北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
11.3 二项分布与正态分布
基础篇
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式
考向一 相互独立事件、二项分布
1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付
方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,
D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= ( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案 B
2.(2015课标Ⅰ,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同
学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率
为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
答案 A
3.(2023届江苏常州一中检测,7)袋子里装有形状、大小完全相同的4个小球,球上分别
标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出
的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出
的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,则可以
得出 ( )
A.B与D相互独立 B.A与D相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
答案 C
4.(多选)(2023届哈尔滨七十三中月考,9)一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数
字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件A为“第一次向下的数字为偶数”,事件B为
“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法正确的是 ( )
1
A.P(A)=
3
B.事件A和事件B互为对立事件
1
C.P(B|A)=
2
D.事件A和事件B相互独立
答案 CD
1 1
5.(多选)(2023届浙江“山水联盟”联考,9)若P(A)= ,P(B)= ,则( )
2 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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5
A.若A,B为互斥事件,则P(A+B)=
6
5
B.P(A+B)≥
6
1
C.若A,B相互独立,则P(AB)=
3
1
D.若P(B|A)= ,则A,B相互独立
3
答案 AD
6.(多选)(2022山东质量检测,11)拋掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的面出现的点数,
在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为 ( )
A.“出现的点数为奇数”
B.“出现的点数大于2”
C.“出现的点数小于4”
D.“出现的点数小于3”
答案 BD
7.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地
随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件
“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示
事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案 B
8.(2022全国乙理,10,5分)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相
互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p ,p ,p ,且p >p >p >0.记该棋
1 2 3 3 2 1
手连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
答案 D
( 1)
9.(2022山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B 6, ,则P(ξ=4)=
3
,D(ξ)= .(用数字作答)
20 4
答案
243 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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10.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则
p= .
1
答案
3
1 1
11.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落
2 3
入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个
落入盒子的概率为 .
1 2
答案
6 3
12.(2020课标Ⅰ,19,12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负
两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者
进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继
续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮
1
空.设每场比赛双方获胜的概率都为 .
2
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
1
解析 (1)甲连胜四场的概率为 .
16
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种
1 1 1
情况:甲连胜四场的概率为 ;乙连胜四场的概率为 ;丙上场后连胜三场的概率为 .
16 16 8
1 1 1 3
所以需要进行第五场比赛的概率为1- − − = .
16 16 8 4
(3)丙最终获胜,有两种情况:
1
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ;
8
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有
1 1 1
三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 , , .
16 8 8
1 1 1 1 7
因此丙最终获胜的概率为 + + + = .
8 16 8 8 16
13. (2023届江苏百校联考,19)近年来,师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某
高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的
第一个专业)填报情况,经统计,首选志愿填报与性别情况如表:(单位:人)北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业
女性 25 35
男性 5 25
(1)根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为首选志愿为师范专业与性别有关?
(2)用样本估计总体,用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率,从2022
年全国文科考生中随机抽取3人,设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X,求
X的分布列、数学期望E(X)和方差D(X).
n(ad−bc) 2
附:χ2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
α
解析 (1)零假设为H :首选志愿为师范专业与性别无关.根据题表中数据可得χ2=
0
90×(25×25−35×5) 2
=5.625>3.841=x ,
0.05
60×30×30×60
根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H 不成立,即认为首选志愿为师范专业与性别
0
有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.
30 1
(2)某个考生首选志愿为师范专业的概率P= = ,
90 3
( 1)
X的所有可能取值为0,1,2,3,X~B 3, .
3
P(X=0)=
(2) 3
=
8
,P(X=1)=C1×
1
×
(2) 2
=
4
,
3 27 3 3 3 9
P(X=2)=C2×
(1) 2
×
2
=
2
,P(X=3)=
(1) 3
=
1
,
3 3 3 9 3 27
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
8 4 2 1
P
27 9 9 27
1 1 ( 1) 2
E(X)=3× =1,D(X)=3× × 1− = .
3 3 3 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考向二 条件概率、全概率公式
1.(2023届广东普宁华美实验学校月考,3)从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织
的“喜迎二十大,奋进新征程”的演讲比赛,则在男生甲被选中的条件下,男生乙和女生
丙至少一人被选中的概率是 ( )
1 4 3 2
A. B. C. D.
2 7 5 3
答案 C
2.(2022广东清远阳山中学月考,5)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为
3 11 8
,下雨的概率为 ,既吹东风又下雨的概率为 ,则在吹东风的条件下下雨的概率为
10 30 30
( )
8 2 9 8
A. B. C. D.
9 5 11 11
答案 A
3.(2022长沙市明德中学二模,4)学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4
人,承担本次模拟考试数学阅卷任务,则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下,有
2名女老师的概率为 ( )
4 3 3 12
A. B. C. D.
5 4 5 25
答案 B
4.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,14)两批同种规格的产品,第一批占30%,次
品率为5%;第二批占70%,次品率为4%,将两批产品混合,从混合产品中任取1件,则取
到这件产品是合格品的概率为 .
答案 0.957
5.(2023届辽宁鞍山质量监测,15)根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下
的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则
有P(A|C)=0.9,P(A|C)=0.9.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率
为0.01,即P(C)=0.01,则P(C|A)= .
1
答案
12
6.(2023届辽宁渤海大学附中月考,14)某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确
答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概
率为0.25,那么他答对题目的概率为 .
答案 0.625
7.(2023届福建漳州质检,20)漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间,
甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎,假设北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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水仙花球茎损坏后便不能使用,无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙
花球茎分别占采摘总量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用
能使用的水仙花球茎数
率分别为0.8,0.6,0.75 水仙花球茎的使用率=采摘的水仙花球茎总数 .
(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次,每次抽取一颗,记甲工作队采摘的水
仙花球茎被抽取到的次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及期望;
(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,求它是由丙工作队所采摘的概率.
1
解析 (1)在采摘的水仙花球茎中,任取一颗是由甲工作队采摘的概率是 .
4
( 1)
依题意,ξ的所有取值为0,1,2,3,且ξ~B 3, ,
4
所以P(ξ=k)=Ck(1) k (3) 3−k
,k=0,1,2,3,
3 4 4
27 27 9 1
即P(ξ=0)= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= ,
64 64 64 64
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
27 27 9 1
P
64 64 64 64
1 3
所以E(ξ)=3× = .
4 4
(2)用A ,A ,A 分别表示水仙花球茎由甲,乙,丙工作队采摘,B表示采摘的水仙花球茎
1 2 3
经雕刻后能使用,则P(A )=0.25,P(A )=0.35,P(A )=0.4,
1 2 3
且P(B|A )=0.8,P(B|A )=0.6,P(B|A )=0.75,
1 2 3
故P(B)=P(BA )+P(BA )+P(BA )=P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )
1 2 3 1 1 2 2 3 3
=0.25×0.8+0.35×0.6+0.4×0.75=0.71,
P(A B) P(A )P(B|A ) 0.3 30
所以P(A |B)= 3 = 3 3 = = .
3 P(B) P(B) 0.71 71
30
即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,它是由丙工作队所采摘的概率为 .
71
考点二 正态分布
1.(2023届广东东莞四中月考,4)某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20 000名学生参
赛,统计得考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100).考试成绩140分及以上者
可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为 ( )
附:P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 3
A.27 B.52 C.456 D.13北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 A
2.(2011湖北,5,5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则
P(0<ξ<2)= ( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
答案 C
3.(2021新高考Ⅱ,7,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中
不正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案 D
4.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从
中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-
σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
答案 B
5.(2022新高考Ⅱ,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且
P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
答案 0.14
综合篇
考法一 条件概率的求法
1.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,6)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①,
②,③三个村庄进行义诊,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往①村庄”;
B表示事件“医生乙派往①村庄”;C表示事件“医生乙派往②村庄”,则 ( )
A.事件A与B相互独立
B.事件A与C相互独立
5
C.P(B|A)=
12
5
D.P(C|A)=
12
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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2.(2023届广州仲元中学月考,7)为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某
3
校一篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为 ;如果他前一
4
1 3
球投不进则后一球投进的概率为 .若他第1球投进的概率为 ,则他第2球投进的概率
4 4
为 ( )
3 5 7 9
A. B. C. D.
4 8 16 16
答案 B
1 1 3
3.(多选)(2022湖北开学考,10)已知P(A)= ,P(BA)= ,P(B|A)= ,则下列结论正确
2 3 4
的是 ( )
2 1
A.P(B|A)= B.P(BA)=
3 4
2 3
C.P(B)= D.P(A|B)=
3 7
答案 AD
4.(多选)(2022广东阶段练,10)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝
P(A)P(B|A)
叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系:P(A|B)= .某高校有甲、乙
P(B)
两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天
去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐
厅的概率为0.5,则王同学 ( )
A.第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.第二天去乙餐厅的概率为0.44
5
C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为
9
4
D.第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为
9
答案 AC
5.(2023届安徽十校联考,15)现有5名同学站成一排拍毕业照留念,在“甲不站最左边,
乙不站最右边”的前提下,丙站最左边的概率为 .
3
答案
13
6. (2022新高考Ⅰ,20,12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的
卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查
了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),
得到如下数据:北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件
P(B|A) P(B|A)
“选到的人患有该疾病”, 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾
P(B|A) P(B|A)
病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
P(A|B) P(A|B)
(i)证明:R= · ;
P(A|B) P( A|B)
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
n(ad−bc) 2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.0500.010 0.001
k 3.8416.63510.828
.
200×(40×90−10×60) 2
解析 (1)由题中数据可知K2= =24>6.635,所以有99%的把握
100×100×50×150
认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)证明:因为R=
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(BA) P(A) P(AB)·P(BA)
· = · · · = ,
P(B|A) P(B|A) P(A) P(BA) P(A) P(BA) P(BA)·P(BA)
P(A|B) P(A|B) P(AB) P(B) P(AB) P(B) P(AB)·P(AB)
且 · = · · · = ,
P(A|B) P( A|B) P(B) P(AB) P(B) P(AB) P(AB)·P(AB)
P(A|B) P(A|B)
所以R= · .
P(A|B) P( A|B)
40 2 10 1 60 3
(ii)由题表中数据可知P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B
100 5 100 10 100 5
90 9
)= = ,
100 10
2 9
P(A|B) P(A|B) 5 10
所以R= · = × =6.
P(A|B) P( A|B) 3 1
5 10
