文档内容
秘籍 07 概率与离散型随机变量的期望与方差
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题、解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 全概率公式
概率属于解答题必考题大多考察两方面，一个是超几何分布与二项分布的区别，还有就是线性回归方
程与独立性检验。小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的判
断以及正态分布也是需要熟练掌握的。
【题型一】 条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件
P(AB)
概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)= .
P(B)
1. （多选题)（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知事件A，B满足 ， ，则
（ ）
A．若 ，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若 ，则A与B相互独立
2. （2023·江苏南通·统考模拟预测）随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，
小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车
的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李准时到单位的概率是___________.
3. （2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）三个元件 ， ， 独立正常工作的概率分别是 ， ，
，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒 ， ， 中（一盒接一个元件），
各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________．
1.（多选题)（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知随机变量 服从正态分布 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． ， B．若 ，则
C． D．随机变量 满足 ，则
2.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B， ， ， ，则
________.
3．（2023·上海徐汇·统考二模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动
共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同
学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 _________.
4．（2023·天津·校联考一模）为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3
人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿
者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 ________.【题型二】 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
一般地,设A,A,…,A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1,2，…，n，则对
1 2 n 1 2 n i
任意的事件B Ω，有
P(B)=∑P(A)P(B|A)
i ⊆ i
我们称上面的公式为全概率公式．
*贝叶斯公式：
1．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为
0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
2．（2023·上海嘉定·统考二模）已知某产品的一类部件由供应商 和 提供，占比分别为 和 ，供应商
提供的部件的良品率为 ，若该部件的总体良品率为 ，则供应商 提供的部件的良品率为
__________．
3．（2023·广东茂名·统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”
的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有任何
关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各
任取一个球交换，重复进行 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的概率
为 ，恰有2个黑球的概率为 .(1)求 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
1．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基
石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假
设我们的序列状态是…， ， ， ， ，…，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，
即 ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得1元，每
一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为 ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ ， ）时，最终输光的概率为 ，请回答下列问题：
(1)请直接写出 与 的数值．
(2)证明 是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当 时，分别计算 ， 时， 的数值，并结合实际，解释当 时， 的统计含义．
2．（2023·广东佛山·统考二模）有 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑
球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中
任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第 个盒子中取到
白球的概率是______．
3．（2023·广东梅州·统考二模）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂
分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品
中任取一件，则
（1）取到次品的概率为____________；
（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________．
【题型三】 离散型随机变量的分布列和概率性质
设离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n；
i
(2)p＋p＋…＋p＋…＋p＝1；
1 2 i n
(3)E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ xp；
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝ ( x － E ( X ) ) 2 p ＋ ( x － E ( X ) ) 2 p ＋ … ＋ ( x － E ( X ) ) 2 p.
1 1 2 2 n n
随机变量的数学期望与方差
(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝ E ( ξ ) ＋ E ( η ) ．
(2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝ aE ( ξ ) ＋ b ，D(η)＝ a 2 D ( ξ ) ．
(3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.
1．（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）下面说法错误的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的；
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值；
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大．
2．（2023·河南新乡·统考二模）已知随机变量X的分布列为X 0 2 4
P m
则 （ ）
A． B．1 C． D．
（多选）3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）下列结论中，正确的有（ ）
A．数据1，2，4，5，6，8，9的第百分之60分位数为5．
B．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则 ．
C．已知回归直线方程为 ，且 ， ，则 ．
D．对变量x与y的统计量 来说， 值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大．
（多选）1．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩 ，从全市所有高三
学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为 ，则（ ）
A． B． 服从标准正态分布
C． D．
2．（2023·山西运城·统考二模）现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的
爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加
深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治
时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者
随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则
为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对
方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为 ，乙回答正确的概率为 ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试
题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．
(1)求乙总得分为10分的概率；
(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．
3．（2023·安徽·校联考二模）近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视
频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、
需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．
某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．
(1)已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖
音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择
“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；
(2)三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为 ，
，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且 ，求p的值及X的分
布列．
【题型四】 二项分布
二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为
p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二
项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
二项分布的数学期望与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.D(X)=np（1-p）1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战
赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数
不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 ，每名业余棋手与乙比赛
获胜的概率均为 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
（多选）2．（2023·湖北·统考二模）以下说法正确的有（ ）
A．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分
位数为5.5
B．经验回归直线 至少经过样本点数据中的一个点
C．若 ， ，则事件A，B相互独立
D．若随机变量 ，则 取最大值的必要条件是
3．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问
题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的
真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个
红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别
是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或
“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已
知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出
两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决
定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为 ，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率 ；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为 ，并且都相互独立.物业每解决一
个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位
业主？
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮
机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲
同学每次投中的概率为 且每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为 且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮
训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；
(3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，
规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为
且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？
2．（2023·湖南常德·二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有 ， ，
三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人
数如下表：
班级 一 二 三 四
人数
(1)从这 人中随机抽取 人，求这 人恰好来自同一班级的概率；
(2)从这 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选 ，
两款软件学习的概率都是 ，且他们选择 ， ， 任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午
自习时间选软件 的人数为 ，求 的分布列和数学期望．3．（2023·湖南株洲·统考一模）2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预
定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知
获得A档门票的概率是 ，若未成功，仍有 的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概
率均为 ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张
赛事门票．
(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；
(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．
【题型五】 超几何分布
超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，
m，其中 m ＝ min{ M ， n } ，且 n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈ N * ❺.
X 0 1 … m
P …
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布
超几何分布列 的数学期望与方差
若X～H(n，M，N)，则E(X)＝. D(X)=
1．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为 ，还有4个同
样大小的白球，编号为 ，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码 服从超几何分布；
②取出的黑球个数 服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为 ；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
2．（2023·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取
不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当 最大时，
____________．
3．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给
10位病人治疗，记被治愈的人数为X．
(1)若 ，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列；
(2)已知 ，集合 { 概率 最大}，且A中仅有两个元素，求 ．
1．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，
采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测
数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀 不优秀
优秀 50 30 80
数学成绩
不优
40 80 120
秀
合计 90 110 200
(1)根据 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似然
比.现从该校学生中任选一人， 表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩不优
秀”请利用样本数据，估计 的值.(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3
人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数 的概率分布列及数学期望.
附：
2．（2023·陕西铜川·校考一模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为
100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一
组 ，3份；第二组 ，8份；第三组 ；第四组 ；第五组 ，4份；已知其
中得分高于60分的问卷份数为20．
(1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；
(2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用
组合数表示），并求出期望 ．
3．（2022·四川成都·统考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的
冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盗，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众
的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取400人，对是否有意向购买冰墩墩进行
调查，得到以下的2×2列联表：
有意向购买冰墩墩的人数 无意向购买冰墩墩的人数 合计
男
160 80 240
生
女
120 40 160
生
合
280 120 400
计
(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关？
(2)若从随机抽取的400人中按男女比例分层抽样选取5人进行采访，再从这5人中随机抽取2人赠送冰墩
墩，记 为抽取的2人中男生人数，求X的分布列和数学期望.附： .
【题型六】 正态分布
正态分布的定义
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为
正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为
2
f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u,σ ).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X
服从标准正态分布.
正态分布的期望和方差
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的
离散程度。
正态分布的3σ原则1．（2023·江西宜春·统考一模）给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ）
①若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为 ；
②回归方程为 时，变量 与 具有负的线性相关关系；
③随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
④在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，当样本相关系数 越接近 时，
样本数据的线性相关程度越强.
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2023·浙江温州·统考二模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南郑州·统考一模）某班学生的一次的数学考试成绩 （满分：100分）服从正态分布：
，且 ， ， （ ）
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）立德中学高一（2）班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布 ，则下列判断错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
（多选）2．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量 ， 满足 ，则
B．若随机变量 ，且 ，则
C．若线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
3．（2023·广东佛山·统考二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．
某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 ，且 ，现从该生产线上随机抽取
10片瓷砖，记 表示 的瓷砖片数，则 ______．
高考模拟练习
1．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 .
B．若将6名教师分到3所中学任教，每所学校至少一名教师且人数互不相同，则有320种不同的分法.
C．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的上四分
位数是156.
D．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为奇数}，事件B={两次的点数之和为4}，则
.
2．（2023·全国·模拟预测）某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，
两人选的包装不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
（多选）3．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会
在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二
个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精
神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是 ，乙能答对
其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5
分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否互不影响，则（ ）
A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是
C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是
4．（2023·辽宁鞍山·统考二模）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛
项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射
击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知
某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中
相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么
___________.
5．（2023·安徽合肥·校考一模）接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校 的学生接种了流感
疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为 ，而接种了疫苗的感染率为 .现有一名学生确诊
了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________
6．（2023·上海浦东新·统考二模）为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史
展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道
人文历史题和5道地理环境题．
(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代
表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅
当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道
地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是 ，答对地理环境题的概率都是 ．请你为
该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
7．（2023·河北邯郸·统考二模）某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精
神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出
200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总
人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.
(1)完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认
为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联？
对员工管理水平不满
项目 对员工管理水平满意 合计
意
对员工敬业精神满意
对员工敬业精神不满意
合计
(2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都
满意的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
(3)在统计学中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，现从该企业员工中任
选一人， 表示“选到对员工管理水平不满意”、 表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数
据，估计 的值.
附： ， .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.8288．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）一水果连锁店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了
过去30天苹果的日销售量（单位：kg），得到如下频率分布直方图．
(1)求过去30天内苹果的日平均销售量 （同组数据用该组区间中点值代表）；
(2)若该店苹果的日销售量X近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，试估计360天中
日销售量超过79.9kg的天数（结果保留整数）；
(3)该水果店在店庆期间举行“赢积分，送奖品”活动，规定：每位会员可以投掷n次骰子，若第一次掷骰
子点数大于2，可以获得100个积分，否则获得50个积分，从第二次起若掷骰子点数大于2，可以获得上
一次积分的两倍，否则获得50个积分，直到投掷骰子结束．记会员甲第n次获得的积分为 ，求数学期望
．
参考数据：若 ，则 ， ．
9．（2023·陕西·统考一模）甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗
赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则
记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：
“对抗赛”成绩（甲：
总计
乙）
频数 21 13 6 25 15 10 4 2 4 100
这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．
(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X，Y，求 ， ， ， ．
(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数
据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？(3)在某次团队赛中，射击队S只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三
种方案：
方案一：由选手甲射击2次﹔
方案二：由选手甲、乙各射击1次；
方案三：由选手乙射击2次．
则哪种方案最有利于射击队S夺冠？请说明理由．
附：参考公式：
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、
解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为 ，
且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为 ．现甲乙
两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；
(2)若甲抛掷 次，乙抛掷n次， ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
