个互斥事件 则 Ｐ Ｂ Ｃ Ａ Ｐ Ｂ Ａ 正态曲线
② ꎬ ( ∪ ｜ )＝ ( ｜ )＋ (１)
Ｐ Ｃ Ａ . ( ｘ － μ )２
(
设Ｂ
｜
和
)
Ｂ互为对立事件 则Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ .
函数ｆ
(
ｘ
)＝
１
σｅ
－ ２σ２
ꎬ
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ
其中实数μ和σ
(
σ
>０)
为
③ ꎬ ( ｜ )＝１－ ( ｜ ) ２π
概率的乘法公式
参数 称它的图象为正态分布密度曲线 简称正态曲线.
ꎬ ꎬ
(３)
正态曲线的特点
对任意两个事件Ａ与Ｂ 若Ｐ Ａ 则Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ .
ꎬ ( )>０ꎬ ( )＝ ( ) ( ｜ ) (２)
２.全概率公式
曲线位于ｘ轴上方且与ｘ轴不相交
① ꎻ
设Ａ １ꎬ Ａ ２ꎬꎬ Ａ ｎ 是一组两两互斥的事件 ꎬ Ａ １∪ Ａ ２∪∪ Ａ ｎ＝ Ω ꎬ ②
曲线是单峰的
ꎬ
它关于直线ｘ
＝
μ对称
ꎻ
且Ｐ ｎ ( Ａ ｉ)>０ꎬ ｉ ＝１ꎬ２ꎬꎬ ｎ ꎬ 则对任意的事件Ｂ ⊆ Ω ꎬ 有Ｐ ( Ｂ ) ③ 曲线在ｘ ＝ μ处达到峰值 σ １ ꎻ
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ａ . ２π
＝ ∑ｉ＝
１
( ｉ) ( ｜ ｉ)
④
曲线与ｘ轴之间的面积为
１ꎻ
３.相互独立事件的概率 当σ一定时 曲线的位置由μ确定 曲线随着μ的变化而沿
⑤ ꎬ ꎬ
对于事件Ａ Ｂ 若Ａ的发生与Ｂ的发生互不影响 则称Ａ Ｂ ｘ轴平移
(１) 、 ꎬ ꎬ 、 ꎻ
是相互独立事件. 当μ一定时 曲线的形状由σ确定 σ越小 曲线越 瘦高
⑥ ꎬ ꎬ ꎬ “ ”ꎻ
若Ａ与Ｂ相互独立 则Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ Ｐ Ｂ Ａ σ越大 曲线越 矮胖 .
(２) ꎬ ( ｜ )＝ ( )ꎬ ( )＝ ( ｜ ) ꎬ “ ”
Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ . ２.正态分布
( )＝ ( ) ( )
若 Ａ 与 Ｂ 相互独立 则 Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｂ 也都相互 正态分布的定义及表示
(３) ꎬ ꎬ ꎬ (１)
独立. 若随机变量Ｘ的概率分布密度函数为ｆ ｘ 则称随机变量Ｘ
( )ꎬ
若Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 则Ａ与Ｂ相互独立. 服从正态分布 记为Ｘ Ｎ μ σ２ .特别地 当μ σ 时 称
(４) ( )＝ ( ) ( )ꎬ ꎬ ~ ( ꎬ ) ꎬ ＝０ꎬ ＝１ ꎬ
４.ｎ重伯努利试验与二项分布 随机变量Ｘ服从标准正态分布.
ｎ重伯努利试验 正态分布的三个常用数据
(１) (２)
定义 将一个伯努利试验独立地重复进行ｎ次所组成的随机 Ｐ μ σ Ｘ μ σ .
① : ① ( － ≤ ≤ ＋ )≈０６８２７ꎻ
试验称为ｎ重伯努利试验. Ｐ μ σ Ｘ μ σ .
② ( －２ ≤ ≤ ＋２ )≈０９５４５ꎻ
用Ａ ｉ ｎ 表示第ｉ 次试验结果 则Ｐ Ａ Ａ Ａ Ｐ μ σ Ｘ μ σ . .
② ｉ( ＝１ꎬ２ꎬꎬ ) ꎬ ( １ ２ ｎ)＝ ③ ( －３ ≤ ≤ ＋３ )≈０９９７３
Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ .
( １) ( ２) ( ｎ)
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ４４
题型方法
学生用书P106 题型经典 方法实用
一、求条件概率的方法 全概率公式的意义在于 当直接计算事件Ｂ发生的概率Ｐ Ｂ
ꎬ ( )
１.求条件概率的 种方法 较为困难时 可以先找到样本空间Ω的一个划分 Ａ Ａ ３ ꎬ ＝ １∪ ２∪
Ｐ ＡＢ Ａ Ａ Ａ Ａ 两两互斥 将Ａ Ａ Ａ 看成是导致Ｂ发
定义法 先求 Ｐ Ａ 和 Ｐ ＡＢ 再由 Ｐ Ｂ Ａ ( )求 ∪ ｎꎬ １ꎬ ２ꎬꎬ ｎ ꎬ １ꎬ ２ꎬꎬ ｎ
(１) : ( ) ( )ꎬ ( ｜ )＝ Ｐ Ａ 生的一组原因 这样事件Ｂ就被分解成了ｎ个部分 分别计算
( ) ꎬ ꎬ
Ｐ Ｂ Ａ . Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ａ 再利用全概率公式求解.
( ｜ ) ( ｜ １)ꎬ ( ｜ ２)ꎬꎬ ( ｜ ｎ)ꎬ
样本点个数法 借助古典概型概率公式 先求事件Ａ包含 运用全概率公式计算事件Ｂ发生的概率Ｐ Ｂ 时 一般步骤如下
(２) : ꎬ ( ) ꎬ :
的样本点个数ｎ Ａ 再求事件ＡＢ包含的样本点个数ｎ ＡＢ 求划分后的每个小事件的概率 即Ｐ Ａ ｉ ｎ
( )ꎬ ( )ꎬ (１) ꎬ ( ｉ)ꎬ ＝１ꎬ２ꎬꎬ ꎻ
ｎ ＡＢ 求每个小事件发生的条件下 事件Ｂ发生的概率 即Ｐ Ｂ
得Ｐ Ｂ Ａ ( ). (２) ꎬ ꎬ ( ｜
( ｜ )＝ ｎ Ａ Ａ ｉ ｎ
( ) ｉ)ꎬ ＝１ꎬ２ꎬꎬ ꎻ 缩样法 去掉第一次抽到的情况 只研究剩下的情况 用古 ｎ
(３) : ꎬ ꎬ 利用全概率公式计算Ｐ Ｂ 即Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ｜ Ａ .
典概型概率公式求解. (３) ( )ꎬ ( )＝ ∑ｉ＝ ( ｉ) ( ｉ)
１
２.全概率公式的应用 例1 甲 乙 丙 丁四名同学报名参加假期社区服务活动
(１) 、 、 、 ꎬ
社区服务活动共有关怀老人 环境监测 教育咨询 交通宣传四
、 、 、 ３ ２ １ １
个项目 每人限报其中一项 记事件Ａ为 名同学所报项目各 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ꎬ ꎬ “４ ４ ３ ３ ４
不相同 事件 Ｂ 为 只有甲同学一人报关怀老人项目 则 某项羽毛球单打比赛规则是 局 胜 运动员甲和乙进入
”ꎬ “ ”ꎬ (２) ３ ２ ꎬ
Ｐ Ａ Ｂ
( ｜ )＝ ( ) 了男子羽毛球单打决赛 假设甲每局获胜的概率为 ２ 则由此
ꎬ ꎬ
１ ３ ２ ５ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 估计甲获得冠军的概率为 .
４ ４ ９ ９
有一批产品是由甲 乙 丙三厂同时生产的 其中甲厂产品 解析 由随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ ｎ ｐ Ｅ Ｘ
(２) 、 、 ꎬ (１) ( ꎬ )ꎬ ( )＝２ꎬ
占 ％ 乙厂产品占 ％ 丙厂产品占 ％ 甲厂产品正品率
{ｎｐ
５０ ꎬ ３０ ꎬ ２０ ꎬ ＝２ꎬ
为 ％ 乙厂产品正品率为 ％ 丙厂产品正品率为 ％ 如 Ｄ Ｘ ４ 可得 解得ｐ １ 故选 .
９５ ꎬ ９０ ꎬ ８５ ꎬ ( )＝ ꎬ ｎｐ ｐ ４ ＝ ꎬ Ｃ
果从这批产品中随机抽取一件 则该产品是正品的概率 ３ (１－ )＝ ꎬ ３
ꎬ ３
为 . 甲获胜的方式有 和 两种 则甲获得冠军的概率
(２)
( )
２ ∶ ０ ２ ∶ １ ꎬ
解析
(１)
由已知有Ｐ
(
Ｂ
)＝
３
４
３
＝
２７
ꎬ
Ｐ
(
ＡＢ
)＝
Ａ
４
３ ３
＝
３
ꎬ
所 Ｐ ＝
３
２ ２ ＋Ｃ １ ２×
３
２ ×
３
１ ×
３
２ ＝
２
２
７
０.
４ ２５６ ４ １２８
Ｐ ＡＢ 答案 Ｃ ２０
以Ｐ Ａ Ｂ ( ) ２ 故选 . (１) (２)
( ｜ )＝ Ｐ Ｂ ＝ ꎬ Ｃ ２７
( ) ９ 三、正态分布区间与性质的应用
设Ａ Ｂ Ｃ分别表示抽得产品是甲厂 乙厂 丙厂生产的 Ｄ
(
表
２
示
)
抽得
ꎬ
产
ꎬ
品为正品
、 、 ꎬ １.对于正态分布Ｎ
(
μ
ꎬ
σ２
)ꎬ
由ｘ
＝
μ是正态曲线的对称轴知
ꎬ Ｐ Ｘ μ Ｐ Ｘ μ .
则由已知 可知Ｐ Ａ ％ Ｐ Ｂ ％ Ｐ Ｃ ％ (１) ( ≥ )＝ ( ≤ )＝０５ꎻ
ꎬ ( )＝５０ ꎬ ( )＝３０ ꎬ ( )＝２０ ꎬ 对任意的ａ有Ｐ Ｘ μ ａ Ｐ Ｘ μ ａ
Ｐ Ｄ Ａ ％ Ｐ Ｄ Ｂ ％ Ｐ Ｄ Ｃ ％ (２) ( < － )＝ ( > ＋ )ꎻ
( ｜ )＝９５ ꎬ ( ｜ )＝９０ ꎬ ( ｜ )＝８５ ꎬ Ｐ Ｘ ｘ Ｐ Ｘ ｘ
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到 : Ｐ ( Ｄ ) (３) Ｐ ( ａ < Ｘ ０) ｂ ＝１－ Ｐ ( Ｘ ≥ ｂ ０ Ｐ )ꎻ Ｘ ａ .
(４) ( < < )＝ ( < )－ ( ≤ )
＝ Ｐ ( Ｄ ｜ Ａ ) Ｐ ( Ａ )＋ Ｐ ( Ｄ ｜ Ｂ ) Ｐ ( Ｂ )＋ Ｐ ( Ｄ ｜ Ｃ ) Ｐ ( Ｃ )＝ ９５ × ５０ ＋ ２.服从Ｎ ( μ ꎬ σ２ ) 的随机变量Ｘ在某个区间内取值的概率的求法 :
１００ １００
利用Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ
(１) ( － < ≤ ＋ )ꎬ ( －２ < ≤ ＋２ )ꎬ ( －３ <
９０ ３０ ８５ ２０ . .
× ＋ × ＝０９１５ μ σ 的值直接求
１００ １００ １００ １００ ≤ ＋３ ) ꎻ
答案 Ｃ . 充分利用正态曲线的对称性和曲线与ｘ轴之间的面积为
(１) (２)０９１５ (２) １
二、ｎ重伯努利试验及二项分布问题的求解方法 这些特殊性质求解.
１.ｎ重伯努利试验与二项分布的判断 例3 设随机变量ξ服从正态分布Ｎ 若Ｐ ξ ａ
(１) (３ꎬ４)ꎬ ( <２ －３)
ｎ重伯努利试验满足的条件 在同样的条件下重复进行 Ｐ ξ ａ 则ａ的值为
(１) :① ꎻ ＝ ( > ＋２)ꎬ ( )
各次试验之间相互独立.
② ７ ５
二项分布模型的确定 Ａ. Ｂ. Ｃ.５ Ｄ.３
(２) ３ ３
一般地 确定一个二项分布模型的步骤如下 在我市的高三期末考试中 全理科学生的数学成绩 Ｘ
ꎬ : (２) ꎬ ~
明确伯努利试验及事件 Ａ 的意义 确定事件 Ａ 发生的概 Ｎ σ２ 已知Ｐ Ｘ . 则从全市全理科学生
① ꎬ (９０ꎬ )ꎬ (７０≤ ≤９０)＝ ０ ３５ꎬ
率ｐ 中任选一名 他的数学成绩小于 分的概率为 .
ꎻ ꎬ １１０
确定重复试验的次数ｎ 并判断各次试验的独立性 解析 随机变量ξ服从正态分布Ｎ Ｐ ξ ａ
② ꎬ ꎻ (１)∵ (３ꎬ４)ꎬ ( <２ －
设Ｘ为ｎ次独立重复试验中事件Ａ发生的次数 则Ｘ Ｂ ｎ Ｐ ξ ａ ｘ ａ 与 ｘ ａ 关于 ｘ 对称
③ ꎬ ~ ( ꎬ ３)＝ ( > ＋２)ꎬ∴ ＝２ －３ ＝ ＋２ ＝３ ꎬ
ｐ .
) ａ ａ ａ ａ ７ 故选 .
∴２ －３＋ ＋２＝６ꎬ∴３ ＝７ꎬ∴ ＝ ꎬ Ａ
２.ｎ重伯努利试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率求法 ３
ｎ重伯努利试验中事件Ａ恰好发生ｋ次可看作 Ｃ ｋ ｎ 个互斥事件 (２)∵ Ｘ ~ Ｎ (９０ꎬ σ２ )ꎬ∴ μ ＝９０ꎬ 即正态曲线关于直线ｘ ＝９０ 对
称. Ｐ Ｘ .
的和 其中每一个事件都可看作ｋ个Ａ事件与 ｎ ｋ 个Ａ事件 ∵ (７０≤ ≤９０)＝０３５ꎬ
ꎬ ( － ) Ｐ Ｘ . Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
同时发生 只是发生的次序不同 其发生的概率都是 ｐｋ ∴ (９０< <１１０)＝０ ３５ꎬ∴ ( ≥１１０)＝ ( ≥９０)－ (９０< <
ꎬ ꎬ (１－ . . . 则Ｐ Ｘ . . .
ｐ ｎ － ｋ 其中ｐ为在一次试验中事件Ａ发生的概率 .因此 ｎ重 １１０)＝０５－０３５＝０１５ꎬ ( <１１０)＝１－０１５＝０８５
) ( ) ꎬ 答案 Ａ .
伯努利试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率为 Ｃ ｋ ｎ ｐｋ (１－ ｐ ) ｎ － ｋ. (１) (２)０８５
例2 已知随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ ｎ ｐ .若Ｅ Ｘ
(１) ( ꎬ ) ( )＝２ꎬ
Ｄ Ｘ ４ 则ｐ
( )＝ ꎬ ＝ ( )
３
第
十
二
章
概
率
与
统
计
２ ４５
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 条件概率与全概率公式、相互独立 丙比赛获胜的概率分别为ｐ ｐ ｐ 且ｐ ｐ ｐ .记该棋手
１ꎬ ２ꎬ ３ꎬ ３> ２> １>０
事件及二项分布 连胜两盘的概率为ｐ 则 学生用书P281 ꎬ ( )
ｐ与该棋手和甲 乙 丙的比赛次序无关
１.(２０２２全国乙理ꎬ１０ꎬ５分ꎬ应用性)某棋手与甲 乙 丙三位棋 Ａ. 、 、
、 、 该棋手在第二盘与甲比赛 ｐ最大
手各比赛一盘 各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲 乙 Ｂ. ꎬ
ꎬ 、 、 该棋手在第二盘与乙比赛 ｐ最大
Ｃ. ꎬ
该棋手在第二盘与丙比赛 ｐ最大
不够良好 良好
Ｄ. ꎬ
答案 Ｄ
病例组
２.(２０１５课标 ꎬ４ꎬ５分ꎬ应用性)投篮测试中 每人投 次 至 ４０ ６０
Ⅰ ꎬ ３ ꎬ 对照组
少投中 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率 １０ ９０
２
为 . 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的 能否有 ％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体
０ ６ꎬ ꎬ (１) ９９
概率为 的卫生习惯有差异
( ) ?
. . . . 从该地的人群中任选一人 Ａ表示事件 选到的人卫生习
Ａ.０６４８ Ｂ.０４３２ Ｃ.０３６ Ｄ.０３１２ (２) ꎬ “
答案 Ａ Ｐ Ｂ Ａ
惯不够良好 Ｂ表示事件 选到的人患有该疾病 ( ｜ )与
３.(２０１４课标 ꎬ５ꎬ５分ꎬ应用性)某地区空气质量监测资料表 ”ꎬ “ ”ꎬ Ｐ Ｂ Ａ
Ⅱ ( ｜ )
明 一天的空气质量为优良的概率是 . 连续两天为优良的
ꎬ ０７５ꎬ Ｐ Ｂ Ａ
( ｜ )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一
概率是 . 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质
０６ꎬ ꎬ Ｐ Ｂ Ａ
量为优良的概率是 ( ｜ )
( ) 项度量指标 记该指标为Ｒ.
. . . . ꎬ
Ａ.０８ Ｂ.０７５ Ｃ.０６ Ｄ.０４５ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
答案 Ａ 证明 Ｒ ( ｜ ) ( ｜ )
(ｉ) : ＝ ꎻ
４.(２０２１新高考 ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)有 个相同的球 分别标有 Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
Ⅰ ６ ꎬ ( ｜ ) ( ｜ )
数字 从中有放回地随机取两次 每次取 个球. 利用该调查数据 给出Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ 的估计值 并利用
１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ ꎬ １ (ｉｉ) ꎬ ( ｜ )ꎬ ( ｜ ) ꎬ
甲表示事件 第一次取出的球的数字是 乙表示事件 第二 的结果给出Ｒ的估计值.
“ １”ꎬ “ (ｉ)
次取出的球的数字是 丙表示事件 两次取出的球的数字之 ｎ ａｄ ｂｃ ２
２”ꎬ “ 附 Ｋ２ ( － )
和是 丁表示事件 两次取出的球的数字之和是 则 : ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ꎬ
８”ꎬ “ ７”ꎬ ( ＋ )( ＋ )( ＋ )( ＋ )
( ) Ｐ Ｋ２ ｋ . . .
甲与丙相互独立 甲与丁相互独立 ( ≥ ) ００５０ ００１０ ０００１ .
Ａ. Ｂ. ｋ . . .
乙与丙相互独立 丙与丁相互独立 ３８４１ ６６３５ １０８２８
Ｃ. Ｄ.
答案 Ｂ ( )２
解析 ( )由题中数据可知Ｋ２ ２００× ４０×９０－１０×６０
５.(２０１８课标 理ꎬ８ꎬ５分ꎬ应用性)某群体中的每位成员使用 １ ＝ ＝２４
Ⅲ １００×１００×５０×１５０
移动支付的概率都为ｐ 各成员的支付方式相互独立.设Ｘ为 . ꎬ所以有 ％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群
ꎬ >６６３５ ９９
该群体的 位成员中使用移动支付的人数 Ｄ Ｘ . Ｐ Ｘ 体的卫生习惯有差异.
１０ ꎬ ( )＝ ２ ４ꎬ (
Ｐ Ｘ 则ｐ Ｐ(Ｂ Ａ) Ｐ(Ｂ Ａ) Ｐ(ＡＢ) Ｐ(Ａ)
＝４)< ( ＝６)ꎬ ＝ ( ) ( )( )证明:因为Ｒ ｜ ｜
. . . . ２ ｉ ＝ ＝ Ｐ(Ａ)
Ａ.０７ Ｂ.０６ Ｃ.０４ Ｄ.０３ Ｐ(Ｂ Ａ) Ｐ(Ｂ Ａ) Ｐ(ＢＡ)
答案 Ｂ ｜ ｜
Ｐ(ＢＡ) Ｐ(Ａ) Ｐ(ＡＢ)Ｐ(ＢＡ)
６.(２０１５广东ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)已知随机变量 Ｘ 服从二项分 ꎬ
＝
Ｐ(Ａ) Ｐ(ＢＡ) Ｐ(ＢＡ)Ｐ(ＢＡ)
布Ｂ ｎ ｐ .若Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ 则ｐ .
( ꎬ ) ( )＝３０ꎬ ( )＝２０ꎬ ＝
Ｐ(Ａ Ｂ) Ｐ(Ａ Ｂ) Ｐ(ＡＢ) Ｐ(Ｂ) Ｐ(ＡＢ) Ｐ(Ｂ)
答案 １ 且 ｜ ｜
Ｐ(Ａ Ｂ) Ｐ(Ａ Ｂ)
＝ Ｐ(Ｂ)
Ｐ(ＡＢ) Ｐ(Ｂ) Ｐ(ＡＢ)
３ ｜ ｜
７.(２０２０天津ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)已知甲 乙两球落入盒子的概
、 Ｐ(ＡＢ)Ｐ(ＡＢ)
ꎬ
率分别为 １ 和 １ .假定两球是否落入盒子互不影响 则甲 乙 ＝ Ｐ(ＡＢ)Ｐ(ＡＢ)
ꎬ 、
２ ３
两球都落入盒子的概率为 甲 乙两球至少有一个落 Ｐ(Ａ Ｂ) Ｐ(Ａ Ｂ)
ꎻ 、 所以Ｒ ｜ ｜ .
入盒子的概率为 . ＝ Ｐ(Ａ Ｂ) Ｐ(Ａ Ｂ)
｜ ｜
答案 １ ꎻ２ ( )由题表中数据可知Ｐ(Ａ Ｂ) ４０ ２ ꎬＰ(Ａ Ｂ) １０ １ ꎬ
ｉｉ ｜ ＝ ＝ ｜ ＝ ＝
６ ３ １００ ５ １００ １０
８.(２０１９课标 理ꎬ１５ꎬ５分ꎬ应用性)甲 乙两队进行篮球决赛
Ⅰ 、 ꎬ Ｐ(Ａ Ｂ) ６０ ３ ꎬＰ(Ａ Ｂ) ９０ ９ ꎬ
采取七场四胜制 当一队赢得四场胜利时 该队获胜 决赛结 ｜ ＝ ＝ ｜ ＝ ＝
( ꎬ ꎬ １００ ５ １００ １０
束 .根据前期比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客
) ꎬ “ ２ ９
主客主 ” .设甲队主场取胜的概率为 ０ . ６ꎬ 客场取胜的概率为 所以Ｒ Ｐ(Ａ ｜ Ｂ) Ｐ(Ａ ｜ Ｂ) ５ １０ .
年 . 且各场比赛结果相互独立 则甲队以 获胜的概 ＝ Ｐ(Ａ Ｂ) Ｐ(Ａ Ｂ) ＝ ３ × １ ＝６
高 ０５ꎬ ꎬ ４ ∶ １ ｜ ｜
考 率是 . ５ １０
１１.(２０２２新高考 ꎬ１９ꎬ１２分ꎬ应用性)在某地区进行流行病学
答案 . Ⅱ
年 ０１８ 调查 随机调查了 位某种疾病患者的年龄 得到如下的样
９.(２０１７课标 理ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ基础性)一批产品的二等品率为 ꎬ １００ ꎬ
模 Ⅱ 本数据的频率分布直方图
拟 . 从这批产品中每次随机取一件 有放回地抽取 次 Ｘ :
００２ꎬ ꎬ １００ ꎬ
表示抽到的二等品件数 则Ｄ Ｘ .
ꎬ ( )＝
答案 .
１９６
１０.(２０２２新高考 ꎬ２０ꎬ１２分ꎬ应用性)一医疗团队为研究某地
︵ Ⅰ
教 的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 卫生习惯分为良
(
师 好和不够良好两类 的关系 在已患该疾病的病例中随机调查
用 ) ꎬ
了 例 称为病例组 同时在未患该疾病的人群中随机调
书
１００ ( )ꎬ
︶ 查了 人 称为对照组 得到如下数据
１００ ( )ꎬ :
２ ４６
的天数比乙同学在 之前到校的天数恰好多 求事件Ｍ
７:３０ ２”ꎬ
发生的概率.
解析 ( )因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独
１
( )
立ꎬ且每天 : 之前到校的概率均为 ２ ꎬ故Ｘ Ｂ ꎬ２ ꎬ从
７ ３０ ~ ３
３ ３
( )ｋ( ) ｋ
而Ｐ(Ｘ ｋ) ｋ ２ １
３－
ꎬｋ ꎬ ꎬ ꎬ .
＝ ＝Ｃ３ ＝０ １ ２ ３
３ ３
所以ꎬ随机变量Ｘ的分布列为
Ｘ
０ １ ２ ３
估计该地区这种疾病患者的平均年龄 同一组中的数据用
(１) ( Ｐ １ ２ ４ ８
该组区间的中点值为代表
)ꎻ ２７ ９ ９ ２７
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的
(２) [２０ꎬ７０)
概率 则随机变量Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ２ .
ꎻ ( )＝３× ＝２
３
已知该地区这种疾病的患病率为 . ％ 该地区年龄位于
(３) ０ １ ꎬ 设乙同学上学期间的三天中 之前到校的天数为Ｙ 则
(２) ７:３０ ꎬ
区间 的人口占该地区总人口的 ％.从该地区中任选 ( )
[４０ꎬ５０) １６ Ｙ Ｂ ２ 且Ｍ Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ .由题意知事
一人 若此人的年龄位于区间 求此人患这种疾病的 ~ ３ꎬ ꎬ ＝{ ＝３ꎬ ＝１}∪{ ＝２ꎬ ＝０}
ꎬ [４０ꎬ５０)ꎬ ３
概率 以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者 件 Ｘ Ｙ 与 Ｘ Ｙ 互斥 且事件 Ｘ 与 Ｙ
( { ＝３ꎬ ＝１} { ＝２ꎬ ＝０} ꎬ { ＝３} { ＝１}ꎬ
的年龄位于该区间的概率 精确到 . . 事件 Ｘ 与 Ｙ 均相互独立 从而由 知Ｐ Ｍ Ｐ Ｘ
ꎬ ００００１) { ＝２} { ＝０} ꎬ (１) ( )＝ ({
解析 ( )平均年龄为( . . . Ｙ Ｘ Ｙ Ｐ Ｘ Ｙ Ｐ Ｘ Ｙ
１ ５×０ ００１＋１５×０ ００２＋２５×００１２＋３５× ＝３ꎬ ＝１}∪{ ＝２ꎬ ＝０})＝ ( ＝３ꎬ ＝１)＋ ( ＝２ꎬ ＝０)＝
. . . . . . )
００１７＋４５×００２３＋５５×００２０＋６５×００１７＋７５×０００６＋８５×０００２ × Ｐ Ｘ Ｐ Ｙ Ｐ Ｘ Ｐ Ｙ ８ ２ ４ １ ２０.
. (岁). ( ＝３) ( ＝１)＋ ( ＝２) ( ＝０)＝ × ＋ × ＝
１０＝４７９ ２７ ９ ９ ２７ ２４３
( )设事件 Ａ “该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 考点二 正态分布 学生用书P284
２ ＝
[ ꎬ )”ꎬ则 Ｐ(Ａ) Ｐ(Ａ) ( . . . １.(２０１１湖北ꎬ５ꎬ５分ꎬ基础性)已知随机变量ξ服从正态分布
２０ ７０ ＝ １－ ＝ １－ ０ ００１＋０ ００２＋０００６＋
. ) . . . Ｎ σ２ 且Ｐ ξ . 则Ｐ ξ
０００２ ×１０＝１－０１１＝０８９ (２ꎬ )ꎬ ( <４)＝０８ꎬ (０< <２)＝ ( )
( )设事件Ｂ “任选一人年龄位于区间[ ꎬ )”ꎬ事件 Ｃ . . . .
３ ＝ ４０ ５０ ＝ Ａ.０６ Ｂ.０４ Ｃ.０３ Ｄ.０２
“任选一人患这种疾病”ꎬ由条件概率公式可得 答案 Ｃ
２.(２０１５山东ꎬ８ꎬ５ 分ꎬ应用性)已知某批零件的长度误差 单
Ｐ(ＢＣ) . ％ . . .
Ｐ(Ｃ Ｂ) ０１ ×００２３×１０ ０００１×０２３ . (
｜ ＝ Ｐ(Ｂ) ＝ ％ ＝ . ＝０００１４３７５ 位 毫米 服从正态分布Ｎ ２ 从中随机取一件 其长度误
１６ ０１６ : ) (０ꎬ３ )ꎬ ꎬ
. . 差落在区间 内的概率为
≈０００１４ (３ꎬ６) ( )
１２.(２０１９课标
Ⅱ
理ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ应用性)
１１
分制乒乓球比赛
ꎬ
每 (附:若随机变量ξ服从正态分布Ｎ(μꎬσ２)ꎬ则Ｐ(μ
－
σ
<
ξ
<
μ
＋
赢一球得 分 当某局打成 平后 每球交换发球权 先 σ) . ％ꎬＰ(μ σ ξ μ σ) . ％)
１ ꎬ １０ ∶ １０ ꎬ ꎬ ＝６８２６ －２ < < ＋２ ＝９５４４
多得 分的一方获胜 该局比赛结束.甲 乙两位同学进行单打 . ％ . ％ . ％ . ％
Ａ.４５６ Ｂ.１３５９ Ｃ.２７１８ Ｄ.３１７４
２ ꎬ 、
答案 Ｂ
比赛 假设甲发球时甲得分的概率为 . 乙发球时甲得分的概
ꎬ ０５ꎬ
率为
０
.
４ꎬ
各球的结果相互独立.在某局双方
１０ ∶ １０
平后
ꎬ
甲先 ３.(２０１５湖北ꎬ４ꎬ５ 分ꎬ基础性)设 Ｘ ~ Ｎ ( μ １ꎬ σ２ １)ꎬ Ｙ ~ Ｎ ( μ ２ꎬ
发球 两人又打了Ｘ个球该局比赛结束. σ２ 这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是
ꎬ ２)ꎬ
求Ｐ Ｘ
(１) ( ＝２)ꎻ ( )
求事件 Ｘ 且甲获胜 的概率.
(２) “ ＝４ ”
解析 ( )Ｘ 就是 平后ꎬ两人又打了 个球该局
１ ＝２ １０ ∶ １０ ２
比赛结束ꎬ则这 个球均由甲得分ꎬ或者均由乙得分.因此
２
Ｐ(Ｘ ) . . ( . ) ( . ) . .
＝２ ＝０５×０４＋ １－０５ × １－０４ ＝０５
( )Ｘ 且甲获胜ꎬ就是 平后ꎬ两人又打了 个球该局
２ ＝４ １０ ∶ １０ ４
比赛结束ꎬ且这 个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得
４ １
分ꎬ后两球均为甲得分.
因此所求概率为[ . ( . ) ( . ) . ] . . . . Ｐ Ｙ μ Ｐ Ｙ μ
０５× １－０４ ＋ １－０５ ×０４ ×０５×０４＝０１ Ａ. ( ≥ ２)≥ ( ≥ １)
思路分析 ( )Ｘ ꎬ即要么甲得 分ꎬ要么乙得 分ꎬ分类 Ｐ Ｘ σ Ｐ Ｘ σ
１ ＝２ ２ ２ Ｂ. ( ≤ ２)≤ ( ≤ １)
求出独立事件的概率ꎬ求和即可. 对任意正数ｔ Ｐ Ｘ ｔ Ｐ Ｙ ｔ
Ｃ. ꎬ ( ≤)≥ ( ≤)
( )Ｘ 且甲获胜ꎬ即又打了 个球ꎬ且后两球甲得分ꎬ前两个 对任意正数ｔ Ｐ Ｘ ｔ Ｐ Ｙ ｔ
２ ＝４ ４ Ｄ. ꎬ ( ≥)≥ ( ≥)
球甲、乙各得 分ꎬ由独立事件的概率公式可求解. 答案 Ｃ
１
１３.(２０１９天津理ꎬ１６ꎬ１３分ꎬ综合性)设甲 乙两位同学上学期 ４.(２０２２新高考 ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知随机变量 Ｘ 服从正 第
、 Ⅱ 十
间 每天 之前到校的概率均为 ２ .假定甲 乙两位同学到校
态分布 Ｎ
(２ꎬ
σ２
)ꎬ
且 Ｐ
(２<
Ｘ
≤２
.
５)＝ ０
.
３６ꎬ
则 Ｐ
(
Ｘ
>２
.
５) 二
ꎬ ７:３０ 、 . 章
３ ＝
情况互不影响 且任一同学每天到校情况相互独立. 答案 .
ꎬ ０１４ 概
用Ｘ表示甲同学上学期间的三天中 之前到校的天 ５.(２０１７课标 理ꎬ１９ꎬ１２分ꎬ综合性)为了监控某种零件的一 率
(１) ７:３０ Ⅰ 与
数 求随机变量Ｘ的分布列和数学期望 条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取
ꎬ ꎻ ꎬ １６ 统
设Ｍ为事件 上学期间的三天中 甲同学在 之前到校 个零件 并测量其尺寸 单位 .根据长期生产经验 可以认 计
(２) “ ꎬ ７:３０ ꎬ ( :ｃｍ) ꎬ
２ ４７
为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 概率为 . ꎬ从而零件的尺寸在(μ σꎬμ σ)之外的概率
０９９７４ －３ ＋３
Ｎ μ σ２ . 为 . ꎬ故Ｘ Ｂ( ꎬ . ).
( ꎬ ) ０００２６ ~ １６ ０００２６
假设生产状态正常 记Ｘ表示一天内抽取的 个零件中 因此Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｘ ) . １６ . .
(１) ꎬ １６ ≥１ ＝１－ ＝０ ＝１－０９９７４ ≈００４０８
其尺寸在 μ σ μ σ 之外的零件数 求Ｐ Ｘ 及Ｘ的数 Ｘ的数学期望为ＥＸ . . .
( －３ ꎬ ＋３ ) ꎬ ( ≥１) ＝１６×０００２６＝００４１６
学期望 ( )( )如果生产状态正常ꎬ一个零件尺寸在(μ σꎬμ σ)之
ꎻ ２ ｉ －３ ＋３
一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 μ σ μ σ 之 外的概率只有 . ꎬ一天内抽取的 个零件中ꎬ出现尺寸
(２) ꎬ ( －３ ꎬ ＋３ ) ０００２ ６ １６
外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了 在(μ σꎬμ σ)之外的零件的概率只有 . ꎬ发生的概率
ꎬ －３ ＋３ ０ ０４０ ８
异常情况 需对当天的生产过程进行检查. 很小.因此一旦发生这种情况ꎬ就有理由认为这条生产线在这一天
ꎬ
试说明上述监控生产过程方法的合理性 的生产过程可能出现了异常情况ꎬ需对当天的生产过程进行检查ꎬ
(ｉ) ꎻ
下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸 可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ｉｉ) １６ :
９
.
９５１０
.
１２９
.
９６ ９
.
９６１０
.
０１９
.
９２ ９
.
９８１０
.
０４
(
ｉｉ
)由ｘ
＝９
.
９７
ꎬｓ
≈０
.
２１２
ꎬ得μ的估计值为μ＾＝９ .
９７
ꎬσ的估计值
１０
.
２６９
.
９１１０
.
１３１０
.
０２９
.
２２１０
.
０４１０
.
０５９
.
９５
为σ＾
＝０
.
２１２
ꎬ由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ＾－
１６ １６ ３
σ＾ꎬμ＾＋３ σ＾)之外ꎬ因此需对当天的生产过程进行检查.
经计算得 ｘ ＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
ｘ ｉ ＝ ９ . ９７ꎬ ｓ ＝
１
１
６
∑ｉ＝
１
( ｘ ｉ － ｘ ) ２ ＝ 剔除(μ＾－３ σ＾ꎬμ＾＋３ σ＾)之外的数据
９
.
２２
ꎬ剩下数据的平均数为 １
( ) １５
１
１
６ ∑ｉ
１
＝
６
１
ｘ２ｉ －
１６
ｘ２
≈０
.
２１２ꎬ
其中ｘ
ｉ
为抽取的第ｉ个零件
× １
(
６ １６×９
.
９７－９
.
２２
)
＝１０
.
０２
ꎬ因此μ的估计值为
１０
.
０２
.
的尺寸
ꎬ
ｉ
＝１ꎬ２ꎬꎬ１６
.
∑ｉ＝
ｘ２ｉ
＝１６×０
.
２１２
２
＋１６×９
.
９７
２
≈１５９１
.
１３４
ꎬ
１
用样本平均数ｘ作为μ的估计值μ＾
ꎬ
用样本标准差ｓ作为σ的估计 剔除(μ＾－３ σ＾ꎬμ＾＋３ σ＾)之外的数据
９
.
２２
ꎬ剩下数据的样本方差为
值σ＾
ꎬ
利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除
(
μ＾
１ ( . . ２ . ２) . ꎬ
× １５９１１３４－９２２ －１５×１００２ ≈０００８
－３
σ＾
ꎬ
μ＾＋３ σ＾
)
之外的数据
ꎬ
用剩下的数据估计μ和σ
(
精确到
０
.
０１)
. １５
附
:
若随机变量Ｚ服从正态分布Ｎ
(
μ
ꎬ
σ２
)ꎬ
则Ｐ
(
μ
－３
σ
<
Ｚ
<
μ
＋
因此σ的估计值为
０
.
００８≈０
.
０９
.
σ . .
方法总结 正态分布:若变量Ｘ服从正态分布Ｎ(μꎬσ２)ꎬ
３ )＝０９９７４
其中μ为样本的均值ꎬ正态分布曲线的对称轴为ｘ μꎻσ为样
. １６ . . . . ＝
０９９７４ ≈０９５９２ꎬ ０００８≈００９ 本数据的标准差ꎬ体现了数据的稳定性.
解析 ( )抽取的一个零件的尺寸在(μ σꎬμ σ)之内的
１ －３ ＋３
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ４８
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P285
考点一 条件概率与全概率公式、相互独立 ４.(２０２２重庆八中调研检测七ꎬ４)考察下列两个问题 已知
:①
随机变量Ｘ Ｂ ｎ ｐ 且Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ 记Ｐ Ｘ ａ
事件及二项分布 ~ ( ꎬ )ꎬ ( )＝４ꎬ ( )＝２ꎬ ( ＝１)＝ ꎻ
甲 乙 丙三人随机到某 个景点去旅游 每人只去一个景
１.(２０２２广东粤港澳大湾区联考ꎬ３)甲乙两个雷达独立工作 ② 、 、 ３ ꎬ
ꎬ 点 设Ａ表示 甲 乙 丙所去的景点互不相同 Ｂ表示 有一
它们发现飞行目标的概率分别为 . 和 . 则飞行目标被雷 ꎬ “ 、 、 ”ꎬ “
０ ９ ０ ８ꎬ 个景点仅甲一人去旅游 记Ｐ Ａ Ｂ ｂ 则
达发现的概率为 ”ꎬ ( ｜ )＝ ꎬ ( )
( )
. . . . ａ １ ｂ １ ａ １ ｂ １
Ａ.０２６ Ｂ.０７ Ｃ.０７２ Ｄ.０９８ Ａ. ＝ ３ꎬ ＝ Ｂ. ＝ ４ꎬ ＝ ２
答案 Ｄ ２ ２ ２ ２
ａ １ ｂ １ ａ １ ｂ １
２.(２０２２辽宁东北育才学校模考六ꎬ３)某大学有 Ａ ꎬ Ｂ 两家餐 Ｃ. ＝ ２ ５ꎬ ＝ ２ Ｄ. ＝ ２ ６ꎬ ＝ ２ ２
厅 某同学第 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐 如果第一 答案 Ｃ
ꎬ １ ꎬ
天去Ａ餐厅 那么第 天去Ａ餐厅的概率是 . 如果第一天去 ５.(２０２１ 广东二模ꎬ３) 年 月 日是第七个 国家宪法
ꎬ ２ ０４ꎻ ２０２０ １２ ４ “
Ｂ餐厅 那么第二天去Ａ餐厅的概率是 . 则该同学第 天去 日 .某中学开展主题为 学习宪法知识 弘扬宪法精神 的知
ꎬ ０８ꎬ ２ ” “ ꎬ ”
Ａ餐厅用餐的概率是
( ) 识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为 ２ 连续答对两道
. . . . ꎬ
Ａ.０５ Ｂ.０６ Ｃ.０７ Ｄ.０８ ３
答案 Ｂ
题的概率为 １ .用事件Ａ表示 甲同学答对第一道题 事件Ｂ
３.(２０２２湖南新高考教学教研联盟联考一ꎬ４)已知随机变量 “ ”ꎬ
２
Ｘ ꎬ Ｙ分别满足Ｘ ~ Ｂ (８ꎬ ｐ )ꎬ Ｙ ~ Ｎ ( μ ꎬ σ２ )ꎬ 且Ｅ ( Ｘ )＝ Ｅ ( Ｙ )ꎬ 若 表示 “ 甲同学答对第二道题 ”ꎬ 则Ｐ ( Ｂ ｜ Ａ )＝ ( )
１ １ ２ ３ Ｐ Ｙ １ 则ｐ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
( ≥３)＝ ꎬ ＝ ( ) ３ ２ ３ ４
２ 答案 Ｄ
１ １ ３ １ 考点二 正态分布
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
４ ３ ８ ２
答案 Ｃ １.(２０２２山东临沂二模ꎬ５)已知随机变量 ξ 服从正态分布
Ｎ σ２ 且Ｐ ξ . 则Ｐ ξ 答案 Ｄ
(３ꎬ )ꎬ ( <５)＝０７ꎬ (１< <３)＝ ( )
. . . . ４.(多选)(２０２２湖南邵阳一模ꎬ９)给出下列命题 其中正确的
Ａ.０６ Ｂ.０５ Ｃ.０３ Ｄ.０２ ꎬ
答案 Ｄ 命题有
( )
２.(２０２２重庆调研四ꎬ６)已知两个随机变量 Ｘ Ｙ 其中 Ｘ α β 是 α β 的必要不充分条件
ꎬ ꎬ ~ Ａ.“ ＝ ” “ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ”
( ) 已知命题ｐ ｘ Ｒ ｘ ｘ 则¬ ｐ ｘ Ｒ ｘ ｘ
Ｂ １ Ｙ Ｎ μ σ２ σ 若Ｅ Ｘ Ｅ Ｙ 且Ｐ Ｙ Ｂ. :“∃ ∈ ꎬｅ < ＋１”ꎬ :“∀ ∈ ꎬｅ ≥ ＋１”
５ꎬ ꎬ ~ ( ꎬ )( >０)ꎬ ( )＝ ( )ꎬ (｜ ｜<１) ( )
５ 若随机变量ξ Ｂ １ 则Ｅ ξ ２
. 则Ｐ Ｙ Ｃ. ~ ２ꎬ ꎬ ( )＝
＝０４ꎬ ( >３)＝ ( ) ３ ３
. . . . 已知随机变量Ｘ Ｎ σ２ 且Ｐ Ｘ ａ Ｐ Ｘ ａ 则
Ａ.０４ Ｂ.０３ Ｃ.０２ Ｄ.０１ Ｄ. ~ (３ꎬ )ꎬ ( >２ －１)＝ ( < ＋３)ꎬ
答案 Ｄ
ａ ４
３.(２０２２重庆二模ꎬ４)已知某批零件的尺寸Ｘ 单位 服从 ＝
( :ｍｍ) ３
正态分布Ｎ 其中Ｘ 的产品为 合格品 若从 答案 ＢＣＤ
(１０ꎬ４)ꎬ ∈[８ꎬ１４] “ ”ꎬ
这批零件中随机抽取一件 则抽到合格品的概率约为 ５.(２０２１江苏七市第二次调研ꎬ１３)已知随机变量 Ｘ Ｎ
ꎬ ( ) ~ (２ꎬ
(
附
:
若Ｘ
~
Ｎ
(
μ
ꎬ
σ２
)ꎬ
则Ｐ
(
μ
－
σ
≤
Ｘ
≤
μ
＋
σ
)≈０
.
６８２７ꎬ
Ｐ
(
μ
－２
σ σ２
)ꎬ
Ｐ
(
Ｘ
>０)＝０
.
９ꎬ
则Ｐ
(２<
Ｘ
≤４)＝
.
Ｘ μ σ . Ｐ μ σ Ｘ μ σ . 答案 .
≤ ≤ ＋２ )≈０９５４５ꎬ ( －３ ≤ ≤ ＋３ )≈０９９７３) ０４
. . . .
Ａ.０３４１４ Ｂ.０４７７３ Ｃ.０５１２ Ｄ.０８１８６
第
十
二
章
概
率
与
统
计
２ ４９
B组 综合应用题组 学生用书P286
25分钟 40分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２０分)
Ａ.７５６ Ｂ.７４８ Ｃ.７８２ Ｄ.７６４
１.(２０２２湖南益阳一模)甲 乙 丙 丁 名棋手进行象棋比赛 答案 Ｄ
、 、 、 ４ ꎬ
赛程如下面的框图所示 其中编号为ｉ的方框表示第ｉ场比赛 ４.(２０２０辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小 形
ꎬ ꎬ 、
方框中是进行该场比赛的两名棋手 第 ｉ 场比赛的胜者称为 状相同的小球 其中红球 个 黑球 个 现随机等可能取出小
ꎬ ꎬ １ 、 ２ ꎬ
胜者ｉ 负者称为 负者ｉ 第 场为决赛 获胜的人是冠军. 球 当有放回依次取出两个小球时 记取出的红球数为 ξ 当
“ ”ꎬ “ ”ꎬ ６ ꎬ ꎬ ꎬ １ꎻ
无放回依次取出两个小球时 记取出的红球数为ξ 则
已知甲每场比赛获胜的概率均为 ２ 而乙 丙 丁之间相互比 ꎬ ２ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ
３ ( )
赛 每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概率为 Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
ꎬ ( ) Ａ. ( １)< ( ２)ꎬ ( １)< ( ２)
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｂ. ( １)＝ ( ２)ꎬ ( １)> ( ２)
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｃ. ( １)＝ ( ２)ꎬ ( １)< ( ２)
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｄ. ( １)> ( ２)ꎬ ( １)> ( ２)
答案 Ｂ
二、多项选择题(共５分)
５.(２０２２湖南三湘名校联盟联考ꎬ１０)已知某种袋装食品每袋
质量Ｘ 单位 服从正态分布Ｎ 则下面结论正
８ １６ ３２ ４０ ( :ｇ) (５００ꎬ１６)ꎬ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 确的是
２７ ２７ ８１ ８１ ( )
答案 Ｄ 附 若Ｘ Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｘ μ σ . Ｐ μ σ
( : ~ ( ꎬ )ꎬ ( － < ≤ ＋ )＝０６８２７ꎬ ( －２ <
２.(２０２２海南琼海嘉积中学四校联考ꎬ８)长时间玩手机可能影 Ｘ μ σ . Ｐ μ σ Ｘ μ σ .
≤ ＋２ )＝０９５４５ꎬ ( －３ < ≤ ＋３ )＝０９９７３)
响视力 据调查 某校学生大约 ％的人近视 而该校大约有 σ
ꎬ ꎬ ４０ ꎬ Ａ. ＝４
％的学生每天玩手机超过 这些人的近视率约为 ％.现 Ｐ Ｘ .
２０ １ ｈꎬ ５０ Ｂ. (４９６< ≤５０４)＝０９５４５
从每天玩手机不超过 的学生中任意调查一名学生 则他近 随机抽取 袋这种食品 袋装质量在区间 的
１ ｈ ꎬ Ｃ. １００００ ꎬ (４９２ꎬ５０４]
视的概率为 约 袋
( ) ８１８６
随机抽取 袋这种食品 袋装质量小于 的不多于
２ ３ ５ ３ Ｄ. １００００ ꎬ ４８８ ｇ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 袋
５ ８ ８ ４ １４
答案 Ｂ 答案 ＡＣＤ
３.(２０２２辽宁鞍山一中４月线上模拟ꎬ５)正态分布是最重要的 三、填空题(每小题５分ꎬ共１５分)
一种概率分布 它是由德国的数学家 天文学家 于 ６.(２０２２辽宁东北育才学校模考六ꎬ１４)对一个物理量做ｎ次
ꎬ 、 Ｍｏｉｖｒｅ １７３３
年提出的 但由于德国数学家 率先应用于天文学研究 测量 并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知
ꎬ Ｇａｕｓｓ ꎬ ꎬ
故正态分布又称为高斯分布 记作Ｙ Ｎ μ σ２ .μ σ 的 ( )
ꎬ ~ ( ꎬ ) ＝０ꎬ ＝１ 最后结果的误差ε Ｎ ２ 为使误差ε 在 . . 的
Ｙ μ ｎ~ ０ꎬ ｎ ꎬ ｎ (－０ ５ꎬ０ ５)
正态分布称为标准正态分布 如果令Ｘ － 则可以证明Ｘ
ꎬ ＝ σ ꎬ ~ 概率不小于 . 至少要测量 次 若Ｘ Ｎ μ σ２
０９５４５ꎬ ( ~ ( ꎬ )ꎬ
Ｎ 即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分 则Ｐ Ｘ μ σ . .
(０ꎬ１)ꎬ (｜ － ｜<２ )＝０９５４５)
布.如果Ｘ Ｎ 那么对任意的ａ 通常记为Φ ａ Ｐ Ｘ 答案 ~ (０ꎬ１)ꎬ ꎬ ( )＝ ( < ３２
ａ 也就是说 Φ ａ 表示Ｎ 对应的正态曲线与ｘ轴在区 ７.(２０２２河北九师联盟 ３ 月质检联考(一模)ꎬ１５)某学校在
)ꎬ ꎬ ( ) (０ꎬ１)
间 ａ 内所围的面积.某校高三年级 名学生期中考试 年 月高三期末考试中有 人参加了数学考试 若数 (－∞ꎬ ) ８００ ２０２２ １ ９８０ ꎬ
数学成绩近似服从正态分布
ꎬ
数学成绩的平均分为
１００ꎬ
方差 学成绩Ｘ
~
Ｎ
(９５ꎬ
σ２
)(
满分为
１５０
分
)ꎬ
统计结果显示数学考
为 Φ . 那么成绩落在 的人数大约为
３６ꎬ (２)＝０９７７２ꎬ (８８ꎬ１１２] 试成绩在 分以上的人数为总人数的１１ 则此次高三期末考
７０ ꎬ
( ) １４
试中数学成绩在 分到 分之间的学生有 人.
７０ １２０ 答案 １１
答案
５６０ ２７
８.(２０２１南京市秦淮中学开学考ꎬ１６)设随机变量ξ Ｂ ｐ η
~ (２ꎬ )ꎬ
Ｂ ｐ 若Ｐ ξ ５ 则Ｐ η 的值为 .
~ (４ꎬ )ꎬ ( ≥１)＝ ꎬ ( ≥２)
９
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ５０
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P287
１.(２０２２ ５３原创题)某中学抽取了 名同学进行身高调 行检测 每次抽取 件 甲表示事件 第一次取出的是正品
１ ６００ ( １ )ꎬ “ ”ꎬ
查 已知样本的身高 单位 服从正态分布Ｎ σ２ 若 乙表示事件 第二次取出的是次品 记取出的次品件数为Ｘ
ꎬ ( :ｃｍ) (１７０ꎬ )ꎬ “ ”ꎬ ꎬ
则下列结论正确的是
身高在 到 的人数占样本总数的 ４ 则样本中不 ( )
１６５ｃｍ １７５ｃｍ ꎬ 甲与乙相互独立 甲与乙不互斥
５ Ａ. Ｂ.
低于 的人数约为 Ｘ Ｂ . Ｅ Ｘ .
１７５ ｃｍ ( ) Ｃ. ~ (１０ꎬ００２) Ｄ. ( )＝０２
答案 ＢＤ
Ａ.８０ Ｂ.１６０ Ｃ.２４０ Ｄ.３２０
答案 Ｂ ３.(２０２２ ５３原创题)已知随机变量ξ Ｎ μ σ２ 若函数ｆ ｘ
~ ( ꎬ )ꎬ ( )
２.(多选)(２０２２ ５３原创题)一批电子产品共 件 其中正 Ｐ ｘ ξ ｘ 为偶函数 则μ .
１００ ꎬ ＝ ( ≤ ≤ ＋２) ꎬ ＝
品有 件 次品有 件 从中不放回地依次抽取 件产品进 答案
９８ ꎬ ２ ꎬ １０ １
