曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
12.3 二项分布与正态分布
五年高考
考点一 条件概率与全概率公式、相互独立事件及二项分布
1.(2022全国乙理,10,5分,应用性)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结
果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p ,p ,p ,且p >p >p >0.记该
1 2 3 3 2 1
棋手连胜两盘的概率为p,则( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
答案 D
2.(2015课标Ⅰ,4,5分,应用性)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知
某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的
概率为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
答案 A
3.(2014课标Ⅱ,5,5分,应用性)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的
概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空
气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
答案 A
4.(2021新高考Ⅰ,8,5分,综合性)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地
随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第
二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件
“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案 B
5.(2018课标Ⅲ理,8,5分,应用性)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员
的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人
数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案 B
6.(2015广东,13,5分,基础性)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,
则p= .
1
答案
3
1 1
7.(2020天津,13,5分,基础性)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是
2 3
否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一
个落入盒子的概率为 .曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 2
答案 ;
6 3
8.(2019课标Ⅰ理,15,5分,应用性)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得
四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客
客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独
立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18
9.(2017课标Ⅱ理,13,5分,基础性)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取
一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)= .
答案 1.96
10.(2022新高考Ⅰ,20,12分,应用性)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居
民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机
调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),
得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件
P(B|A) P(B|A)
“选到的人患有该疾病”, 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该
P(B|A) P(B|A)
疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
P(A|B) P(A|B)
(i)证明:R= · ;
P(A|B) P(A|B)
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
200×(40×90-10×60)2
解析 (1)由题中数据可知K2= =24>6.635,所以有99%的把
100×100×50×150
握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(B A)
(2)(i)证明:因为R= · = · · ·
P(B|A) P(B|A) P(A) P(BA) P(A)
P(A) P(AB)·P(B A)
= ,
P(BA) P(BA)·P(BA)
P(A|B) P(A|B) P(AB) P(B) P(A B)
且 · = · · ·
P(A|B) P(A|B) P(B) P(AB) P(B)
P(B) P(AB)·P(A B)
= ,
P(AB) P(AB)·P(AB)
P(A|B) P(A|B)
所以R= · .
P(A|B) P(A|B)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
40 2 10 1 60 3
(ii)由题表中数据可知P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|
100 5 100 10 100 5
90 9
B)= = ,
100 10
2 9
P(A|B) P(A|B) 5 10
所以R= · = × =6.
P(A|B) P(A|B) 3 1
5 10
11.(2022新高考Ⅱ,19,12分,应用性)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种
疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总
人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概
率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确
到0.000 1).
解析 (1)平均年龄为
(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×
0.002)×10=47.9(岁).
(2)设事件A=“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,则P(A)=1-P(A)=1-
(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.
(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概
率公式可得
P(BC) 0.1%×0.023×10 0.001×0.23
P(C|B)= = = =0.001 437 5≈0.001 4.
P(B) 16% 0.16
12.(2019课标Ⅱ理,18,12分,应用性)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成
10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进
行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果
相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得
分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分
情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
思路分析 (1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.
(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事
件的概率公式可求解.
13.(2019天津理,16,13分,综合性)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率
2
均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
3
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和
数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之
前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率
均为2
,故X~B
(
3,
2),从而P(X=k)= Ck(2) k (1) 3-k ,k=0,1,2,3.
3 3 3 3 3
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2
则随机变量X的数学期望E(X)=3× =2.
3
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B( 2),且
3,
3
M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与
{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}
∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=
8 2 4 1 20
× + × = .
27 9 9 27 243
考点二 正态分布
1.(2011湖北,5,5分,基础性)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则
P(0<ξ<2)=( )
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
答案 C
2.(2015山东,8,5分,应用性)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),
从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-
σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
答案 B
3.(2015湖北,4,5分,基础性)设X~N(μ , ),Y~N(μ , ),这两个正态分布密度曲线如图所示.
1σ2 2σ2
1 2
下列结论中正确的是( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.P(Y≥μ )≥P(Y≥μ )
2 1
B.P(X≤σ )≤P(X≤σ )
2 1
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
4.(2022新高考Ⅱ,13,5分,基础性)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且
P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
答案 0.14
5.(2017课标Ⅰ理,19,12分,综合性)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员
每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以
认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的
零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.1310.02 9.22 10.0410.05 9.95
经计算得
x=
1
∑
16
xi=9.97,s=
√ 1
∑
16
(x -x)2=
√ 1
(∑
16
x2-16x2 )
≈0.212,其中x
i
为
16 16 i 16 i
i=1 i=1 i=1
抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数 作为μ的估计值^,用样本标准差s作为σ的估计值^,利用估计值判断是
x
μ σ
否需对当天的生产过程进行检查.剔除(^-3^,^+3^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和
μ σ μ σ
σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.
0.997 416≈0.959 2,√0.008≈0.09.
解析 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸
在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽
取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很
小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异
常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(ii)由
x
=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为^=9.97,σ的估计值为^=0.212,由样本数据可以看出
μ σ
有一个零件的尺寸在(^-3^,^+3^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
μ σ μ σ
^ ^ ^ ^ 1
剔除( -3 , +3σ)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为 ×(16×9.97-9.22)=10.02,
μ σ μ
15
因此μ的估计值为10.02.
16
∑x2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
i
i=1
^ ^ ^ ^ 1
剔除( -3 , +3σ)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 ×(1 591.134-9.222-
μ σ μ
15
15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为√0.008≈0.09.
方法总结 正态分布:若变量X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本的均值,正态分布曲
线的对称轴为x=μ;σ为样本数据的标准差,体现了数据的稳定性.
三年模拟
A组 考点基础题组
考点一 条件概率与全概率公式、相互独立事件及二项分布
1.(2022广东粤港澳大湾区联考,3)甲乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别
为0.9和0.8,则飞行目标被雷达发现的概率为( )
A.0.26 B.0.7 C.0.72 D.0.98
答案 D
2.(2022辽宁东北育才学校模考六,3)某大学有A,B两家餐厅,某同学第1天午餐时随机地
选择一家餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率是0.4;如果第一天
去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率是0.8,则该同学第2天去A餐厅用餐的概率是(
)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
答案 B
3.(2022湖南新高考教学教研联盟联考一,4)已知随机变量X,Y分别满足
1
X~B(8,p),Y~N(μ,σ2),且E(X)=E(Y),若P(Y≥3)= ,则p=( )
2
1 1 3 1
A. B. C. D.
4 3 8 2
答案 C
4.(2022重庆八中调研检测七,4)考察下列两个问题:①已知随机变量X~B(n,p),且
E(X)=4,D(X)=2,记P(X=1)=a;②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游,每人只去一个
景点,设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”,B表示“有一个景点仅甲一人去旅
游”,记P(A|B)=b,则( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 1 1 1
A.a= ,b= B.a= ,b=
23 2 24 22
1 1 1 1
C.a= ,b= D.a= ,b=
25 2 26 22
答案 C
5.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学
习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为
2 1
,连续答对两道题的概率为 .用事件A表示“甲同学答对第一道题”,事件B表示
3 2
“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 D
考点二 正态分布
1.(2022山东临沂二模,5)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),且P(ξ<5)=0.7,则
P(1<ξ<3)=( )
A.0.6 B.0.5 C.0.3 D.0.2
答案 D
2.(2022重庆调研四,6)已知两个随机变量X,Y,其中X~B( 1),Y~N(μ,σ2)(σ>0),若
5,
5
E(X)=E(Y),且P(|Y|<1)=0.4,则P(Y>3)=( )
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
答案 D
3.(2022重庆二模,4)已知某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(10,4),其中
X∈[8,14]的产品为“合格品”,若从这批零件中随机抽取一件,则抽到合格品的概率约为(
)
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈
0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.0.341 4 B.0.477 3 C.0.512 D.0.818 6
答案 D
4.(多选)(2022湖南邵阳一模,9)给出下列命题,其中正确的命题有( )
A.“α=β”是“sin α=sin β”的必要不充分条件
B.已知命题p:“∃x∈R,ex<x+1”,则¬p:“∀x∈R,ex≥x+1”
C.若随机变量ξ~B( 1) 2
2, ,则E(ξ)=
3 3
4
D.已知随机变量X~N(3,σ2),且P(X>2a-1)=P(X<a+3),则a=
3
答案 BCD
5.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X≤4)=
.
答案 0.4
