文档内容
秘籍 07 概率与离散型随机变量的期望与方差
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题、解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 全概率公式
概率属于解答题必考题大多考察两方面，一个是超几何分布与二项分布的区别，还有就是线性回归方
程与独立性检验。小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的判
断以及正态分布也是需要熟练掌握的。
【题型一】 条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件
P(AB)
概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)= .
P(B)
1. （多选题)（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知事件A，B满足 ， ，则
（ ）
A．若 ，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若 ，则A与B相互独立
【答案】BD
【详解】解：对于A，因为 ， ， ，所以 ，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以 ，故正确；
对于C，因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
对于D，因为 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
2. （2023·江苏南通·统考模拟预测）随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，
小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车
的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李
准时到单位的概率是___________.
【答案】0.86## 【详解】由题意可得，小李骑电动车准时到单位的概率为 ；
骑自行车准时到单位的概率为 ；
则小李准时到单位的概率是 .
3. （2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）三个元件 ， ， 独立正常工作的概率分别是 ， ，
，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒 ， ， 中（一盒接一个元件），
各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________．
【答案】【详解】由题意，元件 ， ， 不正常工作的概率分别为 ， ，
电路正常工作的条件为 正常工作， ， 中至少有一个正常工作，
（1）若 ， ， 接入的元件为 ， ， 或 ， ， ，
则此电路正常工作的概率是 ；
（2）若 ， ， 接入的元件为 ， ， 或 ， ， ，
则此电路正常工作的概率是 ；
（3）若 ， ， 接入的元件为 ， ， 或 ， ， ，
则此电路正常工作的概率是
因为 ，
所以 ，
所以此电路正常工作的最大概率是 .
故答案为：
1.（多选题)（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知随机变量 服从正态分布 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． ， B．若 ，则
C． D．随机变量 满足 ，则
【答案】ABC【详解】因为 ,所以 ， ，A正确；
因为 ，所以 ，B正确；
因为 ，所以 ，C正确；
因为 ，所以 ，
所以 ,D错误，
故选:ABC.
2.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B， ， ， ，则
________.
【答案】
【详解】依题意得 ，所以
故 ，所以 .
3．（2023·上海徐汇·统考二模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动
共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同
学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 _________.
【答案】
【详解】 ， ，故 .
故答案为：
4．（2023·天津·校联考一模）为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3
人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 ________.
【答案】 /
【详解】设事件 “抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件 “抽取的3人中全是男志愿者”
，则 ，
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 .
X可取 ，
，
则
故答案为： ；
【题型二】 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
一般地,设A,A,…,A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1,2，…，n，则对
1 2 n 1 2 n i
任意的事件B Ω，有
P(B)=∑P(A)P(B|A)
i ⊆ i
我们称上面的公式为全概率公式．
*贝叶斯公式：1．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为
0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为（ ）
A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%
【答案】A
【详解】设不吸烟患肺癌的概率为 ，
则 ，
解得 .
故选：A
2．（2023·上海嘉定·统考二模）已知某产品的一类部件由供应商 和 提供，占比分别为 和 ，供应商
提供的部件的良品率为 ，若该部件的总体良品率为 ，则供应商 提供的部件的良品率为
__________．
【答案】
【详解】记随机取一件产品由供应商 提供为事件 ，由供应商 提供为事件 ，为良品为事件 ，
则 ， ， ， ，
由 ，即 ，解得 ，
即供应商 提供的部件的良品率为 .
故答案为：
3．（2023·广东茂名·统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”
的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有任何
关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各
任取一个球交换，重复进行 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)1
【详解】（1）（1）由题可知， 的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
; ; ，
故 的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即： ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以，数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
即： .
（3）由全概率公式可得：
,
即： ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
1．（2023·浙江杭州·统考二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基
石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假
设我们的序列状态是…， ， ， ， ，…，那么 时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态 ，
即 ．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为 ，且每局赌赢可以赢得1元，每
一局赌徒赌输的概率为 ，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为 ，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（ ， ）时，最终输光的概率为 ，请回答下列问题：
(1)请直接写出 与 的数值．(2)证明 是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当 时，分别计算 ， 时， 的数值，并结合实际，解释当 时， 的
统计含义．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析；
(3) 时， ，当 时， ，统计含义见解析
【详解】（1）当 时，赌徒已经输光了，因此 .
当 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率 .
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即 ，
所以 ，
所以 是一个等差数列，
设 ，则 ，
累加得 ，故 ，得 ，
（3） ，由 得 ,即 ,
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会 的概率输光．
2．（2023·广东佛山·统考二模）有 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑
球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中
任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第 个盒子中取到
白球的概率是______．
【答案】
【详解】记事件 表示从第 个盒子里取出白球，则 ， ，
所以 ，
，
，
进而可得 ， ，
又 ， ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
故答案为： ； .
3．（2023·广东梅州·统考二模）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂
分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品
中任取一件，则
（1）取到次品的概率为____________；
（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________．【答案】 /
【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件 、来自乙厂为事件 、来自丙厂为事件 ，则彼此互斥，且
,
， ， ，
设任取一件产品，取到的是次品为事件 ，
则
如果取得零件是次品，那么它是来自甲厂生产的概率为
,
故答案为： ，
【题型三】 离散型随机变量的分布列和概率性质
设离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n；
i
(2)p＋p＋…＋p＋…＋p＝1；
1 2 i n
(3)E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ xp；
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝ ( x － E ( X ) ) 2 p ＋ ( x － E ( X ) ) 2 p ＋ … ＋ ( x － E ( X ) ) 2 p.
1 1 2 2 n n
随机变量的数学期望与方差
(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝ E ( ξ ) ＋ E ( η ) ．
(2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝ aE ( ξ ) ＋ b ，D(η)＝ a 2 D ( ξ ) ．
(3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.1．（2021·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考三模）下面说法错误的是（ ）
A．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的；
B．利用频率分布直方图计算的样本数字特征是样本数字特征的估计值；
C．两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
D．在分层抽样的过程中，哪一层的样本越多，该层中个体被抽取的可能性越大．
【答案】D
【详解】对于A中，离散型随机变量的各个可能值表示的事件时彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；
对于B中，利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确；
对于C中，两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近与1，所以C正确；
对于D中，在分层抽样的过程中，哪一层的样本即便越多，该层中个体被抽到的可能性也是相同的，所以
D不正确.
故选：D.
2．（2023·河南新乡·统考二模）已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m
则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】由题可知， ，解得 ，
则 ．
故选：D.
（多选）3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）下列结论中，正确的有（ ）
A．数据1，2，4，5，6，8，9的第百分之60分位数为5．
B．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则 ．C．已知回归直线方程为 ，且 ， ，则 ．
D．对变量x与y的统计量 来说， 值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大．
【答案】BC
【详解】对于A项， ，所以第百分之60分位数为6，故A项错误；
对于B项，因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，故B项正确；
对于C项，回归直线必过样本中心可得： ，解得： ，故C项正确；
对于D项，由独立性检验可知， 值越大，判断“x与y有关系”的把握性越大，故D项错误.
故选：BC.
（多选）1．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩 ，从全市所有高三
学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为 ，则（ ）
A． B． 服从标准正态分布
C． D．
【答案】AD
【详解】 ，故 ， ， ，
对选项A：根据正态分布的对称性得到 ，正确；
对选项B： 服从标准正态分布，错误；
对选项C： ，则 ，故 ，错误；对选项D： ，正确.
故选：AD
2．（2023·山西运城·统考二模）现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的
爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加
深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治
时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者
随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则
为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对
方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道
试题甲回答正确的概率为 ，乙回答正确的概率为 ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试
题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．
(1)求乙总得分为10分的概率；
(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲，乙各
抢到一题都回答正确}、｛甲抢到两题都回答错误或没有回答｝
所以乙总得分为10分的概率 ．
（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0，5，10，15，20
；
； ；
．分布列如下：
X 0 5 10 15 20
P
所以 ．
3．（2023·安徽·校联考二模）近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视
频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、
需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．
某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．
(1)已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖
音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择
“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；
(2)三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为 ，
，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且 ，求p的值及X的分
布列．
【答案】(1)0.64
(2)0.4；分布列见解析
【详解】（1）设 “第一天选择‘抖音’平台”， “第一天选择‘快手’平台”， “第二天
选择‘抖音’平台”，
则 ，
则 ．
（2）由题意得，X的取值为0，1，2，3，
且 ，
，
，，
所以 ，解得 ．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.06 0.34 0.44 0.16
【题型四】 二项分布
二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为
p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二
项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
二项分布的数学期望与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.D(X)=np（1-p）
1．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战
赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数
不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为 ，每名业余棋手与乙比赛
获胜的概率均为 ，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27【答案】A
【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为
Y；
设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．
X所有可能的取值为0，1，2， ，n，则 ， ；
Y所有可能的取值为0，1，2， ，32-n，则 ， ，
所以获胜的业余棋手总人数的期望 ，解得 ．
故选：A．
（多选）2．（2023·湖北·统考二模）以下说法正确的有（ ）
A．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分
位数为5.5
B．经验回归直线 至少经过样本点数据中的一个点
C．若 ， ，则事件A，B相互独立
D．若随机变量 ，则 取最大值的必要条件是
【答案】AC
【详解】A：数列从小到大为 ，则 ，故第50百分位数为 ，正确；
B：回归直线不一定过样本点，但必过样本中心，错误；
C：由 ，则 ，故 ，
所以事件A，B相互独立，正确；
D：由 ，要使 取最大值，只需 取最大，显然当 或 时 最大，故 是 取最大的充分条件，错误.
故选：AC
3．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问
题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的
真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个
红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别
是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或
“否”回答.
(1)共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已
知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
(2)现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出
两个有待改进的问题.
（i）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决
定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为 ，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问
题，求某个问题能够被解决的概率 ；
（ii）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为 ，并且都相互独立.物业每解决一
个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位
业主？
【答案】(1) ，375人
(2)（i） ；（ii）至少要访谈48位业主
【详解】（1）记：事件 “业主对物业工作表示满意”，则 ，
所以， （人），
故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；（2）（i）由已知得，每位代表投赞同票的概率均为 ，
方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以 ，
故某个问题能够被解决的概率 ；
（ii）设至少要访谈 位业主，由（1）知，该小区业主对物业工作满意的概率为 ，
要使业主满意的比例提高到80%，则有
，
故至少要访谈48位业主．
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮
机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲
同学每次投中的概率为 且每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为 且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮
训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；
(3)为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，
规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为
且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，(3)
【详解】（1）由条件知甲同学通过测试的概率为 ．
（2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为 ，
根据题意乙同学通过测试的概率为 ，
所以乙同学没有通过测试的概率为 ，
则 ，20，40，
因 ，
，
，
于是X的分布列为：
X 0 20 40
P
所以 ．
（3）由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为 ；
甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为：
；
甲投中3次的概率为 ，所以甲同学通过测试的概率为 ，
根据题意可知 ，则 ，
又 ，
所以当 时，可以提高甲同学通过测试的概率.
2．（2023·湖南常德·二模）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有 ， ，
三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人
数如下表：
班级 一 二 三 四
人数
(1)从这 人中随机抽取 人，求这 人恰好来自同一班级的概率；
(2)从这 名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选 ，
两款软件学习的概率都是 ，且他们选择 ， ， 任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午
自习时间选软件 的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：由题知，从这 人中随机抽取 人，共有 种可能情况，
记“这 人恰好来自同一班级”为事件 ，
则事件 包含的可能情况有： 种，
所以，
（2）解：由题知， 的可能取值为 ，
因为选 ， 两款软件学习的概率都是 ，且他们选择 ， ， 任一款软件都是相互独立的所以，他们选择 款软件学习的概率是
所以，这三名学生中下午自习时间选软件 的人数为
所以， ， ，
， ；
所以， 的分布列为：
所以，
3．（2023·湖南株洲·统考一模）2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预
定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知
获得A档门票的概率是 ，若未成功，仍有 的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概
率均为 ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张
赛事门票．
(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；
(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率 ，成功的概率为
，设甲获得的门票数为 ，则 的可能取值为 ，
故 ，
故 的分布列为：
0 1 2
设乙获得的门票数为 ，则 ，
故 ，
故 的分布列为：
0 1 2
故甲乙两人都没有获得任何门票的概率 .
（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率
.
【题型五】 超几何分布
超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，
m，其中 m ＝ min{ M ， n } ，且 n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈ N * ❺.
X 0 1 … m
P …
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布
超几何分布列 的数学期望与方差若X～H(n，M，N)，则E(X)＝. D(X)=
1．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为 ，还有4个同
样大小的白球，编号为 ，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
①取出的最大号码 服从超几何分布；
②取出的黑球个数 服从超几何分布；
③取出2个白球的概率为 ；
④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
A．①② B．②④ C．③④ D．①③④
【答案】B
【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码
不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；
对于②，取出的黑球个数 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何
分布的数学模型计算概率，故②正确；
对于③，取出2个白球的概率为 ，故③错误；
对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为 ，故④正确．
故选：B
2．（2023·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取
不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当 最大时，
____________．【答案】17.8/
【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即 最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设
则
令
故当 时， 严格增加，
当 时， 严格下降，
即 时取最大值，
此题中 ，根据超几何分布的期望公式可得 ，
故答案为：17.8
3．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给
10位病人治疗，记被治愈的人数为X．
(1)若 ，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列；
(2)已知 ，集合 { 概率 最大}，且A中仅有两个元素，求 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意知，Y的所有可能取值为 ，
则 ， ， ，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
（2）由题意知 ，则 ,
由 ,
得 ,解得 ,
因为A为双元素集合且元素为正整数，且 ，
所以 ，且 需为正整数，
因为 ，所以 ．因为 为正整数，所以 ，即 ．
由题意， ，因此 ．
1．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，
采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测
数据整理如下：
语文成绩
合计
优秀 不优秀
优秀 50 30 80
数学成绩
不优
40 80 120
秀
合计 90 110 200
(1)根据 的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，在统计中称为似然
比.现从该校学生中任选一人， 表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩不优
秀”请利用样本数据，估计 的值.
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3
人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数 的概率分布列及数学期望.
附：
【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关；(2) ；
(3)分布列见解析， .
【详解】（1）零假设 ：数学成绩与语文成绩无关.
据表中数据计算得：
根据小概率值 的 的独立性检验，我们推断 不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；
（2）∵ ，
∴估计 的值为 ；
（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量 的所有可能取值为 .
， ，
， ，
∴ 的概率分布列为：
0 1 2 3
∴数学期望 .
2．（2023·陕西铜川·校考一模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为
100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一
组 ，3份；第二组 ，8份；第三组 ；第四组 ；第五组 ，4份；已知其
中得分高于60分的问卷份数为20．(1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；
(2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列（结果只要求用
组合数表示），并求出期望 ．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析， .
【详解】（1）由于成绩在 的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20，
故第四组有16份问卷.
由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人，
故所求概率为 ．
（2）由题意知随机变量X取值为0，1，2，3，4．
，
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
所以期望 ．
3．（2022·四川成都·统考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的
冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盗，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众
的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取400人，对是否有意向购买冰墩墩进行
调查，得到以下的2×2列联表：
有意向购买冰墩墩的人数 无意向购买冰墩墩的人数 合计
男 160 80 240生
女
120 40 160
生
合
280 120 400
计
(1)根据以上数据，判断是否有95%的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关？
(2)若从随机抽取的400人中按男女比例分层抽样选取5人进行采访，再从这5人中随机抽取2人赠送冰墩
墩，记 为抽取的2人中男生人数，求X的分布列和数学期望.
附： .
【答案】(1)没有 的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关
(2)分布列见解析，
【详解】（1）∵ ，
∴没有 的把握认为购买冰墩墩与人的性别有关.
（2）选出的女性人数为 人，选出的男性人数为 人，
由题意可得： 的可能取值为 ，则有：
，
故 的分布列为：
0 1 2
∴ .【题型六】 正态分布
正态分布的定义
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为
正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为
2
f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u,σ ).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X
服从标准正态分布.
正态分布的期望和方差
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的
离散程度。
正态分布的3σ原则1．（2023·江西宜春·统考一模）给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ）
①若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为 ；
②回归方程为 时，变量 与 具有负的线性相关关系；
③随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
④在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，当样本相关系数 越接近 时，
样本数据的线性相关程度越强.
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【详解】对于①，由方差的性质可知：数据 的方差为 ，①错误；
对于②，由回归方程知： ，则变量 与 具有负的线性相关关系，②正确；
对于③，由正态分布曲线的对称性可知：
，③错误；
对于④，由相关系数意义可知： 越接近 时，样本数据的线性相关程度越强，④正确.
故选：B.
2．（2023·浙江温州·统考二模）已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】随机变量 服从正态分布 ，显然对称轴 ，
所以由对称性知 ，
故选：C．3．（2023·河南郑州·统考一模）某班学生的一次的数学考试成绩 （满分：100分）服从正态分布：
，且 ， ， （ ）
A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：C.
1．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）立德中学高一（2）班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习
活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布 ，则下列判断错误的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为正态分布 图形关于 对称，
所以 ， ，
，故ABD正确；
根据正态分布的对称性可得 ，C错误．
故选：C.（多选）2．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量 ， 满足 ，则
B．若随机变量 ，且 ，则
C．若线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44．48，52，
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
【答案】BC
【详解】对于A，由方差的性质可得 ，故A错误；
对于B，由正态分布的图象的对称性可得 ，故B正确；
对于C，由相关系数知识可得：线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故C正确；
对于D，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为 ，
乙组：第30百分位数为 ，第50百分位数为 ，则 ，
解得 ，故 ，故D错误；
故选：BC
3．（2023·广东佛山·统考二模）佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外．
某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 ，且 ，现从该生产线上随机抽取
10片瓷砖，记 表示 的瓷砖片数，则 ______．
【答案】1
【详解】因为 ，均值为 ，且 ，
所以 ，
由题可得 ，所以 ．故答案为：1．
高考模拟练习
1．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 .
B．若将6名教师分到3所中学任教，每所学校至少一名教师且人数互不相同，则有320种不同的分法.
C．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的上四分
位数是156.
D．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为奇数}，事件B={两次的点数之和为4}，则
.
【答案】D
【详解】对于A，函数 ，当 时是减函数，函数 ，当 时是增函数，
， ， ，错误；
对于B，依题意将6名教师分为3组，各组的人数分别为1,2,3，共有 种分法，
再将3组教师分配到3所中学，有 种分法，所以总共有 种分法，错误；
对于C，对于给定的数据，一共是12个，所以中位数是 ，
在154.5的右边有6个数据，所以上四分位数是 ，错误；
对于D，设两次投掷的点数为 ，
则事件 ，事件 ，
根据条件概率的定义 ，正确；故选：D.
2．（2023·全国·模拟预测）某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名
学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，
两人选的包装不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记事件C为“甲同学选杯装酸奶”，则 ，记事件D为“两人选的包装不同”，则事件
CD为“甲同学选杯装酸奶，乙同学选袋装酸奶或瓶装酸奶”，
所以 ，所以 .
故选：C.
（多选）3．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会
在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二
个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精
神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是 ，乙能答对
其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5
分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否互不影响，则（ ）
A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是
C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是
【答案】ABD
【详解】A，B选项：设乙的得分为 ，则 的所有可能取值为0，10，25，40，
且 ，， ， ，
因此 ，故A，B正确；
C，D选项：记“甲得分为正数”为事件 ，“乙得分为正数”为事件 ，
则 ， ，
， ，
因此甲得0分的概率是 ，
甲、乙的得分都是正数的概率是 ，
故C错误，D正确.
故选：ABD
4．（2023·辽宁鞍山·统考二模）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛
项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射
击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知
某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中
相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么
___________.
【答案】
【详解】解：由题意得 ，
，
故答案为：
5．（2023·安徽合肥·校考一模）接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校 的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为 ，而接种了疫苗的感染率为 .现有一名学生确诊
了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________
【答案】
【详解】设事件 “感染流行感冒”，事件 “未接种疫苗”，
则 ， ，
故 .
故答案为： ．
6．（2023·上海浦东新·统考二模）为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史
展现坚定信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道
人文历史题和5道地理环境题．
(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代
表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题．若中间有一题答错就退出必答环节，仅
当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题．已知答对1道人文历史题得2分，答对1道
地理环境题得3分．假设某代表队答对人文历史题的概率都是 ，答对地理环境题的概率都是 ．请你为
该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由．
【答案】(1)
(2)该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题；理由见解析
【详解】（1）从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为 ，
将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为 ，事件 的对立事件 为“某代表队抢到至少1道地理
环境题”．则，
（2）情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，
设该代表队必答环节的得分为 ， ，
， ， ，
， ，
则 的分布为：
此时得分期望
情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，
设该代表队必答环节的得分为 ， ,
， ， ，
， ，
则 的分布为：
此时得分期望
由于 ，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环
境题．
7．（2023·河北邯郸·统考二模）某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精
神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出
200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总
人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.(1)完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认
为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联？
对员工管理水平不满
项目 对员工管理水平满意 合计
意
对员工敬业精神满意
对员工敬业精神不满意
合计
(2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都
满意的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
(3)在统计学中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，现从该企业员工中任
选一人， 表示“选到对员工管理水平不满意”、 表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数
据，估计 的值.
附： ， .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析，能认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联；
(2)分布列见解析， ；
(3) 的值为 .
【详解】（1）由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表
对员工管理水平不满
项目 对员工管理水平满意 合计
意
对员工敬业精神满意 50 30 80
对员工敬业精神不满意 40 80 120合计 90 110 200
零假设为 ：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.
据表中数据计算得： ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平
满意有关联.
（2）对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为 ，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，
其中 ； ；
； ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
则 .
（3） ，
所以估计 的值为 .
8．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）一水果连锁店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了
过去30天苹果的日销售量（单位：kg），得到如下频率分布直方图．(1)求过去30天内苹果的日平均销售量 （同组数据用该组区间中点值代表）；
(2)若该店苹果的日销售量X近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，试估计360天
中日销售量超过79.9kg的天数（结果保留整数）；
(3)该水果店在店庆期间举行“赢积分，送奖品”活动，规定：每位会员可以投掷n次骰子，若第一次掷骰
子点数大于2，可以获得100个积分，否则获得50个积分，从第二次起若掷骰子点数大于2，可以获得上
一次积分的两倍，否则获得50个积分，直到投掷骰子结束．记会员甲第n次获得的积分为 ，求数学期
望 ．
参考数据：若 ，则 ， ．
【答案】(1)69
(2)57
(3)
【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则 ．
（2）由（1）得 ，
因为日销售量X近似服从正态分布 ，
所以 ，
所以估计360天中日销售量超过79.9kg的天数为 ．
（3）依题意 的可能取值为100，50，其分布列为：100 50
P
所以 ，
由题意得 ，
所以 ，得 ，
又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
所以 ，
故 ．
9．（2023·陕西·统考一模）甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗
赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则
记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：
“对抗赛”成绩（甲：
总计
乙）
频数 21 13 6 25 15 10 4 2 4 100
这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．
(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X，Y，求 ， ， ， ．
(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数
据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？
(3)在某次团队赛中，射击队S只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三
种方案：
方案一：由选手甲射击2次﹔
方案二：由选手甲、乙各射击1次；方案三：由选手乙射击2次．
则哪种方案最有利于射击队S夺冠？请说明理由．
附：参考公式：
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) ， ， ，
(2)不能
(3)方案二；理由见解析
【详解】（1）根据题意，选手甲击中10环的频数为 ，击中9环的频数为 ，
击中8环的频数为 ；选手乙击中10环的频数为 ，击中9环的频数为
，击中8环的频数为 ；
以频率作概率，可得X，Y的分布列分别为
X 10 9 8
P 0.4 0.5 0.1
Y 10 9 8
P 0.5 0.3 0.2
故 ，
，
，
，
（2）根据题意，在100次“对抗赛”中，他们成绩同时优秀的频数为 ，仅甲优秀的频数为 ，仅乙优秀的频数为 ；二人均非优秀的频数为4，
故可得以下列联表：
乙
合计
优
非优秀
秀
优秀 74 16 90
甲
非优秀 6 4 10
合计 80 20 100
根据列联表中的数据，经计算得到
，
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联．
（3）记事件 “S队夺冠（即最后两次射击总环数达到19环）”．
若采用方案一：则取得19环的概率为 ，取得20环的概率为 ，故A事件发生概
率为0.56．
若采用方案二：则取得19环的概率为 ，取得20环的概率为 ，故A事
件发生概率为0.57．
若采用方案三：则取得19环的概率为 ，取得20环的概率为 ，故A事件发生概
率为0.55．
因为 ，故应采用方案二．
10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、
解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为 ，
且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为 ．现甲乙
两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；(2)若甲抛掷 次，乙抛掷n次， ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率 ，
，
由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率
相等，故 ；
（2）可以先考虑甲乙各抛赛n次的情形，
①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为 ，则第 次甲必须再抛掷出证明
朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；
②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第 次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于
乙正面朝上次数，将该情形概率设为 ；
③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第 次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙
正面朝上次数，将该情形概率设为 ，由对称性可知 ，
故 ，而由 ，
可得 ．
