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第 92 讲 两点分布、二项分布、超几何
分布与正态分布
知识梳理
知识点一．两点分布
1、若随机变量 服从两点分布，即其分布列为
0 1
其中 ，则称离散型随机变量 服从参数为 的两点分布．其中 称为
成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为 ；
（2）两点分布又称 分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量 服从参数为 的两点分布，则
， ．
知识点二． 次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的 次试验称为 次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立
的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在 次独立重复试验中，用 表示事件 发生的次数，设每次试验中事件
发生的概率为 ，不发生的概率 ，那么事件 恰好发生 次的概率是
（ ， ， ，…， ）
于是得到 的分布列
… …
… …
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由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离
散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，记作 ，并称 为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即 时的二
项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这 次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若 ，则 ， ．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有 件次品的 件产品中，任取 件，其中恰有 件次品，则事件 发生
的概率为 ， ，其中 ，且
，1，2，…， ，
，称分布列为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几
， ， ，
何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．
0 1 …
…
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相
同的．
知识点四、正态曲线
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1、定义：我们把函数 ， （其中 是样本均值，
是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间
高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于 轴上方，与 轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；
（3）曲线在 处达到峰值（最大值） ；
（4）曲线与 轴之间的面积为1；
（5）当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移，如图甲所
示：
（6）当 一定时，曲线的形状由 确定． 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分
布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：
甲 乙
知识点五、正态分布
1、定义
随机变量 落在区间 的概率为 ，即由正态曲线，过
点 和点 的两条 轴的垂线，及 轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影
部分所示，就是 落在区间 的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数 ， ，随机变量 满足 ，
则称随机变量 服从正态分布．正态分布完全由参数 ， 确定，因此正态分布常记作
．如果随机变量 服从正态分布，则记为 ．
其中，参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
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2、 原则
若 ，则对于任意的实数 ， 为下
图中阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减小而变大．这说明 越
小， 落在区间 的概率越大，即 集中在 周围的概率越大
特别地，有 ； ；
．
由 ，知正态总体几乎总取值于区间 之
内．而在此区间以外取值的概率只有 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能
发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量
只取 之间的值，并简称之为 原则．
【解题方法总结】
1、超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相
同的.
2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布 的随机变量 只取
之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说
明出现了意外情况．
3、求正态变量 在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定 与 的值．
（2）将待求问题向 ， ， 这三个区间
进行转化；
（3）利用 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出
最后结果．
4、假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原
则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接
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受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布 ，则ξ落在区间 内的概率
为 ，亦即落在区间 之外的概率为 ，此为小概率事件．如果
此事件发生了，就说明 不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于 的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，
平均每试验大约 次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．
不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验
次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的
原理”进行推断时，也有 犯错的可能性．
必考题型全归纳
题型一：两点分布
例1．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若随机变量 服从两点分
布，其中 ， 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】随机变量 服从两点分布，其中 ， ，
，
，
在A中， ，故A正确；
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在B中， ，故B正确；
在C中， ，故C错误；
在D中， ，故D正确.
故选：C.
例2．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量 服从两点分布，若
，则 （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【解析】由题意得 ，
因为 ，
所以解得 ，
所以 ，
故选：D
例3．（2024·全国·高三专题练习）有一个盒子里有1个红球，现将 （ ）个黑球放
入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 个，则随着 （ ）的增
加，下列说法正确的是（ ）
A． 减小， 增加 B． 增加， 减小
C． 增加， 增加 D． 减小， 减小
【答案】D
【解析】取到红球个数 服从两点分布 ，其中 ，
所以 ，显然 随着n的增大而减小.
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，
记 ，
，
当 时， ，故 在 上单调递减，
则当 时， 随着n的增大而减小.
故选：D.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量 的分布列服从两点分布，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 的分布列服从两点分布，所以 ，
因为 ，所以
故选：C
变式2．（2024·北京·高三专题练习）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量
作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种
处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠
花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘
米）
第1组鸡冠花株数 9 20 9 2
第2组鸡冠花株数 4 16 16 4
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第3组鸡冠花株数 13 12 13 2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为 厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰
有 株的株高增量为 厘米，求 的分布列和数学期望 ；
(3)用“ ”表示第 组鸡冠花的株高增量为 ，“ ”表示第 组鸡冠花的株
高增量为 厘米， ，直接写出方差 ， ， 的大小关系.（结论不要求
证明）
【解析】（1）设事件 为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为 厘
米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为 厘米,
所以 估计为 ；
（2）设事件 为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为 厘米”，
设事件 为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为 厘米”，
根据题中数据， 估计为 ， 估计为 ，
根据题意，随机变量 的所有可能取值为0,1,2.3，且
；
；
；
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，
则 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
（3）
理由如下：
，所以
；
，所以
；
，所以
；
所以 .
变式3．（2024·全国·高三专题练习）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均
为 ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂
的检验仪器一次最多可检验 件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品
均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每 个 一组进
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行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说
明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检
验 次或 次．设该工厂生产 件该产品，记每件产品的平均检验次 数为 ．
（1）求 的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当 时，求使该方案最合理时 的值及 件该产品的平均检验次数．
【解析】（1） 由题， 的可能取值为 和
，故 的分布列为
由 记 ，因为 ，
所以 在 上单调递增 ，
故 越小， 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
记
当 且取最小值时，该方案最合理，
因为 ， ，
所以 时平均检验次数最少，约为 次．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出
一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.
保险公司把该单位的所有岗位分为 ， ， 三类工种，从事三类工种的人数分布比例如
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饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
工种类别
赔付概率
对于 ， ， 三类工种，职工每人每年保费分别为 元､ 元､ 元，出险后的赔偿金额
分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20
万元.
(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的 ，证明： .
(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意
外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作
的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作， ， ，单位负责职
工保费的 ，职工个人负责 ，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.
根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
【解析】（1）设工种 ， ， 对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量 ，
， （单位：元），则 ， ， 的分布列分别为
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，
，
.
所以
，
整理得 .
（2）方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为
（元）.
方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为
（元）.
因为 ，所以建议单位选择方案二.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学
决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检
对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送 位同行专家进行评审，
位专家中有 位以上（含 位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在
问题毕业论文”. 位专家中有 位专家评议意见为“不合格”，将再送 位同行专家（不同
于前 位）进行复评.复评阶段， 位复评专家中有 位以上（含 位）专家评议意见为“不
合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为
，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
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(1)若 ，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为 元，不需要复评的评审费用为 元，则每
篇论文平均评审费用的最大值是多少？
【解析】（1）设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件 ，
则 ，
， ；
（2）设每篇文章的评审费用为 元，则 的可能取值为 ， ，
则 ， ；
.
令 ， ，则 .
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
的最大值为 ， 每篇论文平均评审费用的最大值是 元.
题型二： 次独立重复试验
例4．（2024·全国·高三专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质
教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，
三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进
行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：
比赛中以 或 取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以 取胜的队员
积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率
均为 .
(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
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(2)第10轮比赛中，记张三 取胜的概率为 ，求出 的最大值点 .
【解析】（1）根据题意，比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是
；
（2）由题可知 ，
，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减.
所以 的最大值点 .
例5．（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁
先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为 ，甲赢的概率
为 ，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，
游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出
现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖
金的概率之比 分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当
游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率 ，并判断当 时，事件A是否为小概
率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于 ，则称随机事件为小概率事
件）
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【解析】设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当 时，甲以 赢，所以 ，
当 时，甲以 赢，所以 ，
甲获得全部奖金的概率 ，
所以 ，
所以 ，
， ，
在 上单调递减，
所以 ，
故事件A是小概率事件.
例6．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游
戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，
出现三次音乐获得 分，出现两次音乐获得 分，出现一次音乐获得50分，没有出现
音乐则获得 分，设备次击鼓出现音乐的概率为 .且各次击鼓出现音乐相互
独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为 ，求 的最大值点 ；
(2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而
减少了.设每盘游戏的得分为随机变量 ；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
【解析】（1）由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为
，
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，由 得 ，或 (舍)，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴当 时， 有最大值，即 的最大值点 ；
（2）由题可设每盘游戏的得分为随机变量 ，则 的可能值为 ，
，
，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增；
∴ ，故有 ，
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：
许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.
变式6．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和
1个白球，乙盒中有2个红球和2个白球，所有的球除颜色外都相同.某人随机选择一个盒
子，并从中随机摸出2个球观察颜色后放回，此过程为一次试验.重复以上试验，直到某次
试验中摸出2个红球时，停止试验.
(1)求一次试验中摸出2个红球的概率；
(2)在3次试验后恰好停止试验的条件下，求累计摸到2个红球的概率.
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【解析】（1）一次试验摸出2个红球的概率为 .
（2）记在3次试验后恰好停止试验为事件 ，累计摸到2个红球为事件 ，
∴ ， ， ，
∴ .
变式7．（2024·福建莆田·高三校考开学考试）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球
比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲
赢的概率为 ，乙赢的概率为 ．
(1)求甲获胜的概率；
(2)设 为结束比赛所需要的局数，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解析】（1）依题意，比赛三局且甲获胜的概率为 ，
比赛四局且甲获胜的概率为 ，
比赛五局且甲获胜的概率为 ，
所以甲获胜的概率为 ．
（2）随机变量 的取值为3，4，5，
则 ，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
3 4 5
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则随机变量 的数学期望为 ．
变式8．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用
局n胜制（当一选手先赢下n局比赛时，该选手获胜，比赛结束）.已知每局
比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为 .
(1)若 ， ，比赛结束时的局数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若 比 对甲更有利，求p的取值范围.
【解析】（1）依题意得，随机变量 所有可能取值为 ，
可得 ， ，
所以随机变量 的分布列为
2 3
所以 的数学期望 .
（2）解法一：若采用3局2胜制，甲最终获胜的概率为 ，
若采用5局3胜制，甲最终获胜的概率为：
，
若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则 ，
即
，
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解得 .
解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用 表示3局比赛中甲获胜的局数，则
，
甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用 表示5局比赛中甲获胜的局数，则 ，
甲最终获胜的概率为：
，
若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，则 ，
即
，
解得 .
变式9．（2024·全国·高三专题练习）某企业包装产品时，要求把2件优等品和 ( ，
且 )件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取
到的两件产品等级相同则该箱产品记为 ，否则该箱产品记为 .
(1)试用含 的代数式表示某箱产品抽检被记为 的概率 ；
(2)设抽检5箱产品恰有3箱被记为 的概率为 ，求当 为何值时， 取得最大值，
并求出最大值.
【解析】（1）从 件正品中任选两个，有 种选法，其中等级相同有 种选法，
∴某箱产品抽检被记为 的概率
.
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（2）由题意，一箱产品抽检被记为 的概率为 ，
则抽检5箱产品恰有3箱被记为 的概率为
，
所以
，
所以当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
此时 ， ，且 ，解得 ，
∴当 时，抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为 .
【解题方法总结】
（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来
求其概率．
（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为 次
独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求 次独立重复试验中事件恰好
发生 次的概率时，首先要确定好 和 的值，再准确利用公式求概率．
（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件
均为独立重复试验．
题型三：二项分布
例7．（2024·福建莆田·高三校考开学考试）已知随机变量 服从二项分布 ，则
.
【答案】
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【解析】 表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为 ，
，
故答案为：
例8．（2024·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）设随机变量 ，记
， ．在研究 的最大值时，某学习小组发现并证明了如下
正确结论：若 为正整数，当 时， ，此时这两项概率均为最大值；
若 不为正整数，则当且仅当 取 的整数部分时， 取最大值．某同学重复
投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时
点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出
现的次数为 的概率最大．
【答案】17
【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数 服从二项分布 ，
由 ，结合题中结论可知， 时概率最大，即后面80次中
出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的4次，所以出现17次的概率最大.
故答案为：17.
例9．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）设随机变量 ，若 ，
则p的值为 .
【答案】
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【解析】 ，由于 ，
所以 ，
故答案为：
变式10．（2024·全国·高三对口高考）假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障
的概率为 ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运
行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是
．
【答案】
【解析】由已知可得，飞机引擎运行正常的个数 ，
所以4引擎飞机正常运行的概率为 .
2引擎飞机正常运行的概率为 .
所以， .
因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以 ，
即 .
因为 ，所以 .
故答案为： .
变式11．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）一个袋子中装有 大小相同的
球，其中有 个黄球， 个白球，从中随机地摸出 个球作为样本，用 表示样本中黄
球的个数.
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(1)若采取不放回摸球，当 ， ， ， 时，求 的分布列；
(2)若采取有放回摸球，当 ， ， ， 时，用样本中黄球的比例估
计总体黄球的比例，求误差不超过 的概率(用分数表示).
【解析】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， 服从超几何分布，
且 ， ，
则 ， ， ，
则分布列为
0 1 2
（2）对于有放回摸球，各次试验结果相互独立，且每次摸到黄球的概率为 ， 服
从二项分布，即 ，且 ， ，
样本中黄球的比例 为一个随机变量，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例误差不超
过 的概率
.
变式12．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）“双减”政策执行以来，中学生
有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全
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校学生中随机选取 人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位
于区间 ， ， ， ， ， ，用频率分布直方图表示如下，
假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 的概率；
(2)从全校学生中随机选取 人，记 表示这 人一周参加课后活动的时间在区间 的
人数，求 的分布列和数学期望 .
【解析】（1）由频率分布直方图知： 人中，一周参加课后活动的事件位于区间
的频率为 ，
用频率估计概率，全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 的概率为 .
（2）用频率估计概率，从全校学生中随机抽取 人，则该人一周参加课后活动的事件在区
间 的概率 ， ，
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
[在此处键入][在此处键入]
数学期望 .
变式13．（2024·广东·高三校联考阶段练习）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他
们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点
投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；
乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，
且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6分的概率 ，求 ；
(2)由（1）问中求得的 值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
【解析】（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，
其概率为 ，又 ，
故 ，解得 ；
（2）设 为甲累计获得的分数，则 ，所以 ，
设 为乙累计获得的分数，则 的可能取值为0，2，4，6，8，10，
， ，
， ，
， ，
所以 的分布列为：
0
[在此处键入][在此处键入]
所以 ，
因为 ，所以甲获胜的可能性大
变式14．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者
与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问．已知在某一
轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为 ）和一个人
（记为 ）各提出一个问题，并根据机器 和人的作答来判断谁是机器，若机器 能让至
少一半的测试者产生误判，则机器 通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，
且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有 的可能性会向 和 问
同一个题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器 被误判的可能性为 ，当同
一名测试者提的两个问题不相同时，机器 被误判的可能性为 ．
(1)当回答一名测试者的问题时，求机器 被误判的概率；
(2)按现有设置程序，求机器 通过本轮图灵测试的概率．
【解析】（1）用 表示事件“测试者提出的两个问题相同”， 表示事件“测试者对机
器产生误判”，则
．
（2）设 为4名测试者中产生误判的人数，由（1）可知， ，
若机器通过本轮的图灵测试，则4名测试者中至少有2名产生误判，所以机器 通过图灵
测试的概率
．
变式15．（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）某医药企业使用新技术对某款血液试剂
进行试生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第
四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前
[在此处键入][在此处键入]
三道工序后的次品率为 .第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，
合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.
已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，
抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量 的期望为 ，方差为 ，则对任意 ，
均有 .药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为 ，现
随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，
显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是
否真实可信.
【解析】（1）设批次I的血液试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件 ，
由已知得 ，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率为
.
（2）设 份血液样本中检测有效的份数为 ，假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内
容是客观真实的，那么在此假设下， ，
，
由切比雪夫不等式，有 ，
即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率很
小，
据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3
次，每次取1个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数 的分布列､数学期望和方差；
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(2)不放回抽样时，取到黑球的个数 的分布列､数学期望和方差.
【解析】（1）有放回抽样时，取到的黑球数 可能的取值为 .又由于每次取到黑球
的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则 .
； ；
；
.
因此， 的分布列为
0 1 2 3
.
（2）不放回抽样时，取到的黑球数 可能的取值为 ，且有：
； ； .
因此， 的分布列为
0 1 2
.
变式17．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）第四届应急管理普法知识
竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理
[在此处键入][在此处键入]
普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分
100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所
示的频率分布直方图.
(1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；
(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为 ，用频率
估计概率，请你写出 的分布列.
【解析】（1）由频率分布直方图可知， ，
解得 ，成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，
则“普法王者”的频率为 ，
则该校参赛人数达20000人中“普法王者”人数为 .
（2）随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为 ，
则 的取值为0，1，2，3，
由（1）知，从中任取一人是“普法王者”的概率为 ，不是“普法王者”的概率为 ，
则 ， ，
， ；
故 的分布列为：
0 1 2 3
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变式18．（2024·四川攀枝花·统考三模）某企业从生产的一批产品中抽取 个作为样本，
测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这 件产品质量指标值的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表）和
中位数；
(2)已知某用户从该企业购买了 件该产品，用 表示这 件产品中质量指标值位于
内的产品件数，用频率代替概率，求 的分布列和数学期望．
【解析】（1）由已知得
．
因为 ．设中位数为 ，则 ，
则 ，解得 ．
（2）因为购买一件产品，其质量指标值位于 内的概率为 ，所 ，
， ，
， ，
所以 的分布为
[在此处键入][在此处键入]
所以， ．
【解题方法总结】
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一
取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率．解题的
一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数 ， ；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将 值代入求解概率．
题型四：超几何分布
例10．（2024·全国·高三对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产
品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这
批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，
都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概
率是 ．
【答案】
【解析】依题意，这20件产品中有 件合格品，
所以该商家接收这批产品的概率为 ，
故商家拒收这批产品的概率为 .
故答案为： .
例11．（2024·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，
60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个
[在此处键入][在此处键入]
数．当 最大时， ．
【答案】
【解析】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即 最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设
则
令
[在此处键入][在此处键入]
故当 时， 严格增加，
当 时， 严格下降，
即 时取最大值，
此题中 ，
根据超几何分布的期望公式可得 ，
故答案为：17.8
例12．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，
它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游
客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高
窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据
疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4
个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ．
【答案】 /0.5
【解析】已知8个开放洞窟中有3个最值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个
最值得参观洞窟包括2个或3个两种情况.
所求概率为 .
故答案为： .
变式19．（2024·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从
袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．现从该袋中任意摸出3个球，记得
到白球的个数为X，则E(X)= ．
【答案】 /
【解析】设袋中有 个黑球，则白球有 ，
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由题意可得： ，解得 或 （舍去），
故X的可能取值有 ，则有：
，
可得X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故 .
故答案为： .
变式20．（2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验
学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按
分成8组，得到如图所示
的频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在 和 内的学员中随机抽取12名，再从
这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在 内的学
员人数为 ，求 的分布列与数学期望．
[在此处键入][在此处键入]
【解析】（1）由直方图可知 ，
解得 ．
因为 ，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在 内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为 ，则 ，
解得 ．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在 内的有4名，在
内的有8名．
由题意可知 的所有可能取值为 ．
， ，
， ，
，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
变式21．（2024·湖南益阳·高三统考阶段练习）某公司生产一种电子产品，每批产品进入
市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一
等品.
[在此处键入][在此处键入]
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记 表示抽到一等品的箱数，求 的分布列和期望.
【解析】（1）设从这9箱产品中随机抽取的3箱产品中至少有2箱是一等品的事件为 ，
则 ，
因此从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率为 .
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ，由超几何分布概率公式得
， ， ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
变式22．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话
题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该
知识竞赛中的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450
～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于
850分的学生称为“最佳选手”．
[在此处键入][在此处键入]
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从分数落在 ， 内的两组学生中抽取7人，再
从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变
量 ，求 的分布列及数学期望．
【解析】（1）由题意知 ，
解得 ，
分数段 对应的频率为0.1， 对应的频率为0.35， 对应的频率
为0.25，
设中位数为x，则 ．
由 ，解得 ．
（2）由题意知从分数段 对应的学生中抽取5人，
从 对应的学生中抽取2人，随机变量 的所有可能取值为0，1，2．
则 ，
，
，
随机变量X的分布列为
[在此处键入][在此处键入]
0 1 2
所以 ．
变式23．（2024·河北衡水·河北衡水中学校考一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部
分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物
生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好
的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬
菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地
环境质量等级划定如表所示.
环境质 土壤各单项或综合 灌溉水各单项或综合 环境空气各单项或综 等级
量等级 质量指数 质量指数 合质量指数 名称
清洁
尚清
洁
超标
各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，
若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地
下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、
丁、戊、已、庚、辛，共 个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监
测得到的相关数据如下：
(1)若从这 个村中随机抽取 个进行调查，求抽取的 个村应对土壤做进一步调研的概率；
(2)现有一技术人员在这 个村中随机选取 个进行技术指导，记 为技术员选中村的环境
[在此处键入][在此处键入]
空气等级为尚清洁的个数，求 的分布列和数学期望.
【解析】（1）由折线图可知：应对土壤做进一步调研的村共 个，
从 个村中随机抽取 个进行调查，基本事件总数有 个；
其中抽取的 个村应对土壤做进一步调研的基本事件个数有 个，
所求概率 .
（2）由折线图可知：环境空气等级为尚清洁的村共有 个，则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
【解题方法总结】
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取 次；(2)
随机变量 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 ， ， 的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
例13．（2024·全国·高三专题练习）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，
消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
[在此处键入][在此处键入]
方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽
奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；
若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打
折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，
有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优
惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件 ，则 ，
所以两位顾客均享受到免单的概率为 ；
（2）若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 、 、 、 .
， ，
， .
故 的分布列为，
所以 （元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则 ，
由已知可得 ，故 ，
所以 （元）.
因为 ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
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例14．（2024·全国·高三专题练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．
为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在
线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成 ，
， ， ， ， ， ， ， 九组，绘制成如图所示
的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在 内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平
均阅读时间在 ， ， 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10
人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在 内的学生人数为X，求X的
分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用 表示这
10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在 内的概率，其中 ，1，2，…，10．
当 最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【解析】（1）由频率分布直方图得：
[在此处键入][在此处键入]
，
解得 ， ，所以日平均阅读时间在 内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在 ， ， ， ， ， 三组内的学生人数分别
为： 人， 人， 人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在 ， 内的学生中抽取： 人，
现从这10人中随机抽取3人，则 的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望 .
（3） ，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在 内的概率为0.50，从该地区所有高一学生
中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在 内的分布列服从二项分布
[在此处键入][在此处键入]
， ，由组合数的性质可得 时 最
大.
例15．（2024·全国·镇海中学校联考模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、
30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为 ，从学校全体男生中随机
选取3人，记 为3人中身高不超过 的人数，以频率估计概率求 的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有
个男生的概率为 ，求使得 取得最大值的 的值.
【解析】（1） 所有可能的取值为 ，且 .
；
；
；
.
故 的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以 .
（2）设事件 为“被选出的人中恰好有 位男生”，
则30个人中剩下 个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为 ，
所以 .
所以 ，解得 .
[在此处键入][在此处键入]
所以 ，
故当 时， 最大.
变式24．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，
组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取
100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.
(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）
(2)从竞赛成绩在 的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从
这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在 的学生人数为 ，求 的分布列和数学期
望 ；
(3)以样本的频率估计概率，从 随机抽取20名学生，用 表示这20名学生中恰
有 名学生竞赛成绩在 内的概率，其中 ．当 最大时，求 .
【解析】（1）由直方图可知成绩在 ， ， ， 的频率和为
，而成绩在 的频率为 ，
则抽取的100名学生成绩的中位数在 内，设中位数为x，则
，
[在此处键入][在此处键入]
解得 ，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为 ；
（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在 ， 两组的频率之比为
，
则10人中竞赛成绩在 的人数为 人；在 的人数为 人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
于是 ， ，
， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为 ；
（3）用频率估计概率，竞赛成绩在 内的概率 ，
则 ，
．
令 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，即 ，
当 时， ，当 时， ，
[在此处键入][在此处键入]
所以当 或 ， 最大.
【解析】（1）设 为事件：“在一轮比赛中，教师甲获得优秀奖”，则事件 发生的所
有情况有：
所以 ．
则强化训练后，教师甲在一轮比赛中可获得“优秀奖”的概率为：
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行4轮比赛可看作4重伯努利试验．
用 表示教师甲在4轮比赛中获得“优秀奖”的次数，则 ．
，故教师甲不能进入复赛．
变式25．（2024·甘肃·统考一模）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力
量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不
到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予
我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了 名学生进行调查，
得到了这 名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制
成如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)为进一步了解这 名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在 ， ，
[在此处键入][在此处键入]
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 人，现从这 人中随机抽取 人，
记周平均阅读时间在 内的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生，用 表示这 名
学生中恰有 名学生周平均阅读时间在 内的概率，其中 ．当 最大
时，写出 的值．
【解析】（1） ， .
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在 ， ， 三组的频率之比
为 ，
人中，周平均阅读时间在 的人数为 人；在 的人数为
人；在 的人数为 人；
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
数学期望 .
（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生，周平均阅读时间在 内的
[在此处键入][在此处键入]
概率 ；
则 ，
若 最大，则 最大， 当 时， 取得最大值.
变式26．（2024·内蒙古·高三校考期末）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育
节目的收视情况，随机抽取了 名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均
收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于 分钟的观众
称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 名观众，抽取 次，记被
抽取的 名观众中的“体育迷”人数为 ．若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布
列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这 名“体育迷”中抽取 名观众，再从抽取的抽取 名观众中
随机抽取 名， 表示抽取的是“体育迷”的人数，求 的分布列．
【解析】（1）“体育迷”对应的频率为： ，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取 名观众，该观众是“体育迷”
的概率为 ，则 ；
所有可能的取值为 ，
； ；
[在此处键入][在此处键入]
； ；
的分布列为：
数学期望 .
（2）根据分层抽样原则知：抽取的 人中，有“体育迷” 人，非“体育迷”体育
迷 人，则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
的分布列为：
【解题方法总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相
同的.
题型六：正态密度函数
例16．（2024·全国·高三竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件 ，且
服从标准正态分布．设函数 ，则 的图像大致为（ ）
[在此处键入][在此处键入]
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 或 ，因为 ，
所以 或 ，即 或 ，
或 或
因为 服从标准正态分布，所以根据对称性可知 ，所以函数 关于
对称，故排除AC；
当 时， ， ，所以
或 ,因为 ，其中 ，
， ，根据 原则可知， ，所以排除B；
故选：D
例17．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量 的正态分布密度函数为
[在此处键入][在此处键入]
， ，则参数 ， 的值分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由正态分布密度函数表达式知 ， .
故选：D.
例18．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考开学考试）某市期末教学质量检
测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是
（ ）
A．甲学科总体的均值最小
B．乙学科总体的方差及均值都居中
C．丙学科总体的方差最大
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
【答案】C
【解析】由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等由正态密度曲线的性质,可知σ越大,
正态曲线越扁平,σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
故选:C.
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知连续型随机变量X~N(u，σ2)(i=1，2，3)，其正
i i i
态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
[在此处键入][在此处键入]
A．P(X≤μ)<P(X≤μ)
1 2 2 1
B．P(X≥μ)>P(X≥μ)
2 2 3 3
C．P(X≤μ)<P(X≤μ)
1 2 2 3
D．P(μ﹣2σ≤X≤μ+2σ)=P(μ ﹣2σ ≤X ≤μ +2σ )(i=1，2)
i i i i i i+1 i+1 i+1 i+1 i+1
【答案】D
【解析】对于A：P(X≤μ)是第一条正态分布密度函数图象在第二条虚线左侧与x轴围成的
1 2
部分，
P(X≤μ)是第二条正态分布密度函数图象在第一条虚线左侧与x轴围成的部分，
2 1
故由图象可知P(X≤μ)>P(X≤μ)，故A错误；
1 2 2 1
对于B：P(X≥μ)= ，P(X≥μ)= ，则P(X≥μ)=P(X≥μ)，故B错误；
2 2 3 3 2 2 3 3
对于C：与A分析同理，P(X≤μ)>P(X≤μ)，故C错误；
1 2 2 3
对于D：由于概率表示曲线和x轴围成的部分，与是i还是i+1无关，
故P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi ﹣2σi ≤Xi ≤μi +2σi )(i=1，2)成立，故D正确.
+1 +1 +1 +1 +1
故选：D.
变式28．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）某物理量的测量结果服
从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越大，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
[在此处键入][在此处键入]
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】A
【解析】 为数据的方差，所以 越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在
内的概率越小，故A错误;
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的
概率相等，故C正确；
由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在 与落在
的概率相等，故D正确.
故选：A.
【解题方法总结】
求正态曲线的两个方法
（1）图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值 ，纵坐标为 ．
（2）待定系数法：求出 ， 便可．
题型七：正态曲线的性质
例19．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）若随机变量 ，则下列
选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据随机变量 可知正态分布曲线的对称轴为 ，均值为2，方
差为4，
所以 ，故A正确， ，故B
[在此处键入][在此处键入]
正确，
，C正确，
，故D错误，
故选：D
例20．（2024·湖北荆州·高三石首市第一中学校考阶段练习）某校高二年级1600名学生参
加期末统考，已知数学成绩 （满分150分）．统计结果显示数学考试成绩
在80分到120分之间的人数约为总人数的 ．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生
人数约为（ ）
A．80 B．100 C．120 D．200
【答案】D
【解析】由题意可知：成绩 ，则其正态曲线关于直线 对称，
又因为成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的 ，
由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的 ，
所以此次考试成绩不低于120分的学生约有： 人．
故选：D．
例21．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）随机变量 服从正态分布
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由随机变量 服从正态分布 ，其正态分布分布曲线的对称轴为直线
，
[在此处键入][在此处键入]
则 ， ，
，且 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：D.
变式29．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）南沿江高铁即将开通，某小
区居民前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，经测
算所需时间（单位为分钟）服从正态分布 ；路线②骑共享单车到地铁站，乘地
铁前往，路程长，但意外阻塞较少，经测算所需时间（单位为分钟）服从正态分布
.该小区的甲乙两人分别有 分钟与 分钟可用，要使两人按时到达车站的可
能性更大，则甲乙选择的路线分别为（ ）
A．①､① B．①､② C．②､① D．②､②
【答案】C
【解析】由正态分布的区间概率知 ，
，
令路线①所需时间 ，路线②所需时间
对于甲：有 分钟可走，
走第一条路线：故 ，
走第二条路线：则 ，
所以 ，所以应选择路线②；
对于乙：有 分钟可走，
[在此处键入][在此处键入]
走第二条路线：
走第一条路线：则 ，
所以 ，所以选择路线①.
故选：C
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X服从正态分布 ，下列四个
命题：
甲： ；乙： ；
丙： ；丁：
如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】因为 、 均等价于 ，
由题意可得：乙、丙均为真命题，且 ，
对于甲：因为 ，故甲为真命题；
对于丁：因为 ，故丁为假命题；
故选：D.
变式31．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题设可知， 服从均值为 ，标准差 的正态分布， 服从均值为 ，
[在此处键入][在此处键入]
标准差 的正态分布.
事件“ ”的概率仅与正数 有关，且 越大，该事件的概率越大，因此：
和 分别等价于 和 ，故后者的概率更大，
A正确，B错误；
和 分别等价于 和 ，两者概率相同，C错
误，D错误；
故选：A.
题型八：正态曲线概率的计算
例22．（2024·全国·高三对口高考）设 ，且 ，那么
的值是（ ）
A．p B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，正态曲线关于 对称，
∴ .
故选：C.
例23．（2024·重庆·高三校联考开学考试）已知随机变量 ，随机变量
，若 ， ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
[在此处键入][在此处键入]
解得 或 （舍），
由 ，则 ，
所以 .
故选：C.
例24．（2024·广东·统考模拟预测）研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收
入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知 ，则
（ ）
参考数据：若 ，则 ，
， .
A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84
【答案】D
【解析】依题意， ，
所以
.
故选：D.
变式32．（2024·河北·统考模拟预测）山东烟台某地种植的苹果按果径 （单位： ）
的大小分级，其中 的苹果为特级，且该地种植的苹果果径 ．若
在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（ ）（参考
数据： ， ． ，
）
[在此处键入][在此处键入]
A．3000 B．13654 C．16800 D．19946
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
，
，
所以 ，
所以特级苹果的个数约为 个.
故选：C.
变式33．（2024·西藏林芝·校考模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X
服从正态分布 ，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数
约为（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ）
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
【答案】A
【解析】由题设
，
所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为 人.
故选：A
变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则
， ，
[在此处键入][在此处键入]
.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引
单位：毫米）服从正态分布 ，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K
个的质量指标ξ位于区间 .若 ，试以使得 最大的N值作为N的
估计值，则N为（ ）
A．45 B．53 C．54 D．90
【答案】B
【解析】由已知可得，
.
又
，
所以， ， .
设 ，
则 ，
所以， ，所以 .
，
所以， ，所以 .
[在此处键入][在此处键入]
所以，以使得 最大的N值作为N的估计值，则N为 .
故选：B.
变式35．（2024·全国·高三专题练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都
会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是
1000g，上下浮动不超过50g．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为
1000g，标准差为50g的正态分布．假设面包师的说法是真实的，记随机购买一个面包的质
量为X，若 ，则买一个面包的质量大于900g的概率为（ ）
（附：①随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ；）
A．0.84135 B．0.97225
C．0.97725 D．0.99865
【答案】C
【解析】由题意得 ，
故面包的质量大于900g的概率为 .
故选：C
变式36．（2024·全国·高三专题练习）某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从
正态分布 ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）（参考数据：若
随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ）
A．17 B．23 C．34 D．46
【答案】B
【解析】若随机变量 服从正态分布 ，
[在此处键入][在此处键入]
则 ，
.
因为这1000户中用电量在320度以上的居民户数估计约为 ，
即在这1000户中，用电量在320度以上的用户数约为23.
故选：B.
变式37．（2024·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知函数 在R
上单调递增的概率为 ，且随机变量 ．则 等于（ ）
[附：若 ，则 ，
．]
A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413
【答案】A
【解析】使 在R上单调递增的充要条件是 ，即 ，故
.
由于随机变量 ，则 ，即 ，即 ， .
故 ，
，
所以
．
故选：A．
变式38．（2024·江苏镇江·高三统考开学考试）已知随机变量 服从正态分布 ，
[在此处键入][在此处键入]
若 ，则 等于（ ）
A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 .
故选：B.
变式39．（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设随机变量 服从正
态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2
【答案】A
【解析】由于 ，所以 ，
所以 .
故选：A
变式40．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知随机变量 服从正态分布
，如果 ，则 （ ）
A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794
【答案】A
【解析】∵随机变量 服从正态分布 ，∴正态曲线关于 对称，
∴ ，
.
[在此处键入][在此处键入]
故选：A.
【解题方法总结】
1、正态分布下两类常见的概率计算
（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线
关于直线 对称，曲线与 轴之间的面积为1．
（2）利用 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的 ， 进
行对比联系，确定它们属于 ， ， 中的哪一
个．
2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
（1）充分利用正态曲线对称性和曲线与 轴之间面积为1．
（2）熟记 ， ， 的
值．
题型九：根据正态曲线的对称性求参数
例25．（2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）已知随机变量 ，
若 ，则实数 的值为 .
【答案】1
【解析】由随机变量 ，且 ，
所以 与 关于 对称，
即 ，解得 ；
故答案为：1
例26．（2024·上海宝山·上海交大附中校考三模）随机变量 ，
，若 ，那么实数 的值为 .
【答案】
【解析】 ， ， ， ，
， ，解得： .
故答案为： .
[在此处键入][在此处键入]
例27．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知随机变量 ，且
，则 的最小值为 .
【答案】8
【解析】由随机变量 ，且 知 关于 对称，
故 ，由不等式 ，得 当且仅当 时取等号，
的最小值为8.
故答案为：8
变式41．（2024·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知随机变量
，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为随机变量 ，且 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
变式42．（2024·重庆·统考三模）已知随机变量 ，若 ，则
[在此处键入][在此处键入]
．
【答案】 /
【解析】由已知可得， ，
根据正态分布的对称性可得， ，
所以， .
故答案为： .
变式43．（2024·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）某工厂生产一批零件（单
位： ），其尺寸 服从正态分布 ，且 ， ，则
．
【答案】16
【解析】∵ ， ，
∴ ，∴ .
故答案为：16
变式44．（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）若随机变量 服从正态分
布 ，且 ，则 的值是 ．
【答案】 /
【解析】因为随机变量 服从正态分布 ，且 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以，
故答案为：
[在此处键入][在此处键入]
变式45．（2024·山东青岛·统考二模）某市高三年级男生的身高 （单位： ）近似服从
正态分布 ，已知 ，若 .写出一个符合
条件的 的值为 .
【答案】 （ 中的任意一个数均可）
【解析】因为 ，且 ,
则 ,且 ，
故若 ，则 .
故答案为: （ 中的任意一个数均可）.
变式46．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）在某项测量中，测得变量
．ξ在 内取值的概率为 ，则ξ在 内取值的概率为 ．
【答案】0.4/
【解析】因为ξ符合正态分布 ，所以曲线的对称轴是 ，
因为ξ在 内取值的概率为0.8，
所以ξ在 内取值的概率为0.4．
故答案为：0.4.
【解题方法总结】
① ；
② ；
③若 ，则 ．
特别提醒：正态曲线，并非都关于 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于 轴对称．
题型十：正态分布的实际应用
例28．（2024·全国·高三专题练习）某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发
[在此处键入][在此处键入]
展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了
100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;
(2)若所有学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值，
．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三
等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为 ，
第三道题答对的概率为 ．若他获得一等奖的概率为 ，设他获得二等奖的概率为 ，求
的最小值．
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
【解析】（1）设样本平均数的估计值为
则 ．
解得 ．所以样本平均数的估计值为62．
前三组的频率和为 ，
前四组的频率和为 ，
第四组的频率为 ，
所以 分位数为 .
（2）因为学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 ．
所以 ．所以 ．
[在此处键入][在此处键入]
所以估计能参加复试的人数为 ．
（3）由该学生获一等奖的概率为 可知： ．
则 ．
令 ．
．
当 时， ;当 时， ．
所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
所以 ．所以 的最小值为 ．
例29．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）某地区举行专业技能考试，
共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后方可参加复试．为了解考生的考试情况，
随机抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图所示的样本频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计样本的平均数；
(2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值，
，试估计所有考生中初试成绩不低于80分的人数；
(3)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得
10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试
[在此处键入][在此处键入]
中前两题每道题能答对的概率均为 ，后两题每道题能答对的概率均为 ，且每道题回答
正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为 ，求 .
附：若随机变量 服从正态分布 ，则： ，
， .
【解析】（1）由题意得，样本平均数的估计值为
.
（2）以为学生初试成绩 服从正态分布 ，其中 ， ，
则 ，
所以 ，
所以估计初试成绩不低于80分的人数为 人.
（3）由题意得， ，
，
所以 .
例30．（2024·山东·高三校联考开学考试）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的
零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件
的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘
米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布 ， ， 分别为这100个零件的直径的平均
数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
[在此处键入][在此处键入]
(1)分别求 ， 的值；
(2)试估计这批零件直径在 的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在 的个数.
参考数据： ；若随机变量 ，则 ，
， .
【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
故 ， .
（2）设 表示零件直径，则 ，即 .
，
由对称性得， ，即 .
同理， ，
，即 .
[在此处键入][在此处键入]
.
故这批零件直径在 的概率为0.8186.
（3）由（2）知， ，
所以在这2000个零件中，零件的直径在 的有 个.
变式47．（2024·山东临沂·高三校联考开学考试）在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参
赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，
统计他们的年龄数据，得样本平均数 ．
(1)若所有参赛者年龄X服从正态分布 ，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数；
(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位
参赛者作品有 的概率评为A类， 的概率评为B类，每位参赛者作
品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为 ，
求 的极大值点 ；
(3)以（2）中确定的 作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些
幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：A类作品参赛者获得1000元现金，B类作品
参赛者获得100元现金；乙：A类作品参赛者获得3000元现金，B类作品参赛者不获得现
金奖励．根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低．
附：若 ，则 ．
【解析】（1）因为 ，
则 .
所以参赛者年龄在30岁以上的人数约为 （人）.
[在此处键入][在此处键入]
（2）记 ，设 ， 其中 为 的极大值点.
依题意可得 ，
则 ，
令 ，因为 ，故 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值点 ；
（3）由题意知 .
记 分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额，
因为 .
所以 ，
所以 .
故选择甲方式成本更低.
变式48．（2024·福建厦门·厦门一中校考二模）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，
他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均
质量是 ，上下浮动不超过 .这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从
期望为 ，标准差为 的正态分布.
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(1)已知如下结论：若 ，从X的取值中随机抽取 个数据，记这
k个数据的平均值为Y，则随机变量 ，利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为
Y，求 ；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在
上，并经计算25个面包质量的平均值为 .庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率
角度说明庞加莱举报该面包师的理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中
黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后
从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：①随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ；
②通常把发生概率小于 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【解析】（1）（i）因为 ，所以 ，因为
，所以 ，因为
，
所以 ；
（ii）由第一问知 ，庞加莱计算25个面包质量的平均
值为978.72g， ，而 ，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，
这就是庞加莱举报该面包师的理由；
[在此处键入][在此处键入]
（2）设取出黑色面包个数为随机变量 ，则 的可能取值为0，1，2.
则 ，
，故分布列为：
0 1 2
其中数学期望 .
变式49．（2024·广东江门·高三统考阶段练习）为深入学习党的二十大精神，某学校团委
组织了“青 春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了200 份试卷
进行调查，这200 份试卷的成绩（卷 面共100分）频率分布直方图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N，2 （用样本平均数和标准差 s
分别作为 、 的近似值），已知样本标准差 s 7.36 ，如有84%的学生的竞赛 成绩
高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间80，90 和90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这
10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷
有2份来自区间80，90 的概率．
参考数据：若 X ~N ，2 ，则 P X 0.68 ，P 2 X
2 0.95 ， P 3 X 3 0.99 .
【解析】（1）由频率分布直方图可知，
[在此处键入][在此处键入]
平均分 ；
（2）由（1）可知
设学校期望的平均分约为m，则 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以学校期望的平均分约为73分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在 和 的频率分别为0.35和0.15，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在 ，应抽取 人，
分数在 应抽取 人，
记事件 ：抽测的3份试卷来自于不同区间；事件B:取出的试卷有2份来自区间80，90
，
则 ， ，
则 ．
所以抽测3份试卷有2份来自区间80，90 的概率为 .
变式50．（2024·全国·高三专题练习）2022年中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开
之际，结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中继续开展党史
学习教育．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参
加入员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
[在此处键入][在此处键入]
(1)现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 ，试求随机变量 的
分布列及期望．
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布
，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 ．现从所
有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独
立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少?
参考数据： ， ，
， ．
【解析】（1）100人中得分不低于80分的人数为 ，
随机变量 可能的取值为0，1，2．
又 ， ， ，
则 的分布列为：
0 1 2
P
．
[在此处键入][在此处键入]
（2） ．
，
∴
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数
为随机变量 ，则 ，其中 ，
所以恰好有k个参赛者的分数不低于82.3的概率为 ，
．
由 ，得 ．
所以当 时， ，
当 时， ，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79．
变式51．（2024·全国·高三专题练习）N95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对
空气动力学直径 的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N95
型口罩对空气动力学直径 的颗粒的过滤效率服从正态分布 ．
(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径 的颗粒的过滤
效率为93．6%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，
判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据．
(2)该厂将对空气动力学直径 的颗粒的过滤效率达到95．1%以上的N95型口罩定义
[在此处键入][在此处键入]
为“优质品”．
（ⅰ）求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；
（ⅱ）该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩互相独立，记 为这1000只口
罩中“优质品”的件数，当 为多少时可能性最大（即概率最大）？
【答案】(1)生产的口罩出现过滤效果在 之外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应
该停止生产
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）当 时， 取得最大值
【解析】
（1）已知过滤效率服从 ．而 ，所以
，则 ，即生产的口罩出现过滤效果在
之外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应该停止生产．
（2）（ⅰ）不妨记“N95口罩的过滤效果”为 ，则一只口罩为“优质品”的概率为
．
（ⅱ）依题意 ，记 ， ，则
．
问题等价于求当 取何值时 取得最大值．
（解法1）由 化简得
即 ，从而 ，解得 ．
（解法2）由于对 ， ，
因此：当 时， ；
[在此处键入][在此处键入]
当 时， ；
当 时， ．
由以上分析知， 在 上单调递增，在 上单调递减．
代入数据得 ，而 是正整数，所以
且 ，故当 时， 取得最
大值．
【反思】
由于 ，记 ， ，因此最可能成功次数
．所以当 时， 取得最大值．
题型十一：标准正态分布的应用
例31．（2024·全国·高三专题练习）2024年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排
的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球
已知这种球的质量指标 （单位：g）服从正态分布 ，其中 ， .
比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规
则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；
而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1
班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3
班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为 .
(1)令 ，则 ，且 ，求 ，并证明：
；
[在此处键入][在此处键入]
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为 ，求出 的最大值点 ，并
以 作为 的值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为 ，求 的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过
后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；
若不能，请说明理由.
参考数据： ，则 ，
， .
【解析】（1） ，又 ，
所以 .
因为 ，根据正态曲线对称性， ，
又因为 ，所以 .
（2） ，
.
令 ，得 .
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数.
所以 的最大值点 ，从而 .
（ⅰ） 的可能取值为3，2，1，0.
[在此处键入][在此处键入]
， ，
， ，
所以 的分布列为
3 2 1 0
（ⅱ）若 ，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，
则11轮过后的总积分是28分， ，所以，1班如果第10轮积3分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为 .
例32．（2024·全国·高三专题练习）《山东省高考改革试点方案》规定： 年高考总成
绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选
考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 、 、 、 、 、
、 、 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 、 、
、 、 、 、 、 ，选择科目成绩计入考生总成绩时，将 至 等级
内的考生原始成绩 ，依照 （ 、 分别为正态分布的均值和标准差）分别转
换到 、 、 、 、 、 、 、 八个分数区间，
得到考生的等级成绩．如果山东省 年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩
， ．
(1)若规定等级 、 、 、 、 、 为合格， 、 为不合格，需要补考，估计
这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省 名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始
分相互独立，记 为被抽到的原始分不低于 分的学生人数，求 的数学期望和方差．
附：当 时， ， ．
【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为 ，
[在此处键入][在此处键入]
由 且 ，可得 ，
由 ，可得 ，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为 分.
（2）若 ，则 ， ，
由题意可知 ，
， .
例33．（2024·全国·高三专题练习）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者
8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服
务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查
了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 (同一组中的数据
用该组数据区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布 ，其中 近
似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分
布的概率进行计算：若 ，令 ，则 ，且
[在此处键入][在此处键入]
．
(i)利用直方图得到的正态分布，求 ；
(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时
的人数，求 (结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．
参考数据： ， ， ， ，
.若 ，则 ， ，
.
【解析】（1） ，
．
（2）(i)由题意并结合(1)可知， ， ，
∴ ，∴ ．
(ii)由(ⅰ)可知， ，
∴ ，
∴ ， ．
变式52．（2024·全国·高三专题练习）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共
有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅
览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为 ，求 的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当 比较大时，二项分布可视为正态分布．此
外，如果随机变量 ，令 ，则 ．当 时，对于任意
[在此处键入][在此处键入]
实数 ，记 ．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态
分布 对应的概率值．例如当 时，由于 ，则先在表的最左列找
到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于
第三行第八列的数字0.5636便是 的值．
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0. 0.500 0.504 0.508 0.512 0.516 0.519 0.523 0.531 0.535
0.5279
0 0 0 0 0 0 9 9 9 9
0. 0.539 0.543 0.547 0.551 0.555 0.559 0.563 0.571 0.575
0.5675
1 8 8 8 7 7 6 6 4 3
0. 0.579 0.583 0.587 0.591 0.594 0.598 0.602 0.610 0.614
0.6064
2 3 2 1 0 8 7 6 3 1
0. 0.617 0.621 0.625 0.629 0.633 0.636 0.640 0.648 0.651
0.6443
3 9 7 5 3 1 8 4 0 7
0. 0.655 0.659 0.662 0.666 0.670 0.673 0.677 0.6808 0.684 0.687
4 4 1 8 4 0 6 2 ， 4 9
0. 0.691 0.695 0.698 0.701 0.705 0.708 0.712 0.719 0.722
0.7157'
5 5 0 5 9 4 8 3 0 4
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则 ，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得， ，
可得 ，则 ，
则 ，
由标准正态分布性质可得， ，
[在此处键入][在此处键入]
故 ，
故 ，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为 ；
②查表可得， ，则 ，
即 ，
又 ，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
变式53．（2024·全国·高三专题练习）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿
者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志
愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机
调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直
方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 和样本方差 （同一组中的数据
用该组区间的中间值代表）；
[在此处键入][在此处键入]
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 服从正态分布 ，其中
近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．一般正态分布的概率都可以转化为标准正
态分布的概率进行计算：若 ，令 ，则 ，且
．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求 ；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记 表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10
小时的人数，求 （结果精确到0.001）以及 的数学期望．
参考数据： ， ．若 ，则 ．
【解析】（1） ．
．
（2）（ⅰ）由题知 ， ，所以 ， ．
所以 ．
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，可得 ．
．
故 的数学期望 ．
变式54．（2024·福建·高三统考阶段练习）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地
猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对
于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的
[在此处键入][在此处键入]
大型养猪场，均养有1万头猪，将其中重量（kg）在 内的猪分为三个成长阶段如下
表.
猪生长的三个阶段
阶段 幼年期 成长期 成年期
重量（Kg）
根据以往经验，两个养猪场猪的体重X均近似服从正态分布 .由于我国有关
部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保
证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、
乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 ， .
（1）试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利600元，若为不合
格的猪，则亏损100元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利
500元，若为不合格的猪，则亏损200元.
（ⅰ）记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列；
（ⅱ）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.
（参考数据：若 ， ，
， ）
【解析】（1）由于猪的体重X近似服从正态分布 ，
设各阶段猪的数量分别为
（头）；
同理，
（头）
[在此处键入][在此处键入]
所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；
（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为
随机变量Y可能取值为 .
， ，
所以Y的分布列为：
1100 400
P
所以 （元）
由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，
则总利润期望为 （元）.
变式55．（2024·全国·高三专题练习）为了解 市高三数学复习备考情况，该市教研机构
组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布
直方图.
[在此处键入][在此处键入]
（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 ；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩 近似服从正态分布 （ ，
约为19.3）.
①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占 ，据此估计本
次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
②已知 市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全
市排名大约是多少名？
（说明： 表示 的概率， 用来将非标准正态分布化为
标准正态分布，即 ，从而利用标准正态分布表 ，求 时的概率
，这里 ,相应于 的值 是指总体取值小于 的概率，即
.参考数据： ， ， ）.
【解析】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
（分）.
（2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 ，
根据题意， ，
即 .
由 ，得
[在此处键入][在此处键入]
解得 ，
所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.
② ，
所以理科数学成绩为107分时，大约排在 名
[在此处键入]
