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第七章 随机变量及其分布（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D（X）等于（ ）
X 0 1
P m 2m
A． B． C． D．
2.将三颗骰子各掷一次，设事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个3点”，则条件概率P（A|
B），P（B|A）分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3.随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝ （n＝1，2，3，4），其中a是常数，则P（ ＜X＜ ）的
值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知离散型随机变量X服从二项分布X～B（n，p）且E（X）＝12，D（X）＝4，则n与p的值分别为
（ ）
A． B． C． D．
5.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一
直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为 p （p≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞
1.75，则p的取值范围是（ ）
A．（0， ） B．（ ，1） C．（0， ） D．（ ，1）
6.设随机变量 ﹣N（ ，1），若不等式 ≥0对任意实数x都成立，且P（ ＞a）＝ ，则 的值为
（ ） ξ μ ξ μ
A．0 B．1 C．2 D．3
7.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落
在区间（3，6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布N（ ，σ2），则P（ ﹣σ＜ ＜ +σ）＝68.26%，P（ ﹣2σ＜ ＜ +2σ）
ξ μ μ ξ μ μ ξ μ＝95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
8.若随机变量X～N（ ，σ2）（σ＞0），则有如下结论：
高三（1）班有40名同μ 学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在
130分以上人数约为（ ）
A．19 B．12 C．6 D．5
9.设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P P P P
1 2 3
则EX=2的充要条件是（ ）
A．P=P B．P=P C．P=P D．P=P=P
1 2 2 3 1 3 1 2 3
B．
10.口袋里放有大小相等的2个白球和1个红球，有放回地每次摸取1个球，定义数列{a}：a ＝
n n
如果S 为数列{a}的前n项和，那么S＝5的概率为（ ）
n n 7
A． B．
C． D．
11.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取i（i＝1，2）个球，在取出的球中，黑球放回，
白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数X（i＝1，2），则（ ）
i
A．P（X＝3）＞P（X＝3），EX＞EX B．P（X＝3）＜P（X＝3），EX＞EX
1 2 1 2 1 2 1 2
C．P（X＝3）＞P（X＝3），EX＜EX D．P（X＝3）＜P（X＝3），EX＜EX
1 2 1 2 1 2 1 2
12.我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发
生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也
很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，
我们称Y服从“几何分布”，经计算得 ．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和
都发生后停止，此时所进行的试验次数记为 Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）pk﹣1，k═2，
3，…，那么E（Z）＝（ ）
A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 ，连续两天为优良的概率是 ，已知某
天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ．
14.下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ．
①某地车展中，预定各类汽车的总人数X；
②北京故宫某周每天接待的游客人数；
③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；
④小麦的亩产量X；
⑤王老师在一次英语课上提问的学生人数X．
15.已知随机变量 的分布列为：
ξ ﹣1 0 1 2
Pξ ﹣2a b
若 ，则a+b＝ ，D（ ）＝ ．
ξ
16.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．
若甲、乙两人射击的命中率分别为 和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 ．假设甲、
乙两人射击互不影响，则p的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.一袋中有6个黑球，4个白球．
（1）依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（2）有放回地依次取出3球，已知第一次取的是白球，求第三次取到黑球的概率；
（3）有放回地依次取出3球，求取到白球个数X的分布列．18.某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成
如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），
[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）从学校全体高一学生中任选4名学生，这4名学生中自主安排学习时间少于20分钟的人数记为X，
求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）．
19.设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间（单位：min）X～N（50，
102），乘地铁所需时间Y～N（60，42），则
（1）若有70min可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？
（2）由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了 A公司2辆出
租车，B公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A公司出租车被叫来的辆数
的分布列和数学期望 E（ ）．（已知 P（ ﹣3σ＜X≤ +3σ）＝0.9974，P（ ﹣2σ＜X≤ +2σ）＝
ɛ0.9544） ɛ μ μ μ μ20.甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是p，乙射击一次中靶的概率是p，且 ， 是方程x2﹣5x+6＝
1 2
0的两个实根，已知甲射击5次，中靶次数的方差是 ．
（1）求p，p 的值；
1 2
（2）若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
（3）若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
21.某省高考曾经使用过一段标准分制度，标准分是把学生考试的基础分参与全省排出相对名称，通过公
式换算成标准分．高考后公布考生的标准分，而不公布基础分．考生根据自己的标准分多少就可以大
致估出自己在全省考生的名次．其标准分X是服从正态分布N（500，1002）的随机变量．假设某学生
的数学成绩不低于600的概率为p．
0
（Ⅰ）求p 的值；
0
（Ⅱ）某校高三的高考英语和数学两科都超过600分的有5人，仅单科超过600分的共有8人，在这些同
学中随机抽取3人，设三人中英语和数学双科都超过600分的有 人，求 的分布列和数学期望．
（参考数据：若X～N（ ，σ2），有P（ ﹣σ＜X≤ +σ）＝0.68ξ26，P（ξ ﹣2σ＜X≤ +2σ）＝0.9544，P
（ ﹣3σ＜X≤ +3σ）＝0μ.9974．） μ μ μ μ
μ μ22.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方
法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为
两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，
40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布
列和数学期望．
