北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.3 条件概率、二项分布及正态分布
基础篇
【基础集训】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1
1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ,两次闭合后都出
2
1
现红灯的概率为 ,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ( )
5
1 1 2 1
A. B. C. D.
10 5 5 2
答案 C
2.在元旦假期甲地降雨的概率是0.2,乙地降雨的概率是0.3,假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影
响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为 ( )
A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56
答案 C
3.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,
随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后
在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石
头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同
学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(
)
1 2 2 8
A. B. C. D.
27 27 81 81
答案 B
4.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常
工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独
立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 ( )
1 1 3 3
A. B. C. D.
5 2 5 8
答案 D
5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子
数记为X,则X的数学期望为 ( )
A.400 B.300 C.200 D.100
答案 C
6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A
学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则
D(Y)-D(X)= ( )
125 35 27 23
A. B. C. D.
12 12 4 4
答案 A
7.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡
口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下,第2次取到的是卡
口灯泡的概率为 ( )
3 2 7 7
A. B. C. D.
10 9 8 9
答案 D
考点二 正态分布
8.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过
900的概率为 ( )
(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4)
A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4
答案 A
9.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ, ),N(μ, ),其正态分布的密度曲线如图所示,则
1σ2 2σ2
1 2
下列说法错误的是 ( )
A.甲类水果的平均质量μ=0.4 kg
1
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ=1.99
2
答案 D
10.在某项测量中,测得变量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为 (
)
A.0.2 B.0.1 C.0.8 D.0.4
答案 D
1
11.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是 ,则μ等于 ( )
2
A.1 B.2 C.4 D.不能确定
答案 C
12.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了
准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000 名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花
时间T(单位:小时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.
(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49);
(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,
对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.
(i)求E(X);
(ii)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大?
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-
σ<Z<μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3.√0.24≈0.49.
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.(2019广东东莞模拟,5)假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p,且每位市民使用支付方式都相互独立,
已知X是其中10位市民使用移动支付的人数,且EX=6,则p的值为 ( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8
答案 C 由已知得X~B(10,p),∴EX=10p=6,解得p=0.6.故选C.
2.(2020辽宁沈阳铁路实验中学10月月考,7)已知箱中共有6个球,其中红球、黄球、蓝球各2个,每次从该箱
中取1个球(每球取到的机会均等),取出后放回箱中,连续取三次.设事件A=“第一次取到的球和第二次取到
的球颜色不相同”,事件B=“三次取到的球颜色都不相同”,则P(B|A)=( )
1 1 2
A. B. C. D.1
6 3 3
答案 B ∵事件AB表示三次取到的球颜色都不相同,
2×2×2 1
∴P(AB)= = .
6×6×6 27
1
2×2 1 P(AB) 27 1
又P(A)= = ,∴P(B|A)= = = .
6×6 9 P(A) 1 3
9
解题关键 本题考查条件概率的求解,关键是能够准确理解积事件的含义,并求出对应的概率.
3.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.
当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .
5
答案
12北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 设x为掷红色骰子得到的点数,y为掷蓝色骰子得到的点数,则所有可能的事件与(x,y)建立一一对应的
关系,共有36个基本事件.
12 1 10 5 5
显然,P(A)= = ,P(B)= = ,P(AB)= .
36 3 36 18 36
5
P(AB) 36 5
解法一:P(B|A)= = = .
P(A) 1 12
3
n(AB) 5
解法二:P(B|A)= = .
n(A) 12
4.(2020河南南阳中学高三开学考试,14)“三个臭皮匠,赛过诸葛亮”,这是我们常说的口头禅,主要是说集体
智慧的强大.假设李某智商较高,他独自一人解决项目M的概率为P=0.9;同时,有n个水平相同的人也在研究
1
项目M,他们各自独立的解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M,且这n个人组成的团队也同
时研究项目M,且这n个人研究项目M的结果相互独立.设这n个人的团队解决项目M的概率为P,若P≥P,
2 2 1
则n的最小值是 .
答案 4
解析 依题意,这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为P=(
1-
1) n =(1) n ,所以P
2
=1-P=1-(1) n ,所
2 2 2
以1-(1) n ≥0.9,即 1 ≥(1) n ,解得n≥4,所以n的最小值为4.
2 10 2
5.(2020河南百校联盟9月联合检测,15)《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目,节目以“赏中华
诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨.每一期的比赛包含以下环节:“个人追逐赛”“攻擂资格争夺赛”和
“擂主争霸赛”,其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸
赛”共有九道抢答题,抢到并答对者得一分,答错则对方得一分,率先获得五分者即为该场擂主.在《中国诗词
大会》的某一期节目中,若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是0.5,则抢答
完七道题后甲成为擂主的概率为 .
15
答案
128
解析 抢答完七道题后甲成为擂主,则第7题甲得1分,前6题甲得4分乙得2分,甲最后以5∶2获胜,所以甲成
15
为擂主的概率P=C40.54×0.52×0.5= .
6 128
考点二 正态分布
1.(2018山东淄博一模,5)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( )
7 5
A. B. C.5 D.3
3 3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 A ∵随机变量ξ服从正态分布N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),∴x=2a-3与x=a+2关于直线x=3对称,
7
∴2a-3+a+2=6,∴3a=7,∴a= ,故选A.
3
2.(2019新疆乌鲁木齐八一中学月考,6)经统计,某市高三学生期末数学成绩X~N(85,σ2),且P(80<X<90)=0.3,则
从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是 ( )
A.0.35 B.0.65 C.0.7 D.0.85
1 1
答案 A ∵学生成绩X服从正态分布N(85,σ2),且P(80<X<90)=0.3,∴P(X≥90)= [1-P(80<X<90)]= ×(1-
2 2
0.3)=0.35,∴从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是0.35.故选A.
3.(2018广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000
个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是 ( )
(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.44%)
A.7 539 B.6 038 C.7 028 D.6 587
答案 D ∵X~N(1,1),∴μ=1,σ=1.
∵P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,
∴P(0<X<2)=68.26%,则P(1<X<2)=34.13%,∴阴影部分的面积为1-0.341 3=0.658 7.∴向正方形ABCD中随机
投掷10 000个点,落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.
4.(2020百校联盟TOP20 9月联考,15)若随机变量ξ服从正态分布N(9,16),则P(-3<ξ≤13)= .
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 3.
答案 0.84
0.682 7+0.997 3
解析 依题意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,故P(-3<ξ≤13)=P(μ-3σ<ξ≤μ+σ)= =0.84.
2
综合篇
【综合集训】
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
1.(2021届浙江宁海中学9月第一次模拟,8)一只小虫从数轴上的原点出发爬行,若一次爬行过程中,小虫等概
率地向前或向后爬行1个单位,设爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量ξ,则下列结论错误的是(
n
)
A.E(ξ)=0 B.D(ξ)=n
n n
C.P(ξ =0)<P(ξ =2) D.P(ξ =0)<P(ξ =0)
2 020 2 020 2 020 2 018
答案 C
1
2.(2021届广东深圳外国语学校第一次月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为 ,他连续投
2
篮n次至少得到3分的概率大于0.9,那么n的最小值是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3.(2019辽宁阜新中学10月月考,18)某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即
确定一户居民月用电量标准a,用电量不超过a的部分按平价收费.超出a的部分按议价收费,为此,政府调查
了100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)
分组的频率分布直方图如图所示,用电量在[240,260)的居民户数比用电量在[160,180)的居民户数多11户.
(1)求直方图中x,y的值;
(2)①用样本估计总体,如果希望至少85%的居民用电量低于标准,求月用电量的最低标准应定为多少度,并说
明理由;
②若将频率视为概率,现从该市所有居民中随机抽取3户,其中月用电量低于①中最低标准的居民户数为ξ,
求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
考法二 正态分布问题的解题方法
4.(多选题)(2021届山东青岛调研,12)在国家精准扶贫政策的支持下,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大
棚,种植销售红玫瑰和白玫瑰,若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和
N(280,402),则下列选项正确的是( )
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6)
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280]的概率是0.682 6,则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280,320]的概率约为0.341 3
答案 ABD
5.(2019河北冀州期末,4)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,则P(ξ≤3)= ( )
A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.11
答案 D
6.(2019江西南昌模拟,6)在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)内
的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115分的概率为( )
A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5
答案 C
7.(2019山西运城一模,19)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,
培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生
的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值作代
表);
(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2
近似为样本方差s2.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
X-μ
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y= ,则Y~N(0,1),且
σ
P(X≤a)=P( a-μ),利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);
Y≤
σ
②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结
果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.
40
参考数据:√178≈ ,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.
3
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
1.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽
到黄球的概率是 ( )
2 3 18 54
A. B. C. D.
5 5 125 125
3
答案 D 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次抽到黄球的概率P= ,∴3次
1
5
中恰有2次抽到黄球的概率P= C2(3) 2 ×(
1-
3)= 54 .
3 5 5 125
2.(2018山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则如下:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投
2
篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为 ,如果甲各次投篮投中
3
与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
8 5
A.3 B. C.2 D.
3 3
1 2 2 8 1
答案 B 在一轮投篮中,甲通过的概率P= × + = ,不通过的概率为 .
3 3 3 9 9
由题意可知,甲3个轮次通过的次数X的取值可能是0,1,2,3,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
则P(X=0)=(1) 3 = 1 ;
9 729
P(X=1)=
C1
×8×(1) 2 = 24 ;
3 9 9 729
P(X=2)=
C2
×(8) 2 ×1=192;
3 9 9 729
P(X=3)=(8) 3 =512.
9 729
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 24 192 512
P
729 729 729 729
数学期望E(X)=0× 1 +1× 24 +2× 192 +3× 512 = 8 或由X~B( 3, 8)及二项分布的期望公式可得
729 729 729 729 3 9
8 8
E(X)=3× = .
9 3
故选B.
3.(2019山西运城二模,18)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社
区群众中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果如茎叶图所示,其中以小数点前的一
位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.
(1)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;
(2)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到“很幸
福”的人数,求X的分布列及E(X).
解析 (1)设事件A={抽出的3人中至少有1人是“很幸福”的},则A表示{3人都认为不很幸福},
∴P(A)=1-P( A )=1- C 6 3 =1- 5 =199.
C3 204 204
18
(2)样本中,幸福度为“很幸福”的概率为12=2.根据题意知,随机变量X~B( 2),X的可能取值为0,1,2,3.
3,
18 3 3
P(X=0)= C0(1) 3 = 1 ,P(X=1)=
C1
×2×(1) 2 =2,P(X=2)=
C2
×(2) 2 ×1=4,P(X=3)= C3(2) 3 = 8 ,
3 3 27 3 3 3 9 3 3 3 9 3 3 27
所以随机变量X的分布列为北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
所以X的期望E(X)=0× 1 +1×2+2×4+3× 8 =2.( 2 )
或E(X)=3× =2.
27 9 9 27 3
思路分析 (1)18人中,“很幸福”的有12人,可以先计算其反面,即3人都认为不很幸福的概率,再用1减去3
人都认为不很幸福的概率即可;(2)根据题意知随机变量X~B( 2),列出分布列,求期望即可.
3,
3
考法二 正态分布问题的解题方法
1.(2020 5·3原创题)已知随机变量X服从正态分布N(80,25),若P(75<X≤m)=0.818 6,则m等于( )
(附:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5)
A.89 B.90 C.91 D.92
答案 B 由题意得σ=5,μ=80,
P(80-5<X≤80+5)=0.682 7,即P(75<X≤85)=0.682 7;
P(80-10<X≤80+10)=0.954 5,即P(70<X≤90)=0.954 5.
0.954 5-0.682 7
所以P(85<X≤90)= =0.135 9.
2
因为P(75<X≤m)=0.818 6,
而P(75<X≤90)=P(75<X≤85)+P(85<X≤90)=0.682 7+0.135 9=0.818 6,所以m=90.
命题说明 本题考查对正态曲线中μ,σ的理解,通过准确理解正态曲线的特点,将已知正态分布概率转化为相
应的变量的范围,运用数形结合的思想解决问题.
2.(2020河南许昌一模,14)在我市的高二期末考试中,理科学生的数学成绩X服从正态分布N(90,σ2),已知
P(70≤X≤90)=0.35,则从全市理科生中任选一名学生,他的数学成绩小于110分的概率为 .
答案 0.85
解析 ∵X~N(90,σ2),∴μ=90,即正态曲线关于直线x=90对称.又P(70≤X≤90)=0.35,∴P(90≤X<110)=0.35,
∴P(X≥110)=P(X≥90)-P(90≤X<110)=0.5-0.35=0.15,则P(X<110)=1-0.15=0.85.
3.(2018湖南湘潭二模,18)某校高三年级有1 000人,某次数学考试不同成绩段的人数ξ~N(127,72).
(1)求该校此次数学考试的平均成绩;
(2)计算得分超过141分的人数;
1
(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是 ,若本学期有4次考试,X表示进入前100名的次数,写
4
出X的分布列,并求期望与方差.
(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=95.44%)
解析 (1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N(127,72),可知平均成绩为μ=127.
1
(2)P(ξ>141)=P(ξ>127+2×7)= ×[1-P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)]=0.022 8,
2
故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23.
(3)由题意知X~B( 1),
4,
4
故X的所有可能取值为0,1,2,3,4,北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
P(X=0)=(3) 4 = 81 ,
4 256
P(X=1)= C1(1) 1 (3) 3 =27,
4 4 4 64
P(X=2)= C2(1) 2 (3) 2 = 27 ,
4 4 4 128
P(X=3)= C3(1) 3 (3) 1 = 3 ,
4 4 4 64
P(X=4)=(1) 4 = 1 ,
4 256
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
81 27 27 3 1
P
256 64 128 64 256
1
期望E(X)=np=4× =1,
4
1 3 3
方差D(X)=np(1-p)=4× × = .
4 4 4
