文档内容
7.5 正态分布 ---B提高练
一、选择题
1．（2021·广东广州市高二月考）在某次数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，
若 在 内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率
为（ ）
A．0.16 B．0.24 C．0.32 D．0.48
【答案】C
【详解】解： 服从正态分布 ， 曲线的对称轴是直线 ，
在 内取值的概率为0.6， 在 内取值的概率为0.3，
在 内取值的概率为 ．现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩
不高于80的概率 ，故选：C
2．（2021·全国高二课时练）设 ，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形
中随机取 个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若 ，则 ）
A．7539 B．6038
C．7028 D．6587
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， ，
所以阴影部分的面积为 ，所以从正方形 中随机取 个点，则取
自阴影部分的点的个数的估计值是 ，故选：D.
3．（2021·广东深圳市高二月考）已知随机变量 ，有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【详解】由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故 ，根据正态分布的对称性可
知：甲： 为真命题，所以丁为假命题.并且，
.所以假命题的是丁.故选：D
4．（2021·山东泰安一中高二月考）某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态
下生产线上生产的零件内径尺寸 (单位： )服从正态分布 .甲､乙两名同学正进行尺寸
测量练习.甲､乙对各自抽取的 个零件测量零件内径尺寸(单位： )如下，甲同学测量数据： ，
， ， ， ；乙同学测量数据： ， ， ， ， .则可以判断（ ）
A．甲､乙两个同学测量都正确 B．甲､乙两个同学测量都错误
C．甲同学测量正确，乙同学测量错误 D．甲同学测量错误，乙同学测量正确
【答案】C
【详解】 ， ，即 ；
甲同学测量的数据均落在 之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在之外，即小概率事件发生，知其测量错误.故选：C.
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ，
1
)，N(μ， )，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
2
A．甲类水果的平均质量μ=0.4 kg
1
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数δ=1.99
2
【答案】ABC
【详解】由图像可知，甲类水果的平均质量μ=0.4kg，乙类水果的平均质量μ=0.8kg，故A，C正
1 2
确；甲图像比乙图像更高瘦，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正
确；乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99，即 =1.99，δ≠1.99，故D错误.故选：
2
ABC
6．（多选题）（2021·扬州大学附属中学高二月考）医用口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲
肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过
滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率
（ ）
，（ ， ，
）
A．
B．C．
D．假设生产状态正常，记 表示抽取的100只口罩中过滤率大于 的数量，则
【答案】ACD
【详解】A： ，正确；
B：因为 且 ，则
，显然 ，错误；
C： ，正确；
D： ，则 ，
由 .故选：ACD
二、填空题
7．（2021·全国高二专题练）某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：千克)服从正态
分布N(25，0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 千克的概率为________．(附：若Z
～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4)
【答案】0.818 5
【详解】∵X～N(25，0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.
∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝ ×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.
8．（2021·全国高二单元测）对一个物理量做 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最
后结果．已知最后结果的误差 ，为使误差 在 的概率不小于0.9545，至
少要测量_____次（若 ，则 ）．
【答案】32【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差 在 的概率不小于0.9545，
则 且 ， ，所以 .
9．（2021·全国高二专题练习）2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进
行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布 的密度曲线非常拟合．据此估
计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
【答案】
【详解】由题意，可得每名学生的英语成绩 ，所以 ，
则全市随机抽取的4名同学中恰有2名的英语成绩超过95分的概率是 .
10．（2021·湖南衡阳市八中高二月考）俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，
那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，做了一个研究，他们在本
年级随机抽取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完
成问题所用时间制成分布图如下，
② 男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；
②所有女生“一心二用”能力都强于男生；
③女生用时众数小于男生；
④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布.
则上述说法正确的是________．
【答案】①③④
【详解】根据图形可看出，男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；并不是所有女生“一
心二用”能力都强于男生；女生用时众数小于男生；男生“一心二用”能力分布近似于正态分布；
故①③④正确.
三、解答题11．某年某省有40万考生参加高考．已知考试总分为750分，一本院校在该省计划招生6万人．经
考试后统计，考试成绩X服从正态分布 ，若以省计划招生数确定一本最低录取分数．
（1）已知 ，则该省这一年的一本最低录取分数约为多少？
（2）某公司为考生制定了如下奖励方案：所有高考成绩不低于一本最低录取分数的考生均可参加
“线上抽奖送话费”活动，每个考生只能抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数
（10，11，…，99），若产生的两位数字相同，则可奖励20元话费，否则奖励5元，假如所有符
合条件的考生均参加抽奖活动，估计这次活动奖励的话费总额是多少？
【答案】（1）456分;（2）39万元.
【详解】
（1）X服从正态分布： ,
因为 , ；
所以 , 根据正态曲线的对称性，
,
所以 ,
若40万考生中一本院校招收6万考生，则一本院校考生占比为 ，
所以这一年一本最低录取分数为456分.
（2）X的分布列如下：
X 20 5
P 0.1 0.9
所以 ,
因为一本院校招生一共6万人，每人的话费期望值为6.5元，故总额为 万元.
12.（2021·全国高二课时练）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸
（单位： ）服从正态分布 ．（1）从该生产线生产的零件中随机抽取 个，求至少有一个尺寸小于 的概率；
（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生
产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为 元，若生产设备
能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生
一次故障维修费．已知故障维修费第一次为 元，此后每增加一次则故障维修费增加 元．
假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为 ．求该生产设备运行的四
年内生产维护费用总和 的分布列与数学期望．
参考数据：若 ，则 ，
， ， ．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 ．
【详解】（1）因为 ，
则 ， ， ，
所以 ，
所以从该生产线生产的零件中随机抽取 个，至少有一个尺寸小于 的概率为：
．
（2）由题意可得 的所有可能取值为 ， ， ， ， ，
，
，，
，
，
所以 的分布列为：
数学期望
