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7.5 正态分布 ---A基础练
一、选择题
1．（2021·河南高二月考）在如图所示的正方形中随机投掷 个点，则落入阴影部分（曲线
为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据正态分布的性质， ，
. 故选C.
2．（2021·重庆市第十一中学校高二月考）设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是 ，
则μ等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不确定
【答案】A
【详解】由题意，ξ < 1的概率是 ，则ξ > 1的概率也是 ，∴正态分布的图象关于 对称，
即 .故选：A
3．（2021·全国高二课时练）疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100
名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布 ，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（ ）(四舍五入保留整数)参考数据： ，
， .
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】B
【详解】根据题意可得： ，故所求人数为100×0.1587≈16.
4．（2021·全国高二专题练）设 ， ，这两个正态分布密度曲线如图所
示.下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．对任意正数 ， D．对任意正数 ，
【答案】C
【详解】由正态分布密度曲线的性质可知， ， 的密度曲线分别关于
直线 ， 对称，因此结合题中所给图象可得， ，所以 ，
故 错误；又 得密度曲线较 的密度曲线“瘦高”，所以 ，
所以 ，B错误；对任意正数 ， ，
，C正确，D错误，故选：C
5．（多选题）（2021·辽宁丹东市高二月考）已知 ， ， ，则（ ）
A．曲线 与 轴围成的几何图形的面积小于1
B．函数 图象关于直线 对称
C．
D．函数 在 上单调递增
【答案】BC
【详解】选项A. 曲线 与 轴围成的几何图形的面积等于1， 所以A不正确.
选项B. ,
所以 ，所以函数 图象关于直线 对称，所以选项B正确.
选项C. 因为
所以
所以选项C正确.选项D. 由正态分布曲线可知，当 越大时，其概率越小.
即函数 随 的增大而减小，是减函数，所以选项D不正确.故选：BC
6．（多选题）（2021·山东德州市高二期末） “杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研
究、应用与推广，发明“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂
交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献．某水稻种植研究所
调查某地水稻的株高，得出株高（单位： ）服从正态分布，其密度函数为
，则下列说法正确的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为10
C．该地水稻株高在 以上的数量和株高在 以下的数量一样多D．随机测量一株水稻，其株高在 和在 （单位： ）的概率一样大
【答案】AC
【详解】因为密度函数为 ，所以 ，即均值为100，标准差
为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知C正确，D错误．故选：AC．
二、填空题
7．（2021·安徽宣城市高二期末）设 ，若 的概率为0.45，则
的概率为___________.
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
8．（2020·全国高二单元测）已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.
【答案】－2
【详解】因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1.
所以P(X>0)＝P(X<－4)．因此正态曲线的对称轴为x＝－2,，所以μ＝－2.
9．（2021·江苏连云港市高三开学考试）中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校
的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布 ，已知成绩在90分以
上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为_____.
（参考数据： ， ，
）
【答案】202
【详解】由正态分布 得：平均值 ，标准差 ，设参赛的学生总数约为 人，则成绩在 的人数为 人，成绩在 的人数为 人，而成绩
在 分以上的有 人，所以成绩在90分以上（含90分）的学生有 32名，解得
.
10．（2021·辽宁丹东市高二月考）2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收
费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量 服从正态
分布 ，若 ， ，则 的最小值为
______.
【答案】8
【详解】 服从正态分布 ，则 ，
又 ，即 且
当且仅当 ，即 时取等号.
三、解答题
11．（2021·江西高二期末）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分
布 （单位： ）.
（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 的概率约为多少？
（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 ，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理巾.
附： ，则 ， ，
.
【详解】解：（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为 ，由题意可知
．
由于 ，所以根据正态分布的对称性与“ 原则”可知
.
(2)检测员的判断是合理的.
因为如果生产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都小于 的概率约
为 ，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由
认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
12．（2021·全国高二课时练）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：
)，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该植物样本高度的平均数 和样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）假设该植物的高度 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 近似为样本方
差 ，利用该正态分布求 .附： .若 ，则
.
【详解】
（1）由题意可得平均数 ，
（2）由（1）知， ，从而
所以 .
