北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.3 二项分布与正态分布
一、选择题
1 1 3
1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,4)若随机事件A,B满足P(A)= ,P(B)= ,P(A+B)= ,则P(A|B)=( )
3 2 4
2 2 1 1
A. B. C. D.
9 3 4 6
1 1 3 1
答案 D 因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)= + - = ,所以P(A|B)=
3 2 4 12
P(AB) 1
= ,故选D.
P(B) 6
2.(2022届昆明一中双基检测三,8)某同学从家到学校要经过三个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,该
1 1 1
同学在各路口遇到红灯的概率分别为 , , ,则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为( )
2 3 4
1 11 2 3
A. B. C. D.
24 24 3 4
答案 D 该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为1-( 1)×( 1)×( 1)=3,故选D.
1- 1- 1-
2 3 4 4
2
3.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,7)已知随机变量X~B(n,p),E(X)=2,D(X)= ,则P(X≥2)=( )
3
20 2 16 13
A. B. C. D.
27 3 27 27
答案 A 由题意知E(X)=np=2,D(X)=np(1-p)=2,联立解得n=3,p=2,所以P(X≥2)=
C2
×(2) 2 ×(
1-
2)+
3 3 3 3 3
C3
×(2) 3 =20,故选A.
3 3 27
4.(2022届河南重点中学模拟一,7)2021年国庆节期间,小李报名参加市电视台举办的“爱我祖国”有奖竞答
活动,活动分两轮回答问题.第一轮从5个题目中随机选取2个题目回答,若2个回答都正确,则本轮得奖金
500元;若仅有1个回答正确,则本轮得奖金200元;若两个回答都不正确,则没有奖金且被淘汰.有资格进入第
二轮者,最多回答两个问题,先从5个题目中随机选取1个题目回答,若回答错误,则本轮奖金为零且被淘汰;若北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
回答正确,则本题回答得奖金2 000元,再从剩余4个题目中随机选1个,回答正确,本题得奖金3 000元,回答
2
错误,本题没有奖金.已知小李第一轮5个题目中3个能回答正确,第二轮每个题目回答正确的概率为 (每轮
5
选题相互独立),则小李获得2 500元的概率为( )
54 9 18 9
A. B. C. D.
625 125 125 25
答案 B 若小李获得2 500元奖金,则第一轮2个题目回答都正确,第二轮第1个题目回答正确,第2个题目
回答错误,所以所求概率为 C 3 2 × 2 ×( 1- 2)= 9 ,故选B.
C2 5 5 125
5
5.(2021安徽宣城调研,8)围棋起源于中国,据先秦典籍《世本》记载:“尧造围棋,丹朱善之”.围棋至今已有四
千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三
2
胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军(假设没有平局),比赛结束.假设每局比赛乙胜甲的概率都为 ,且各局
3
比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为( )
1 17 8 16
A. B. C. D.
9 81 27 27
答案 A 在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况:
①甲前三局全胜,概率为P
1
=(1) 3 = 1 ;
3 27
②前三局甲两胜一负,第四局甲胜,概率为P
2
= C2(1) 2 ×2×1= 2 .∴在不超过4局的比赛中甲获得冠军的
3 3 3 3 27
1 2 1
概率为P=P+P= + = .
1 2
27 27 9
6.(2022届长春外国语学校期中,4)已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和
(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别约为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服,
经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165,52),则适合身高在155~175 cm范围内的校服大约要定制(
)
A.683套 B.954套 C.972套 D.997套北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 B 因为学生的身高(单位:cm)服从正态分布N(165,52),所以μ=165,σ=5,身高在155~175 cm范围内即
在(μ-2σ,μ+2σ)内,可知概率约为95.4%,所以身高在155~175 cm范围内的校服大约要定制1 000×95.4%=954
套.故选B.
7.(2022届河南部分名校阶段测,10)已知随机变量X,Y,Z满足X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),Z=Y-1,且P(X>4)=0.1,则
P(Z2<1)的值为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.8 D.0.9
答案 C 因随机变量X,Y满足X~N(3,σ2),Y~N(1,σ2),则随机变量X和Y所对应的正态曲线的形状相同,曲
线的对称轴分别为直线x=3和x=1,因此,P(Y>2)=P(X>4)=0.1,而Z=Y-1,则P(Z>1)=P(Y-1>1)=P(Y>2)=0.1,于
是得P(Z2<1)=P(-1<Z<1)=1-0.1×2=0.8,所以P(Z2<1)的值为0.8.故选C.
1
8.(2021安徽蚌埠二模,6)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<1)·P(X>3)= ,则P(1<X<2)=( )
9
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
1 1
答案 A 由正态分布X~N(2,σ2)知,对称轴为μ=2,由对称性,知P(X<1)=P(X>3)= ,则P(1<X<2)=
3 2
P(1<X<3)=1×( 1 1)=1.
1- -
2 3 3 6
9.(多选)(2021山东青岛调研,12)在国家精准扶贫政策的支持下,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种
植销售红玫瑰和白玫瑰,若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则
下列选项正确的是( )
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7)
A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280]的概率是0.682 7,则红玫瑰日销售量的平均数约为250
B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D.白玫瑰日销售量范围在(280,320]的概率约为0.341 35
答案ABD 对于A,由μ+30=280,得μ=250,故A正确;对于B和C,σ越小数据越集中,因为30<40,所以红玫瑰
1
日销售量比白玫瑰日销售量更集中,故B正确,C不正确.对于D,P(280<X≤320)≈0.682 7× =0.341 35,故D正
2
确,故选ABD.
二、填空题北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
10.(2021江西九所重点中学联考,13)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),P(ξ≤6)=0.84,则P(ξ≤0)= .
答案 0.16
解析 由正态分布ξ~N(3,σ2)知,对称轴为μ=3,由对称性,得P(ξ≥0)=P(ξ≤6)=0.84,则P(ξ≤0)=1-0.84=0.16.
11.(2022届成都七中期中,16)已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位:天)服从正态分布N(98,64).
(1)该品牌一个电子元件的使用寿命超过100天的概率为 ;
(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B
中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为 .
(参考公式:若X~N(μ,σ2),则P(μ-0.25σ<X≤μ+0.25σ)≈0.2)
2 32
答案 (1) (2)
5 125
1-P(μ-0.25σ<X≤μ+0.25σ) 1-0.2 2
解析 (1)由题设知μ=98,σ=8,∴P(X>100)= ≈ = .
2 2 5
(2)由题意知电路能正常工作的概率P=2×2×2+2×( 2)×2+2×2×( 2)= 32 .
1- 1-
5 5 5 5 5 5 5 5 5 125
12.(2022届北京十三中开学考试,14)人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股
票价格的基本因素,比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.
根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该只股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,其价格
上涨的概率为40%,则该只股票将上涨的概率为 .
答案 64%
解析 记“利率下调”为事件A,则“利率不变”为事件A,“价格上涨”为事件C,
由题意知P(A)=60%,P(A)=40%,P(C|A)=80%,P(C|A)=40%,
∴P(C)=P(A)P(C|A)+P(A)P(C|A)=48%+16%=64%.
13.(2021北京十三中开学测试,12)100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件.已知第1次抽出
的是次品,则第2次抽出正品的概率是 .
95
答案
99
95 95
解析 在第1次抽到次品后,还有4件次品,95件正品,则第二次抽到正品的概率为P= ,故答案为 .
99 99
三、解答题北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
14.(2021安徽安庆一模,20)某商超为庆祝店庆十周年,准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400
元,则可参加一次抽奖活动,主办方设计了两种抽奖方案:
方案①:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾
客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有
放回地抽取3次.
方案②:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾
客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得100元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽
取3次.
(1)现有一位顾客消费了420元,获得一次抽奖机会,试求这位顾客获得180元返金券的概率;
(2)如果某顾客获得一次抽奖机会,那么他选择哪种方案更划算?
解析 (1)在一次抽奖机会的情况下,要想获得180元返金券,只能选择方案①,且摸到两次红球,一次白球,而
3 1
每一次摸到红球的概率P= = .
12 4
设“这位顾客获得180元返金券”为事件A,
则P(A)= C1 3(1) 2 = 9 .
34 4 64
9
故这位顾客获得180元返金券的概率为 .
64
1 3
(2)若选择抽奖方案①,则每一次摸到红球的概率为 ,每一次摸到白球的概率为 .设获得返金券金额为X元,
4 4
则X可能的取值为60,120,180,240.
则P(X=60)= C0(3) 3 =27,P(X=120)= C1(1) 1 ·(3) 2 =27,P(X=180)= C2(1) 23= 9 ,P(X=240)=
3 4 64 3 4 4 64 3 4 4 64
C3(1) 3 = 1 .所以选择抽奖方案①,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(X)=60×27+120×27+180×
3 4 64 64 64
9 1
+240× =105(元).
64 64北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
若选择抽奖方案②,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y,最终获得返金券的金额为Z元,则Y~B
( 1),故E(Y)=3×1=3.
3,
4 4 4
3
所以选择方案②,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(100Y)=100× =75(元),
4
从而有E(X)>E(Z),所以选择方案①更划算.
15.(2021四川南充重点高中月考,18)为了了解扬州市高中生周末运动时间,随机调查了3 000名学生,统计了
他们的周末运动时间,制成如下的频率分布表:
周末运动时
[30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90]
间t(分钟)
人数 300 600 900 450 450 300
(1)从周末运动时间在[70,80)的学生中抽取3人,在[80,90]的学生中抽取2人,现从这5人中随机推荐2人参
加体能测试,记推荐的2人中来自[70,80)的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(2)由频率分布表可认为:周末运动时间t服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为周末运动时间的平均数t,σ近似为样
本的标准差s,并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从扬州市所有高中生中随机抽取10
名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=2)的值.(精确到0.001)
参考数据1:当t~N(μ,σ2)时,P(μ-σ<t<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<t<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<t<μ+3σ)=0.997 3.
参考数据2:0.818 68≈0.202,0.181 42≈0.033.
C0C2
1
C1C1
3
C2C0
3
解析 (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,P(X=0)= 3 2= ,P(X=1)= 3 2= ,P(X=2)= 3 2= ,
C2 10 C2 5 C2 10
5 5 5
所以X的分布列为
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
所以E(X)=0× +1× +2× = .
10 5 10 5
1
(2)μ=t= ×(35×300+45×600+55×900+65×450+75×450+85×300)=58.5,
3 000
又43.9=58.5-14.6=μ-σ,87.7=58.5+14.6×2=μ+2σ,
0.682 7+0.954 5
所以P(43.9<t≤87.7)=P(μ-σ<t≤μ+2σ)= =0.818 6,
2
所以P(t≤μ-σ或t>μ+2σ)=1-0.818 6=0.181 4,
所以Y~B(10,0.181 4),北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
所以P(Y=2)=
C2
×0.181 42×0.818 68≈45×0.033×0.202≈0.300.
10
16.(2022届河南许昌一模,19)某省2021年开始全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中,物理、历史
这两门科目采用原始分计分;思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原
始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%,并按给定
的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的
原始分进行了等级转换赋分.
(1)某校思想政治学科获得A等级的共有10名学生,其原始分及转换分如表:
原始分 91 90 89 88 87 85 83 82
转换分 100 99 97 95 94 91 88 86
人数 1 1 2 1 1 2 1 1
现从这10名学生中随机抽取3名,设这3名学生中思想政治转换分不低于94分的人数为X,求X的分布列和
数学期望;
Y -μ
(2)假设该省此次高一学生思想政治学科原始分Y服从正态分布N(76.3,25).若Y~N(μ,σ2),令η= ,则
σ
η~N(0,1).若以此次高一学生思想政治学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线
分为多少分.(结果保留整数,附:若η~N(0,1),则P(η≤1.04)≈0.85)
解析 (1)由题意知这10名学生中思想政治转换分不低于94分的人数为6,低于94分的人数为4,则随机变
量X所有可能的取值为0,1,2,3,
C0C3
1
C1C2
3
P(X=0)= 6 4= ,P(X=1)= 6 4= ,
C3 30 C3 10
10 10
C2C1
1
C3C0
1
P(X=2)= 6 4= ,P(X=3)= 6 4= ,
C3 2 C3 6
10 10
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 3 1 1
P
30 10 2 6
1 3 1 1 9
E(X)=0× +1× +2× +3× = .
30 10 2 6 5
