北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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9.4 二项分布、超几何分布与正态分布
五年高考
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并
举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到
推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服
从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量
Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) ( BC )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
考点1 二项分布和超几何分布
1.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的
1 1
红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则m-n= 1
6 3
8
,E(ξ)= .
9
2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,
随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓
度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量
(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数
据的个数,完成如下列联表:
<m ≥m
对照组北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境
中体重的增加量有差异?
n(ad−bc) 2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
C0 C2
19
C1 C1
20
则P(X=0)= 20 20 = ,P(X=1)= 20 20 = ,
C2 78 C2 39
40 40
C2 C0
19
P(X=2)= 20 20= ,
C2 78
40
∴X的分布列为
X 0 1 2
19 20 19
P
78 39 78
19 20 19
∴E(X)= ×0+ ×1+ ×2=1.
78 39 78
23.2+23.6
(2)(i)依题意可得m= =23.4.
2
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
<m ≥m
对照组 6 14
试验组 14 6
(ii)由(i)中列联表可得
40×(6×6−14×14) 2
K2= =6.4>3.841,
20×20×20×20
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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考点2 正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,中)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不
正确的是 ( D )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0 . 1 4 .北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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三年模拟
练速度
1.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员
的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,
D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= ( B )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
2.(2024河北石家庄二模,2)某市教育局为了解高三学生的学习情况,组织了一次摸底考试,
共有50 000名考生参加这次考试,数学成绩X近似服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=
(x−90)2
1
e 2σ2 ,x∈R且P(70≤X≤110)=0.8,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人
σ√2π
数约为
( D )
A.2 000 B.3 000 C.4 000 D.5 000
3.(2024浙江部分学校联考,3)下列说法正确的是 ( C )
( 1)
A.若随机变量η~B 12, ,则D(η)=3
4
B.若随机变量ξ~N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(2<ξ<4)=0.4
C.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19
1 2 1
D.若P(A∩B)= ,P(A)= ,P(B)= ,则事件A与事件B相互独立
9 3 3
4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).
如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级
为A的测验数据的最小值可能是 ( C )
(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
A.94 B.86 C.82 D.78
5.(2024福建泉州质量检测三,6)中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若
随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)>5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替
代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2 500
次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为 ( D )
附:若:η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈
0.997 3.
A.0.002 7 B.0.5 C.0.841 4 D.0.977 3北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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6.(2024湖北黄冈二模,8)某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,
为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两
人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则
4
不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p ,p ,且满足p +p = ,每局之间相互独立.记
1 2 1 2 3
甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人
训练的轮数至少为 ( A )
A.27 B.24 C.32 D.28
7.(2024浙江温州三模,12)设随机变量ξ服从正态分布N(2,1),若P(ξ>a+1)=P(ξ<a),则a=
3
.
2
8.(2024福建质检,12)某企业生产一种零部件,其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品,技术改
造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16);技术改造后,该企业生
产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.04).那么,该企业生产的这种零部件技术
改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 0 . 271 8 .(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|
<σ)=0.682 7,P(|X-μ|<2σ)=0.954 5,P(|X-μ|<3σ)=0.997 3)
练思维
1.(2024广东佛山质量检测二,17)如图,在一条无限长的轨道上,一个质点在随机外力的作
用下,从位置0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,设移动n次后质点位于位置
X .
n
(1)求P(X =-2);
4
(2)求E(X );
n
(3)指出质点最有可能位于哪个位置,并说明理由.
( 1)
解析 设质点n次移动中向右移动的次数为Y,则Y~B n, ,X =Y-(n-Y)=2Y-n. (3
2 n
分)
(1)P(X
=-2)=P(Y=1)=C1(1) 1 (1) 3
=
4
=
1
. (7分)
4 4 2 2 16 4
( 1)
(2)E(X )=2E(Y)-n=2 n· -n=0.(9分)
n 2
(3)P(Y=k)=Ck(1) k (1) n−k
=
C
n
k
. (11分)
n 2 2 2n北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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n n
若n为偶数,C
n
k中间的一项
C2
取得最大值,即Y=
2
概率最大,此时X
n
=0,所以质点最有可能
n
位于位置0; (13分)
n+1 n−1 n+1 n−1
若n为奇数,C n k中间的两项 C 2 , C 2 取得最大值,即Y= 2 或Y= 2 概率最大,此时
n n
X =1或
n
-1,所以质点最有可能位于位置1或-1. (15分)
2.(2024湖南衡阳第二次联考,16)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛,一共收到500
篇作品,由评委会给每篇作品打分,下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分:
82,70,58,79,61,82,79,61,58.
(1)计算样本平均数x和样本方差s2;
(2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ和σ2的估计值分别为样本
平均数x和样本方差s2,该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖,则评奖的分数线约
为多少分?
参考数据:P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9.
1 1
解析 (1)由题意可得,x= ×(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70,s2= ×[(82-70)2+(70-
9 9
70)2+(58-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(82-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(58-70)2]=100,
所以样本平均数为70,样本方差为100.
(2)因为得分X服从正态分布N(μ,σ2),且μ=x=70,σ2=s2=100,则σ=10,所以X~N(70,102),
又P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,|X-70|<13⇒57<X<83,
所以P(57<X<83)≈0.8,
又P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9,|X-70|<16⇒54<X<86,
所以P(54<X<86)≈0.9,
50
由题知评奖作品总共50篇,获奖率为 =0.1,
500
因为P(57<X<83)≈0.8,则1-P(57<X<83)≈0.2,
所以P(X<57)=P(X>83)≈0.1,即分数线约为83分.
3.(2024山东泰安一轮检测,16)某学校为了缓解学生紧张的复习生活,决定举行一次游戏
活动,游戏规则为:甲箱子里装有3个红球和2个黑球,乙箱子里装有2个红球和2个黑球,
这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,且每次游戏结束
将球放回原箱,摸出一个红球记2分,摸出一个黑球记-1分,得分在5分以上(含5分)则获
奖.
(1)求在1次游戏中,获奖的概率;北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(2)求在1次游戏中,得分X的分布列及均值.
解析 (1)设“在1次游戏中摸出i个红球”为事件A(i=0,1,2,3,4),“在1次游戏中获奖”
i
为事件B,则B=A ∪A ,且A ,A 互斥,
3 4 3 4
C2C1C1+C1C1C2
18 3
C2C2
3 1
P(A )= 3 2 2 3 2 2= = ,P(A )= 3 2= = ,
3 C2C2 60 10 4 C2C2 60 20
5 4 5 4
3 1 7
所以在1次游戏中,获奖的概率P(B)=P(A ∪A )=P(A )+P(A )= + = .
3 4 3 4 10 20 20
(2)依题意,X的所有可能取值为-4,-1,2,5,8,由(1)知,
C2C2
1
P(X=-4)=P(A )= 2 2= ,
0 C2C2 60
5 4
C1C1C2+C2C1C1
10 1
P(X=-1)=P(A )= 3 2 2 2 2 2= = ,
1 C2C2 60 6
5 4
C2C2+C2C2+C1C1C1C1
28 7
P(X=2)=P(A )= 3 2 2 2 3 2 2 2= = ,
2 C2C2 60 15
5 4
3 1
P(X=5)=P(A )= ,P(X=8)=P(A )= ,
3 10 4 20
所以X的分布列为
X -4 -1 2 5 8
1 1 7 3 1
P
60 6 15 10 20
1 1 7 3 1 13
数学期望E(X)=(-4)× +(-1)× +2× +5× +8× = .
60 6 15 10 20 5
4.(2024江苏南京、盐城一模,17)已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布
N(220,202).其电压通常有3种状态:①不超过200 V;②在200 V~240 V之间;③超过240
V.在上述三种状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率;
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件,记其中恰有2件不合格品的概率为p ,求p
n n
取得最大值时n的值.
附:若Z~N(μ,σ2),取P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.68,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.95.
解析 (1)记电压“不超过200 V”“在200 V~240 V之间”“超过240 V”分别为事件
A,B,C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件D.
因为U~N(220,202),
1−P(μ−σ<Z<μ+σ) 1−0.68
所以P(A)=P(U≤200)= = =0.16,
2 2北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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P(B)=P(200<U<240)=P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.68,
1−P(μ−σ<Z<μ+σ) 1−0.68
P(C)=P(U>240)= = =0.16. (4分)
2 2
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2=0.09,
即该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09. (7分)
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品件数为X,则X~B(n,0.09),
所以p =P(X=2)=C2·0.91n-2·0.092. (11分)
n n
p C2 ·0.91n−1·0.092 n+1 191
n+1 n+1
由 = = ×0.91>1,解得n< . (13分)
p C2·0.91n−2·0.092 n−1 9
n n
所以当n≤21时,p <p ;当n≥22时,p >p ,所以p 最大.
n n+1 n n+1 22
因此当n=22时,p 最大. (15分)
n
5.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临
灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了
调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统
计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共
20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量X(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为
i
M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X 的分布列.
1
1 20
(2)记随机变量X= ∑❑X.已知E(X+X)=E(X)+E(X),D(X+X)=D(X)+D(X).
20 i i j i j i j i j
i=1
1
(i)证明:E(X)=E(X ),D(X)= D(X );
1 20 1
(ii)该小组完成所有试验后,得到X的实际取值分别为x(i=1,2,…,20).数据x(i=1,2,…,20)的
i i i
平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分别代替E(X)和D(X),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,
Q( Q)P−n
1−
n为抽取的个数),则D(X)=n
P P P−1
Ck C100−k
解析 (1)依题意,X 服从超几何分布,故X 的分布列为P(X =k)= M N ,k∈N,0≤k≤100.
1 1 1 C100
M+N
X 0 1 … 99 100
1
C0 C100C1 C99 C99C1 C100C0
M N M N M N M N
P …
C100 C100 C100 C100
M+N M+N M+N M+N
