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7.1.2全概率公式 ---B提高练
一、选择题
1．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次
品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )
A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125
【答案】A
【详解】设A ，A ，A 分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B表示次品，则P(A)＝0.5，P(A)＝P(A)
1 2 3 1 2 3
＝0.25，P(B|A)＝0.02，P(B|A)＝0.02，P(B|A)＝0.04，∴P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＋
1 2 3 1 1 2 2
P(A)P(B|A)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.
3 3
2．（2021·湖北省团风中学高二月考）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校
篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为 ；如果他前一球投不进则后
一球投进的概率为 .若他第 球投进的概率为 ，则他第 球投进的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】记事件 为“第 球投进”，事件 为“第 球投进”， ， ，
，
由全概率公式可得 .
3．（2021·江苏启东高二月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、
2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开
两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A. B. C. D.【答案】B
【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用 B 表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英
k
语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝∑P(B)P(A|B)＝·＋·＋·＝.
k k
P(B|A)＝＝＝÷＝.故选B.
1
4. 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概
率:
一批产品中的次品数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,则一批
产品通过检验的概率为( )
A.0.814 B.0.809 C.0.727 D.0.652
【答案】A
【详解】选A.以A表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得,
i
C10
P(A 0 )=0.1,P(B|A 0 )=1,P(A 1 )=0.2,P(B|A 1 )= 99 =0.9,P(A 2 )=0.4,
C10
100
C10 C10 C10
P(B|A 2 )= 98 ≈0.809,P(A 3 )=0.2,P(B|A 3 )= 97 ≈0.727,P(A 4 )=0.1,P(B|A 4 )= 96 ≈0.652.
C10 C10 C10
100 100 100
4
由全概率公式,得P(B)=∑P(A)P(B|A )=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
i i
i=0
5. （2021·辽宁锦州市·高二月考）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的
45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由
______车间生产的可能性最大( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
【答案】A
【详解】选A.设A,A ,A 表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件,易知A,A ,A 是
1 2 3 1 2 3
样本空间Ω中的事件,且有P(A )=0.45,P(A)=0.35,P(A)=0.2,
1 2 3
P(B|A )=0.04,P(B|A )=0.02,P(B|A )=0.05.
1 2 3
由全概率公式得 P(B)=P(A )P(B|A )+
1 1
P(A )P(B|A )+P(A)P(B|A )=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
2 2 3 3
0.45×0.04
由贝叶斯公式得P(A |B)= ≈0.514,
1 0.035
0.35×0.02 0.20×0.05
P(A |B)= ≈0.200,P(A |B)= ≈0.286,
2 0.035 3 0.035所以,该次品由甲车间生产的可能性最大.
6．（多选题）（2021·江苏无锡市高二月考）在某一季节,疾病D 的发病率为2%,病人中40%表现
1
出症状S,疾病D 的发病率为5%,其中18%表现出症状S,疾病D 的发病率为0.5%,症状S 在病人中
2 3
占60%.则( )
A.任意一位病人有症状S 的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D 的概率为0.4
1
C.病人有症状S时患疾病D 的概率为0.45
2
D.病人有症状S时患疾病D 的概率为0.25
3
【答案】ABC
【详解】P(D )=0.02,P(D)=0.05,P(D)=0.005,P(S|D )=0.4,P(S|D )=0.18,P(S|D )=0.6,
1 2 3 1 2 3
3
由全概率公式得P(S)=∑P(D)P(S|D)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.
i i
i=1
P(D )P(S|D ) 0.02×0.4
由贝叶斯公式得:P(D|S)= 1 1 = =0.4,
1 P(S) 0.02
P(D )P(S|D ) 0.05×0.18 P(D )P(S|D ) 0.005×0.6
P(D |S)= 2 2 = =0.45,P(D|S)= 3 3 =
2 P(S) 0.02 3 P(S) 0.02
=0.15.
二、填空题
7．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射
中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为 0.5，则这个选手过关的概率为
________．
【答案】0.4
【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝
0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.
8．（2021·全国高二单元测）10个考签中有4个难签，3个同学参加抽签(不放回)，甲先抽，乙再
抽，丙最后抽，则甲、乙、丙都抽到难签的概率为________．
【答案】
【详解】设A，B，C分别表示甲、乙、丙都抽到难签，则P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝.
9．（2021·全国高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、
1%的四等种子．用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，
0.1，0.05，这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率为________．
【答案】0.4825
【详解】用B表示事件“这批种子任选一粒所结的穗含有50颗以上麦粒”．从这批种子中任取一
粒为一、二、三、四等种子的事件分别记为A，A，A，A，则P(A)＝95.5%， P(A)＝2%，P(A)
1 2 3 4 1 2 3＝1.5%， P(A)＝1%，P(B|A)＝0.5， P(B|A)＝0.15，P(B|A)＝0.1， P(B|A)＝0.05，
4 1 2 3 4
所以
10．（2021·全国高二单元测）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以 A
表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(A|C)
＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)＝0.005, 则
P(C|A)＝______.(精确到0.001)
【答案】0.087
【详解】由题设，有P(C)＝1－P(C)＝0.995，P(A|C)＝1－P(A|C)＝0.05，
由贝叶斯公式，得P(C|A)＝≈0.087.
三、解答题
11．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不放回抽样．求下列事件的概率：
(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；
(3)正品、次品各一只；
(4)第二次取出的是次品．
【解析】设A＝{第i次取正品}，i＝1,2.
i
(1)两只都是正品，则
P(AA)＝P(A)P(A|A)＝×＝.
1 2 1 2 1
(2)两只都是次品，则
P(AA)＝P(A)P(A|A)＝×＝.
1 2 1 2 1
(3)一只是正品，一只是次品，则
P(AA＋AA)＝P(A)P(A|A)＋P(A)P(A|A)＝×＋×＝.
1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
(4)第二次取出的是次品，则
P(A)＝P(AA＋AA)＝P(A)P(A|A)＋P(A)P(A|A)＝×＋×＝.
2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
12．假定患有疾病{d ,d,d}中的某一个的人可能出现症状S={S ,S ,S ,S }中一个或多个,其中:
1 2 3 1 2 3 4
S=食欲不振 S=胸痛
1 2
S=呼吸急促 S=发热
3 4
现从20 000份患有疾病d,d,d 的病历卡中统计得到下列数据:
1 2 3
疾病 人数 出现S中一个或几个症状人数
d 7 750 7 500
1
d 5 250 4 200
2
d 7 000 3 500
3试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测该病人
患有这三种疾病中哪一种较合适?
【解析】 以A表示事件“患者出现S中的某些症状”,D表示事件“患者患有疾病d”(i=1,2,3),由于
i i
该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率,由统计数据可知,
7 750 5 250
P(D )= =0.387 5,P(D )= =0.262 5,
1 20 000 2 20 000
7 000 7 500
P(D )= =0.35,P(A|D )= ≈0.967 7,
3 20 000 1 7 750
4 200 3 500
P(A|D )= =0.8,P(A|D )= =0.5,
2 5 250 3 7 500
所以P =P P +P P +P P
(A) (D ) (A|D ) (D ) (A|D ) (D ) (A|D )
1 1 2 2 3 3
=0.387 5×0.967 7+0.262 5×0.8+0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式可得,
P = P(A|D )P(D )=0.387 5×0.967 7≈0.493 4,
(D |A) 1 1
1 P(A) 0.76
P = P(A|D )P(D )=0.262 5×0.8≈0.276 3,
(D |A) 2 2
2 P(A) 0.76
P = P(A|D )P(D )=0.35×0.5≈0.230 3.
(D |A) 3 3
3 P(A) 0.76
从而推测病人患有疾病d 较为合适.
1
