北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
学
8.4 抛物线
五年高考
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+
(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 ( ABD )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=√15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的
距离为5,则|MF|= ( D )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为√2,则p=
( B )
A.1 B.2 C.2√2 D.4
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离
为12,到y轴的距离为9,则p= ( C )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|
AF|=|BF|,则|AB|= ( B )
A.2 B.2√2
C.3 D.3√2
5.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1,√5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线
9
的距离为 .
4
6.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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设点P(4x2 ,4x ),Q(x ,y ),
0 0 1 1
则⃗PQ=(x -4x2 ,y -4x ),
1 0 1 0
∵F(1,0),∴⃗QF=(1-x ,-y ),
1 1
∵⃗PQ=9⃗QF,
1
{x = (9+4x2 ),
{x −4x2=9(1−x ), 1 10 0
∴ 1 0 1 整理得
y −4x =9(−y ), 4
1 0 1 y = x .
1 10 0
第二步:用参数x 表示k ,利用基本不等式求其最值.
0 OQ
y 4x
1 0
∴k = = ,
OQ x 9+4x2
1 0
4
4 1
当k 最大时,x >0,∴k = 9 ≤ = ,
OQ 0 OQ +4x 2√36 3
x 0
0
9 3 1
当且仅当4x = 时取“=”,此时x = ,点P的坐标为(9,6),因此k 的最大值为 .
0 x 0 2 OQ 3
0
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两
点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( B )
(1 ) (1 )
A. ,0 B. ,0 C.(1,0) D.(2,0)
4 2
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一
点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 ( B )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-√3(x-1)过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( AC )
A.p=2
8
B.|MN|=
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C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,
过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( BCD )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的
直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( ACD )
A.直线AB的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
6.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两
16
点,则|AB|= .
3
7.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C
上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 x =
3
- .
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三年模拟
练速度
1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离
为
( B )
5 3
A.1 B. C. D.2
4 2
(1 )
2.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F ,0 ,则p的值为 ( C )
2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
3.(2024浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线
y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为 ( A )
5 3
A. B.2 C. D.1
2 2
4.(2024 T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物线
的焦点坐标为 ( C )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设
垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|= ( A )
2 √3 3 √3
A. B. C. D.
3 3 4 2
6.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上
一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为 ( A )
A.√3x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.√2x-y-2=0
7.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B
两点,则|AF|+4|BF|的最小值为 ( D )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两
点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=2√21,则|AB|= ( D )
A.3 B.4 C.6 D.8北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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9.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C :x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C 交
1 2
C 于A,B两点,交C 的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆C 的方程为
1 1 2
( D )
A.x2+(y-1)2=12 B.x2+(y-1)2=16
( 1) 2 ( 1) 2
C.x2+ y− =3 D.x2+ y− =4
2 2
( π)
10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C :y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ 0<θ< 之后,
1 2
得到抛物线C ,其准线方程为√3x+y+4=0,则抛物线C 的焦点坐标为 ( 2 , 0 ) .
2 1
练思维
1.(2024安徽蚌埠第三次教学质量检查,8)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线交C于
A,B两点,M为AB中点,过M作准线的垂线,垂足为N,若|AF|=4,则|NF|=( B )
4 4√3 8 8√3
A. B. C. D.
3 3 3 3
2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,P
为AB的中点,且⃗CF=2⃗FP,则|FA|+|FB|的最大值为 ( B )
A.4 B.5 C.3√3 D.4√2
3.(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为
W上一点. ( AC )
A.存在点P,使△PFC为等边三角形
B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1
C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切
D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12√3
4.(多选)(2024湖南长沙雅礼中学月考七,10)抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的
三角形称为阿基米德三角形,该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.
设A,B是抛物线C:x2=4y上两个不同的点,以A(x ,y ),B(x ,y )为切点的切线交于P点.若弦
1 1 2 2
AB过点F(0,1),则下列说法正确的有 ( ABD )
A.x x =-4
1 2
B.若x =2,则A点处的切线方程为x-y-1=0
1
C.存在点P,使得⃗PA·⃗PB>0
D.△PAB面积的最小值为4
5.(多选)(2024浙江杭州二模,11)过点P(2,0)的直线与抛物线C:y2=4x交于A,B两点.抛物线
C在点A处的切线与直线x=-2交于点N,作NM⊥AP交AB于点M,则 ( BC )北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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A.直线NB与抛物线C有2个公共点
B.直线MN恒过定点
C.点M的轨迹方程是(x-1)2+y2=1(x≠0)
|MN|3
D. 的最小值为8√2
|AB|
6.(多选)(2024东北三省三校一模,10)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为
F,点P在抛物线C上,点Q在抛物线C的准线上,则以下命题正确的是 ( ABD )
A.|PQ|+|PF|的最小值是2
B.|PQ|≥|PF|
C.当点P的纵坐标为4时,存在点Q,使得⃗QF=3⃗FP
D.若△PQF是等边三角形,则点P的横坐标是3
7.(多选)(2024福建毕业班适应性练习,10)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线交x轴于点
D,过F的直线交C于A,B两点,AF的中点M在y轴上的射影为点N,|MN|=|NF|,则 (
ABD )
A.|AF|=3|BF|
B.∠ADB是锐角
C.△BDN是锐角三角形
D.四边形DFMN是菱形
8.(2024辽宁大连三校联考,13)已知抛物线C :y2=2x,C :y2=4x的焦点分别为F ,F ,点P,Q分
1 2 1 2
2
别在C ,C 上,且线段PQ平行于x轴.若△F PQ是等腰三角形,则|PQ|= .
1 2 2 3
9.(2024湖南衡阳第二次联考,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛
4
物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|=
3
.
10.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且
与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上
的一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明:|BP|=|BQ|;
(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S ,S ,若S =2S ,求直线l的方程.
1 2 1 2
p
解析 (1)由题意知- =-1,则p=2,
2
故抛物线C的方程为y2=4x. (3分)北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(2)证明:设l:x=ty-1,M(x ,y ),N(x ,y ),
1 1 2 2
{ y2=4x,
联立 消去x得y2-4ty+4=0,
x=ty−1,
{y + y =4t,
则Δ=16(t2-1)>0,且 1 2 (5分)
y y =4.
1 2
y −n ( 2(y −n))
AM:y-n= 1 (x-1),令x=-1,得P −1,n− 1 ,
x −1 x −1
1 1
( 2(y −n))
同理可得Q −1,n− 2 , (7分)
x −1
2
2(y −n) 2(y −n) [2(y −n) 2(y −n)]
则|BP|=|y |,|BQ|=|y |,因为y +y =n- 1 +n- 2 =2n- 1 + 2
P Q P Q x −1 x −1 t y −2 t y −2
1 2 1 2
2(y −n)(t y −2)+2(y −n)(t y −2)
1 2 2 1
=2n-
(t y −2)·(t y −2)
1 2
4t y y −(2nt+4)(y + y )+8n 8n−8nt2
1 2 1 2
=2n- =2n- =0,
t2y y −2t(y + y )+4 4−4t2
1 2 1 2
所以|y |=|y |,故|BP|=BQ|. (10分)
P Q
(3)解法一:设点A到直线PQ,MN的距离分别为d ,d ,易知d =2.
1 2 1
|2−nt| 1
由(2)可得,d
2
=
√t2+1
,|MN|=√(t2+1)[(y
1
+ y
2
) 2−4 y
1
y
2
]=4√(t2+1)(t2−1),则S
2
=
2
|
|2(y −n) 2(y −n)| 2|nt−2|
PQ|d =|PQ|= 1 − 2 = , (13分)
1 t y −2 t y −2 √t2−1
1 2
1 1 |2−nt|
S = |MN|d = ×4√(t2+1)(t2−1)· =2√t2−1·|nt-2|, (15分)
1 2 2 2 √t2+1
由S =2S 得t2-1=2,解得t=±√3,
1 2
所以直线l的方程为x±√3y+1=0. (17分)
1
|AM|·|AN|·sin∠MAN
S 2 |AM|·|AN| |(x −1)(x −1)|
解法二: 1 = = = 1 2 , (14
S 1 |AP|·|AQ| 4
2 |AP|·|AQ|·sin∠PAQ
2
分)
S |(t y −2)(t y −2)| |t2y y −2t(y + y )+4|
所以 1 = 1 2 = 1 2 1 2 =t2-1. (15分)
S 4 4
2
由S =2S 得t2-1=2,解得t=±√3,
1 2
所以直线l的方程为x±√3y+1=0. (17分)
